ecuacin que coincide con la (1 3) di la. - , correspon ente a

espu:al de Euler, en la que se relacionan la cunratura y la longItud recorrida de dicha curva.

Resumien~o, la trayectoria descrita por los vehculos que en un~ curva, c1rculan a velocidad constante y cuyo volant~ es accIonado de tal fonna que el a'ngulo d .

. . e guo aumente gradualmente, cOIncIde con la espiral de Euler.

CAPITULO 11

LA ESPIRAL DE EULER O CLOTOIDE

Ecuacin o ley de curvatura de la clotoide Sin entrar en consideraciones sobre la estabilidad

proporcionada por las fuerzas de rozamiento transversal y la generada por la inclinacin de la calzada o peralte, es de conocimiento general que, cuando un vehculo transita a velocidad constante por una curva circular de radio Ro la aceleracin centrfuga (o transversal o radial) que acta sobre l tiene el siguiente valor:

2 v

a e =R (2-1)

e

21

Figura 2.1 Curva de UCLU"'''''.,

Si la curva de

con la recta, siguiente magnitud:

Esta misma ..."''-......&{ ,

sera:

En la recta no se presenta aceleracin centrifuga, ac=O yel incremento total de aceleracin, al pasar de la tangente a la curva, corresponde a ~/Re.

Si el vehculo se desplaza por la tangente y se aproxima a una curva circular, al llegar al pe experimenta un cambio sbito en la aceleracin centrifuga, lo mismo, y por estar relacionados, ocurre con el radio, con la curvatura y dems parmetros o fenmenos asociados; situacin semejante a la anterior se presenta en el PT, cuando el vehculo sale de la curva circular. Para que este cambio en la aceleracin radial ~ en los dems parmetros asociados), se produzca en forma progresiva ser necesario disponer de un elemento entre la recta y el arco circular que proporcione los efectos deseados. Si se pretende que la velocidad del vehculo se conserve, que sea constante cualquiera que sea su posicin, en recta o en curva, por observacin de la ecuacin anterior se deduce que dicho demento deber pennitir, de alguna manera, una variacin en el radio. Lo deseable, y lo que se busca, es una variacin constante, progresiva, uniforme o lineal en la aceleracin radial; al elemento o curva que se dispone para efecmar este cambio se le conoce como curva de transicin.

Si en el enlace entre la tangente y la curva circular de radio Re se dispone de una curva de tranSlCIOn de longitud Le> Figura 8, para que en dicha longitud la aceleracin centrfuga pase de O (cero) a ~/Re ser necesario que se produzca una variacin de la aceleracin por unidad de longitud (aceleracin unitaria) dada por:

22

:I ::tl

' 11 8

"1' , \'

,"1'

.. - ~- --- . - - - --lo ..... "

... .: :.:.. - -- - - _ .. ....

TANGENTE ORIGEN

t

En la recta no se presenta aceleracin centrifuga, ac=O y el incremento total de aceleracin, al pasar de la tangente a la curva, corresponde a v.2/Re.

Si el vehculo se desplaza por la tangente y se aproxima a una curva circular, al llegar al pe experimenta un cambio sbito en la aceleracin centrifuga, lo mismo, y por estar relacionados, ocurre con el radio, con la curvatura y dems parmetros o fenmenos asociados; situacin semejante a la anterior se presenta en el PT, cuando el vehculo sale de la curva circular. Para que este cambio en la aceleracin radial (y en los dems parmetros asociados), se produzca en forma progresiva ser necesario disponer de un elemento entre la recta y el arco circular que proporcione los efectos deseados. Si se pretende que la velocidad del vehculo se conserve, que sea constante cualquiera que sea su posicin, en recta o en curva, por observacin de la ecuacin anterior se deduce que dicho elemento deber permitir, de alguna manera, una variacin en el radio. Lo deseable, y 10 que se busca, es una variacin constante, progresiva, uniforme o lineal en la aceleracin radial; al elemento o curva que se dispone para efectuar este cambio se le conoce como curva de transicin.

Si en el enlace entre la tangente y la curva circular de radio Re se dispone de una curva de transicin de 10no1tud L ~ e' Figura 8, para que en dicha longitud la aceleracin centrfuga pase de O (cero) a v.2/ Re ser necesario que se produzca una variacin de la aceleracin por unidad de longitud (aceleracin unitaria) dada por:

22

I "

1\ ,

:::0 ' 11 ' 8

."1l ,

\' "1l

l', '\\-s:!

('

-:: :-

Igualando los trminos de la derecha de las dos expresiones anteriores se obtiene:

2

V

R

cancelando ~ en ambos lados y ordenando se llega a:

Por ser Re Y Le constantes, su producto es tambin una constante a la que, para mayor facilidad en los clculos, se le acostumbra denominar por K2, quedando la expresin antenor en:

(2-2)

a esta relacin se le conoce como ecuaClOn o ley de curvatura de la Clotoide o espiral de Euler y dice que el radio R en un punto cualquiera vara en proporcin inversa a la distancia l desde el origen, o lo que es lo mismo, el producto del radio R por la distancia l desde el origen es constante e igual a K2. Tambin, aunque el radio y la longitud en los distintos puntos de la espiral tienen diferentes valores, stos estn ligados entre s de modo que su producto es un valor constante, pudindose calcular fcilmente uno de ellos cuando se conoce el otro.

