La  llegada  de  Fermat    Resumen.-­‐  Tomando   como  excusa   la  película   “La   llegada”   (Arrival)   y   el   cuento   en  que  se  basa,  se  muestra  que  el  principio  de  Fermat  no  involucra  paradojas,  como  que  la  luz  sepa  por  anticipado  todo  lo  que  va  a  pasar.  Para  ello  el  principio  se  enmarca  en  el   contexto   ondulatorio,   donde   se   explica   como   una   combinación   de   difracción   e  interferencia.          Introducción.-­‐  En  una  deliciosa  conversación  con  el  Director  del  Departamento  me  recomendó  leer  el  cuento  en  el  que  se  basa  La  llegada,  película  que  adoro:  tiene  un  detalle  que  te  encantará,  me  dijo.  Se   trata  de  Story  of  your  life,  de  Ted  Chiang.  De  paso  me  enseñó  una  magnífica   experiencia  de  óptica   geométrica   con  un   rollo  de  papel  higiénico  como  instrumento  óptico,  pero  eso  será  para  otra  ocasión.  Hice  lo  que  me  pidió  mi  Director,  como  casi  siempre  [1].    Cuántas  veces  desde  pequeño  he  soñado  que  me  reclutaban  para  iniciar  el  primer  diálogo   con   extraterrestres,   sin   saber   que,   de   acuerdo   con   este   relato,   la   clave  estaría   en   nuestro   curso   de   óptica   geométrica:   El   principio   de   Fermat.   Los  extraterrestres  no  entienden  nuestra  física  hasta  que  se  les  habla  de  ese  principio.  Por  eso  hay  un  físico  en  la  historia  [2],  pero  la  película  nos  ha  hurtado  este  detalle  [3].  Como  ilustración  recojo  la  pregunta  que  se  hace  la  protagonista:  ¿Qué  clase  de  visión   del   mundo   tienen   los   extraterrestres   para   considerar   que   el   principio   de  Fermat   es   la   explicación   más   simple   de   la   refracción   de   la   luz?   Buena   pregunta,  ¿verdad?  aunque  no  para  examen.      Fermat.-­‐  El  principio  de  Fermat  dice  que  la  luz  sólo  sigue  trayectorias  que  hagan  estacionario   el   camino   óptico.   Es   decir,   que   el   camino   óptico   no   cambia   si  cambiamos   ligeramente   la   trayectoria   [4].   Para   calcular   el   camino   óptico   de  cualquier   trayectoria   que   una   un   par   de   puntos   A   y   B   se   divide   la   curva   en  segmentos   infinitesimales,   se   multiplica   la   longitud   de   cada   segmento   ds   por   el  índice  de  refracción  en  ese  punto  n(s)  y  se  suman,  más  explícitamente    

W = n s( )dsA

B

∫  .        

El  índice  de  refracción  suele  poder  expresarse  como  el  cociente  entre  la  velocidad  de   la   luz   en   el   vacío   y   la   velocidad   de   fase  n  =   c/v,   en   cuyo   caso  camino   óptico  equivaldría  a  tiempo.  

   Normalmente   suele   ocurrir   que   las   trayectorias   son  mínimos   y  muy   rara   vez   un  máximo  o  un  punto  de  inflexión.  La  razón  es  clara,  si  una  trayectoria  fuera  máximo  siempre  se  podría  hacer  "más  máxima"  si  a  mitad  de  trayectoria  me  desvío  y  me  voy  a  Soria,  Siria  o  Sirio,  y  si  acaso,  voy  y  vuelvo  todas  la  veces  que  haga  falta.  Lo  

