La luz

Calcula la energía y la longitud de onda de un fotón de luz de 1015

Hz de frecuencia.

6,625.10-19

J

3.10-7 m

Qué energía tiene un fotón de longitud de onda de 6.000 Å?

2,07 ev

Si el efecto fotoeléctrico se produce con luz roja, tendrá lugar también con luz amarilla? Razona la respuesta.

Sí

En un aparato se produce el efecto fotoeléctrico con luz azul. Se va a producir este efecto con luz amarilla? Por qué?

Tal vez sí o tal vez no, depende de ...

Si la frecuencia de radiación que incide sobre una placa metálica y que produce efecto fotoeléctrico se duplica, también se duplicará la energía cinética de los electrones emitidos? Razona la respuesta.

No

Una luz de frecuencia 6.1014

Hz incide sobre una superficie metálica y salen electrones con una energía cinética de 2.10

-19 J. Calcula el trabajo de extracción de los electrones.

1,975.10-19

J

En el efecto fotoeléctrico obtenido iluminando potasio, la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos es de 1,6 eV cuando la luz incidente es de 3.500 Å. Cuál es la energía umbral en eV?

1,95 eV

(PAU junio 03) Sobre el efecto fotoeléctrico:

Explica brevemente en que consiste el efecto fotoeléctrico. Supon que al irradiar un metal con luz azul se produce efecto fotoeléctrico. Discute si también

se va a producir cuando irradiemos el metal con luz amarilla, sabiendo que la luz amarilla tiene una frecuencia más baja que la luz azul. Justifica la respuesta.

Cuando una superficie metálica se ilumina con luz de 180 nm (zona ultravioleta), ésta emite electrones. Observamos también que la frecuencia umbral corresponde a la luz de 230 nm.

Calcula la velocidad máxima con la que salen los electrones al principio del experimento. Con qué potencial inverso tienen que ser frenados estos electrones para impedir que lleguen

al ánodo de la célula fotoeléctrica? 2,3.10

6 m/s

1,5 V

Para un cierto metal la longitud de onda umbral es de 270 nm.

Determina la energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal. Cuál será la velocidad que, como máximo, podrán tener los electrones emitidos en tal caso?

Si la luz con el que iluminamos fuese de 200 nm,

Cuál sería la velocidad máxima con qué saldrían los electrones? 7,36.10-19 J

0 m/s

756,8 km/s

La energía mínima necesaria para arrancar electrones del cobre es de 4,4 eV. Cuál será la diferencia de potencial que habremos de aplicar para impedir la salida de electrones del cobre si éste se ilumina con una luz de 150 nm de longitud de onda?

3,88 V

(PAU junio 01) Calcula l’energía cinética máxima de los electrones emitidos por una superficie

metálica cuando inciden fotones de longitud d’onda = 2 . 10–7

m. La energía mínima para liberar los electrones (trabajo de extracción) es W = 6,72 . 10

–19J.

Datos: h = 6,62.10–34

J.s; c = 3.108 m/s.

3,21.10-19

J

(OIF febrero 01) Una lámpara de arco se dispone con un dispositivo (filtro interferencial) que permite pasar únicamente luz de longitud d’onda igual a 400 nm (1 nm = 10

-9 m). Al incidir esta

luz sobre un metal extrae de éste un haz de electrones. Cambiamos el filtro por otro que permite pasar únicamente luz de 300 nm, ajustando la lámpara para que la intensidad de la luz incidente sea la misma que con la luz de 400 nm, entonces:

Se emiten un número mayor de electrones en idéntico periodo de tiempo. Los electrones que se emiten tienen energía más elevada. Los dos apartados anteriores son ciertos. Ninguno de los dos primeros apartados es cierto.

b

Determina la longitud de onda, la frecuencia y el cantidad de movimiento de un fotón de 200 MeV de energía e indica en qué zona del espectro se encuentra.

6,21.10-15

m

4,8.1022

Hz

1,06.10-19

kg.m/s

Un electrón y un fotón tienen, cada uno, una longitud de onda de 2 Å. Cuáles son sus cantidades de movimiento?

3,3125.10-24

kg.m/s

Son posibles los fenómenos de interferencia con electrones? Razona la respuesta.

Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada a cada partícula:

Una persona de 70 kg que se mueve con 2 m/s de velocidad. Un electrón que se mueve a 1.000 m/s.

4,7.10-36

m

7,2.10-7 m

Por qué tiene más poder de resolución el microscopio electrónico que el óptico?

Cuál es la longitud de onda de De Broglie asociada a un virus de 10-18

g de masa que se mueve por la sangre con una velocidad de 0,2 m/s?

3,3125.10-12

m

Qué longitud de onda corresponde a un protón que se mueve a 2.107 m/s y a una bala de fusil de 5

g de masa que se mueve a 100 m/s?

2,07.10-14

m

1,325.10-33

m

Un microscopio electrónico utiliza electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 40.000 V.

Calcula la energía suministrada a cada electrón. Cuál será la velocidad de choque de los electrones? Determina el poder de resolución suponiendo que es igual a la longitud de onda de De Broglie

asociada a los electrones. 6,4.10

-15 J

1,186.108 m/s

0,06138 Å

Calcula la energía de un fotón de longitud de onda = 5.10-7

m.

3,975.10-19

J

Una emisora de FM transmite con una potencia de 1 kW a una frecuencia de 98 MHz. Cuantos fotones emite durante un segundo?

1,54.1028

fotones

Calcula la indeterminación en la cantiadad de movimiento y en la velocidad del electrón del átomo de hidrógeno en la primera órbita de Bohr. El radio es 0,529 Å y queremos que la indeterminación en la posición sea del 1% de dicho radio. Expresa la indeterminación en la velocidad en función de la velocidad de la luz, sin considerar efectos relativistas.

1,99.10-22

kg.m/s

2,19.108 m/s

0,73 c

Calcula la indeterminación en la cantidad de movimiento de un neutrón situado dentro del núcleo, si

consideramos que la posición está limitada a un entorno de 1.10-14

m (tamaño del núcleo). Cuál es la indeterminación en la velocidad?

1,055.10-20

kg.m/s

6,296.106 m/s

Este efecto, se trata de otro fenómeno que, al igual que la radiación de cuerpo negro, también involucra

la interacción entre la radiación y la materia. Pero esta vez se trata de absorción de radiación de

metales

Heinrich Hertz (1857-1894), científico alemán, fue el primero en observar el efecto fotoeléctrico, en 1887, mientras trabajaba en la generación de ondas de radio. Informó esta observación pero no se

dedicó a explicarla

Al incidir luz ultravioleta sobre el cátodo metálico

(fotocátodo) se detecta el paso de una corriente

eléctrica. Se trata de electrones que abandonan el

cátodo (colector) y se dirigen al ánodo a través del vacío

dentro del tubo. Los electrodos se hallan conectados a

una diferencia de potencial de sólo unos pocos voltios.

La teoría electromagnética clásica considera que la

radiación de mayor intensidad (o brillo, si es

visible), que corresponde a ondas de mayor amplitud, transporta mayor energía.

Esta energía se halla distribuida uniformemente a lo largo del frente de onda. La intensidad es igual a la energía que incide, cada unidad de tiempo, en una

unidad de superficie.

Con radiación ultravioleta de diferentes intensidades, los electrones salen del metal con la misma velocidad. La radiación más intensa arranca mayor número de electrones. Esta observación también

resultaba inexplicable.

Con luz ultravioleta, aun de baja intensidad, los electrones son

arrancados prácticamente en forma instantánea, aunque la Física

clásica predecía un tiempo de retardo hasta que los átomos

absorbieran la energía necesaria para expulsar el electrón. Con luz

visible este fenómeno no se observa, aunque se aumente la

intensidad de la luz y se ilumine durante mucho tiempo, como para

que el átomo absorba bastante energía. Esta observación resultaba

inexplicable.

EXPLICACION FISICA DEL FENOMENO

Planck había llegado a la conclusión de que el traspaso de energía entre la

materia y la radiación en el cuerpo negro ocurría a través de paquetes de

energía. Sin embargo, no quiso admitir que la energía radiante una vez

desprendida de la materia también viajaba en forma corpuscular. Es decir

que siguió considerando a la radiación que se propaga como una onda

clásica.