El parmetro K es un indicador de la forma de la espiral, si su valor es pequeo indica que la espiral es ms cerrada que

24

otra cuyo parmetro sea ms grande. En cierta fonna, K tiene un significado semejante al del radio R en las curvas circulares, a mayor K en la transicin y a menor K corresponde ? -.. .-lQ Homotecia O se

El parmetro K clotoide y se obtiene longitud del arco curvatura, o sea, clotoide de K=12 siempre ser igual a obtiene en el longitud de la

Punto K K2 Origt:n 12 144 o

1 12 144 1

2 12 144 2

3 12 144

4 12 144

5 12 144

6 12 144

7 12 144

8 12 144

9 12 144

Ig~alando los trminos de la derecha de las dos expresiones antenores se obtiene:

otra cuyo parmetro sea ms grande. En cierta foona, K tiene un significado semejante al del radio R en las curvas circulares, a mayor K mayor suavidad en la transicin y a menor K corresponde una transicin ms forzada

Homotecia O semejanza de las espirales El parmetro K es siempre constante para una misma

clotoide y se obtiene en un punto para el cual el valor de la cancelando ~ en ambos lados y ordenando se liega a:

Por ser Rc Y Le constantes, su producto es tambin una constante a la que, para mayor facilidad en los clculos se le acostumbra denominar por K2, quedando la exp~esin an terior en:

(2-2)

a esta relacin se le conoce como ecuaClOn o ley de cu~atura de la Clotoide o espiral de Euler y dice que el radi~ R ~n un punto cualquiera vara en proporcin inversa a la distanCIa l desde el origen, o lo que es lo mismo, el producto del radio R por la distancia 1 desde el origen es constant.e ~ igual a K2. Tambin, aunque el radio y la longitud en los distlntos puntos de la espiral tienen diferentes valores stos estn ligados entre s de modo que su producto es u~ valor constante, pudindose calcular fcilmente uno de ellos cuando se conoce el otro.

El parmetro ~ es.un. indicador de la forma de la espira~ si su valor es pequeno illdica que la espiral es ms cerrada que

24

longitud del arco desde el origen hasta l es igual al radio de curvatura, o sea, cuando l=R por ejemplo, para una clotoide de K=12 el producto del radio por la longitud siempre ser igual a 144 (K?), el valor del parmetro K=12 se obtiene en el punto paramtrico o sea donde el radio y la longitud de la curva son iguales, Figura 2.2.

Punto K K2 1 R ~! I 1I l~l ! Origen 12 144 O 8 "iD.

.,1 12 144 1 144

..

I

2 12 144 2 72 .~

. . : ~ 3 12 144 4 36

. , ' ,,4 12 144 9 18

S 12 144 12 12

6 12 144 18 9 ,

,7 12 144 36 4

..8 12 144 72 2

9 12 144 144 1 \0.

7o. l'1.~~:~-- -.. _----.....,.... ---

'2 3 4 5ORIGEN

Figuta 2.2 Espiral de Euler o c1otoide de parmetro K = 12.

25

El punto para el cual se cumple R=l=K se llama punto paramtrico.

Todas las variedades de clotoides se obtienen por variacin del parmetro K, lo cual significa que todas las clotoides son semejantes u homotticas y por tanto se pueden obtener los elementos de una clotoide a partir de los elementos de otra utilizando como relacin de semejanza la relacin de sus parmetros; en conclusin, todas las espirales de Euler o clotoides son iguales entre s pero se diferencian por su tamao y se pueden designar por su longitud o por la magnitud de su parmetro K, a mayor parmetro corresponde una variacin ms lenta de la curvatura. Figura 2.3.

!.:Y " ~" .. ...

= 4

, K =

, K =8

;.A..:..=.ll/.1__-"",,,,,,.,,,,, ::::-:,,_.. _ .. __.. .. '_" " _. .... :-::::_ ,,,,::::: . .

Figura 2.3 Semejanza u homotecia de las clotoidcs.

26

La evoluta de la espiral se muestra en la Figura 10, es el lugar geomtrico de los centros de los radios de curvatura.

Obtencin del parmetro k y del ngulo central ee de la espir~a~I _____......----

De la

donde total de la

Tambin longirud y extremos de

reemplazando ecuacin (2-2),

ecuacin que al .

reemplazando K2

El punto para el cual se cumple R=l=K se llama punto paramtrico.

Todas las variedades de clotoides se obtienen por variacin del parmetro K, lo cual significa que todas las clotoides son semejantes u homotticas y por tanto se pueden obtener los elementos de una clotoide a partir de los elementos de otra utilizando como relacin de semejanza la relacin de sus parmetros; en conclusin, todas las espirales de Eu1er o clotoides son iguales entre s pero se diferencian por su tamao y se pueden designar por su longitud o por la magnitud de su parmetro K, a mayor parmetro corresponde una variacin ms lenta de la curvatura. Figura 2.3.

~lL-____ ____:,:,:,:,:___ _______ __.oo. ..__ __ __.... _.._ ......_ ..... ___ ._... .___ .. ___ ._... __._

, K = 8

=___ __:::::::::::

Figura 2.3 Semejanza u homotecia de las clotoides.

26

La evoluta de la espiral se muestra en la Figura 10, es el lugar geomtrico de los centros de los radios de curvatura.

Obtencin del parmetro k Y del ngulo central ee de la espiral

De la ecuacin (2-2), R 1=K2, se puede obtener .el parmetro de la espiral cuando se conoce la longitud y el radio en el extremo, en efecto:

donde Re es el radio de la curva circular y Le es la longitud total de la espiral.

Tambin es posible obtener el parmetro K a partir de la longitud y del ngulo e que forman las tangentes en los extremos de la espiral; de la Figura 2.4 se obtiene:

di == R dO

reemplazando el valor de R de la relacin de curvatura, ecuacin (2-2), y despejando de se llega a:

I dI dO =-2

K

ecuacin que al integrarse queda en:

El en radianes. (2-3)

K2reemplazando por Rc Le' obtenido en la ecuacin (2-2):

27

--

e en radianes. (2-4)

K2o, reemplazando por R 1, obtenido tambin de la ecuacin (2-2), en la (2-3):

1 B=- e en radianes. (2-5)2R

Las ecuaClOnes (2-3), (2-4) Y (2-5) para e=ec y I=Lc quedan:

L 2 IB =_e_ ee en radianes. (2-6)2 K 2t ,

L.B=-- ee en radianes. (2-7) e 2 Re

En las cinco ecuaciones anteriores, para obtener los ngulos e y ee en grados sexadecimales deber multiplicarse por 180In.

