La integral definidaDesde su origen, la nocin de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los mtodos de medicin de reas subtendidas bajo lneas y superficies curvas. La tcnica de integracin se desarroll sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teoras sobre derivadas y en el clculo diferencial.Concepto de integral definidaLa integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funcin f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funcin entre los puntos a y b al rea de la porcin del plano que est limitada por la funcin, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la funcin entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definidaLa integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la funcin f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la funcin es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin (es decir, se puede sacar la constante de la integral). Al permutar los lmites de una integral, sta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integracin a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)g (x), se verifica que:

Ilustracin grfica del concepto de integral definida.Funcin integralConsiderando una funcin f continua en [a, b] y un valor x[a, b], es posible definir una funcin matemtica de la forma:

donde, para no inducir a confusin, se ha modificado la notacin de la variable independiente de x a t. Esta funcin, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre defuncin integralo, tambin,funcin reapues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el rea.

Interpretacin geomtrica de la funcin integral o funcin rea.Teorema fundamental del clculo integralLa relacin entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominadoteorema fundamental del clculo integral, que establece que, dada una funcin f (x), su funcin integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del clculo integral es posible definir un mtodo para calcular la integral definida de una funcin f (x) en un intervalo [a, b], denominadoregla de Barrow: Se busca primero una funcin F (x) que verifique que F (x) = f (x). Se calcula el valor de esta funcin en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendr entonces dado por:

Mtodos de integracinLas operaciones de integracin de funciones pueden llegar a ser muy complicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales los ms extendidos son los llamados mtodos de sustitucin o cambio de variable y de integracin por partes.Mtodo de sustitucinUno de los dos procedimientos ms habituales para la resolucin deintegralescomplicadas es el llamadomtodo de sustitucino decambio de variable. Esta tcnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresin apropiada del integrando, de manera que la expresin resultante sea ms fcil de integrar. Por ejemplo, la integral:

se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumplira que dt = cos x dx, con lo que la integral quedara reducida a:

Finalmente se deshara el cambio de variable, con lo que el resultado final sera:

Integracin por partesEl mtodo de laintegracin por partesse emplea para simplificar el clculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x)v (x). La frmula de la integracin por partes es la siguiente:

Este mtodo resulta indicado particularmente cuando vdu es ms fcil de integrar que udv.Clculo de reasLa integral de una funcin continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f (x)0x[a, b] coincide con el rea comprendida entre dicha funcin, el eje horizontal y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones x = a y x = b.Este principio puede servir tambin para calcular las reas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritmticas de adicin y sustraccin.

La integral de f (x) en el intervalo [a, b] coincide con el valor del rea R.Por convenio, dicha rea se dice que es positiva cuando f (x)0 en el intervalo, y negativa si f0 en [a, b]. Cuando la funcin tiene signo variable, las partes de la misma situadas por encima del eje horizontal aadirn valor positivo al rea global, y las que discurran por debajo sumarn valores negativos a la misma.

reas formadas por dos curvas. Por consideraciones geomtricas, el rea de la interseccin se calcula restando a la integral de f (x) en el intervalo [-1, 1] el valor de la integral de g (x) para ese mismo intervalo.Integracin numricaEn ocasiones, el clculo de una integral definida en un intervalo resulta tan complicado que se hace casi irresoluble. En estos casos, se puede aplicar un mtodo deintegracin numricaaproximada, consistente en dividir el intervalo de definicin en un conjunto de subintervalos iguales, de manera que se trazan sus imgenes sobre la curva y se unen todos puntos imagen mediante segmentos rectilneos.Siendo f (x) la funcin de origen, y [a, b] el intervalo de integracin, que se puede dividir en n subintervalos iguales de amplitud h tales que a = x0 < x1 < x2 <