que   parecen   máximos   son   en   realidad   puntos   silla.   Tenga   en   cuenta   que   una  trayectoria   depende   de   infinitas   variables   y   los   máximos   y   puntos   de   inflexión  emergen  al  constreñir  el  espacio  reduciendo  el  número  de  variables.      Cuando  el  índice  es  siempre  el  mismo,  camino  óptico  mínimo  equivale  a  distancia  mínima,   también   llamadas   trayectorias   geodésicas.   Esta   es   una   idea   que   recoge  bien   la   relatividad   general.   Curiosamente,   por   jugar   un   espacio   curvo   puede  describirse   a   efectos   ópticos   como   plano   pero   con   índice   de   refracción  inhomogéneo  [5].      Paradojas.-­‐   Las   formulaciones   de   mínimo   suelen   tener   cierto   aire   místico   o  paradójico  ¿cómo  sabe  la  luz  nada  más  salir  del  punto  A  si  la  trayectoria  que  sigue  será  la  mínima?  La  luz  en  el  punto  A  ¡no  sabe  lo  que  se  va  a  encontrar  en  el  camino,  ni  siquiera  dónde  va  a  llegar!  Como  se  aprovecha  en  el  cuento,  esta  visión  contrasta  con  la  formulación  causal  estándar  en  la  que  la  luz  iría  resolviendo  los  problemas  a  medida   que   se   encuentran:   la   típica   ecuación   de   Newton   de   movimiento  proporcional  a  fuerza.  La  luz  en  cada  momento  haría  lo  que  diga  las  fuerzas  en  ese  momento,  el  "siempre  ahora"  del  mindfulness.      El  propósito  de  estas  notas  es  quitarle  el  aire  místico  al  principio  de  Fermat.  Ya  lo  siento,  pero  no  hay  nada  paradójico  si  demostramos  el  principio  de  Fermat,  lo  que  tiene   que   hacerse   invocando   el   verdadero   carácter   de   la   luz:   ondulatorio.   No  haremos  aquí  una  demostración  rigurosa  para  lo  que  remito  a  otro  documento  [6].  Simplemente  quiero  mostrar  los  detalles  fundamentales  que  nos  hacen  inteligible  el   resultado,   quitándole   su   aura   teleológica   y   mística.   No   quiero   quitar   ningún  encanto,  el  mundo  en  sí  mismo  ya  es  increíble.  No  necesita  toppings  [7]  .    Fermat   explicado   por   difracción   +   interferencia.-­‐   Realmente   la   luz   avanza  explorando  todas  las  trayectorias  a  la  vez,  gracias  a  su  naturaleza  ondulatoria.  Las  ondas   no   se   pueden   constreñir   a   una   sola   trayectoria,   su   naturaleza   es  desparramarse,   lo   que   se   llama   difracción.   Y   lo  más   divertido   es   que   la   onda   es  capaz   de   sacar   conclusiones   de   su   exploración   mediante   el   fenómeno   de   la  interferencia.    El  paradigma  de  propagación  ondulatoria  es  el  principio  Huygens,  en  el  que  cada  punto  del  espacio  está  re-­‐emitiendo  continuamente  en  todas  las  direcciones  la  luz  que   le   llega,   en   forma   de   ondas   esféricas.   Aunque   la   imagen   es   un   poco   forzada  puede   verificarse   experimentalmente.   Aísle   un   punto   del   espacio   por   ejemplo  haciendo  un  pequeño  orifico  en  una  pantalla  opaca  e  ilumínelo  bien.  Verá  que  sale  luz  en  todas  la  direcciones.  Eso  es  difracción.  Pero  si  esta  imagen  le  parece  un  poco  forzada   pongamos   que   estamos   en   la   materia   donde   la   idea   ya   es   mucho   más  realista.      Podemos   imaginar   entonces   trayectorias   de   luz   que   vayan   dando   saltos   de   un  punto   a   otro   como   muestra   la   siguiente   figura.   Imagine   trayectorias   con   tantos  saltos  como  quiera,  en  el   límite,  un  continuo  de  saltos.  Todas  son  posibles,   todas  ocurren,  si  creemos  a  Huygens,  y  todas  se  pueden  comprobar  experimentalmente  por  el  método  sugerido  arriba,  aunque  tengan  poca  luz.    