Para el punto paramtrico, K=I=R, se obtiene el ngulo paramtrico ep =0.5 radianes ep =28.64789 o ep =2838' 52.4".

Ecuaciones paramtricas de la clotoide

Las ecuaciones paramtricas de la clotoide estn referida~ al sistema de coordenadas cartesianas con origen en el punto inicial de la espiral, punto de contacto de la espiral con la

28

tangente, el eje de las "x" coincide con la rmsma y, obviamente, el eje de las ''y'' es perpendicular.

y

.se. {j8 "'"

8 "

TE

Figura 2.4

En el tringulo

ngulo que hace

ortogonales entre s.

al in tegrar, 1=0, se obtiene

9 en radianes. (2-4)

K2 o, reemplazando por R 1, obtenido tambin de la ecuacin (2-2), en la (2-3):

O=_i_ 9 en radianes. (2-5)2R

Las ecuaClones (2-3), (2-4) Y (2-5) para 9=g y 1=L quedan: e e

) ge en radianes. (2-6)

O=~ ge en radianes. (2-7)e 2 R e

En las cinco ecuaciones anteriores, para obtener los ngulos 9 y ge en grados sexadecimales deber multiplicarse por 180In.

Para el punto paramtrico, K=I=R, se obtiene el ngulo paramtrico 9p=0.5 radianes o 9p =28.64789 o 9p =2838 '52.4".

Ecuaciones paramtricas de la clotoide

. Las ecuaciones paramtricas de la clotoide estn referida~ al ~l~t~ma de coor?enadas cartesianas con origen en el punto 1tl1clal de la espl!'al, punto de contacto de la espiral con la

28

tangente, el eje de las "x" coincide con la tnlsma y, obviamente, el eje de las 'Y' es perpendicular.

y

'\ . . He.... .d 8 . - _. ......

8.~-EC

. _. .. .... .. .. ;:.....

Puesto que el seno y el coseno son funciones con valores cercanos a cero sus desarrollos en series de McClaurin, las cuales son expansiones de f(x) en potencias de x, se pueden utilizar para integrar las ecuaciones antenores. Las expansiones para dichas funciones son:

(2-8)

(2-9)

0 7 0 4(j fI (jSenO=O--3+--- + ... y CosO =1--+1

. 5! 7! 2! 4!

reemplazando los valores antenores para Sene, cose y el [2

obtenido anterionnente para e en la ecuacin (2-3), se obtienen las siguientes ecuaciones:

2 2 2 1 ( 1 J2 1 ( 1 J4 1 ( 1 J6 }x= 1---- +--- ---- + di!{() 2! 6!2 K 2 4! 2 K 2 2 K 2

e integrando

1 ( /2 ) 2 1 (/2)4 1 (/2)6 } Ix=[1-5x2! 2K2 +9x4! 2K2 -13x6! 2K2 +...{ I

I 1 ( 12 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (/2)7 } I

Y = [ { 3" 2K2 - 7x3! 2K2 + Ilx5! 2K2 -15x7! 2K2 + ...

/2 reemplazando nuevamente 2 K 2 por e se obtiene:

30

Puesto que el seno y el coseno son funciones con valores cercanos a cero sus desarrollos en series de McClaurin , las cuales son expansiones de f(x) en potencias de ~ se pueden utilizar para integrar las ecuaciones anteriores. Las expansiones para dichas funciones son:

(j (j (J7 (j (J4

Sen(J; (J--+--- + y Cos(J =1--+3! 5! 7! ... 2! 4!

reemplazando los valores anteriores para Sene, Cose

obtenido anterionnente para e en la ecuacin (2-3), se obtienen las siguientes ecuaciones:

2 2 2r{ 1 ( 1 J2 1 ( 1 J4 1 ( 1 ) 6 }

X = j (1)- 2! 2 K2 + 4! 2 K2 - 6! 2 K2 +... dI

e integrando

2 reemplazando nuevamente 2 K 2 por ese obtiene:

30

(2-8)

(2-9)

Las anteriores son las ecuaciones, en funcin de la longitud, que deflnen la espiral de Euler referidas al sistema de coordenadas mostrado en la Figura 2.4; si en ellas se

reemplaza 1 por K .J20, valor deducido de la ecuacin (24), se obtienen las siguientes ecuaciones que deflnen la espiral en funcin del parmetro K:

(2-10)

(2-11 )

En las ecuaciones anteriores el ngulo e est en radianes y stas son vlidas para valores pequeos de e 1t); para valores ms grandes o para obtener mayor precisin deber incluirse un nmero mayor de tnninos ( a partir de los tnninos de las series del seno y del coseno).

En las ecuaciones (2-8) a (2-11), para valores de emenores a 60 y para la mayora de las aplicaciones son suficientes los tres primeros tnninos y despreciables los dems.

31

Las plantillas para el diseo geomtrico de vas y su confeccin

En el diseo geomtrico de vas, en todo tipo de terreno, las labores de diseo y de dibujo pueden hacerse ms fciles, rpidas y sencillas mediante el uso de computadoras, calculadoras programables y plantillas auxiliares. Dichos elementos son excelentes herramientas de trabajo para el diseador de carreteras y representan una considerable economa de tiempo al ejecutar el proyecto.

Se recomienda el empleo de plantillas con la fInalidad de que la metodologa de diseo sea flexible y se acomode con facilidad la lnea del proyecto a los contornos de la topografa existente en el sector, de acuerdo a las especificaciones que lo ngen.

La prctica de proyectar previamente un trazado con curvas circulares y luego adaptarlo para hacer posible la colocacin de curvas con espirales no es recomendable debido a que el proceso no solamente es ms laborioso sino que puede alterar el proyecto original, especialmente cuando sean necesarias transiciones largas, ello obliga a trasladar en una distancia apreciable el eje del trazado o a cambiar el radio de las curvas, inconvenientes que pueden reducirse por medio del diseo con ayuda de las plantillas.

