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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 102, Nº. 1, pp 229-250, 2008IX Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

LA IMPORTANCIA DE LA FILOSOFÍA PARA MATEMÁTICOS,FÍSICOS E INGENIEROSDARÍO MARAVALL CASESNOVES *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

Estoy convencido de la importancia que tiene parael Matemático, el Físico y el Ingeniero la formaciónfilosófica y humanista, aunque creo que es muyposible hacer una ciencia, incluso ciencia muy impor-tante, sin saber filosofía ni historia. Pero si se pres-cinde de ellas, por grande que sea el valor intrínseco delos descubrimientos científicos, estos quedan incom-pletos. Me parece que los métodos filosóficos sonútiles instrumentos de investigación en manos de uncientífico. A su vez una filosofía Natural hecha aespaldas de la Ciencia, sin conocer de cerca y pordentro las complicaciones de los mecanismos de losproblemas científicos, queda vacía y con poco valor.

No sólo la filosofía sino también las Humanidadesson fundamentales para el científico y en especial laHistoria. Cicerón definía la Historia como “maestra dela vida” y creo que se puede extender esta idea a laHistoria de la Ciencia, y definirla como maestra de loscientíficos. El conocimiento histórico es una granayuda en la labor científica.

Expondremos y analizaremos los temas de la exis-tencia de la matemática, de los fenómenos hereditariosy con memoria, en cuya evolución influye no sólo supresente, sino también su pasado más remoto. Losfenómenos que hemos llamado teleológicos, en los queinfluye el futuro sobre el presente. Nos hemos ocupadode la incertidumbre y del indeterminismo, que puedeser de primera y de segunda especie; del error y de laprobabilidad. En todas estas cuestiones se mezclan laFilosofía y la Ciencia.

Hemos encontrado fenómenos, que aunque estric-tamente deterministas en su evolución, al estudiarlos

para llegar a su conocimiento, nosotros mismos losconvertimos en probabilistas, como consecuencia denuestros errores en las medidas que realizamos. Tal esel caso de las ecuaciones en diferencia finitas y de lasecuaciones diferenciales con valores iniciales alea-torios, materias sobre las que hemos investigado ypublicado en alguno de nuestros libros y en memoriasen Revistas. El error lleva a la probabilidad.

Haremos referencia a los últimos objetos matemá-ticos descubiertos, como son los fractales, en los quehemos distinguido los numéricos y los geométricos yen los que hemos introducido los fractales físicos. Enun libro inédito todavía que llamamos “Teoría Físico-Matemática y Aplicaciones de los Fractales” de unastrescientas cincuenta páginas hemos extendido elcálculo diferencial e integral, las probabilidades, lageometría de masas y la dinámica a los fractales.

También haremos referencia a las ecuaciones dife-renciales fraccionarias, y al cálculo fraccionario. Enlos años cincuenta en la Revista de la Real Academiade Ciencias, nos ocupamos por primera vez de laobtención de una nueva ecuación característica quedesempeña para las ecuaciones diferenciales frac-cionarias lineales de coeficientes constantes el mismopapel que la muy conocida de las ecuaciones diferen-ciales enteras. En las fraccionarias que son semienteraslas funciones de error integral desempeñan el mismopapel que la función exponencial en las enteras.Resolvimos ya entonces los problemas de integración,de resonancia y de estabilidad para las semienteras.Actualmente en un libro todavía inédito titulado“Ecuaciones Diferenciales e Integrales Fraccionarias.Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias”

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de algo más de doscientas cincuenta páginas expone-mos nuestras investigaciones sobre esta materia. En laRevista de la Real Academia de Ciencias en el 2003 yel 2005 pueden verse el índice y algunos resultados delantecitado libro.

En el libro “Los estudios de un joven de hoy” devarios Autores, publicado por la Fundación Univer-sidad-Empresa en 1982 dedicado al Príncipe deAsturias en el capítulo “La Ingeniería y la Técnica”escrito por mí y en el libro conmemorativo del cin-cuentenario del Instituto José Ribera de Jativa en 1983que contiene mi conferencia sobre “La formaciónmatemática de los ingenieros”; en ambas publica-ciones expongo una línea de pensamiento parecida a lade esta conferencia.

En el transcurso del tiempo, las matemáticas hanido invadiendo cada vez con mayor intensidad elcampo de las ciencias aplicadas, ya no sólo la mecá-nica y las distintas ramas de la física, la astronomía yel cálculo de probabilidades, sino también la geología,la química, la cosmología e incluso ciertas partes de laeconomía y de la biología. En la ultima colaboraciónde las matemáticas y de las ciencias aplicadas seobserva uno de los ejemplos mas notables y claros desimbiosis científica; de las ultimas toman las primerasun problema concreto y particular, el cual mediante unproceso de abstracción y generalización con el con-curso de hipótesis simplificadoras, gracias a las cualesresulta accesible el estudio de los complejos fenó-menos naturales (que si no fuera por esta simplifi-cación a causa de su misma espantosa complejidadharían estériles los esfuerzos del talento humano), seconvierte así en el origen de un nuevo capitulo de lasmatemáticas; son a modo de inyecciones que vigo-rizan y mantienen siempre joven el viejo y exuberanteorganismo de las matemáticas puras, gracias a la exis-tencia de estos múltiples y variados problemas que hanplanteado y siguen planteando los fenómenos natu-rales, la técnica humana, o la misma vida social, losjuegos de azar, la demografía etc., es como se hapodido conseguir en el transcurso de los siglos uncuerpo de doctrina establecido de una manera rigurosay sistemática sobre bases sólidas con arreglo a lasleyes de la lógica. Mas a cambio de estos beneficiosrecibidos de las ciencias aplicadas, las matemáticasdevuelven a estas sus problemas resueltos y discu-tidos, prevén nuevos fenómenos, y sobre todo guían y

conducen a estas ciencias por el buen camino, indicán-doles cuáles son los senderos estériles que no con-ducen a resultados fructíferos, como la imposibilidadde máquinas que realicen el movimiento continuo, yen que direcciones es posible obtener resultados satis-factorios. Si Einstein no hubiera demostrado en losprimeros años del siglo XX la equivalencia entre masay energía, es muy posible que los físicos no hubieranpensado nunca en la posibilidad de utilizar la granfuente de energía que hoy llamamos nuclear.

Creo que muchas ramas de las matemáticas quizásno se han desarrollado todavía, y que otras se handesarrollado tardíamente, porque no se han presentadoen la etapa inicial de las ciencias aplicadas problemasque requieran para su solución el conocimiento detales materias; así por ejemplo, el gran retraso con quese han iniciado las geometrías no euclídeas.

Otras veces, las abstractas teorías matemáticas per-manecen como algo que existe en la mente de losmatemáticos, sin ninguna razón práctica de existencia,pero después de un plazo de tiempo más o menoslargo, parece como si estas ideas y métodos desper-tasen de su letargo, y bajasen al mundo real, fecundasy llenas de vida a ser la varita mágica que resuelve unintrincado problema de la naturaleza que si no hubiesesido por esta teoría matemática hubiera seguido siendoun misterio para la mente humana; así el cálculo ten-sorial y el cálculo diferencial absoluto de Ricci y Levi-Civitta, elaborado en plena abstracción y pureza cien-tífica, hizo posible que el genio de Einstein desarro-llara la Teoría de la Relatividad.

Si hojeamos algunas de las grandes revistas deciencias aplicadas: estadística, física, ingeniería etc.,observamos que algunos artículos están llenos de fór-mulas, otros casi por completo carecen de ellas, y enunos y otros se tratan cuestiones similares; respondeello al gran adelanto conseguido en los tiemposactuales por el método matemático y por el experi-mental; desde el momento en que existen dos métodosy los dos son fuentes de resultados correctos, surgeinevitablemente las competencia entre ellos y lapolémica sobre la excelencias de unos y otros, sobre acuál hay que conceder prioridad, polémicas que a mijuicio, más confunden que aclaran, y que general-mente plantean una interrogante absurda y pueril. Sedebe única y exclusivamente a la coexistencia de

ambos métodos el extraordinario desarrollo de laciencia moderna. Si el hombre de ciencia únicamentehubiera dispuesto de uno de ellos, seguramentehubiera naufragado en el proceloso mar de la investi-gación, quizás Newton parafraseando sus humildes ygrandiosas palabras, ni siquiera hubiera podido des-cubrir una bella concha escondida entre las arenas dela playa del océano de la verdad. Imaginad cómo surefinamiento técnico puede ocasionar y ocasiona ungran adelanto del pensamiento científico, porque eldescubrir un nuevo hecho permite abandonar unasteorías científicas por erróneas e incompletas o con-firmar otras por poder explicar o prever un nuevofenómeno, incluso resucitar antiguas teorías. Las expe-riencias de Lenard sobre el efecto fotoeléctrico condu-jeron a Einstein a resucitar, rejuvenecida y reformada,la antigua concepción corpuscular de la luz deNewton. El experimento Michelson-Morley, paradeterminar la velocidad absoluta de la Tierra en el éter,obligó a cambiar la antigua mecánica clásica por la rel-atividad restringida.

Por el contrario, el conocimiento de una teoríamatemática adecuada permite al Técnico la soluciónde un problema concreto y determinado, de otra formairresoluble o soluble con un esfuerzo mucho mayor detrabajo e ingenio, al modo como la geometría analíticaelemental permite la obtención de un lugar geométricode manera más sencilla, más mecánica que lageometría elemental. La aplicación de matemáticaspuras permite desarrollarse en proporciones muchasveces imprevisibles ciertas ciencias aplicadas, así si nohubiera sido por esta razón el cálculo de probabili-dades seguiría únicamente ocupándose de variantes dela pregunta del caballero de Meré a Pascal, es decir,aplicaciones del análisis combinatorio elemental a lasolución de las ocurrencias de cualquier jugador deazar. Por la acción de las Matemáticas puras el cálculode probabilidades ha sido elevado de los garitos de lostahúres a las más altas esfera del pensamiento puro.

