la hiperbola
3
GEOMETRÍA ANALÍTICA Fernando Miranda / Elías Irazoqui. La Hipérbola . DEF. La es el conjunto de puntos del plano que cumplen con: Hirérbola ‡ P(x, y) − ‡ Í la diferencia de las distancias a dos puntos fijos es constante.. Los puntos fijos se llaman focos. Sean estos F F y 2 la " # Ð -ß !Ñ C Ð-ß 9Ñß + diferencia constante, con - +Þ es la Las ecuaciones de las directrices son: Bœ Bœ ß/ + + / / y excentricidad, cuyo valor es: los vértices son, como se /œ " - + à aprecia del dibujo anterior: V y V . " # Ð+ß !Ñ Ð+ß !Ñ El eje focal es la recta que pasa por los focos. El segmento V V es el eje transverso. El punto medio de este corresponde al " # centro de la hipérbola. El lado recto se define de igual manera que en la parábola y la elipse.
-
Upload
marco-saldias -
Category
Documents
-
view
212 -
download
0
description
geometria analitica
Transcript of la hiperbola
GEOMETRÍA ANALÍTICAFernando Miranda / Elías Irazoqui.
La Hipérbola .
DEF. La es el conjunto de puntos del plano que cumplen con:Hirérbola ‡
P(x, y) − ‡ Í la diferencia de las distancias a dos puntos fijos esconstante..
Los puntos fijos se llaman focos. Sean estos F F y 2 la" #Ð -ß !Ñ C Ð-ß 9Ñß +diferencia constante, con - +Þ
es laLas ecuaciones de las directrices son: B œ B œ ß /+ +/ /y
excentricidad, cuyo valor es: los vértices son, como se/ œ "-+ à
aprecia del dibujo anterior: V y V ." #Ð+ß !Ñ Ð+ß !Ñ
El eje focal es la recta que pasa por los focos. El segmento
V V es el eje transverso. El punto medio de este corresponde al" #
centro de la hipérbola. El lado recto se define de igual manera que en
la parábola y la elipse.
El segm nto B B B y B se llama eje/ -98 Ð!Þ ,Ñ Ð!ß ,Ñ" # " #
conjugado.
Teor. 1 Hipérbola. F F La ecuación de la de focos: y" #Ð -ß !Ñ C Ð-ß !Ñ2a el valor absoluto de la diferencia constante es:
B+ ,
C#
# #
#
œ " Ð"Ñ
donde , œ + -# # #
Demostración.
P(x, y) P(x, y) F P(x, y)− ß Ð -ß !ÑÑ .Р߇ Í .Ð # F"Ð-ß !ÑÑ œ #+
È ÈÐB -Ñ C ÐB -Ñ C œ #++ # # # #
È ÈÐB -Ñ C œ #+ ÐB -Ñ C Î ÐÑ# # # # #
-B + œ + ÐB -Ñ C Î ÐÑ# ## #È
ÐB -Ñ C œ %+ %+ ÐB -Ñ C ÐB -Ñ C# # # # ## #È
- B #+ -B + œ + Ð ÐB -Ñ C Ñ# # # % # # #
B Ð- + Ñ + C œ + Ð- + Ñ# # # # # # # #
, B + C œ + ,# # # # # #
B+ ,
C#
# #
#
œ " Þ
Teor. 2 F (0.-c) y F (0,c) La ecuación de la Hipérbola de focos y diferencia" #
constante es:2a
C+ ,
B#
# #
#
œ " (2)
Demostración. Ejercicio.
Obs. En el caso anterior las directrices corresponden a ecuaciones de la forma C œ +
/
C œ +/Þ
La longitud del lado recto es: #,#
+ Þ
Teor. $ La ecuación de la hipérbola de centro C(h,k) y eje transverso paraleloal eje X,mayor paralelo al eje X, de longitud 2a y focos F (h-c, k) y F (h+c,k)" #
es:
( - h) ( - k)B C+ ,
# #
# # œ " (3)
donde , œ - + Þ# # #
Demostración. Ejercicio.
Teor. 4 La ecuación de la Hipérbola de centro C(h,k), eje trnsverso paraalelo al eje Y, delongitud 2a, con focos y F (h, k-c) F h, k+c) es:" #Ð
( ) ( )C 5 B 2
+ ,
# #
# # œ " Ð%Ñ
Demostración. Ejercicio.
Teor. 5 Toda hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados, tiene una representaciónalgebraica de la forma:
E FC HBICJ œ !x # # (5)
Y, toda ecuación como la anterior, representa una hipérbola, siempre que A y B tengan el mismo
signo.
Demostración.Ê Basrta desarrollar las ecuaciones (3) y (4).
É Completar cuadrados en x e y.