Teniendo en cuenta que las espirales de Euler son homotticas, al detenninar las coordenadas Xl' Yl, por medio de las ecuaciones (2-10) y (2-11) para una espiral de parmetro KI, se obtienen las coordenadas Xn , yn para cualquier otra espiral de parmetro ~ multiplicando las primeras por la relacin ~/Kl' es decir:

32

y

Con el coordenadas obtenerse

ecuaoones

K, con nueve

Y =K '7i~-I ""11\3-11

Con

presentan A partir de antes, las dichos calculado

- -- - - --

Las plantiUas para el diseo geomtrico

de vas y su confeccin

En el diseo geomtrico de vas, en todo tipo de terreno, las labores de diseo y de dibujo pueden hacerse ms fciles, rpidas y sencillas mediante el uso de computadoras, calculadoras programables y plantillas auxiliares. Dichos elementos son excelentes herramientas de trabajo para el diseador de carreteras y representan una considerable economa de tiempo al ejecutar el proyecto.

Se recomienda el empleo de plantillas con la fmalidad de que la metodologa de diseo sea flexible y se acomode con facilidad la lnea del proyecto a los contornos de la topografa existente en el sector, de acuerdo a las especificaciones que lo ngen.

La prctica de proyectar previamente un trazado con curvas circulares y luego adaptarlo para hacer posible la colocacin de curvas con espirales no es recomendable debido a que el proceso no solamente es ms laborioso sino que puede alterar el proyecto original, especialmente cuando sean necesarias transiciones largas, ello obliga a trasladar en una distancia apreciable el eje del trazado o a cambiar el radio de las curvas, inconvenientes que pueden reducirse por medio del diseo con ayuda de las plantillas.

Teniendo en cuenta que las espirales de Euler son homotticas, al determinar las coordenadas Xl' Yl' por medio de las ecuaciones (2-10) y (2-11) para una espiral de parmetro Kl , se obtienen las coordenadas xo' Yo para cualquier otra espiral de parmetro ~ multiplicando las primeras por la relacin ~/Kl' es decir:

32

-

K"x =-x (2-12)" K 11

(2-13)y

Con el fin de dar una mayor precislOn tanto a las coordenadas y a los datos que a partir de ellas p~en obtenerse como a los dibujos de las curvas a traves de dispositivos electrnicos, computadoras o calculadoras programables, en el clculo de los diferentes elementos. de las espirales o para la confeccin de plantillas. ~e han ob~do las ecuaciones de la espiral de Euler, en funClOO de su parametro K, con nueve trminos. Las ecuaciones son:

Con estas ecuaciones se han calculado las coordenadas xt,Yt para la espiral de parmetro 1, K=1, las cuales se presentan (en milmetros y para escala 1:~.()()O) en el Anexo ..1. A partir de dichas coordenadas se obtlen~, com~ ~e diJo antes, las coordenadas para cualquier espiral multlplicando dichos valores por el de su parmetro. De esta fonna se han calculado las coordenadas x 45,Y45 y ~Y60 para las espirales de parmetros K=45 y K=60 (en milmetros y para escala 1:1.000), las cuales tambin se consignan en el Anexo 1.

En la Figura 2.5 se presentan los grficos correspondientes a las espirales de K=45 y K=60 en escala 1:1000

33

K=45 ~. 1:1000

. - ~ ., " .. . ~ .. . ,\

.. . ... ~ "Y.

... ... ...

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K=60 1:1000

Figura 2.5 Plantillas: espirales de Euler K=45 y K=60, escala 1:1000.

34

En la obtencin manual de las curvas para la confeccin de las plantillas se recomienda que el dibujo se haga con extremada precisin, a la dcima de milmetro. Se obtiene mayor precisin .fcil elaborarlas, para cualquier escala, a travs

van

aumenta. resultados

Entre

que un v la tange suficiente pasajeros fuerza ce de facili

condici anteno de la es

--

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K=45 1:1000 .~ . .'

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K=60 1:1000

Figura 2.5 Plantillas: espirales de Euler K=45 y K=60, escala 1:1000.

34

En la obtencin manual de las curvas para la confeccin de las plantillas se recomienda que el dibujo se haga con extremada precisin, a la dcima de milmetro. Se obtiene mayor precisin y es ms fcil elaborarlas, para cualquier escala, a travs de programas de dibujo por computadora.

Con estas mismas ecuaciones es posible la obtencin de la espiral en su totalidad, tal como se muestra en la Figura 1.6. Es de anotar que, para la obtencin de sta,. debe t ne:rSe cuic!ado con los resultados.debido a la mayor 1rn.portancia que van adquiriendo los_ trminos de la de.recha L medida que e aumenta. De no tenerse en cuenta lo anterior se obtendrn

--- ' .

resultados que no corresponden a la espiral

Longitud mnima de la espiral

Entre otras, una de las funciones que debe cumplir la curva de transicin es la de proporcionar una longitud adecuada para que un vehculo, transitando a la velocidad de diseo, pase de la tangente a la curva circular en un tiempo considerado suficiente para que no se reduzca su seguridad y para que los pasajeros no experimenten molestias por la aparicin de la fuerza centrifuga o empuje lateral. Otra de las funciones es la de facilitar el cambio gradual del desarrollo de una seccin en bombeo a otra en peralte; debe ser lo suficientemente larga para permitir que la pendiente del borde exterior de la calzada con respecto a la linea media de la misma tenga un valor mximo establecido, el cual no debe sobrepasarse; en sntesis, la translClOn del peraltado debe hacerse satisfaciendo condiciones de seguridad, comodidad y apariencia. Los anteriores son tres de los criterios para establecer la longitud de la espiral.

35

Mientras no se diga lo contrario, los siguientes criterios se aplican a carreteras de dos carriles sin separador central.

De acuerdo a la variacin de la aceleracin

F-W=mar r IT

D de a es la aceleracIn radial residual. on cr

(1)

wcentrifuga - Condicin de comodidad o de confort

El objetivo que se busca, como se estableci anterionnente, es el de lograr que la aceleracin centrifuga se introduzca en una fonna gradual.