En 1905, Albert Einstein fue un paso más allá al explicar completamente las

características del efecto fotoeléctrico. Para ello retomó la idea del cuanto

de energía de Planck, postulando que:

La radiación electromagnética está compuesta por paquetes de energía o

fotones. Cada fotón transporta una energía

E= v .h , donde v es la frecuencia de la radiación y h es la constante de Planck.

Cuando un fotón incide sobre el metal, transfiere toda su energía a alguno de los

electrones. Si esta energía es suficiente para romper la ligadura del electrón con

el metal, entonces el electrón se desprende. Si el fotón transporta más energía

de la necesaria, este exceso se transforma en energía cinética del electrón:

Expresado en fórmula matematica es: Ecinética = h . v - Eextracción

dondeEextracción es la energía necesaria para vencer la unión con el metal.

Esta teoría explica perfectamente los hechos observados:

1. Si la frecuencia de la radiación es baja (como en la luz visible), los fotones no acarrean la suficiente

energía como para arrancar electrones, aunque se aumente la intensidad de la luz o el tiempo durante

el cual incide.

Para cada tipo de material existe una frecuencia mínima por debajo de la cual

no se produce el efecto fotoeléctrico.

2. Si la frecuencia de la radiación es suficiente para que se produzca el efecto

fotoeléctrico, un crecimiento de la intensidad hace que sea mayor el número de

electrones arrancados (por ende será mayor la corriente), pero no afecta la

velocidad de los electrones.

Aumentar la intensidad de la luz equivale a incrementar el número de fotones,

pero sin aumentar la energía que transporta cada uno.

3. Según la teoría clásica, habría un tiempo de retardo entre la llegada de la radiación y la emisión del

primer electrón. Ya que la energía se distribuye uniformemente sobre el frente de la onda incidente,

ésta tardaría al menos algunos cientos de segundos en transferir la energía necesaria. La teoría de

Einstein, en cambio, predice que:

Una radiación de frecuencia adecuada, aunque de intensidad sumamente baja, produce emisión de

electrones en forma instantánea.

Pasaron diez años de experimentación hasta que la nueva teoría fue corroborada y aceptada. Se

determinó el valor de h a partir de experiencias de efecto fotoeléctrico y se encontró que concordaba

perfectamente con el valor hallado por Planck a partir del espectro de radiación de cuerpo negro.

Desde ese momento los físicos aceptaron que, si bien la luz se propaga como si fuera una onda, al

interactuar con la materia (en los procesos de absorción y emisión) se comporta como un haz de

partículas. Esta sorprendente conducta es lo que se ha llamado la naturaleza dual de la luz. Esto

muestra que las ideas surgidas del mundo macroscópico no son aplicables al inimaginable mundo de lo

diminuto.

1905 El articulo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico

Breve Descripción del Fenómeno

Cuando Einstein recibió el Premio Nobel en 1921, fue su explicación sobre el efecto fotoeléctrico y

no su artículo sobre la relatividad especial lo que se citaría. Quizá fuera debido en parte a la

negativa de los científicos a aceptar la teoría especial después de tan poco tiempo. Aún así, su

análisis del efecto fotoeléctrico en su artículo “Heurística de la generación y conversión de la luz”

es de por sí un trabajo revolucionario. Al explicar un efecto

que contradecía las creencias de su tiempo sobre la naturaleza de la luz, Einstein contribuyó a la

visión global de hoy en día sobre el mundo subatómico, que no sólo el hombre de la calle, sino

incluso los propios físicos tienen problemas en imaginar.

Para los contemporáneos de Einstein, el efecto fotoeléctrico era un fenómeno extraño, aunque

común: las láminas de algunos metales. al ser expuestas a una luz de determinada longitud de

onda, emitían electrones. Hoy en día abunda la utilización práctica de este efecto, en ascensores,

puertas de garaje, cajas de los supermercados. En definitiva, un haz de luz atraviesa un espacio e

ilumina una lámina metálica en el lado opuesto. lo que hace que la lámina emita electrones. La

emisión de electrones se comprueba. y se cierra un circuito que hace que la cinta transportadora

en la caja se mueva. Cuando algo obstruye el camino de la luz, una barra de pan, por ejemplo,

entonces la emisión de electrones se detiene, el circuito se abre. la cinta se detiene de pronto y se

cae nuestro cartón de leche...