Por consiguiente el conocimiento de las matemá-ticas puras es muy conveniente al hombre, porque lepermite poder abarcar con una gran economía de pen-samiento cuestiones muy diversas y complejas, que deotra forma sería casi imposible retener en la mente. Verlas correspondientes analogías que existen entre unproblema de física nuclear o de propagación dirigidade ondas, de geología matemática o de estadística. Las

matemáticas son un lenguaje que hay que conocer parapoder entender las nuevas técnicas superiores, porquesin ellas es igual que si un ciego pretendiese admirar labelleza de un paisaje. La matematización de la cienciaha sido lenta pero continua, hasta llegar a constituiruna de las actividades fundamentales de nuestra época;ya no solamente la Física sino que también la Química,la Geología, la Economía, la Sociología, hasta laGramática usan cada vez con mayor intensidad losmétodos matemáticos y en algunas partes se hallan tanimpregnadas, tan empapadas de fórmulas y razona-mientos matemáticos, como puedan estarlo la Mecá-nica o la Electricidad. Las Matemáticas se han vueltocon respecto a las demás Ciencias más agresivas quecualquiera de los grandes imperios de la Historia. Eltabú de la incomprensión de las Matemáticas se haroto, más que roto ha saltado en mil pedazos, y en laformación de los futuros científicos la enseñanzamatemática juega un papel cada vez más importante entodos los países civilizados. Gibbs dijo que lasMatemáticas eran un lenguaje, y desde entonces se harepetido con monótona insistencia; aunque se me digaque no es el lenguaje ordinario en que suele hablar elpueblo con su vecino, como decía Gonzalo de Berceo,no me parece que sea solamente un lenguaje; es másbien un modo de pensamiento, una manera de razonarmuy especial; una forma de plantear los problemas, depreguntar por el ser de las cosas, que ofrece al hombrela máxima seguridad en la certeza de los conoci-mientos adquiridos, y la máxima precisión en loslímites de lo verdadero, y en la confianza racional quepodemos depositar en nuestro saber. Pero además, loque es también muy importante, es el método matemá-tico, uno de los más potentes en el acceso al mundo delo desconocido, una de las guías más eficaces de eseeterno caminar por un laberinto, que es el aprender delos humanos.

Cuando Russell define con humor, pero con con-vicción a las Matemáticas como la ciencia que no sabede lo que trata, ni si lo que dice es verdad o mentira, serefiere con ello a que se parte de ciertos postulados quese admiten como verdaderos y mediante ciertas opera-ciones conocidas y bien definidas, que actúan sobreelementos de naturaleza desconocida, se va obteniendouna cadena de teoremas que constituyen una teoríamatemática dada. Al ser los elementos de naturalezadesconocida, es por lo que Russell dice que lasMatemáticas no saben de qué tratan, y por ser los teo-

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remas verdaderos, únicamente si los postulados lo son,es por lo que dice que ni siquiera saben si lo que dicees verdad. Eddington ha radicalizado esta actitud deRussell, es aún más extremista cuando define la teoríade grupos como la supermatemática, porque ademásde cumplir las mismas condiciones que las restantesteorías matemáticas para la definición de Russell, tieneademás una característica esencial que la distingue, yes que ni siquiera conoce la naturaleza de las opera-ciones que se efectúan sobre los elementos a los que seaplican, que también son desconocidos. CuandoEddington escribía sobre esta materia, los físicos, omejor dicho la mayoría de ellos, creían en la posi-bilidad de encerrar todos los conocimientos de laFísica, a pesar de su aterradora amplitud, en losestrecho moldes de la teoría de grupos, empresa mássobrehumana que la de encerrar todo el agua del maren una botella. Es una constante histórico cultural, queperiódicamente, aún antes de empezar los fenómenospropios de la barbarie de la civilización, los másgrandes científicos y filósofos pretenden encerrar eltodo en una de sus partes, un conjunto en uno de sussubconjuntos; parece como si el fanatismo y la supers-tición estuvieran anclados en lo más profundo de lamente humana, con tal fuerza y vitalidad, que ni el másgrande talento es capaz de desarraigarlo, como sifuesen la huella indeleble, la reminiscencia imborrableque ha dejado en la mente del hombre su paso previopor formas más primitivas en tiempos remotos.

Creo que las Matemáticas saben de lo que tratan, ysi lo que dicen es verdad o mentira; incluso llegan adelimitar con toda precisión los contornos de suverdad, dentro de los límites y en que determinadascondiciones son verdaderos sus teoremas y proposi-ciones, y cuándo dejan de serlo, al modificarse los fac-tores que condicionan su verdad. No tratan losmatemáticos con verdades absolutas, sino con ver-dades relativas, con verdades condicionales; otra tarea,en extremo difícil, es hallar la correspondencia, losisomorfismos entre el universo puro de los matemá-ticos y los múltiples universos de sus aplicaciones,porque esa tarea llega a confundirse con la preguntapor el ser, la pregunta por la cosa, lo cual ya es hacerMetafísica. Por mucho que los científicos y los filó-sofos del positivismo lógico hayan pretendido y siganpretendiendo despojar de Metafísica a la Ciencia, a laFilosofía o a la Lógica, el llegar a dejarlas desnudas deMatemática es tarea prácticamente imposible, son

posiciones asintóticas a las que se tiende, pero que nose alcanzan nunca, por muy sutiles que sean las redesdel Positivismo, siempre dejan algún resquicio paraque se filtre algo de Metafísica, es algo tan difícilcomo lo es en el mundo de la materia, el conseguir elvacío o la temperatura del cero absoluto.

En la íntima colaboración entre las Matemáticas ylas restantes Ciencias, se da uno de los ejemplos másclaros y notables de simbiosis intelectual.

Simplificación, abstracción, generalización y pos-teriormente concretización; he ahí las etapas que sigueel pensamiento científico en su viaje de ida y vuelta,desde el campo de cualquier ciencia al de las Matemá-ticas. Muchos científicos acusan a los modelos mate-máticos de demasiado simplistas, para poder darcuenta de la tremenda complicación de los fenómenosnaturales o de la vida humana, pero es el hecho de queaún con modelos muy simplistas, casi ingenuos en susencillez, se puede encontrar la explicación de impor-tantes leyes de las ciencias de la materia y del compor-tamiento, e incluso predecir nuevas leyes; al igual queen la Política, no hay que olvidar el viejo lema de“divide y vencerás”, en el empleo del métodomatemático en la investigación científica hay que decirsimplifica si quieres vencer, pero tampoco hay queolvidar que la simplificación no es un proceso estático,sino dinámico; que está en constante devenir, esedevenir, ese fluir de la simplificación es la quintaesen-cia del método de las aproximaciones sucesivas;mediante una cadena de simplificaciones, se vasubiendo por la escalera de la complejidad, y así se vaperfeccionando, refinando y progresando en el saber.La simplificación es la modestia del investigador, esun fijarse límites, un restringirse en sus ambiciones,pero tiene su recompensa en su alta productividadcientífica.

Las fronteras entre las distintas Ciencias no estántrazadas de manera clara y distinta, sino que se solapanentre sí, interfieren unas con otras, se funden entre síofreciendo un aspecto de continuidad, de modo que sibien es cierto que cada Ciencia tiene un núcleo clara-mente diferenciado, tiene también una corteza queresulta difícil de precisar si pertenece a ella o pertenecea otra, muchas veces es difícil reconocer si un fenó-meno es económico o social, físico o químico. TodaCiencia tiene sus Ciencias auxiliares y es a su vez au-


xiliar de otra Ciencia, y esta relación de ayuda es tanfuerte que con relativa frecuencia un progreso en laCiencia auxiliar perfecciona a la Ciencia de la que esauxiliar, infinitamente más que un progreso en ellamisma; así por ejemplo un progreso de la Química o dela Genética puede arrastrar consigo un progreso de laFitotecnia, mucho más grande que un progreso de lapropia Fitotecnia; así mismo un avance en las técnicasestadísticas puede arrastrar consigo un avance de laSociología mucho mayor que un avance de la propiaSociología. Este hacer progresar una Ciencia desdefuera de ella, a veces con más fuerza que desde dentrode ella; es un factor cultural que no debe de serolvidado por los rectores de la política científica y dela organización de la enseñanza y de la investigación.

Hasta fecha relativamente reciente los Científicosno han albergado dudas sobre el significado que hayque atribuir a la palabra existencia, y si bien es ciertoque entre los Filósofos ha habido bastante desacuerdoy polémica en torno al problema existencial, estasdiferencias han tenido pocas repercusiones en elcampo de la Ciencia, al igual que las especulacionesfilosóficas sobre el espacio y el tiempo no hantrascendido a la Ciencia hasta la aparición de lasnuevas teorías físicas de la Relatividad y de losCuantos.

Conviene distinguir en el problema existencial dosfacetas, la planteada por el sujeto pensante, el yo, y laplanteada por las cosas, que constituyen la materiaprima a partir de la cual la acción del sujeto pensanteelabora los conocimientos científicos. Respecto a laprimera, la Ciencia, tanto la moderna como la clásica,adopta una actitud que concuerda en todo con la con-cepción cartesiana; al Científico le basta el mero hechode pensar, de lo que se percata a través de su con-ciencia, para admitir sin duda alguna su existencia. Porel contrario la segunda faceta provoca una situaciónmás compleja y que varía en el tiempo.

Los griegos, que tuvieron que crear de la nada losrudimentos de la ciencia para poder realizar su obra,tuvieron que admitir como ciertos una serie de supues-tos, entre los que figuran el principio de causalidad,mediante el cual los fenómenos naturales dejan de sercapricho de los dioses o de la naturaleza, para conver-tirse en efectos necesarios de causas extrahumanas; la

creencia en un mundo objetivo que existe fuera denosotros e independientemente de que el observadorexista o no. El conocimiento científico en los griegosutiliza unos datos que son extraídos del mundoobjetivo mediante la percepción sensible y que elabo-rados en la mente del científico de acuerdo con unasleyes lógicas supuestas verdaderas, se transforman enleyes científicas de validez universal, en el sentido enque son independientes de cualquier volición ocapricho del hombre o de la naturaleza. Comoresultado de la acción de dos facultades distintas, lapercepción sensible y la mente, resulta que el mundoobjeto del conocimiento científico, que es imagen delmundo objetivo, presenta un cierto parecido con él,pero solamente un parecido porque es un mundo deideas, mientras que el otro lo es de fenómenos; seestablece así una correspondencia entre cosas mate-riales e ideas puras, de tal forma que operando única-mente sobre estas últimas se obtienen nuevas ideas queson imágenes de cosas materiales a su vez. En estehecho reside la vitalidad de la Ciencia, porque por sísola, mediante una extrapolación de ideas adquiridasde las cosas mediante la percepción sensible permitellegar a conocer el comportamiento de nuevas cosas.