Un vehculo en una recta no sufre runguna accin transversal; del anlisis de la dinmica del vehculo en una curva peraltada se deduce que su equilibrio, se modifica considerablemente no solo por la aparicin del peralte, tambin y mucho ms por la aparicin de la fuerza centrfuga; dicha fuerza se disminuye por accin de la componente transversal del peso del vehculo, Figura 2.6; de esta fonna, la resultante de la fuerza centrfuga que acta sobre el vehculo es:

Fr

1 _~, Wr

--- - ~ ~ ?!ifrr---~

- - ,II'IL_ -~.Tana:= e ,

ex

Figura 2.6 Fuerza centrifuga residual o no compensada.

36

suficiente para que la com onentSi el peralte fuera del peso igualara Fr' los pasajero solicitacin (correspon compensada), adems, de

De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana. = e

----

Mientras no se diga lo contrario, los siguientes criterios se F-W = mar , cr aplican a carreteras de dos carriles sin separador central.

De acuerdo a la variacin de la aceleracin centrifuga - Condicin de comodidad o de confort

El objetivo que se busca, como se estableci anterionnente, es el de lograr que la aceleracin centrfuga se introduzca en una fonna graduaL

Un vehculo en una recta no sufre runguna aCClOn transversal; del anlisis de la dinmica del vehculo en una curva peraltada se deduce que su equilibrio, se modifica considerablemente no solo por la aparicin del peralte, tambin y mucho ms por la aparicin de la fuerza centrfuga; dicha fuerza se disminuye por accin de la componente transversal del peso del vehculo, Figura 2.6; de esta fonna, la resultante de la fuerza centrifuga que acta sobre el vehculo es:

ex:: e -----.

1

~.Tanex::= e 'I

-JJ:.!...

ex::

Figura 2.6 Fuerza centrifuga residual o no compensada.

36

D nde acr es la aceleracin radial residual. o

Si el peralte fuera suficiente para que la componente Wr del peso igualara ella sola la totalidad de la fuerza centrfuga Fr' los pasajeros no experimentaran ninguna impresin de solicitacin radial. La aparicin brutal de la fuerza macr (correspondiente a la parte de la aceleracin centrfuga no compensada), es lo peligroso para la estabilidad del vehculo y, adems, de molesto para los pasajeros.

De la Figura 2.6 se deduce:

F; = FCosa y W r =WSena

reemplazando estos valores en la ecuacin (1 ) se obtiene:

F Cosa - W Sena = macr

Dividiendo por Cosa:

m acr F - W Tana = -----'-Cosa

Pero Tana = e y, para ngulos pequeos, Cosa::::: 1

F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R:

V2/R - g e es la aceleracin solicitante en sentido radial cuando un vehculo circula por una curva de radio R con peralte e.

Si el vehculo recorre la curva de transicin en un tiempo t y a velocidad constante V, el incremento promedio de la aceleracin radial ac'/ t sera:

t t

crPero t = LIv, Ydenominando a } por e (variacin de la-aceleracin radial por unidad de tiempo), con lo cual se llega a:

Despejando Le:

En esta expresin, entrando la velocidad en m/ s, el radio en metros y ec en tanto por uno, se obtendr la longitud de la

38

espiral en metros. Para entrar la velocidad en Km/h y obtener la misma longitud en metros se tendr:

Ex

diseo, 1.2 m/s2.

Para un origen a la Smimoff:

En caso ecuaClOn

~_ .. F\

Para un radio R:

V2IR - g e es la aceleracin solicitante en sentido radial cuando un vehculo circula por una curva de radio R con peralte e.

Si el vehculo recorre la curva de transicin en un tiempo t y a velocidad constante V, el incremento promedio de la aceleracin radial acJ t sera:

t t

Pero t = LIv, y denominando aci por C (variacin de la aceleracin radial por unidad de tiempo), con lo cual se llega a:

- g e, C=_R---"c___

Le V

Despejando Le:

En esta expresin, entrando la velocidad en mIs, el radio en metros y ec en tanto por uno, se obtendr la longitud de la

38

espiral en metros. Para entrar la velocidad en Km/h y obtener la misma longitud en metros se tendr:

V (V2 > - -127e J (2-16)Le - 46.66 e Re e Experimentalmente se ha comprobado que la variacin de

la aceleracin radial por unidad de tiempo o constante e debe tener un valor, en carreteras, entre 0.3 y 0.9 m/s3 de acuerdo al grado de comodidad que se desee proporcionar. La prctica tambin ha demostrado que este valor en ferrocarriles debe estar cerca a 0.3 mI S2 y en vas de baja velocidad de diseo, variar de acuerdo con ella, hasta un valor mximo de 1.2 m/s2.

Para un valor de C=0.41 mI S3, la expreslon (2-16) da origen a la siguiente ecuacin, conocida como Frmula de Smimoff:

V [V2 )L > - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e

En caso de que no se tenga en cuenta el peralte, la ecuacin (2-16) se convierte en:

(2-18) Le 46.66 e Re

Expresin obtenida en 1909 por W. H. Shortt para la longitud mnima de la espiral que se debera emplear en

39

ferrocarriles, razn por la cual se le conoce como Frmula de Shortt y a la fnnula de Smimoff, ecuacin (2-17), tambin se le denomine Frmula de Shortt modificada.

En deftnitiva, el valor actual ms recomendado para C es de 0.6 m/82, igual al propuesto por Joseph Bamett en 1940, el cual, al ser reemplazado en la fnnula de Short4 producir la Frmula de Bamett:

v3 L >- (2-19)e - 28 R

e

De acuerdo a la transicin del peralte Condicin de alabeo

En la Figura 2.7, el peralte se hace variar gradualmente desde O (cero) en A hasta ec en B, la calzada se ha rotado alrededor del eje.

.

I

.

..

...

D _._ .. _ . -.

