LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos:...
-
Upload
maria-teresa-gutierrez-castro -
Category
Documents
-
view
244 -
download
3
Transcript of LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos:...
![Page 1: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/1.jpg)
LA INTEGRAL DEFINIDA
b
a
dxfÁrea
Departamento de Matemáticas
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II
Ed. Anaya
![Page 2: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/2.jpg)
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
iii mxxPfI ·),( 1
SIn n
b
annÁrea dxfPfSlímPfIlím
nn
),(),(Departamento de Matemáticas
![Page 3: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/3.jpg)
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
iii MxxPfS ·),( 1
b
annÁrea dxfPfSlímPfIlím
nn
),(),(Departamento de Matemáticas
![Page 4: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/4.jpg)
SIGNO DE LA INTEGRAL
+
+
-
b
a
dxfÁrea
b
a
dxfÁrea
b
c
c
a
dxfdxfÁrea
a b
-
Departamento de Matemáticas
![Page 5: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/5.jpg)
INTEGRAL DEFINIDA: PROPIEDADES
b
c
c
a
b
a
dxfdxfdxf.1
0,.2 a
a
dxfbaSi
a
b
b
a
dxfdxf.3
b
a
b
a
b
a
dxgdxfdxgf.4
b
a
b
a
dxfKdxfK ··.5
Departamento de Matemáticas
![Page 6: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/6.jpg)
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es una función continua en [a,b], existe un punto c en el interior de este intervalo tal que:
)(·)()( cfabdxxfb
a
ba
M
m
c
f(c)
Departamento de Matemáticas
![Page 7: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/7.jpg)
DEMOSTRACIÓN
a
M
m
c b
(b-a) · m (b-a) · M b
a
dxxf )(
Sabemos que:
Si dividimos entre b-a quedará:
m M
b
a
dxxfab
)(·1
Al ser f continua, toma todos los valores comprendidos entre el mínimo (m) y el máximo (M).
Luego existe un punto c ]a,b[ tal que :
b
a
dxxfab
cf )(·1
)(
Despejando:
b
a
cfabdxxf )(·)()( c.q.d.
Departamento de Matemáticas
![Page 8: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/8.jpg)
FUNCIÓN INTEGRAL
Si f es integrable en [a,b], podemos calcular:
],[)( baxdttfx
a
y=f(x)
a bx
Tenemos así una función :
x x
a
dttf )(F
x
a
dttf )(
•F(b) = b
a
dttf )(• F(a) = 0•Si f(x)>0 x, F(x) = Área de:
Esta función, F(x) = , se llama FUNCIÓN INTEGRAL
],[)( baxdttfx
a
Departamento de Matemáticas
![Page 9: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/9.jpg)
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Sea f continua en [a,b]. Si x [a,b] y
Entonces:
F es derivable y F´(x) = f(x)
x
a
dttfxF )()(
bax ,
Departamento de Matemáticas
![Page 10: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/10.jpg)
h
xFhxFxF lím
h
)()()´(
0
h
dttfdttfx
a
hx
a
hlím
)()(
0 h
dttfhx
x
hlím
)(
0
Demostración:
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Y, por el Teorema del Valor Medio: :/[,] hxxc
h
cfhlímh
)(·
0
)()(0
xfcflímh
c.q.d.
Departamento de Matemáticas
x x x+hx+h
![Page 11: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/11.jpg)
REGLA DE BARROW
b
aaFbFdxxf )()()(
Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:
Departamento de Matemáticas
![Page 12: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/12.jpg)
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxfÁreab
a
-2
22 xy
Departamento de Matemáticas
![Page 13: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/13.jpg)
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxgfÁreab
a
6
Departamento de Matemáticas
![Page 14: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/14.jpg)
b
c
c
a
dxfdxfÁrea b
a
b
a
dxgdxfÁrea
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxghdxgfÁreab
c
c
a
Departamento de Matemáticas
![Page 15: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/15.jpg)
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
xxy 22
Departamento de Matemáticas
![Page 16: LA INTEGRAL DEFINIDA Departamento de Matemáticas Autora: Mª Soledad Vega Fernández Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II Ed. Anaya.](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081421/5665b4ab1a28abb57c9310a4/html5/thumbnails/16.jpg)
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
Departamento de Matemáticas