En realidad a los griegos no les preocupa elproblema existencial planteado por el mundo de lasideas puras, porque ellos lo consideran como unaimagen, como algo que no tiene un significadointrínseco, sino simplemente el que les es inducido porel mundo objetivo. Tan es así, que incluso en laGeometría, en aquel tiempo la más abstracta de lasCiencias y la única establecida sobre bases entera-mente hipotético-deductivas, todas las proposicionesson demostradas teniendo siempre a la vista que hay laposibilidad de materializarlas, de hacerlas tomarcuerpo en el mundo objetivo mediante ciertas cons-trucciones mecánicas más o menos complicadas; poreso el quinto postulado de Euclides (el de las paralelas)que ellos, o algunos de ellos sospechan que pudiera serun teorema de difícil demostración, lo toman comopostulado, bajo la sospecha de que pudiera ser unteorema de demostración todavía ignorada, porqueresponde a un comportamiento de las cosas del mundoobjetivo de percepción inmediata. En resumen losgriegos subordinan el mundo de las ideas puras almundo objetivo, hasta el punto de que cualquier con-tradicción en el primero (o también duda) tratan dedilucidarla recurriendo a la observación del segundo.


Las interesantes paradojas suscitadas por Zenon deElea, así como toda otra especulación similar de losfilósofos griegos, no atañen al problema existencialpropiamente dicho, sino al de la posesión de la verdad.Es importante señalar que ya en los primeros tiemposde la ciencia surgen cuestiones que sugieren clara-mente la imposibilidad del concepto unitario de laexistencia, de la necesidad de recurrir a un conceptomultivalente, nos referimos al descubrimiento de losnúmeros irracionales por Pitágoras; esto números noadmitían una representación concreta en la aritméticade los griegos; a ello alude sin duda alguna el nombrecon que los bautizaron de “alogos”; les causaron unaextrañeza que fue aminorada por el hecho de que comocontrapartida admitían una representación geométricaconcreta y sencilla, tales son por ejemplo y ,cuya representación geométrica es el lado del cuadradoy el del triángulo equilátero inscritos en una circunfe-rencia de radio 1. También los griegos conocieron unnúmero de naturaleza más complicada que es π (elcociente de dividir la longitud de la circunferencia porla de su diámetro). Hoy a y les llamamosnúmeros algebraicos y a π número trascendente.

Combinando el teorema de Pitágoras con el prin-cipio de inducción completa se pueden construirgeométricamente las raíces cuadradas de cualquiernúmero entero n. Por construir geométricamenteentendemos la operación (figura 1) que consiste endado un segmento AB1 cuya longitud se toma comounidad, construir un segmento ABn tal que

. Para ello en la figura 1 se traza porB1 una perpendicular a AB1 y se toma sobre estaperpendicular un punto B2 tal que B2B1 AB1,entonces . Por B2 se traza una perpen-dicular a AB2 y sobre esta perpendicular se tomaun punto B3 tal que B3B2 B1B2, entonces

, y así se continua hasta realizar estaoperación n veces y así se obtiene Bn tal que

. Si los griegos hubieran realizadoesta operación geométrica de paso habrían encon-trado el principio de inducción completa.

En la Edad Media, en la que la Ciencia Naturalsufre un largo periodo de letargo, se llega a laexpresión más perfecta de concepto de existencia en elsentido científico, con la definición escolástica de quelas cosas existen “fundamentaliter in re, formaliter in

mente”. En mi opinión la Ciencia clásica está estruc-turada de acuerdo con el concepto de espacio de losgriegos (Euclides), de existencia de los escolásticos yde tiempo de Newton, el cual da la siguientedescripción de tiempo: “el tiempo absoluto verdaderoy matemático transcurre en sí uniformemente y sinninguna relación con los objetos externos”.

De los filósofos del renacimiento a Kant, no haynuevas aportaciones al problema existencial desde elpunto de vista de la Ciencia Natural; la atención estámás bien desviada hacia las fuentes y métodos delconocimiento científico, y así cuando Kant se refiere alespacio y al tiempo, y a las nuevas proposicionesmatemáticas como juicios sintéticos a priori no arrojaninguna luz sobre el problema existencial, sino simple-mente sobre el origen del conocimiento científico ysobre las interacciones entre el mundo objetivo y el delas ideas puras.

Del sigo IX al XIII los árabes hicieron importantesaportaciones a las Matemáticas entre las que figuran laresolución de la ecuación de segundo grado que con-lleva el nacimiento del Álgebra y el empleo delsistema de numeración decimal que aprendieron de laIndia y transmitieron al mundo cristiano.

La obtención de las soluciones de la ecuación desegundo grado implica la aparición de nuevas clases denúmeros que no supieron interpretar como son los

=

=


2 3

2 3

1nAB nAB=

2 12AB AB=

3 13AB AB=

1nAB nAB=

Figura 1

números negativos y los imaginarios. La explicaciónde los negativos se debe a Fibonacci que vivió en lossiglos XII y XIII, que los interpretó como el debe y elhaber de un comerciante, los negativos serían el debe ylos positivos el haber. La explicación de qué significanlos números imaginarios llegó mucho más tarde comoveremos más adelante.

Es curioso que los romanos, un pueblo taninteligente y práctico, no llegaran a conocer el sistemade numeración decimal, que tantísimo ha contribuidoal progreso científico. Con este sistema son posibleslas cuatro reglas elementales de la enseñanza primaria:la suma, resta, multiplicación y división, así como lasmás difíciles de la extracción de la raíz cuadrada y dela raíz cúbica; la descomposición en factores primos,la obtención del máximo común divisor y del mínimocomún múltiplo etc., etc. La actual Teoría de Números,uno de los más importantes capítulos de las Matemá-ticas, no sería posible sin el empleo del sistema denumeración decimal. Además este sistema abre lapuerta a otros sistemas de numeración de base distintaentre los que son muy importantes el binario de base 2,muy útil para la Lógica, el Cálculo de Boole y la infor-mática; el ternario de base 3 en el que solamente se uti-lizan tres cifras que son 0, 1, 2, de modo que 3 seescribiría 10. Este sistema ternario ha servido para queCantor construya el conjunto que lleva su nombre,construido por los números reales comprendidos entre0 y 1, que se escriben en el sistema de base 3, con sólolas cifras 0 y 2 (nunca figura en ellos la cifra 1) que esel primer ejemplo de fractal, uno de los objetos mate-máticos más modernos, como veremos más adelante.

Lo conseguido con la ecuación de segundo grado serefuerza en el Renacimiento en que se realiza unimportante descubrimiento matemático por su alcancefilosófico, se trata de la resolución de la ecuaciones detercer grado y cuarto grado, en que vuelven a aparecerlos números imaginarios que no admiten repre-sentación aritmética ni geométrica concreta (porejemplo ), y cuyo nombre como en el caso de losnúmeros irracionales, es consecuencia de la extrañezaque causan. Manifiestan la extraña propiedad de queoperando sobre ellos, sobre algo que parece no tenerexistencia material se llega a resultados reales, anúmeros que sí tienen representación concreta. Indicaeste descubrimiento la crisis del principio de “ex nihilonihil” a menos que se sustituya el concepto unitario

demasiado rígido, por un concepto multivalente, que alser más flexible, permita la conservación del principio.

La prueba de que el problema existencial, como talproblema no preocupaba a los científicos, es que hande pasar algunos años después de la muerte de Kant,para que hagan su aparición en la matemática losdenominados teoremas de existencia con Cauchy yLifschitz, y no es por falta de potencia intelectual,porque antes han existido Gauss “el príncipe de lasmatemáticas” y el siglo de oro de la matemáticafrancesa. Tanto la célebre frase de Newton “hipótesisnon fingo” como su propia manera de razonar admitidapor los científicos que se mantuvieron dentro de lalínea de pensamiento de la Física clásica condensadaen la frase “las cosas se comportan como si”, no es endefinitiva más que el reconocimiento absoluto y totaldel concepto de existencia de los escolásticos; esadmitir la separación de un mundo objetivo que existe“fundamentaliter in re”, pero que a pesar de esta sepa-ración se corresponden biunívocamente, son imagenfiel el uno del otro.

En las generalizaciones matemáticas, por ejemplo,en la del concepto de número, o sea en los pasos suce-sivos del número natural al racional, del racional alreal, del real al complejo, etc., se da existencia a algoque antes no existía, no era observable, era algoabsurdo.

En el siglo XIX se realizan dos importantes des-cubrimientos matemáticos que han revolucionado porcompleto las leyes del pensamiento científico yacentúan la crisis del concepto de existencia. Son estosdescubrimientos el de las álgebras no conmutativas deHamilton en la que no es válida la vieja regla de que elorden de factores no altera el producto y el de lasGeometrías no euclídeas de Bolyai y Lobatschewski lahiperbólica y de Riemann la elíptica. En ellas no secumple el quinto postulado de Euclides, de ahí sunombre. Una vez conocidas éstas se nos plantea elproblema de la naturaleza de su existencia, al perder lavieja geometría euclídea su calidad de verdad a prioriindependiente de la mente humana.

Durante todo el siglo XIX se acumulan nuevos des-cubrimientos matemáticos y físicos que plantean otrastantas paradojas sobre el concepto de existencia, talescomo que un mismo problema puede tener soluciones


1−

diferentes, como son las paradojas de Bertrand delCálculo de Probabilidades, que hemos analizado enanteriores conferencias. La inexactitud de la antiguacreencia de que todo problema matemático que resultadel planteamiento analítico de un fenómeno físicotenía solución etc.

Hacia el final del siglo XIX se produce una gravecrisis en los fundamentos de las Matemáticas tanto delAnálisis como de la Geometría. Para superarla seintroducen los técnicas postulacionales, se establececada rama de la Matemáticas sobre un conjunto deaxiomas arbitrarios, en el sentido de que no nos sonimpuestos desde fuera, que únicamente están sujetos aciertas restricciones de carácter lógico, se definen unosentes abstractos sin representación concreta, única-mente definidos por las relaciones entre ellos, pero sinexistencia trascendente; estos entes son meros sím-bolos, son como las letras de un alfabeto, que por sísolas no significan nada, pero que combinadasadquieren significado. De este modo el concepto deexistencia pierde su primitiva unidad para convertirseen un concepto multivalente; ya no tiene sentido deciren el mundo de las ideas esto existe o no existe, esnecesario agregar algo más, decir existe con relación aqué axiomas; la existencia en vez de un conceptoabsoluto es relativo a una cierta estructura lógica, es unconcepto unido a un cierto sistema de axiomas; así porejemplo la línea recta tiene existencia en la geometríaeuclídea; mas no existe como tal en las geometrías noeuclídeas; se puede encontrar en estas un nuevo ente,con ciertas propiedades que nos recuerdan a la rectaque nos es familiar, pero esta como tal recta euclídeaha dejado de existir.