. . . -- .

e ECA B

. . :....; -ril .- ' - ' - ' -lec,

. _, ,, ,, 4 : - . _ _ - __ ______ _ _ . . _ _ . . .. __ . _ _ . _

A Le C

Figura 2.7 Longitud mnima de la espiral de acuerdo a la

transicin del peralte.

40

Considerando los tringulos ABC y BCD se obtienen las dos relaciones siguientes:

AC 1 BC e CD --- ---

c AC=-eBe m y CD 1 m c

CD=a, ancho de carril y AC=Lc /

I

I

, 1

, t

---

ferrocarriles, razn por la cual se le conoce como Fnnula de Shortt y a la frmula de Smimoff, ecuacin (2-17), tambin se le denomine Fnnula de Shortt modificada.

En defmitiva, el valor actual ms recomendado para C es2de 0.6 m/8 , igual al propuesto por Joseph Bamett en 1940, el cua4 al ser reemplazado en la frmula de ShoItt, producir la Fnnula de Bamett:

(2-19)

De acuerdo a la transicin del peralte _ Condicin de alabeo

En la Figura 2.7, el peralte se hace variar gradualmente desde O (cero) en A hasta ee en B, la calzada se ha rotado alrededor del eje.

, ,

,,,

',' ,

,

." B

.o,'" EC

\ . 13,e B

o A C EC

B . . ~.'.'..... .. .. ~ r

,E!c ~ -. I.~:::: :: - _ ... . 1

A Le

Figura 2.7 Longitud mnima de la espiral de acuudo a la

transicin del peralte.

40

Considerando los tringulos ABe y BCD se obtienen las dos relaciones siguientes:

CDAC AC=-ey m eBC m CD 1

CD=a, ancho de carril y AC=Le a ecL >e m

donde m es la pendiente del borde exterior con respecto al eje, en tanto por uno,

Empricamente y teniendo en cuenta .las aparien,cias de las transiciones, la AASHTO, ha estableCIdo para V1aS de dos

I carriles el siguiente valor para m:

m = 15625(V) + 75

Por lo tanto la longitud, Le' de la espiral debe ser:

(2-20)

relacin en la cual, la velocidad V debe entrarse en Km/h, a es el ancho dd carril y ee el peralte en la curva circular.

Por razones de esttica - En curvas de gran radio ' ..,

Tambin se aconseja, por razones de esttica, la utilizacl~n de curvas de transicin para que la apariencia en los cambIOS de alineamiento no incomode pticamente a los conductores. El ojo humano es extremadamente sensible a las variaciones

41

bruscas del grado de curvatura, en este caso, cuando se sale de la recta y se entra en un crculo o viceversa, ya que da al conductor la sensacin de que la carretera ha sido quebrada, sensacin que se incrementa si adems existe una inadecuada combinacin con el alineamien to vertical.

Si en las curvas de gran radio (R> 1 000 m) de carreteras de altas especificaciones, como autopistas, nicamente se tienen en cuenta las condiciones impuestas por la transicin del peralte y por el cambio en la aceleracin centrfuga, la perspectiva del borde de la calzada presentara un efecto de bisel muy desagradable a la vista. Bajo estas condiciones, el desplazamiento de la curva circular puede resultar insignificante y posiblemente no justificara el uso de espirales, por lo que se considera que un ngulo mnimo de deflexin de la espiral de 30 9' produce un aumento conveniente en dicho desplazamiento y evita el efecto antes mencionado.

El valor recomendado para el ngulo de desviacin en el punto de tangencia con la curva circular debe ser como mnimo de 3.5 grados centesimales (3.150 30 09 ' ).

Despejando Le de la ecuacin (2-7):

B en radianes .

Reemplazando Be por el mnimo valor admisible:

De acuerdo a la recomendacin de la AASHTO La AASHTO dice que, independientemente del peralte, el

uso de longitudes de transicin inferiores a la distancia recorrida por un vehculo en 2 segundos a la velocidad de diseo, evitan los bordes abruptos en los perftles y mejoran la apariencia general. Por tal razn no son recomendables el uso de valores inferiores a stos.

obtener la longitud mlfllffia en metros, ..........._,~.li*"r nt-*"A r"'It:~..... ...L.. 1 ___ I~ __

quedando RL > ~ (2-21 )

e - 9

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bruscas del grado de curvatura, en este caso, cuando se sale de la recta y se entra en un crculo o viceversa, ya que da al

condu~~or la sensacin de que la carretera ha sido quebrada, sensaCIon que se incrementa si adems existe una inadecuada combinacin con el alineamiento vertical.

Si en las curvas de gran radio (R> 1 000 m) de carreteras de altas especificaciones, como autopistas, nicamente se tienen en cuenta las condiciones impuestas por la transicin del peralte r por el cambio en la aceleracin cen trfuga, la perspectIva del borde de la calzada presentara un efecto de bisel muy desagradable a la vista. Bajo estas condiciones, el ~e~pl~zamiento de la curva circular puede resultar InsIgmficante y posiblemente no justificara el uso de espirales, por lo que se considera que un ngulo mnimo de de flexin de la espiral de 3 9' produce un aumento conveniente en dicho desplazamiento y evita el efecto antes mencionado.

El valor recomendado para el ngulo de desviacin en el

pun to de tangencia con la curva circular debe ser como

mnimo de 3.5 grados centesimales (3.15 309' ) .

Despejando Le de la ecuacin (2-7):

B en radianes.

Reemplazando Be por el mnimo valor admisible:

quedando

L > Re e - 9 (2-21 )

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De acuerdo a la recomendacin de la AASHTO La AASHTO dice que, independientemente del peralte, el

uso de longitudes de transicin inferiores a la distancia recorrida por un vehculo en 2 segundos a la velocidad de diseo, evitan los bordes abruptos en los perftles y mejoran la apariencia general. Por tal razn no son recomendables el uso de valores inferiores a stos.