   El  principio  de  Fermat  ocurre  cuando  consideramos  todas  a  la  vez  y  sumamos  sus  efectos.   Cada   trayectoria   lleva   un   campo   eléctrico   y   cuando   las   trayectorias   se  cruzan   sus   campos   eléctricos   se   suman,   porque   las   ecuaciones   de   Maxwell   son  lineales.  Eso  es  interferencia.      La  clave  es  que  el  resultado  de   la  suma  es  muy  distinto  si  estamos  en  torno  a  un  punto   de   camino   óptico   estacionario   o   no.   La   razón   es   que   el   resultado   de   la  interferencia   depende   de   la   fase   de   lo   que   interfiere,   y   la   fase  φ  es   el   camino  óptico.  Digamos  que  

φ =2πλW  .  

 Para  entender  esta  conexión  recuerde  la  forma  típica  que  tiene  la  fase  en  una  onda  esférica   k r  o  plana  

k ⋅ r  y  que   k =

k = 2πn / λ  siendo  λ  la   longitud  de  onda  en  el  

vacío   [8].  Por  ejemplo,   teniendo  en  cuenta  que  un  rayo  de   luz  es  como  una  onda  plana  pequeñita  que  va   en   la  dirección  del   rayo,   tenemos   fácilmente   la   conexión  deseada  entre  fase  y  camino  óptico    

dφ =k ⋅dr ≈ kds = 2π

λnds = 2π

λdW  .  

 Si   para   cierta   trayectoria   el   camino   óptico   es   estacionario,   las   trayectorias  próximas  tendrán  la  misma  fase  por  lo  que  la  interferencia  será  constructiva.  En  la  figura  he  representado  la  fase  en  función  de  x  para  una  trayectoria  simple  que  une  dos   puntos   A   y   B   en   el   vacío   separados   un   metro   siendo   λ = 0.5µm

    y  

contemplamos  una  excursión  intermedia  al  punto  P.  El  camino  mínimo  ocurre  para  x = 0

 y  allí  la  fase  es  estacionaria.  Todas  las  trayectorias  vecinas  con  x  distinto  de  

cero  cooperan  constructivamente,   como  buenos  vecinos.   ¿Cuánto  de  vecinas?  Sin  duda  para   x << λ ,  pero   la   figura   incluso  sugiere  que  mucho  más  allá   incluso,  por  ejemplo   x ≈ 0.1mm = 200λ .  Para  otro  punto  como  el  P  con   x =1mm  las  trayectorias  tienen   fases   muy   distintas,   con   lo   que   el   resultado   de   combinar   trayectorias  vecinas  es  interferencia  destructiva.      

     Conclusiones.-­‐  Recordemos  que  en  difracción  e  interferencia  la  energía  ni  se  crea  ni   se   destruye,   sólo   se   recoloca.   Es   decir,   a  medida   que   se   propaga   la   luz   se   va  recolocando  en  el  espacio  por  efecto  combinado  de  difracción  e  interferencia.      Ruegos  y  preguntas.-­‐  Alguien  puede  decir  que  la  paradoja  revive  si  hablamos  de  fotones.  No  está  tan  claro,  ya  que  los  fotones  viven  en  el  campo  electromagnético,  no  son  objetos  diferentes.      Lo   dicho   para   la   luz   se   puede   traducir   a   la   mecánica   mediante   el   principio   de  Hamilton.   Según   lo   visto   aquí,   el   principio   de   Hamilton   pide   a   gritos   una  explicación   ondulatoria:   se   trata   de   la  mecánica   cuántica,   como   se   dio   cuenta   el  gran,  grandísimo  Feynman  [9].    Otros  análisis  sobre  la   llegada  de  Fermat  similares  al  hecho  aquí  puede  verlos  en  estos  enlaces  [10].    Agradecimientos    Javier   Alda   y   José  Manuel   López   por   ser   el   primer  motor   y   por   lectura   atenta   y  correcciones   del   primer   borrador.   Por   los   ánimos   Blanca   Rojas,   Alberto   Pedro  Manzano,  María  Fuente.      Bibliografía  y  notas  (fecha  de  revisión  sin  fijar)    [1]  Realmente   la   conversación   fue   con   Javier  Alda,   pero   su   avatar   de  Director   le  daba  mayor  dramatismo  al  relato.  A  su  vez,  Javier  fue  contagiado  por  José  Manuel  López.    http://www.ucm.es/javier_alda    [2]   Además   de   cumplir   su   papel   romántico   con   una   hermosa   frase.   Fantástico  Jeremy  Renner,  inolvidable  adicto  a  la  adrenalina  de  la  maravillosa    En  tierra  hostil  (The  Hurt  Locker).    [3]  Cielos!  Jordi  Hurtado  es  inevitable  en  cuanto  se  juntan  las  palabras  estacionario  y  tiempo.  Seguro  que  está  también  en  los  temarios  de  Cuántica  y  Física  Estadística.    [4]  Esos  cambios  son  como  los  pequeños  contoneos  que  hacemos  al  sentarnos  en  un  sofá  hasta  que  nos  sentimos  cómodos.    