Por ejemplo el triángulo isósceles birrectángulo noexiste en la Geometría finita (es absurdo); pero encambio sí existe en la Geometría infinitesimal (es nocontradictorio). En su existencia se basa la per-mutabilidad de los desplazamientos infinitesimales envarias direcciones. En las aplicaciones geométricas delCálculo Diferencial e Integral (problemas de tan-gencia, curvatura, cálculo de áreas y volúmenes etc.)constantemente se hace uso del desprecio de infini-tésimos de orden superior, infinitésimos que existenantes del paso al límite, y que pierden su existencia enesta operación matemática, es decir que se conviertenen inobservables, dejan de existir porque no producenefectos medibles, y pierden su capacidad de ser cono-cidos por el hombre. Existir es poder ser conocido.

Aparte de este cambio en el concepto de existencia,existe en la Ciencia nueva, otro no menos importante;consiste en que ante las Matemáticas modernas cabendos actitudes, una que pudiéramos denominar crea-cionista, según la cual las proposiciones matemáticasexisten en el mundo de las ideas puras en el momentoen que son establecidas, es decir que existe aquello quees constructible; desde este punto de vista el conceptode existencia es actual, el matemático labora creando;la otra actitud que pudiéramos llamar explorativa,admite que las proposiciones matemáticas existen siellas no encierran contradicción, se las supone ciertas;en muchos casos se comprende fácilmente que estademostración de no contradicción es tarea difícil;desde este punto de vista el concepto de existencia espotencial, el matemático labora descubriendo. Asípues, las creencias científicas en el mundo de las ideaspuras tienden a subjetivizarse, en el sentido de libe-rarse de toda concomitancia con el mundo objetivo, yno en el sentido de cada yo individual, que conduciríaa un solipsismo, del que quizás más que nunca estálejana la Ciencia.

La Geometría ha sido la primera parte de lasMatemáticas que ha sido axiomatizada, lo fue en elsiglo III a.d.C por Euclides, completado muy prontocon el axioma de Arquímedes y muy tarde en el sigloXIX con el axioma de Pasch, y con todo rigor y per-fección Hilbert en el siglo XX en su libro “LosFundamentos de la Geometría” estableció una nuevaaxiomática que es la actualmente aceptada. La primeraedición de este libro tuvo lugar en 1899 y la séptima yúltima edición en 1935, a lo largo de estas edicionesHilbert fue perfeccionando esta axiomática hastaalcanzar su forma definitiva.

Un primer intento de axiomatizar el Cálculo deProbabilidades lo realizó Von Mises en el siglo XX sinconseguirlo de un modo satisfactorio. En 1932Kolmogorov consiguió la axiomática más perfecta,que es la que actualmente se sigue. Más adelantehablaremos de la extensión de las Probabilidades a losfractales, que requiere una axiomática distinta a la deKolmogorov, en mi opinión.

La fiebre por las axiomáticas se desata en el sigloXX y en los años treinta y cuarenta se habla delfenómeno científico de la “nostalgia por la geometría”del que me he ocupado en otras conferencias. Consiste


en la aspiración y el deseo que se siente de lograraxiomatizar las nuevas partes de las Matemáticas ytambién en otras ciencias al estilo de la geometríaeuclídea.

Desde 1933 con Roosevelt se inicia en gran escalael ascenso científico de los Estados Unidos hastaalcanzar indiscutiblemente el primer puesto en elranking mundial.

Aunque no podemos entrar en el análisis delfenómeno, hemos de citar como una de las obras másimportantes en las Matemáticas la de Bourbaki enFrancia el primer gran intento de una obra colectivapara rehacer la Matemática. De lo dicho en estepárrafo y en los tres anteriores me he ocupado en otraspublicaciones.

Vamos a tratar unificadamente un fenómeno tem-poral (la herencia) y otro espacial (la acción a dis-tancia) porque aunque distintos, su matematización esla misma. En sus investigaciones sobre Física yBiología, Volterra introdujo el importante concepto deherencia que no hay que confundir con el sentidovulgar de la palabra que es también el que tiene en laGenética. La herencia en el sentido de Volterra es unainfluencia directa del pasado sobre el futuro; el futuroviene condicionado directamente por todo o parte delpasado, y el conocimiento del presente no es suficientepara el conocimiento o previsión del futuro, es precisoconocer total o parcialmente la historia del sistema, Suplanteamiento matemático se hace mediante ecua-ciones integrales. A este enfoque de la Ciencia lo hedenominado global, porque la propagación en eltiempo no es por contacto, es decir de instante ainstante, sino por una especie de acción a distancia enel tiempo; existe una influencia de lo que sucede en uninstante sobre lo que va a suceder en un instante pos-terior separado del primero por un intervalo de tiempofinito.

He demostrado que el aspecto global engloba comoun caso particular el aspecto local de la Ciencia. Eneste último caso la influencia del pasado sobre elfuturo se hace siempre a través del presente, porqueéste, a su vez fue en cierto tiempo, futuro de lo que hayes pasado; y entonces condicionó el presente actual,pero una vez condicionado éste, entonces se pierdepara siempre su influencia. Por tanto la evolución de

los sistemas naturales es una evolución paso a paso, deinstante en instante. En el aspecto local decimos que elpresente condiciona el futuro, el conocimiento del pre-sente es suficiente para la previsión del futuro,haciendo inútil el conocimiento del pasado. En rigordeberíamos decir el conocimiento del presente y de unentorno infinitesimal del mismo, porque a elloequivale las ecuaciones diferenciales que usamos; entérminos vulgares diríamos el presente estático y latendencia dinámica del presente. La demostración aque se hace referencia al principio de este párrafo esconsecuencia de la demostración que he dado de quelas ecuaciones diferenciales del enfoque local sepueden obtener como límites generalizados de lasecuaciones integrales del enfoque global. Es indudableque las técnicas matemáticas del enfoque local sonmucho más sencillas que las necesarias para el enfoqueglobal.

He investigado (véase bibliografía) un tipo de ecua-ciones integrales e integrodiferenciales, en las que lafunción incógnita aparece bajo el signo integral confunción de núcleo cerrado y los límites de la integralson fijos en vez de variables (fórmula1) y he demos-trado que bajo condiciones muy generales puedenexistir soluciones oscilantes que las he denominadohereditarias unas y teleológicas otras, por las razonesque se verán más adelante. Se diferencian de lasoscilaciones lineales clásicas, que como es sabido sonlas soluciones de ecuaciones diferenciales lineales decoeficientes constantes, en propiedades muy notablesy curiosas tales como las siguientes: las soluciones de(1) son exponenciales cuyos exponentes son las raícesde una ecuación trascendente, en vez de algebraicascomo es el caso de las oscilaciones clásicas. En el casode la (1) pueden existir soluciones en número infinitonumerable, pueden presentarse discontinuidades en lassoluciones, puede no existir oscilaciones libres, pero síforzadas.

Me refiero a ecuaciones integrodiferenciales de laforma:

en la que el segundo miembro puede ser cero. Las ason coeficientes constantes, la r y s indican orden de laderivada. En ellas hay efectos retardados debido a lasfunciones de memoria, las k. Entre estas es el pasado el


(1)

que influye sobre el presente describen fenómenoshereditarios.

Es también interesante el caso en que en (1) seefectúan las sustituciones de t y por y t, yentonces es el futuro el que influye sobre el presente.En vez de (1) es

A estos fenómenos les he denominado teleológicos.

La (1) y (2) las he resuelto empleando la trans-formada de Laplace y el Cálculo Simbólico.

Los fenómenos hereditarios se presentan enbiología, por ejemplo en biocinética, que estudiamatemáticamente las teorías del equilibrio biológicobasada en la lucha por la existencia entre especies quese alimentan unas de otras o que disputan sobre elterreno la misma alimentación. También tienen estosfenómenos hereditarios especial importancia enalgunas ramas de la física, por ejemplo en Elasticidad,donde todo especialista sabe que la resistencia queopone cualquier estructura a la deformación, no sola-mente depende de los esfuerzos que tiene que soportar,sino también de los esfuerzos que ha soportado en elpasado. Los fenómenos físicos de histéresis son here-ditarios.

Algunos filósofos han analizado con bastante pro-fundidad el concepto de tiempo, poniendo de relieve elpapel extraordinario que en biología juega la finalidaden la actividad de los seres vivos. Distinguen entretiempo físico y tiempo biológico, para ellos en esteúltimo es el futuro quien determina el presente. Misanteriores ecuaciones integrodiferenciales son la tra-ducción al lenguaje matemático de estas ideas filosó-ficas, que hasta la fecha creo no habían sido represen-tadas analíticamente. Son las que he bautizado con elnombre de teleológicas, pero he de insistir que tambiénes posible un comportamiento monotónico (no osci-lante) teleológico. La diferencia entre comportamientomonotónico (unidireccional) y oscilante depende de lanaturaleza de las raíces de la ecuación característica-mente trascendente de la (2), es decir, de los expo-nentes de las exponenciales que describen matemática-mente el comportamiento de los sistemas naturales.

Contrariamente a lo que sucede en Biología, quecon mayor frecuencia puede suceder en Economía, loteleológico es inconcebible en Física. Si a veces sedeslizan furtivamente soluciones teleológicas en lasecuaciones de la física matemática, basta la posesiónde este carácter para que sean descartadas, diciendoque carecen de significado físico.

