La hipérbola

Matemáticas Preuniversitarias

Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

La hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los

puntos (x,y) en el plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias de (x,y) a un par de puntos fijos distintos (los focos) es igual a una constante.

Representamos a los focos como F(c,0) y F’(-c,0) y a la constante como 2a. Si (x,y) representa un punto de la hipérbola, que se muestra a continuación:

aycxycx 22222

aycxycx 22222

222222222 4422 aycxayccxxyccxx

2

222222 22

a

xccxayccxx

2222

2

22

acyxa

ac

122

2

2

2

ac

y

a

x

cxaycxa 444 222

a

cxaycx 22

En el triángulo PCC’ de la figura anterior

Sea b2=c2-a2

Entonces

'' CCPCPC

'' CCPCPC

ca 22 ca

022 ac

12

2

2

2

b

y

a

x

El eje x que contiene dos puntos de la hipérbola se llama eje transversal; el eje y, eje conjugado.

Los puntos (a,0) del eje transversal son los vértices, y el punto de intersección de los ejes (0,0), se llama centro.

Un punto (x,y) está en la hipérbola con vértices (a,0) y focos (c,0) si y solo si satisface la ecuación

• En la cual b2=c2-a2. • Para toda hipérbola existen dos líneas a las que la

curva se acerca cada vez más en sus extremos. A estas rectas se les denomina asíntotas.

• Debemos decir que las parábolas no tienen asíntotas, por consiguiente , una hipérbola no es, como podría suponerse al ver diagramas mal trazados, un par de parábolas.

12

2

2

2

b

y

a

x

La hipérbola representada por

Multiplicamos el numerador y el denominador por y obtenemos

Tiene asíntotas representadas por

Vamos a suponer que

Para valores positivos de x (primer cuadrante). Para un valor dado de x veamos la diferencia d, entre las ordenadas de los puntos de la hipérbola y la recta.

12

2

2

2

b

y

a

x 22 axa

by

xa

by

22 axa

by x

a

by

2222 axxa

bax

a

bx

a

bd

2222

222

axx

ab

axx

axx

a

bd

22 axx

, o,

y

Ahora tenemos una constante en el numerador; pero, cuando los valores positivos de x son grandes, ambos términos del denominador son grandes y positivos.

Mientras mayor es el valor de x, mayor es el valor del denominador, y , por consiguiente d es menor. Sí d tiende a cero cuando aumenta x, lo cual demuestra que la recta es una asíntota de la hipérbola. En el caso de los otros tres cuadrantes se pueden emplear razonamientos semejantes para demostrar que sucede los mismo en ellos.

Una forma cómoda de trazar las asíntotas es graficar (a,0) y (0, b) (aunque el segundo par de puntos no pertenece a la hipérbola) y trazar el rectángulo determinado por los puntos. Las diagonales de ese rectángulo son las asíntonas.

En este caso hay dos lados rectos que contienen los focos y son perpendiculares al eje transversal.

Propiedades de la hipérbola.

1. La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, la recta focal y la mediatriz del segmento focal son ejes de simetría.

2. El punto de intersección de las dos rectas antes mencionadas es el centro de simetría de la curva, el cual se conoce como centro de la hipérbola.

3. Intersección con los ejes coordenados.

Intersección con los ejes coordenados

a)      Con el eje x Sea y=0 entonces x2/a2=1

x= a A partir de este resultado se

observa que en el eje focal existen dos puntos, V’(-a,0), V(a,0) que se denominan vértices y equidistan una distancia a del centro.

b)     Con el eje y Sea x=0 entonces –y2/b2=1, por lo tanto, y= bi. La intersección con el eje y es imaginaria, por tanto, no hay intersección

con el eje real y la hipérbola no corta su otro eje de simetría; y se le conoce como eje conjugado de la hipérbola.

Interpretación geométrica de a, b y c Considere la figura que se

muestra De la figura se observa que

c2=a2+b2

a es la distancia media entre los dos vértices de la hipérbola, semieje transverso.

se define como eje conjugado, por tanto b representa la mitad de este eje.

c se considera como una hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son a y b, se define como la semidistancia focal, OF

bBB 2'

Excentricidad de la hipérbola

Se conoce como excentricidad de la hipérbola a la relación que existe entre la distancia focal y la distancia entre los vértices.

a

ce

2

2

a

ce donde e>1

Asíntotas de la hipérbola

Para una curva dada existe una recta que a medida que un punto de ella se aleja del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece, es decir, tiende a cero; a dicha recta se le denomina asíntota.