[5]  Ver  un  fichero  sobre  Óptica  en  Astronomía  en  Campus  Virtual  o  pedírmelo.    [6]  Aproximación  eikonal:  Óptica  Geométrica  http://pendientedemigracion.ucm.es/info/gioq/docencia/MaterialesDocentes/eikonal.pdf    [7]    I  lie  abstracted,  and  hear  beautiful  tales  of  things,  and  the  reasons  of  things;  They  are  so  beautiful,  I  nudge  myself  to  listen.    It  is  no  small  matter,  this  round  and  delicious  globe,  moving  so  exactly  in  its  orbit  forever  and  ever,  without  one  jolt,  or  the  untruth  of  a  single  second;    And   that   the   moon   spins   round   the   earth,   and   on   with   the   earth,   is   equally  wonderful,  And  that  they  balance  themselves  with  the  sun  and  stars,  is  equally  wonderful    And  that  my  Soul  embraces  you  this  hour,  and  we  affect  each  other  without  ever  seeing  each  other,  and  never  perhaps  to  see  each  other,  is  every  bit  as  wonderful.  Walt  Whitman,  Leaves  of  grass    Hay,   con   todo,   un   goce   y   una   belleza   en   el   tumulto   de   las   olas   que   barren   la  eternidad.  ¿Por  qué  no  penetrar  su  espíritu,  o,  como  Lietsé,  por  qué  no  montar  a  caballo  del  mismo  huracán?    Sólo  quien  ha  vivido  en  idilio  constante  con  la  belleza  morirá   en   sus   brazos.   Habiendo   cuidado   de   rimar   siempre   con   la   poesía   del  Universo,  estando  en  todo  momento  a  punto  de  entrar  en  lo  desconocido.  Okakura  Kakuzo,  El  libro  del  té    [8]   La   monocromaticidad   tiene   mucho   peligro   en   los   que   respecta   al   tiempo,  puesto  que  por  definición   las  ondas  armónicas  viven   fuera  del   tiempo,  pero  creo  que  ese  factor  no  influye  en  esta  historia,  o  no  mucho  por  lo  menos.    [9]  Más  grande  que  Joseph  Tura.    The  Feynman  Lectures  on  Physics      http://www.feynmanlectures.caltech.edu/  https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation    [10]  Por  razones  desconocidas  no  he  podido  hacer  enlazar  debidamente  estas  páginas.  Por  favor  copie  el  enlace  y  péguelo  en  su  navegador.    Here's  The  Physics  That  Got  Left  Out  Of  'Arrival',  por  Chad  Orzel  http://www.forbes.com/sites/chadorzel/2016/11/21/the-­‐physics-­‐that-­‐got-­‐left-­‐out-­‐of-­‐arrival/    Variational  Principles  and  the  Story  of  Your  Life,  por  por  Chad  Orzel  http://scienceblogs.com/principles/2008/01/10/variational-­‐principles-­‐and-­‐the/        Alfredo  Luis  Aina  Galapagar,  21  febrero  2017