Ya que hemos hablado del tiempo físico y bioló-gico, vamos a hacer un inciso sobre un problema tanimportante como es el del tiempo, sin adentrarnos en laprofunda modificación que ha sufrido este conceptocon la aparición de la Teoría de la Relatividad, con sucorrespondiente fusión entre espacio y tiempo en laTeoría de la Relatividad Restringida, y entre espacio,tiempo y materia (gravitación) en la RelatividadGeneral y entre espacio, tiempo, materia y electricidaden las teorías relativas al campo unificado. El tiempoes un concepto primario de la física, y ha suscitadodesde los principios de la filosofía hasta el momentoactual sinfín de polémicas y discusiones. Hasta elhombre de la calle cree tener una noción exacta de loque es el tiempo, noción que prácticamente coincidecon la que utilizan los sabios en sus investigaciones,salvo en algunos pocos problemas muy específicos yde extraordinaria dificultad e importancia. Una cosa escreer que sabemos algo y otra muy distinta ser capacesde poder explicar inteligiblemente ese conocimientoíntimo nuestro a otras personas.

El aforismo latino post hoc, ergo propter hoc, estáíntimamente ligado al conocimiento de la flecha deltiempo, es decir, de la dirección de antes a después enque fluye el tiempo, que si se prescinde de la con-ciencia, es uno de los problemas más difíciles que hayplanteados hoy. La dificultad es mucho mayor en laMicrofísica que en la Macrofísica, si se tienen encuenta intervalos de tiempo infinitesimales, a mí meparece que el tiempo no es una variable cierta sinoaleatoria, que a medida que aumenta la duración delintervalo de tiempo converge en probabilidad a unavariable cierta; tal como resulta de mis investigacionessobre la inversión en el tiempo de procesos estocás-ticos, por ejemplo del movimiento Browniano y de ladesintegración radiactiva.

Hay que tener siempre en cuenta que para el cien-tífico las cosas existen si pueden ser conocidas, que enla Ciencia Natural la existencia es una propiedad

∞−∞


(2)

pasiva y potencial, que existir es poder ser conocido,como ya he dicho anteriormente. Por eso surgen esasgrandes dificultades ligadas al principio de causalidady a la flecha del tiempo. Recordando las coplas deJorge Manrique, el tiempo es como un río, no como unmar.

Lo hereditario y lo teleológico pueden introducirsetambién cuando el tiempo es una variable discreta envez de continua, y para resolver este problema heplanteado y resuelto las que he llamado ecuacionessumatorias, las cuales están con las ecuaciones endiferencias finitas en la misma relación que las ecua-ciones integrales con las diferenciales.

Paralelamente a la introducción de la herenciacomo una acción a distancia en el tiempo, se puedeintroducir una acción a distancia en el espacio,mediante un formalismo matemático algo más difícil ygeneralizado, debido a que el tiempo sólo tiene unadimensión y el espacio puede tener tres. Para estenuevo planteamiento he considerado ecuaciones inte-grodiferenciales en derivadas parciales, agregando untérmino correctivo expresivo de la acción de laherencia sobre la evolución temporal de sistemasgobernados por ecuaciones en derivadas parcialesclásicas, o agregando un término correctivo de laacción perturbadora que en un instante dado se ejercesobre un punto del sistema por las deformacionessufridas por los restantes puntos del sistema. De formaque en este último caso no puede hablarse de herenciaen el tiempo, en el sentido de una influencia de losestados ancestrales por los que ha pasado el sistemasobre su configuración en el presente, sino más bien enuna llamémosla así herencia en el espacio, es decir, deuna especie de acción a distancia mediante la cual laconfiguración que en una cierta región del espacioadopta el sistema influye sobre la que adoptará encualquier otra parte, se trata de una interacción entreelementos distintos de un mismo sistema expresablepor una función de las diferencias absolutas de suscoordenadas.

Como digo, no se puede hablar de una herencia enel tiempo, sino de una pérdida de validez del principiode la fragmentación en el espacio que se utiliza enMecánica y en otras ramas de la Físicas; al no admitircomo válido este principio de fragmentación o solidifi-cación en el espacio, estimamos que ningún fragmento

del sistema puede considerarse como aislado, y quepara prever el comportamiento de un fragmento delsistema es preciso conocer el estado en que se encuen-tra todo él. Por analogía con los fenómenos heredi-tarios temporales en que es preciso el conocimiento dela historia del sistema, estimo que es preciso conoceren el caso de fenómenos hereditarios espaciales lageografía (o topografía, si se quiere) del sistema parallegar a poder prever su evolución futura.

Con relación al párrafo anterior he investigado conprofundidad y detalle las generalizaciones hechas pormí en este sentido de las ecuaciones clásicas de lapropagación de las ondas y del calor, obteniendo desa-rrollos matemáticos largos y curiosos, que afectanentre otros campos matemáticos al de la teoría de lasfunciones trascendentes superiores y al de las transfor-maciones funcionales. Se puede esperar en formaparecida sobre cualquier otro tipo de ecuacionesclásicas en derivadas parciales, y es seguro que se hande obtener resultados interesantes. Como curiosidaddiré que estas ecuaciones que he investigado las heaplicado en Economía a mercados con intermediarios,en donde la oferta y la demanda de un intermediario secorresponde con la demanda del intermediario pos-terior, y la oferta del anterior respectivamente.

Las anteriores investigaciones me han llevado aformular un principio de correspondencia matemática,en virtud del cual se puede enunciar el principio de quetodo estado discontinuo de la naturaleza es límitegeneralizado (G-límite) de estados continuos.

Las ecuaciones integrales que se presentan enRheología y Viscoelasticidad son un caso particular dela (1) y entre las consecuencias físicas que se despren-den de su estructura matemática, figuran la posibilidadde movimientos internos espontáneos (sin fatiga) enlíquidos viscoelásticos o de Maxwell, y en sólidos deKelvin y recíprocamente la existencia de fatigas sindeformaciones. Se puede obtener de esta manera lasolución exacta de las ecuaciones integrales de loscuerpos boltzmanianos (véase mi memoria “Las solu-ciones exactas de las ecuaciones integrales” citada enla bibliografía).

La ecuación (1) admite diversas generalizaciones ydistinguir en ellas soluciones fuertes y débiles (véasebibliografía).


La (1) se puede generalizar a integrales dobles ymúltiples. Un ejemplo es la

que he resuelto en algunos casos. La ecuación del calory de la propagación de las ondas se pueden obtenercomo límites generalizados (o sea G-límites) de laecuación (1).

En la electrodinámica de los medios continuos,concretamente en la teoría de la difusión de la permea-bilidad eléctrica en medios dispersivos, están ligadosentre sí por una ecuación de tipo (1).

También en Economía tiene aplicación estas teoríasmatemáticas, tal es el caso de la llamada correlaciónlagunar que se presenta en las series cronológicas de laEstadística, y de los efectos de retardo propios demuchos fenómenos económicos. Me he encontrado yhe investigado ecuaciones integrodiferenciales conintegrales múltiples que en vez de la forma (3) son dela forma (4)

cuya solución viene dada por exponenciales comosucede con la (1), pero cuyos exponentes son raíces deuna ecuación característica, distinta de aquella. Estaecuación es:

siendo F(p1,p2,...,pm) la transformada de Laplace de lafunción f(σ1,...,σm). También en este caso, como en la(1), a la (4) le corresponde una solución teleológica envez de hereditaria.

Otra dirección de generalización que me heplanteado y resuelto, es cuando los retardos múltiplesconducen a sistemas de ecuaciones integrales del tipo:

cuya solución viene dada multiplicando miembro amiembro ordenadamente en la cadena

que conduce a la solución:

siendo G y F la transformada de Laplace (TL) de las gy f minúsculas, pero en cambio las x son las inversas delas transformadas de Laplace ( ) de las y. Estosproblemas plantean a su vez algunos otros de conver-gencia de integrales bastante complicados.

Existe una diferencia esencial entre esta nuevaproblemática y la problemática clásica mucho máshabitual de las funciones de transferencia, tal como seusa en la Ingeniería de Control y en la Automática.Mientras que en la clásica obtenemos la solución de unproblema hallando la transformada de Laplace (TL) dela solución, en la teoría que hemos expuestoresolvemos el problema hallando la inversa de la trans-formada de Laplace ( ) de la solución.

Sistemas de ecuaciones integrales como (6) seencuentran en el análisis de mercados con varios inter-mediarios que pueden ordenarse como números natu-rales 1, 2,…, n, …… de modo que el intermediario quetiene el número de orden n, hace demanda del pro-ducto en el mercado n 1, y oferta el mismo en elmercado n 1. A este problema ya hicimos alusión enpárrafos anteriores.

También nos hemos ocupado del caso en que enlugar de existir una sola ecuación integral como la (1)existe un sistema de ecuaciones de dicho tipo.

Vamos a tratar aunque sea brevemente de dos entesmatemáticos que aparecen en la segunda mitad delsiglo XIX que permanecieron bastante tiempo dur-mientes y que en la segunda mitad del siglo XXadquirieron un enorme desarrollo e importancia. Setrata del Cálculo Fraccionario y de los Fractales. Hoyse puede decir que están de moda.

Liouville definió en el siglo XIX la derivación eintegración fraccionaria que comprende en su seno ygeneraliza la derivación e integración. Para ello, utilizóuna fórmula que reduce a una sola integral el resultadode reiterar n veces una integral ordinaria. Adquierenestas nuevas operaciones una mayor claridad y pre-cisión con la creación del Cálculo Simbólico (CSL) deHeaviside, un gran matemático incomprendido en su

+−


(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1TL−

1TL−

tiempo. Cálculo que durante mucho tiempo perma-neció misterioso, porque resolvía los problemas prác-ticos a los que se aplicaba, especialmente a la Electro-tecnia, más tarde a la Hidráulica (golpe de ariete) y a laMecánica (choque y percusiones), y carecía de funda-mento técnico riguroso, hasta que Carson demostró laidentidad del Cálculo Simbólico con la transformaciónde Laplace, con lo que adquirió carta de ciudadaníadentro de la Ciencia Matemática.

Cuando se inventó el Cálculo Diferencial quedóabierto el camino para inventar las ecuaciones diferen-ciales, las cuales se inventaron muy poco tiempodespués. Cuando se inventó el Cálculo Integral quedóabierto el camino para inventar las ecuaciones inte-grales, las cuales tardaron mucho tiempo en inven-tarse; su gran desarrollo fue en el siglo XX. Asimismocuando Liouville definió la derivación fraccionaria y laintegración fraccionaria, quedó abierto el camino paralas ecuaciones diferenciales e integrales fraccionarias,pero se tardó un siglo en lograr resolver las ecuacionesdiferenciales e integrales fraccionarias, que son aque-llas en las que la función incógnita aparece comoderivada o integral fraccionaria.