La parte más extraña del efecto fotoeléctrico no era si la luz tenía suficiente energía para

desprender electrones, sino cómo sucedía este fenómeno. Cuando los físicos comenzaron a medir

la energía cinética de los electrones emitidos con distintas frecuencias e intensidades de la luz, se

encontraron con que los resultados contradecían todas sus suposiciones.

Predicción: al hacer la luz más brillante (es decir, al aumentar su intensidad) se emitirían la misma

cantidad de electrones, pero cada electrón tendría mayor energía.

Resultado: al hacer la luz más brillante, se emitían más electrones, pero cada electrón tenía la

misma energía.

Predicción: al cambiar el color de la luz (al cambiar su frecuencia) se emitirían más electrones,

pero no habría cambios en la energía de cada electrón.

Resultado: el cambiar el color de la luz no tenía efecto en el número de electrones emitidos, pero

cada electrón tenía una energía mayor o menor, dependiendo del color.

Lo que es más, se descubrió que cada tipo de lámina metálica tenía una “frecuencia umbral’. La luz

con frecuencia menor de este umbral no tenía ningún efecto. La luz con frecuencia superior al

umbral daba lugar a emisión de electrones. Una vez que se traspasaba esta frecuencia umbral, la

energía de los electrones emitidos aumentaba según se aumentaba la frecuencia de la luz. En el

caso del zinc, la luz blanca no tenía efecto sobre las láminas, porque su frecuencia estaba por

debajo de la frecuencia umbral del zinc. La luz violeta, cuya frecuencia está por encima de este

umbral, hacía que se desprendieran electrones; cuando se aumentaba todavía más la frecuencia

(luz ultravioleta, por ejemplo) también se aumentaba la energía de los electrones.

Para explicar este efecto paradójico, Einstein utilizó una teoría revolucionaria que había

desarrollado en 1900 Max Planck (1858-1947), un profesor de física de la Universidad de Berlín.

Planck se había dedicado al tema de la energía de radiación, intentando explicar la ausencia de lo

que era conocido como la “catástrofe ultravioleta”.

La catástrofe ultravioleta era otra vía muerta para los físicos, y tenía relación con un fenómeno

denominado “radiación del cuerpo negro”. Cualquier objeto que absorbiera energía

electromagnética (un grill de barbacoa, una máquina de café o unas chuletas) emite a su vez

energía electromagnética, con distinto grado de eficacia. Un cuerpo negro es sencillamente un

objeto idealizado que absorbiera toda la energía electromagnética incidente y que, también

emitiera toda la energía absorbida. Aunque este objeto ideal no exista (la aplicación práctica más

cercana sería una esfera negra con un pequeño agujero) el término agrupa a todos los absorbentes

y radiadores imperfectos. Los estudios sobre las formas en que los objetos emitían la radiación del

cuerpo negro revelaron un hecho inquietante: la realidad no estaba de acuerdo con la teoría. Para

la teoría, al calentar un cuerpo negro se llegaría a los que se denominaba la “catástrofe

ultravioleta”.

Para intentar ilustrar el tema, imaginemos que hemos rellenado de carbón ¡a barbacoa y la hemos

encendido. El carbón empieza a radiar energía electromagnética, tanto en forma de luz infrarroja

de baja frecuencia (lo que llamamos “calor”). y también luz visible de alta frecuencia (lo que

denominamos “fuego”). Hay que tener cuidado con no confundir la ausencia de radiación visible

(llamas), con la ausencia de radiación, y no intentar encender de nuevo los carbones. Después de

colocar un cafetera en el grill, colocamos unas brochetds sobre el carbón. También absorben y

emiten radiación electromagnética. Por ahora, todo va perfectamente.

Desgraciadamente, la teoría predecía que la energía radiada tenía que estar igualmente dividida

entre todas las frecuencias electromagnéticas (es decir, desde la infrarroja de baja frecuencia

hasta el rango de las ultravioletas). En otras palabras, al encender los carbones no sólo

produciríamos calor y bonitas llamas, sino también radiación ultravioleta y también rayos X y rayos

gamma. Según se calentara, no solamente se tostarían las chuletas, sino también nosotros y todo

lo que nos rodeara. Esta era la “catástrofe ultravioleta”. Y ya que no se producía, ¿cuál era la

explicación?