Para obtener la longitud rrumma en metros, independientemente de cualquier otro criterio, de la espiral que debe usarse en una carretera con una velocidad de diseo dada en kilmetros por hora, bastar dividir sta por 1.8 Y el resultado se podr aproximar al mltiplo de 5 metros ms prximo. El valor de 1.8 se obtiene multiplicando por 2 el resultado de la conversin de unidades.

En curvas de radio muy pequeo - De acuerdo a la transicin del sobreancho

Cuando se trata de curvas de radio rrnimo para ser recorridas a muy baja velocidad, la curva no puede ser sensiblemente peraltada (si se trata de un cruce) y las aceleraciones normales son despreciables, por lo que las preocupaciones para justificar los enlaces de curvarura continua desaparecen. En este caso, la necesidad de introducir progresivamente el sobreancho obliga a trazar el borde interior de la calzada con una curva espiralizada o de curvarura progresiva. El estudio terico del movimiento en una curva de pequeo radio de un vehculo de cuatro ruedas, demuestra que, especialmente si el giro es rpido, las ruedas posteriores siguen una trayectoria de curvatura progresiva. En el caso de un vehculo articulado (camin + semirremolque) las condiciones de entrada y de salida de una curva son muy diferentes, y se obtienen para las curvas que determinan el glibo una forma rusimtrica. El diseador debe tener en

43

._--

cuenta estas consideraciones al proyectar una curva de enlace, especialmente cuando dispone de poco espacio, debido, por ejemplo, a obstculos, construcciones, etc.. Esto obliga a trazar el borde interior de la calzada en foona de un arco de crculo central, con dos curvas de enlace.

La AASHTO da recomendaciones para el valor mnimo que debe tener el radio del arco cen tral de acuerdo al ngulo de deflexin y al tipo de los vehculos. Tambin considera que, en las curvas con transicin, el sobreancho puede hacerse en el borde interior de la curva o puede dividirse por igual entre el borde interior y el borde exterior; dicha transicin debe realizarse en una longitud lo suficientemente larga para que la calzada pueda ser utilizada totalmente. Desde el punto de vista de la utilidad y apariencia, el borde de la calzada en la transicin del sobreancho debe ser una curva suave, continua y deben evitarse los quiebres tangenciales.

El MOPT considera que la aplicacin del sobreancho deber efectuarse en el borde interior de la curva y recomienda los valores que ste debe tener de acuerdo con el radio de curvatura, el ancho de la calzada y la velocidad de diseo; para lograr la utilizacin ptima del sobreancho y una mejor apariencia de la carretera, considera la necesidad de distribuirlo sobre el tramo de transicin del peraltado, suavizando todo ngulo pronunciado que se presente.

En las curvas con espiral se coloca la tranSicin del sobreancho entre el TE y el EC, a continuacin, entre el EC y el CE se coloca en su totalidad y de nuevo la transicin de salida se efecta entre el CE yel ET.

La transicin del sobreancho por medio de espirales a la entrada y a la salida de las curvas, adecuadamente diseadas,

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garantizan un alineamiento continuo en los bordes de la calzada.

En "curvas de violn" o "curvas bombillo" de carreteras en terreno n tAl'rAno___~. escarpado

Para trazar una carretera tramos de pendientes f por medio de trayectos curvas con deflexiones de el espacio disponible reducido, a pesar de que de tierras, y los radios valores muy prximos a poder trazar estas carretera preciso a veces trazar resulta la foona carac bombillo".

Con el fin de reducir al en estas curvas, aun s

y dife

debern analizarse con curva, el radio mnimo en los bordes interior ocasionada por la circulares in terior y e transicin en dichos transicin es menor en mximo del peralte, la para el sobreancho.

En estas curvas, la importante, de foona vehculos ms volu.rniiJ.

---~---

cuenta estas consideraciones al proyectar una curva de enlace, especialmente cuando dispone de poco espacio, debido, por ejemplo, a obstculos, construcciones, etc.. Esto obliga a trazar el borde interior de la calzada en forma de un arco de crculo central, con dos curvas de enlace.

-:iones para el valor mnimo

~n tral de acuerdo al ngulo

~ulos. Tambin considera

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~xterior; dicha transicin 'ficientemente larga para mente. Desde el punto

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.spirales a la 'e diseadas,

garanuzan un alineamiento cononuo en los bordes de la calzada.

En "curvas de violin" o "curvas bombillo" de carreteras en terreno montaoso y en terreno escarpado

Para trazar una carretera en una montaa es preciso, en los tramos de pendientes fuertes, construirla en forma de zigzag, por medio de trayectos cortos de gran pendiente unidos por curvas con deflexiones de hasta 180. En terreno escarpado, el espacio disponible para trazar la curva es a veces muy reducido, a pesar de que se realicen importantes movimientos de tierras, y los radios de las curvas son iguales o tienen valores muy prximos a los mnimos preestablecidos; para poder trazar estas carreteras en los flancos de las montaas, es preciso a veces trazar 'ngulos de ms de 180, de donde resulta la forma caracterstica de las llamadas "curvas bombillo".

Con el ftn de reducir al mnimo posible las incomodidades en estas curvas, aun siendo las velocidades muy reducidas, debern analizarse con extremada rigurosidad: el radio de la curva, el radio mnimo en el borde interior, las pendientes en los bordes interior y exterior (diferencia de pendientes ocasionada por la diferencia en longitudes de las curvas circulares interior y exterior), las longitudes de las espirales de transicin en dichos bordes 0a necesidad del desarrollo de la transicin es menor en el interior que en el exterior), el valor mximo del peralte, la magnitud y la posicin ms adecuada para el sobreancho,

En estas curvas, la calzada debe tener un s breancho importante, de forma que permita la inscripcin de los vehculos ms voluminosos. El peralte deber introducirse

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progresivamente y de tal fonna que sea constante en toda la

extensin de la curva circular; deber descartarse la

. introduccin brusca del peralte para evitar cambios

inadecuados de pendientes en el borde interior de la calzada.