En los años cincuenta he planteado las ecuacionesdiferenciales fraccionarias semienteras que son aque-llas en las que el orden de derivación es ó unmúltiplo de . Para ellas he obtenido una ecuacióncaracterística, en el caso de las ecuaciones diferen-ciales semienteras, lineales y de coeficientes con-stantes. Se trata de una ecuación algebraica en ,que recuerda la ecuación característica de las ecua-ciones diferenciales lineales de coeficientes constantesen p. Utilicé la transformada de Laplace y obtuve parala TL de la solución una combinación lineal de coefi-cientes constantes de la función (9):

en la que las a son las raíces de la ecuación carac-terística. La solución de la ecuación es la de la(9), son funciones de error integral, de variable real ocompleja, que desempeñan para estas ecuaciones elmismo papel que las funciones exponencial de expo-nente real o complejo para las ecuaciones diferencialesclásicas. Resolví entonces los problemas de estabilidadcuando son oscilantes, el problema de las oscilacionesforzadas y de la resonancia.

Pude resolver este problema porque en los añoscincuenta venían en las tablas la de (9); perocomo no venían las de las funciones (10):

siendo n un número entero, no pude entonces resolverlas ecuaciones diferenciales fraccionarias en las que elorden de derivación es múltiplo de 1/3, o en generalmúltiplo de 1/n.

En el 2003 fui capaz de hallar las de las (10)que aún siguen sin venir en las tablas y entonces pudeampliar lo que había hecho con las ecuaciones frac-cionarias lineales de coeficientes constantes semien-teras, al caso más general en que el orden de deriva-ción es múltiplo de 1/n cualquiera que sea el valor de nentero.

Me di cuenta de una propiedad muy curiosa y esque las soluciones de las ecuaciones semienteras son lacombinación lineal de la suma de una función expo-nencial y de su integral fraccionaria de orden , porser la de (9) la suma de una función exponencialy de su integral fraccionaria de orden .

Asimismo, la primera (10) tiene por la sumade una función exponencial y de sus integrales frac-cionarias de orden 1/3 y 2/3. La segunda (10) es lasuma de una función exponencial y de sus integralesfraccionarias de orden 1/n, 2/n, …., (n-1)/n

En mi libro antecitado se da una exposición muyamplia sobre esta materia y sus repercusiones sobre laTeoría de las funciones trascendentes asociadas.Asimismo, pueden consultarse mis dos memoriasantecitados publicadas en la Revista de la RealAcademia de Ciencias en los años 2004 y 2006.

En los cuadros y dibujos de Goya se pueden admi-rar los monstruos que engendra la razón en sus sueños.Asimismo, los matemáticos hacia fines del siglo XIX,en su fiebre investigadora, crearon nuevos entesmatemáticos que semejaban ser también monstruos dela razón. Son los llamados Fractales y hasta la segundamitad del siglo XX no se inició la investigación engran escala de la aplicación de los Fractales que hoyhan adquirido una importancia extraordinaria.

1 3 1

1 3 1;n

np p

p a p a− −

pp a−


1 21 2

p

(9)

1TL−

1TL−

1TL−

(10)

1TL−

1 2

1 2

1TL−

1TL−

A pesar de parecerse en el nombre, el Cálculo Frac-cionario y la Teoría de Fractales son muy distintos. Enel primero lo fraccionario son el orden de las deriva-das, integrales y ecuaciones diferenciales, de las seriesde potencias, y la extensión de teoremas a los quedenominamos funciones holomorfas y mesomorfasfraccionarias. En la segunda, lo fraccionario es elnúmero de dimensiones de los objetos fractales,mientras que en el Análisis y la Geometría ordinarialas dimensiones son siempre enteras, en los objetosfractales el número de dimensiones siempre es frac-cionario.

Vamos a exponer una nueva teoría del número realque nos va a permitir obtener las funciones caracterís-ticas (fc) de las distribuciones de probabilidad uni-formes sobre los números reales menores que uno,obteniendo como fc productos infinitos que repre-sentan una misma fc, aunque aparentemente no loparezcan. Se puede observar que esta nueva teoría esequivalente a las teorías clásicas del número real,como son la de las cortaduras en el campo de losnúmeros racionales (Dedekind) o a la que resulta dehacer completo el espacio métrico de los númerosracionales (Cantor), pero que en ello es posible obtenerlos resultados sobre Cálculo de Probabilidades quevamos a exponer.

Los números reales se representan ordinariamenteen el sistema de numeración de base 10 (el decimal).Los números menores que 1 se representan por unnúmero finito o infinito de cifras decimales, es decir,por un cero seguido de una coma y después de esta seescriben las cifras decimales. Si el número de estascifras es finito o infinito, pero existe una cifra o variascifras que se repiten periódicamente hasta el infinito,el número que representan es racional, lo que significaque es igual al cociente de dos números enteros. Si porel contrario no sucede lo anterior, el número se llamairracional, porque no puede expresarse como elcociente de dos números enteros. Los dos conjuntos denúmeros racionales e irracionales anteriores forman elconjunto de los números reales menores que 1.

Además del sistema decimal (de base 10) se puedenutilizar otros sistemas de numeración de base p, siendop un número entero mayor que uno. Si p es menor que10 se utilizan el cero y todas las cifras del sistemadecimal inferiores a p. Si p es mayor que 10 se utilizan

las cifras del decimal y los símbolos necesarios pararepresentar como cifras los números desde 10 hasta p-1; por ejemplo, en el sistema de base 12 son necesariosdos símbolos nuevos para representar los números 10 y11, que ahora serían cifras. Hemos de observar quecuando hablamos de conjuntos finitos de cifras se lespuede considerar de infinitas cifras, siendo iguales acero todas las que vienen a continuación de la últimacifra del antedicho conjunto finito que no es cero; nosreferimos a cifras decimales.

Las cifras escritas a la derecha de la coma, que en elsistema de base 10 llamamos decimales, no tienennombre en los sistemas de numeración de base distintaa 10, por lo que venimos llamándolas binales, ternales,a las de los sistemas de base 2 y 3 y en general lla-mamos pales a las del sistema de numeración de basep. Los números que se escriben sin coma son encualquier sistema de numeración los números enteros,por tanto todo número real mayor que uno es la sumade un entero y de un número real menor que 1.

Todo número real tiene una representación única encualquier sistema de numeración, lo que establece unacorrespondencia biunívoca (biyección) entre los nú-meros escritos en dos sistemas de numeración.

En el sistema decimal podemos observar que elcero y el 1 tienen dos representaciones porque

en donde existen infinitos 9 e infinitos ceros.

Lo mismo sucede en cualquier sistema de numera-ción de base a porque

y por la fórmula de la suma de una progresión geomé-trica de razón geométrica de razón 1/a como la de (12),su valor es

Esta propiedad la tienen todos los números quedespués de la coma se escriben como (11) y (12).

En la nota 1ª describimos el aparato matemáticomediante el que obtenemos la distribución uniforme de

1 1 111a

aa

− =−

1 0' 1, 1,..., 1,a a a= − − −

1 0'99....9..;0 0'00....0..= =


(11)

(12)

(13)

probabilidad sobre el conjunto de los números realesmenores que 1. Vamos a explicar los resultados. Ladistribución uniforme de probabilidad significa quecualquier número tiene la misma probabilidad de serescogido al azar, por ejemplo si se escriben en elsistema de numeración de base 2 se escribirían lascifras de un número escogido al azar, arrojando unamoneda que tuviera un cero y un uno en cada cara,para escoger las infinitas cifras del número segúnsaliese una u otra cara de la moneda. Si se escribiese elnúmero en el sistema de base 6, se escogerían las cifrasdel número según el resultado de arrojar un dado encuyas caras estuviesen escritos los números del 0 al 5.En el caso del sistema de numeración de base 2 hemosobtenido para la función característica (fc) la expre-sión:

Hemos demostrado que (14) es igual a la expresión

que es la fc de un punto repartido uniformemente alazar sobre un segmento de longitud la unidad. Es con-secuencia de que el conjunto de los números realesmenores que uno se puede representar por el conjuntode los puntos de un segmento de longitud la unidad. Elvalor medio m y la varianza σ2 de (14) y (15) que soniguales, valen;

En la nota 1 pueden verse las fc de los númerosreales menores que 1 escritos en los sistemas denumeración de base p todas ellas son productosinfinitos de forma distinta pero que tienen el mismovalor, son iguales entre sí, e iguales a (15) porquesiempre representan la distribución uniforme de proba-bilidad de un número menor que uno, escogido al azar,cualquiera que sea el sistema de numeración usado ode un punto escogido al azar con la misma proba-bilidad, situado sobre un segmento de longitud launidad. Se puede demostrar directamente la igualdad(15).

He obtenido (véase nota 2) las fc de un númeroescogido al azar con la misma probabilidad para todos,pertenecientes a un fractal numérico. Llamamos fractal

numérico al conjunto de números reales menores queuno, que se escriben en el sistema de numeración debase p, con solo dos, tres,…o p-1 cifras.

En el sistema de base 2 no hay ningún fractal. En elde base 3 hay tres fractales que están formados por losnúmeros que se escriben con las cifras 0 y 1; 0 y 2; 1 y2. En el sistemas de base 4 hay 10 fractales 6 de loscuales se escriben utilizando solo 2 cifras de las cuatroque existen y los 4 restantes son los fractales que seescriben utilizando solo 3 cifras de las 4.

En el sistema de base p hay

fractales, que son las combinaciones que se puedenformar con 2, 3, …, p-1 cifras escogidas entre las pcifras existentes. La (17) para p 2,3,4, da los valores0, 3 y 10.