En la figura se observa que las rectas diagonales del rectángulo MNRS tienen por ecuación

Por otro lado, de la ecuación

Al despejar y de esta obtenemos

factorizando

En esta última ecuación, el valor de y para valores muy grandes de x se reduce a

xa

by

12

2

2

2

b

y

a

x

2

22 1

x

ax

a

by

2

2

1x

ax

a

by

xa

by

Puesto que tiende a cero;

de la curva

siempre será menor que el valor de

sin embargo el radicando

siempre será menor a uno, por lo tanto también será la raíz

cuadrada. De aquí que el valor

, que corresponde a

la recta.

2

2

b

a

2

2

1x

a

2

2

1x

ax

a

by

xa

by

De lo anterior se puede concluir que las diagonales y

con ecuaciones , son las asíntotas de la curva.

MR SN

xa

by

Lado recto La longitud de la cuerda que pasa por el foco y es

perpendicular a la recta focal se llama lado recto.

De la figura observamos que para obtener la mitad del lado recto

Al sustituir el valor de x por c en la ecuación

despejando y

FLy

112

2

2

2

2

2

2

2

b

y

a

c

b

y

a

x

12

222

a

cby

sustituyendo

Si ahora sustituimos el valor de y en la expresión,

tenemos , pero el lado recto es el segmento

y además por tanto, por lo cual

concluimos que el valor del lado recto está dado por

obteniendo

pero

22 aca

by

222 bac

a

byaab

a

by

2222

FLy

FLa

b

2

FRFLLR

FRFL FLLR 2

a

bLR

22

Recta directriz de la hipérbola

Análogamente a la elipse las correspondientes rectas directrices están dadas por

, o bien,

es decir son simétricasc

ax

2

c

ay

2

Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen y eje focal paralelo al eje y

Focos en el eje y equidistantes al origen

Ecuación de la hipérbola

Ecuaciones de las asíntotas

xb

ay

12

2

2

2

b

x

a

y

Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x

Hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x.

Ecuación de la hipérbola

Ecuaciones de las asíntotas

'FF

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

hxb

aky

Coordenadas de los elementos que la construyen

kahV ,'

kchF ,

kchF ,'

aVV 2' b2 cFF 2' a

bLR

22

a

ce

Vértices Focos Eje transverso

Eje con jugado

Distancia focal

Lado recto

Excentricidad

kahV ,

Ecuación ordinaria de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y

Hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y.

Ecuación de la hipérbola

Ecuaciones de las asíntotas

'FF

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

hxb

aky

Coordenadas de los elementos que la construyen

akhV ,'

ckhF ,

ckhF ,'

aVV 2' b2 cFF 2' a

bLR

22

a

ce

Vértices Focos Eje transverso

Eje con jugado

Distancia focal

Lado recto

Excentricidad

akhV ,

Ecuación general de la hipérbola

La ecuación general de la hipérbola cuyos ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados está dada por

en ella es condición necesaria que el producto xy=0, y que los coeficientes A y C de las variables x y y sean de signos contrarios y diferentes de cero.

A partir de su ecuación general, si se completan cuadrados tenemos lo siguiente.

o bien,

022 FEyDxCyAx 022 FEyDxAxCy, o bien,

FC

E

A

D

C

EyC

A

DxA

4422

2222

FA

D

C

E

A

DxA

C

EyC

4422

2222

En cualquiera de las dos ecuaciones, el valor del segundo miembro determina el lugar geométrico que representa.

CASO 1

CASO 2

CASO 3

>0, o bien, >0, el lugar geométrico

que representa es la hipérbola.

, o bien, ,se tendrá un punto

en el plano.

FC

E

A

D

44

22

FA

D

C

E

44

22

044

22

FC

E

A

D0

44

22

FA

D

C

E

<0, o bien, <0, no representa el lugar

geométrico llamado hipérbola.

FC

E

A

D

44

22

FA

D

C

E

44

22

Ejemplo

De la ecuación general 9x2-4y2+90x+189=0. Determina la posición de su eje transversal y las coordenadas del centro.

Solución

Factorizamos términos comunes 9(x2+10x) -4y2=-189

Completamos cuadrados

Factorizamos y simplificamos

Multiplicamos por 1/36

Concluimos que su eje transversal es paralelo al eje y. Las coordenadas del centro C(-5,0) por tanto, se encuentra fuera del origen.

9(x+5) 2 -4y2=36

2

2

2

2

2

1091894

2

10109

yxx

1

94

5 22

yx