Para facilitar la construccin de estas curvas es preciso a veces desviarse un poco de las nonnas relacionadas con las curvas ordinarias: colocar el sobreancho casi totalmente por el borde exterior; construir, en las curvas a la derecha subiendo, la seccin transversal con dos pendien tes en la que nicamen te se peralte el carril exterior; empezar, en casos excepcionales, el peralte en la parte recta.

De todas maneras, sera mucho mas incmodo pasar bruscamente de la recta a la curva circular por lo que se impone la necesidad de utilizar curvas de transicin.

El problema del trazado de estas curvas es, por lo canco, delicado y debe resolverse con el mayor cuidado, para que la carretera no resulte peligrosa.

En general, las longitudes necesarias de las espirales estn determinadas, en la mayora de estos casos, por valores establecidos como mnimos para dichas transiciones, valores que se obtienen tal como se describe en la secc:>n ," De acuerdo a la recomendacin de la AA5THO".

En intersecciones En intersecciones se tienen en cuen ca, generalmen te , las

consideraciones expuestas en las secciones anteriores. Se debe dar proridad a la comodidad del vlaje y a la apariencia de la carretera por medio del control en el cambio de pendiente de la seccin transversal.

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En una interseccin, en la separacin o en la ~n ~e una calzada a otra va, es importante el diseo de los aline~entos en los bordes /' --- .J__A... AQt,Q~ ~t..

La

----- ._-- - --- ~--- ~

progresivamente y de tal forma que sea constante en toda la extensin de la curva circular; deber descartarse la ~troduccin brusca del peralte para evitar cambios madecuados de pendientes en el borde interior de la calzada.

Para facilitar la constnlCcin de estas curva es preciso a veces desviarse Uf" de las normas relacionadas con las curvas orcl; ~ obreancho casi totalmente por el

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El segundo criteno es el ms unlizado y la longttud mnuna que debe tener la espiral se obtiene por medlO de la frmula de Shortt (2-18), Le~V3I 46.66CRc , en la que e vara desde 0.75 mi S2 hasta 1.25 mi S2 para \"elocidade entre 80 y 30 Km./h respectivamente.

En vas urbanas de baja velocidad Los conductores en vas urbanas estn habItuados a tolerar

coeficientes de friccin mayores en las curvas; esto puede ser motivado por el hecho de que las vas urbana son recorrida

El segundo criterio es el ms utilizado y la longItud minuna que debe tener la espual se obtiene por medio de la frmula de Shortt (2-18), Le~V3I 46.66CRc , en la que e varia desde 20.75 m/8 hasta 1.25 m/82 para \-elocidades entre 80 v 30 Km./h respectivamente . .

En vas urbaop - ~~ baja velocidad Los OV' urbanas estn habItuado ' a tolerar

'ores en las curvas; esto puede ser e las vas urbanas son recorrida ~ tan con mucha frecuencia y po r ,ste conocimiento da mavor 'e\'a a considerar como p~C()

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en el diseo \. en la ostrado yue no son U%. en especial por

conductores que )s deben aCCIonar curva, con el

. s de que Ue\'a a \Ca. Tambin '"ena}e de la \'a

AASHTO vas rurales. Pblicas y

Transportes de Colombia. Para vas urbanas, teniendo en cuenta las menores velocidades que nonnalmente se presentan en estas y las dificultades que se tienen, al tratar de poner peraltes altos, con los paramentos de las edificaciones adyacentes, con las otras vas que se cruzan con la que se est diseando o con las que sirven de acceso a las propiedades aledaas, etc., la AASHTO propone que puede bajarse el mximo hasta el 4 o hasta el 6% en donde se presenten tales dificultades. Cuando dichas dificultades no se presenten no hay ninguna razn vlida para no utilizar un peralte mximo del 10% y debe utilizarse este.

Puede decirse que en todas las carreteras rurales de una relativa importancia (independientemente de su velocidad de diseo) y en todas las autopistas urbanas donde la velocidad sea relativamente alta (mayor de 64 kph.) las curvas horizontales se deben disear con transiciones, con peralte y con el sobreancho resultantes de los requerimientos establecidos.

Si en la ecuaClOn bsica para el clculo del peralte, e+f=y2I 127Re , en la que ninguna parte de la fuerza centrifuga se contrarreste con el peralte hasta que no se haya alcanzado el coeficiente de friccin mximo permisible, se despeja Re y se reemplaza en la fnnula de Shortt, ecuacin (2-18), se obtiene:

(2-22)

ecuacin correspondiente a la dada por la AASHTO para la longitud que debe tener la espiral en vas urbanas de baja velocidad.

49

IlNlVERSIOM> NACIONAL

Para las vas de alta velocidad de diseo se especifica una diferencia mxima de pendientes entre la de los bordes y la dd eje de transicin, por razones de apariencia; para las vas urbanas de baja velocidad este criterio se deja a un lado y se utiliza la frmula anterior con los siguientes valores de f y de c:

Velocidad de diseo f k.p.h.

32 0.30 1.20 40 0.25 1.14 48 0.22 1.07 56 0.195 1.00 64 0.164 0.91

Las longitudes mnimas establecidas por medio de la aplicacin del criterio anterior pueden ajustarse por la s condiciones impuestas relacionadas con la comodidad, el drenaje v la esttica.

En carreteras de ms de dos carriles, sin y con separador central

La determinacin de las longitudes mnimas de las espirales para carreteras con ms de dos carriles est sujeta a las mismas consideraciones tericas relacionadas con las de dos carriles. Desde este punto de vista las longitudes de las espirales para carreteras de cuatro carriles deberan ser el doble ue las obtenidas para dos carriles y para las de seis carriles seran el triple; estas longitudes son las ms adecuadas , especialmente cuando esta longitud se utiliza para efectuar la transicin del peralte, pero no se acostumbra obtenerlas por medio de esta relacin directa. La mayora de ingenieros estn de acuerdo en que las espirales, en estos casos, deben ser mayores a las obtenidas para carreteras de dos carriles pero no aceptan el criterio de la proporcionalidad entre la longitud y el ancho.

50

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empezar a