El primer fractal numérico conocido es el conjuntotriádico de Cantor que es el conjunto de númerosreales que en el sistema de base 2 se pueden escribircon solo el 0 y el 2. Para este conjunto triádico deCantor he calculado la fc de la distribución de proba-bilidad de un número menor que uno escogido al azarcon la misma probabilidad. Esta fc es

véase la nota 2. El valor medio m y la varianza σ2 de(18) son:

Obsérvese que

A todo fractal numérico se le puede asociar unfractal geométrico que es la representación gráfica delprimero sobre el segundo, que vamos a explicar a con-tinuación: a todo fractal numérico G hay asociado otrofractal geométrico F. Sea G el fractal numérico que enel sistema de numeración de base p se escribe sola-mente con a cifras (1<a<p) y S0 un segmento AB delongitud L; a partir de S0 vamos a construir el fractalgeométrico F asociado a G. Para ello dividimos S0 en p

2 2(19) (16)σ σ>

21 1;2 8m σ= =

2

1

cos3

itn

n

te∞

=∏

=

... 2 2 22 3 1 0 1

p pp p p p p pp

p p⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + = − + + = − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

21 1;2 12m σ= =


(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

segmentos iguales, de los cuales solo conservamos a,los p segmentos están numerados de 0 a p-1, y los queconservamos son los que llevan las mismas cifras quese utilizan en G y están dispuestos en el mismo orden;se obtiene así S1 formado por a segmentos de longitudL/p y el resto de S0, queda vacío; la longitud de S1 es L1igual a La/p. A continuación efectuamos la mismaoperación con cada uno de los segmentos que forma S1y se obtiene S2 formado por a2 segmentos de longitudL/p2 y la longitud L2 de S2 es La2/p2.. Se continúaindefinidamente esta operación, al efectuarla n vecesse obtiene Sn formado por an segmentos iguales de lon-gitud L/pn ; la longitud total de Sn es L(a/p)n. El fractalF es el límite

Está formado por un número infinito de segmentos ysu longitud total es cero debido a que:

La integral ordinaria no se puede extender a F porser su longitud cero, sin embargo se puede definir yaplicar una nueva integral ramificada, en vez de laordinaria que es lineal, de modo que su valor vienedado por el límite de una suma de 2n sumandos,cuando se tiende a infinito, mientras que la integralordinaria es el límite de una suma de n sumandoscuando n tiende a infinito.

La Teoría de Probabilidades ordinaria no se puedeaplicar en F porque las variables aleatorias que sedefinen no cumplen la axiomática de Kolmogorov;pero sí se les puede aplicar unan nueva axiomática quehemos formulado, basándonos en la nueva integralramificada que hemos establecido. Por tanto se puedenobtener las funciones características (fc) de distribu-ciones de probabilidad, que resultan ser iguales parafractales numéricos y geométricos asociados; estaidentidad la demuestro basándome en que el límite dela (15) cuando se divide t por n y se hace tender n ainfinito es igual a 1.

Una vez construidos estos fractales geométricos sepueden construir fractales físicos (o mecánicos) de lasiguiente manera: se sustituye el segmento S0 por unabarra homogénea B0 de masa M y longitud también L yse van obteniendo conjuntos de barras homogéneas B1,B2,......, Bn cuyos soportes son los conjuntos de seg-

mentos S0, S1,.....,Sn; se conserva la masa M que sereparte uniformemente sobre todas las barras que sehan ido formando. El fractal físico asociado a las F y Ges

Las longitudes de las barras que forman Bn paratodo n son las mismas que las longitudes de los seg-mentos soportes que son los que forman Sn, y lasmasas mn y densidades ρn son las mismas para todaslas barras de Bn, valen:

por tanto cuando n tiende a infinito mn tiende a cero yρn a infinito

Directamente por el teorema de Steiner de laGeometría de Masas o por la proporcionalidad delmomento de inercia I y de la varianza σ2, se puede cal-cular I. En el caso particular en que G es el conjuntotriádico de Cantor, F es el llamado polvo de Cantor y Blo que he propuesto llamar barra de Cantor, elmomento de inercia I vale:

que resulta de sustituir 1 por Ml2 en la (19) como hedemostrado en un apéndice de mi Diccionario deMatemática Moderna. Véase la nota 4a. Lo anterior sepuede extender a 2, 3 y a cualquier número de dimen-siones; he obtenido fractales geométricos de área,volumen o hipervolumen nulos a los que he aplicadolas integrales y probabilidades anteriores y fractalesfísicos (o mecánicos) a los que se extiende laGeometría de Masas y la Dinámica. Aunque estos frac-tales físicos no tienen representación en la Mecánica yson de volumen (área o longitud) nulo, como tienenmasa, centro de gravedad y momento de inercia, obe-decen las leyes de la Mecánica al igual que las barras,placas y sólidos ordinarios. Para asegurar la rigidez delos fractales es necesario que las partes huecas de losmismos no la rompan y así en una barra fractal habríaque sustituir los huecos por barras sin masa. Hay quetener en cuenta que también los sólidos de la MecánicaClásica tienen enormes vacíos en su interior ya queátomos y moléculas no están pegados unos a otros.

2

8MlI =

lim 0;limn n n nm ρ→∞ →∞= = ∞

; ;n

nn nn n n

n

m pM M L Mm l L aa a pρ ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

limn nB B→∞=

lim 0; lim 0n

n n n nn nLaLl L

p p→∞ →∞= = = =

limn nF S→∞=


(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

En mi libro y en mi Diccionario existen multitud enel primero y algunos en el segundo ejemplos de frac-tales. Allí puede verse cómo se puede extender a ellostambién la derivación y las ecuaciones diferenciales.En estos casos los fractales son el resultado final de unproceso infinito de fractalización, del que son el límite.También existen pseudofractales.

¿Es posible que los fractales existan en la natu-raleza? Contestamos a la pregunta después.

Los mundos del cálculo Fraccionario abierto porLiouville en el siglo XIX y de los Fractales asídefinidos por Mandelbrot en 1975 han abierto hori-zontes de grandeza a las Matemáticas puras y apli-cadas.

Fuera del texto de la conferencia vamos a incluirmás breves notas extraídas de mis propias investiga-ciones, ampliamente desarrolladas en mis publica-ciones aquí citadas. Requiere un aparato matemáticocomplicado y van dirigidas a lectores especialistas enla materia.

Nota 1ª. Distribuciones de probabilidad uniformesobre todos los números reales menores que 1

Los números reales menores que 1 en el sistema denumeración de base p se escriben con un cero, seguidode una coma y de un número finito o infinito de cifrasque van desde 0,1,…hasta p-1. Adoptamos el conveniode que si un número se escribe con un número finito decifras, se escriben después de la última cifra distinta decero, infinitos ceros. A las cifras escritas detrás de lacoma las llamaremos pales; si el sistema es de base 2 o3 las llamaremos binales, ternales y así sucesivamente;en el sistema de base 10 son los decimales.

Llamamos C(1,p),C(2,p),….,C(n,p) a los conjuntosde números reales menores que 1, que en el sistema debase p, escribimos con una cifra, dos cifras, … y engeneral n cifras. Se tiene que en C(1,p) hay p números,en C(2,p) hay p2 y en C(n,p) hay pn números.

El conjunto de los infinitos números reales menoresque 1, C( ,p), en el sistema de base p tiene infinitascifras. Es:

El número cardinal del conjunto de los númerosreales es el aleph χ1 y el de los números enteros es elaleph χ0. Los números reales son los pertenecientes aC( ,p) y a la suma de uno de estos y de un númeroentero. Se tiene que

Un número cualquiera de C(n,p) se escribe como laprimera (3) y su valor es la segunda (3):

donde las x toman cualquier valor entre 0 y p-1.

Para escoger un número al azar de C(n,p) con lamisma probabilidad para todos hay que escoger al azarcon la misma probabilidad para todas las cifras, las nx(3) que lo componen.

Las cifras x(3) son variables aleatorias (v.a.) quepueden tomar los valores de 0,1,…., hasta p-1 con lamisma probabilidad 1/p. La probabilidad de escogercualquier número de C(n,p) es 1/pn. La fc de la v.a. quees la primera cifra es igual a:

porque el valor de la primera cifra es x1/p. La fc de lav.a. que es la cifra número j es

por ser el valor de la cifra número j igual a x j/pj.

Un número cualquiera de C(n,p) escogido al azar esla suma de n v.a. ξ1......ξn independientes cuyas fc sonla (4) y la (5). Por tanto la fc de los números de C(n,p)cuando tienen todos la misma probabilidad de serescogidos es

porque:

1 21 2 20, , ,.., ; ... n

n nxx xx x x p p p

+ + +

0

0

1

lim0

lim lim

limn

n nn n

n

p p p

p p n

χ

χ

χ

χ→∞

→∞ →∞

→∞

= = ⇒ =

= ⇒ =

∞

∞


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

es una suma de v.a. en progresión geométrica, por loque los valores medios m1,m2,...,mn de las ϕ j son unaprogresión geométrica de razón 1/p y las varianzasson una progresión geométrica de razón1/p2.

El valor medio m de (6) vale

y la varianza de (6) σ 2 vale:

El límite cuando n tiende a infinito en (6) es la fc dela distribución de todos los números reales menoresque 1 escritos en el sistema de numeración de base p.Es su fc, su valor medio m y su varianza σ 2

El valor de m1 es

porque el valor que puede tomar ξ1 son los que van de0 hasta (p-1) divididos por p y estos son en número dep.

El valor de m(10) es

cualquiera que sea p

El valor de es:

el primer término es el momento de segundo orden y elsegundo es el cuadrado de la varianza. Se tiene que:

y llevando este valor a (13) se obtiene

lo que da para σ 2(10) el valor

cualquiera que sea el valor de p.

Las (12) y (16) que hemos obtenido por el cálculoefectuado forzosamente tienen que tener este valor,porque ha de ser independiente de p ya que la dis-tribución de probabilidad uniforme sobre el conjuntode todos los números reales menores que 1 ha de tenerla misma fc cualquiera que sea el sistema de numera-ción en que estén escritos los números reales. Por tanto(12) y (16) han de ser independientes de p. Precisa-mente han de tenerlos valores (12) y (16) porque estosson los valores del valor medio y de la varianza de unpunto repartido uniformemente al azar sobre un seg-mento de longitud unitaria, cuya fc si se toma comoorigen de abscisas es

Cualesquiera que sea la base p del sistema denumeración de base p, el valor del producto infinito(10) ha de valer lo mismo.

El desarrollo anterior se refiere a la teoría generalcualquiera que sea el sistema de numeración. Vamos adar el caso particular del sistema binario de base 2, esdecir p 2. Se tiene que

y de aquí

=

22

22

1 1 11 1212 1

pp

pσ −= =

−

221 2 2

1 2 1 1 13 22 12

p p p pp p

σ − − − −⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1(10) 212 1

pmp p

−= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2 2 2 2

1 2 12

11... 11

n

np

pσ σ σ σ σ

−= + + + =

−

1 2 1

11.... 11

n

npm m m m mp

−= + + + =

−


(7)

2 21 ,...., nσ σ

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

21σ

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

El producto infinito (10) con este valor (18) de ϕ1vale:

En este caso particular en que la base del sistema denumeración es 2, se puede demostrar por cálculodirecto que:

a partir de la conocida fórmula:

y de que

Para cualquier base p del sistema de numeración seobtienen fc dadas por productos infinitos siempreiguales aunque no lo parezcan, por el razonamientohecho anteriormente, los cuales por la (21) ofrecen dis-tintos productos infinitos del seno.