La revolucionaría explicación aportada por Planck fue la de que la energía no se radiaba como un

continuo a través del espectro electromagnético, a cualquier frecuencia posible. Solamente se

podía emitir en paquetes discretos, discontinuos, que Planck denominó “cuantos”, y frecuencias

diferentes requerían también un número diferente de “paquetes” de energía.

La emisión de luz de baja frecuencia requiere pocos paquetes de baja energía, mientras que las

ondas de luz en el extremo ultravioleta del espectro requieren un número enorme de paquetes de

alta energía. Esta era la explicación de por qué sentarse cerca de la barbacoa no es un

suicidio.Planck se dio cuenta de que había descubierto algo importante, pero nunca soñó con que

sus cuantos representaran cualquier tipo de realidad física. Sin embargo, Einstein utilizó esta teoría

para explicar el efecto fotoeléctrico. Donde Planck había afirmado que la radiación se distribuía en

paquetes discretos, Einstein fue aún más lejos, afirmando que esos paquetes discretos

representaban partículas de luz. Suponiendo que la luz no era sólo una onda sino un partícula con

una cantidad discreta de energía, el efecto fotoeléctrico podía explicarse fácilmente:

Predicción: el hacer la luz más brillante sólo significaba que más fotones de una energía dada

incidían en la placa metálica. Esto quiere decir que hay más colisiones entre fotones y electrones. y

que se desprenden más electrones, cada uno con la misma energía.

Resultados: coinciden con la predicción.

Predicción: al cambiar el color de la luz se cambia la energía de cada fotón, pero no el número de

fotones que inciden en la placa metálica. Como resultado, hay el mismo número de colisiones, es

decir, se desprende el mismo número de electrones, pero esos electrones tienen distinta energía.

Resultados: coinciden con la predicción.

Los fotones también explican el umbral de energía. La energía de cada fotón es una función de su

frecuencia, es decir, del color. Si la frecuencia es demasiado baja, el fotón no tiene suficiente

energía para desprender un electrón de la placa. Esto explica por qué no se produce una corriente

eléctrica cada vez que las luces de un automóvil inciden sobre una señal de “Stop”: simplemente,

los fotones no tienen energía suficiente.

A pesar de lo ingeniosa y matemáticamente correcta teoría de Einstein sobre el efecto

fotoeléctrico, ésta no fue muy bien recibida por la comunidad científica. No había ninguna duda de

que la luz fuera una onda, ya que había sido demostrado muchas veces. Pero, de pronto, parecía

que la única explicación del efecto fotoeléctrico era considerar la luz como un haz de partículas

individuales. Muchos físicos se opusieron a la tesis de Einstein, argumentando que, aunque

proporcionara un aparato matemático capaz de describir el fenómeno, no representaba una visión

apropiada de la realidad. La luz era una onda, y nada más. ¿Nada más, realmente?

Fuente Consultada:

EiEfectofotoeléctrico

Cuando un metal es irradiado expulsa electrones pero hay una serie de observaciones que la física clásica no podía explicar. Es el llamado efecto fotoeléctrico:

- No se observan electrones cuando la la frecuencia de la radiación está por debajo de un valor que además depende del tipo de metal. Incluso cuando se aumenta la intensidad de la radiación, si la frecuencia está por debajo de este valor límite, no se expulsan electrones.

- La energia cinética de los electrones expulsados aumenta linearmente con la frecuencia de la radiacion incidente pero es independiente de la intensidad de la radiación.

- Siempre que se irradia un metal por encima de la frequencialimite,se emiten electrones, incluso a muy bajas intensidades de radiación.

Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico en 1905 y por ello ganó el premio Nobel de Físicas en 1921 (en inglés)

El efecto fotoeléctrico se basa en el hecho de que la energía esta distribuida en "paquetes energéticos" que no se pueden dividir. Estos "paquetes" se llaman fotones. La energía del fotón está determinada por la frecuencia de la irradiación: . La energía necesaria para arrancar un electron de un metal será

. El valor de depende del metal. Basándonos en la conservación de la energía, podermos escribir:

, donde es la constant de Planck.

Si es menor que no se expulsarán electrones. Los fotones de la radiación no tienen la energía suficiente para arrancar electrones del metal. Aumentar la intensidad de la irradiación es aumentar el número de fotones pero la energía del fotón seguirá siendo la misma.