Nota 2ª. Distribución de probabilidad uniforme sobreel conjunto triádico de Cantor y el polvo de Cantor

Este conjunto es el fractal numérico formado portodos los números menores que 1 que en el sistema denumeración de base 3 se escriben con las cifras 0 y 2;nunca figura el 1.

Todo número de este conjunto es igual a la sumainfinita de v.a. binomiales en progresión geométrica derazón 1/3 que toman con la misma probabilidad 1/2 losvalores:

hasta el infinito. Las fc de estas v.a. son las

que se escriben también

La suma de estas infinitas v.a. tiene por fc el productoinfinito:

el valor medio m y la varianza σ 2 de esta suma es lasuma de los valores medios y de las varianzas de lossumandos. El valor medio m vale:

Las varianzas de los distintos factores de (4), teniendoen cuenta el desarrollo en serie de potencias de loscosenos son:

y por tanto

Obsérvese que esta varianza es mayor que la de losnúmeros reales menores que 1 de la nota 1ª.

Se llama polvo de Cantor al fractal geométrico aso-ciado al fractal numérico que es el conjunto triádico deCantor.

En mi libro sobre Fractales he calculado multitudde distribuciones de probabilidad.

Nota 3ª. Indeterminismo débil y fuerte o de 1ª y 2ªespecie.

En mis investigaciones sobre problemas estocás-ticos he encontrado que a veces las probabilidades sonvariables ciertas y otras son variables aleatorias, lo queme ha conducido a distinguir dos especies de indeter-minismo, uno más débil o de 1ª especie cuando a unfenómeno hay asociada una distribución de proba-bilidad que varía de modo determinista, tal es el casode la función de onda de la Mecánica cuántica soluciónde la ecuación de Schrödinger.

22

2

1 1 11 83 13

σ = =−

2 2

21 ....;1 ;....2.3 2.3 nt t− −

1 1 1 1 1.... ....3 3 1 23 1 3nm = + + + = =

−

3 3cos ;.....; cos ;....3 3nit it

nt te e

2 cos2 4 4t t tsen sen=

2 21

1 1 1 1;16 16 1 121 4σ σ= = =

−


(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Si la distribución de probabilidad asociada alfenómeno varía de manera indeterminada, el indeter-minismo es más fuerte, tal es el caso de la distribuciónde probabilidad asociada a un punto que se muevesobre una esfera de radio la unidad con movimientobrowniano; en este caso los cuadrados de las coorde-nadas del punto respecto al centro de la esfera definíanuna variable aleatoria trinomial, cuyas probabilidadesson aleatorias; en este caso el indeterminismo lo lla-mamos fuerte o de 2ª especie.

Nota 4ª. Un ejemplo de fractal físico: la barra deCantor. Péndulos fractales.

En un apéndice de mi Diccionario de MatemáticaModerna he investigado los fractales físicos, entreellos el que he llamado barra de Cantor. A partir delfractal geométrico de la nota 2ª (polvo de Cantor)formado por un conjunto discontinuo de puntos con lapotencia del continuo, de longitud nula pero espaciadosobre una longitud l, se puede formar un objeto físicoque he propuesto llamar barra de Cantor, de la si-guiente manera: sea B0 una barra homogénea de lon-gitud l, masa m, que incluye sus extremos; se extrae deella un tercio central (excluidos sus extremos) y sereparte la masa total m de B0 entre las dos partes delnuevo objeto B1 que queda, el cual está formado pordos barras de longitud l1 l/3, masa m1 m/2, densidad3m/2l ρ1. Si se repite indefinidamente esta operación,se obtiene una sucesión de barras Bn, tales que elnúmero Nn de barras que la forman, sus masas mn, suslongitudes ln, y densidades ρn valen:

Si llamamos Ln a las longitudes totales de las barras Bnes

La masa total de la sucesión de barras es siempre lamisma. Se tiene que:

Llamamos barra de Cantor a

El momento de inercia I de Bn por ser proporcional a lavarianza del polvo de Cantor (nota 2ª) o por cálculo

directo utilizando el teorema de Steiner de la Geome-tría de Masas vale

La barra de Cantor sería el ejemplo más sencillo de unpéndulo fractal.

Vamos a calcular el número de huecos Nhn dehuecos y la longitud total hueca Nhn de Bn, así como ladistribución de los números nh de huecos según suslongitudes lh. Como entre dos segmentos no huecosexiste siempre un segmento hueco, y los dos extremosno están huecos, entonces es:

y como la suma de las longitudes hueca y no huecas esigual a la longitud total Ln es:

que tiende a L cuando n tiende a infinito.

En Bn el número de huecos es el que habrá en más el número de nuevos huecos que se forman alpasar de a Bn; por cada segmento no hueco de se forma un segmento no hueco nuevo al pasar a Bn.Por tanto

y de aquí se sigue que

que reproduce el resultado (6). Las longitudes huecasque corresponden a los sumandos de (9) forman unaprogresión geométrica de razón 2/3 que es:

existen un hueco de longitud L/3, 2 de longitud L/32 yasí hasta de longitud L/3n. La suma de (10) es

que reproduce el resultado (7)

1

22 2; ;.....;3 3 3

n

nL L L−

10 1 20; 1; 1 2;....; 1 2 .... 2 2 1n n

nNh Nh Nh Nh −= = = + = + + + = −

11 1 1 2n

n n n nNh Nh N Nh −− − −= + = +

11 2nn nNh N −= − =

2

8mlI =

limn nB B∞ →∞=

; 0, 0, ; 0n n n nn N m l Lρ→ ∞ ⇒ → ∞ → → → ∞ →

2 ; 2 ; 3 ; 3 2n n n n nn n n nN m m l l m lρ= = = =

===


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1nB −

1nB − 1nB −

(7)

(8)

(9)

(10)

12n−

(11)

Nota 5ª. ¿Existen los sólidos fractales y una quintainteracción fractal? El polvo fractal y la materiaobscura del universo.

Los fractales numéricos y geométricos son objetosmatemáticos que existen en la mente humana, y por losque no hay ninguna duda sobre su existencia real; sinembargo los fractales físicos no basta con que existanen la mente humana, tienen que existir en la naturalezao poder ser producidos en el laboratorio. Todos losfractales físicos tienen como soporte un fractalgeométrico que sí existe, proceden de un objeto físicoordinario, mediante un proceso de fractalizacióninfinito, del que son el límite. Por tanto hace falta queexistan en la naturaleza tales procesos. Si nos fijamosen la barra de Cantor, la barra inicial B0 se rompe entres pedazos iguales, de los que desaparece el pedazocentral, cuya masa se reparte por igual entre los dospedazos restantes uniformemente, con lo que B0 setransforma en B1. Sobre cada uno de los pedazos de B1se procede de igual manera y así se obtiene B2. Seprocede indefinidamente de esta manera y se obtienecomo límite el fractal B, que es un conjunto infinitoque tiene la potencia del continuo de partículas (barraspuntuales) de volumen y de masa nulos, pero que todasjuntas tienen la masa inicial de B0, ocupan un volumennulo y están distribuidas sobre toda la longitud inicialde B0. La dificultad de la existencia de B está en que semantengan todas las partículas sobre el segmentoinicial de B0 y en la disposición ordenada que se hadescrito; lo natural parecería ser que las partículas queforman B se esparzan por el espacio, quedando confi-nadas en un espacio de volumen finito, formado por unconjunto infinito de partículas de volumen y masanula, que todas juntas tienen la masa inicial de B0, peroocupan un volumen nulo. En ambos casos las partícu-las tienen una densidad infinita; en el primer caso seobtiene un sólido fractal en el que la distancia entredos partículas cualesquiera es constante, es un sistemaindeformable y en el segundo forman un polvo fractalcon masa, pero que no ocupa volumen y que estáesparcido sobre un volumen finito; se trata de un siste-ma deformable.

No existe dificultad para concebir la existencia deun polvo fractal, desordenado y deformable, con masay que no ocupa volumen, pero esparcido sobre unvolumen finito. Sí existe dificultad en concebir unsólido fractal ordenado, indeformable, en el que la dis-

tancia entre dos partículas cualesquiera sea constante,porque al ser el volumen ocupado nulo, quedaría elvolumen del sólido ordinario inicial hueco y en él sepodrían mover libremente las partículas. Para que estopudiera suceder es necesario la existencia de unaquinta fuerza o interacción en la naturaleza que man-tenga el sólido fractal, al igual que existe por ejemplola interacción fuerte que permite la existencia delprotón.

En mi opinión los fractales físicos serían de dosclases: o un sólido fractal o el polvo fractal.

Un sólido fractal es un fractal geométrico formadopor infinitas partículas puntuales con potencia del con-tinuo, sin masa ni volumen, que se mantiene siempre elmismo e indeformable, tal que todas las partículas quelo forman suman una masa (aunque por separado sumasa es nula), no ocupan volumen, están contenidosen el sólido ordinario inicial, del que proceden por unproceso de fractalización indefinido, del que el sólidofractal es el límite. La densidad de las partículas esinfinita. Los sólidos fractales tienen centro de grave-dad y momento de inercia, por lo que obedecen lasleyes de la Mecánica. Para que existan es necesarioque exista una nueva interacción (la fractal) quepermita la existencia de los sólidos fractales.

El polvo fractal (que es la otra posibilidad de fractalfísico) es el resultado de pulverizar un sólido fractal, esun conjunto infinito de partículas sin masa ni volumen,pero que todas juntas tienen masa y no ocupanvolumen (de aquí su densidad infinita), están dispersassobre una parte del espacio que puede ser variable. Noexiste interacción entre ellas y forman un conjuntodeformable. Al no ocupar volumen, pueden ser atrave-sadas por la materia.

La materia obscura del universo, quizás sea unpolvo fractal, que tendría masa, no ocuparía volumen,y estaría espaciada sobre el espacio y podría ser atrave-sada por la materia ordinaria.

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LA IMPORTANCIA DE LA FILOSOFÍA PARA MATEMÁTICOS, … · Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)...

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