Si es mayor que se expulsarán electrones. La energía cinética de los electrones expulsados será proporcional a la frecuencia de la irradiación. Cuanto más alta sea la frecuencia de la radiación, más energía tendrán los fotones y los electrones expulsados tendrán una mayor energía cinética. Aumentar

la intensidad de la radiación implica que más electrones serán expulsados pero la energía cinética a la que serán expulsados seguirá siendo la misma.

Problemas resueltos de selectividad en Educared Potencia de la radiación y longitud de onda umbral Proceso de fotoemisión Reducción del potencial de frenado por oxidaciónFísica Para Poetas - Einstein el Gozo de Pensar M. Balibar Una radiación monocromática que tiene una longitud de onda en el vacio de 600 nmts y una potencia de

0,54W, penetra en una celula fotoeléctrica de catodo de cesio cuyo trabajo de de extracción es 2,0 eV.

Determine:

a. El numero de fotones por segundo que viajan con la radiación

b. La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico para el cesio

c. La energía cinética de los electrones emitidos

d. La velocidad con que llegan los electrones emitidos al ánodo si se aplica una diferencia de potencial

de 100V

Datos:

Velocidad de la luz en el vacio c=3x103m/s

Valor absoluto de la carga del electrón e=1,6x10-19C

Masa del electrón me=9,1x10-31 Kg

Constante de planck h=6,63x10-34Js

longitud de onda en el vacio =600 nmts=6x10-7mts

potencia de radiación monocromática P=0,54W

trabajo de de extracción h=2,0eV

La energía de cada foton es:

Y la potencia total es:

(energía total disipada en cada segundo)

La energía por fotones : = 6,63x10-34Js

El numero de fotones por segundo que viajan con la radiación es:

Nfotones=

b. La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico para el cesio

Problema 1: El molibdeno metálico debe absorber radiación con una frecuencia mínima de 1.09 x

10E15 Hz antes de que pueda emitir un electrón de su superficie. (a) ¿Cuál es la energía

minimanecesaria para emitir un electrón? (b) ¿Cuál es la longitud de onda de esta energía? (c) Si al

molibdeno lo irradiamos con luz de longitud de onda de 120 nm, ¿cuál es la energía cinética máxima de

los electrones emitidos? R: 7.22 x 10E-19 J; 275 nm; 9.3 x 10E-19 J/electron.

Problemas de teoria de Plank

Problema 1: La luz amarilla de una lámpara de vapor de sodio para alumbrado público tiene una

longitud de onda de 589 nm. ¿Cuál es la frecuencia de esta radiación? R: 5.09 x10E14 Hz

El efecto fotoeléctrico

A finales del siglo XIX una serie de experimentos pusieron de manifiesto

que la superficie de un metal emite electrones cuando incide sobre él

luz de frecuencia suficientemente elevada (generalmente luz ultravioleta).

Este fenómeno se conoce como efecto fotoeléctrico.

Uno de los aspectos particulares del efecto fotoeléctrico que mayor confusión creó fue el que la distribución de la energía en los electrones emitidos es independiente de la intensidad de la luz.

Un haz de luz intenso da lugar a más fotoelectrones que uno débil, pero la energía media de los electrones es la misma.

Estas observaciones no se pueden entender en el marco de la teoría electromagnética de la luz.

Igualmente extraño es que la energía de los fotoelectrones dependa de la frecuencia de la luz empleada.

A frecuencias por debajo de cierta frecuencia crítica caracteristica de cada metal, no se emite ningún fotoelectrón.

Por encima de este umbral de frecuencia, los fotoelectrones tienen un márgen de energía que va de 0 a un determinado valor máximo.

Este valor máximo aumenta linealmente con la frecuencia.

donde es el umbral de frecuencia por debajo del cual no hay

fotoemisión.

Ejercicios

1. >Qué color de luz tiene una frecuencia mas alta? >La roja o la azul? 2. Seleccione adecuadamente las opciones que completan la siguiente

aseveración:

La luz azul tenue produce electrones con ( (a) más, (b) menos)

energía que los que produce la luz roja brillante, aunque ésta produce

( (a) menor, (b) mayor) número de ellos