LA MATEMATICA I LES CIENCIES DE LA VIDA

Conferencia feta el dia 13 de juny de 1973pel doctor

DAVID CARDUS

Professor de Fisiologia i de Rchabilita68 al Baylor College of Medicine,de Houston, i Professor Agregat al Department of Matematical

Sciences, Rice University

Esdevc cada dia flies nccessari quc 1'investigador dedicat a 1'cstudi de

Ies ciencies de la vida adquireixi un bon fonanrent dels coneixements de

la matematica. En bona part aquesta necessitat es deguda al fet quc un

nombre creixent de fenomens vitals poden esser explicats per 1'extensi6

de les Ileis de la fisica a la materia viva. Una confianca total en les Ileis

de la fisica fou expressada per SCHROIINGER 11 amb els mots segiients: ((No

ens hem de descoratjar -diu- si la interprctacio de la vida per mitja

de les Ilcis de la fisica cs dificil, car aixo cs el que cal precisament esperar

si horn s'atc al que heir apres de 1'estructura de la materia viva. Hem

d'estar preparats per al descobriment d'una nova llei fisica rcgidora de la

inateria viva); i amb tin to reticent prossegueix: ((o potser haurienr d'ano-

menar-la una llei no fisica, superfisica?). Pregunta a la qual contesta im-

nrediatament: ((No, no crec que aixo calgui, car el nou principi que esta

en jot cs genuInament fisic, cs, una vegada mes, el principi de la teoria

quantica)).

Aquesta mancra de concebre la vida i la materia ha influit sobre diver-sos aspcctes de la recerca biologica i ha estimulat la introduccie de lamatematica en moltes de Ies ciencies de la vida. El fct historic cs, pet-6,que la major part de les matematiques que avui concixenr s'han desen-volupat entorn de la fisica. La consequencia d'aixo es que hour ha treattin estat de consciencia segons el qual la pertinenca de la matematica aIcs ciencies fisiques cs acceptada sense cap reserva, mentre quc la perti-nen4a de les matenratiques a Ies ciencies biologiques cs encara una giiestiodo fe, una fe molt debil en el cor de molts cientifics de la vida.

Cal, tanmateix, evitar 1'equivoca inrpressio que la utilitzacio dels prin-cipis de la termodinamica, de la nrecanica quantica, de 1'electricitat 0 deIa fisica dels fenomens vibratoris es 1'6nica forma amb quc les matemati-ques s'han entreteixit amb la biologia.

Thomas Malthus, un economista politic, proposa tin model rnatcniaticd'acord amb el qual les poblacions es multipliquen err progressio geonre-trica quan la nutricio augmenta d'una forma aritnretica. Aquest modelnratemiitic condui al concepte de lluita per l'existencia que flies tard Char-les Darwin creguc quc constituIa el mecanisme segons el qual podia ex-plicar-sc la scleccio natural. Aquest exenrple illustra el fet que una simpleidea matematica dun (per cert subjecte a una gran contro-

137

4 DAVID G.IRIUS

versia) exerci una gran influencia sobre el concepte de 1'cvoluci6 biologica.

No es tampoc cert, d'altra banda, que la relacio entre Ia matelatica i

les ciencies de la vida hagi tingut Hoc en una sola direccio. La biologia

ha fet talnbe algunes contribucions interessants a la matematica. En tro-

bern un dels exemples mes notables en el camp de la geuctica de les pobla-

cions, en ci qual RONALD FISHER i SEWALL WRIGHT han descnvolupat mo-

dels matenlatics que relacionen l'herencia amb les lleis de l'atzar. Segons

EDWARD MOORE, Cl model altanient elaborat dc Wright, que es hasa en la

teoria de la difusio, fou motiu perque WILLIAM FELLER, de la Universitat

de Princeton, explores noves regions de la matematica.

Una concepcio fertil en nous desenvolupanients cientifics i de la qual

encara cal esperar molt, es la del milieu interteur, de CLAUDE BERNARD,

o d'homeostasi, de Cannon. Teories en el camp de la cibernctica i del

disseny i la construccio d'automats estan fermanient ancorades en aquesta

concepcio. L'accio motivada per un objectiu, o proposit, es una caracte-

ristica dels fenomens estudiats per aquestes teories i d'altres. Proposit, o

finalitat, ha estat un concepte permanent en la ment de tot aquell qui

cstudia les manifestacions de la vida, mentre que el Inatematic i el fisic

han pogut viure i treballar sense aquest concepte durant molts anys.

Hi ha tambe exemples d'aplicacions directes de la matematica a la

biologia. El mes rcmarcable cs el treball de WOODGER 12, que es una bri-

llant adaptacio del concepte matematic de relacio a la biologia. N'es un

altre exemple el treball de NICHOLAS R.ASIIEVSKY', el qual indica que, per-

que la biologia esdevingui una cicncia deductiva, cal descobrir 1'exist6n-

cia de principis biologics. Un lloable esforc en aquest sentit el porta a la

proposicio de dos principis biologics: el de 1'epinlorfisme biologic i el del

disseny optim. Aquests principis poden enunciar-se de la Inanera seguent:

Principi de l'epimorfisme. - Els conjunts de propietats biologiques que

caracteritzen qualsevol organisme poden mapar-se en el conjunt de pro-

pietats de l'organisme primordial, de tal forma que ccrtes relacions basi-

ques entre les propietats biologiques resten preservades. (L'organisme pri-

mordial es un concepte probablement abstracte de l'organisme que posseeix

el conjunt de propietats mes generals i inclusives. Horn crew que, si un

tal organisme existeix, probablement cal cercar-lo en cl camp molecular.)

Principi del disseny optim. - Donat un conjunt de funcions biologi-

ques i les respectives intensitats, un organisme possecix el disseny optini

quant a economia de material utilitzat i quant al consuul d'cnergia neces-

sari per a dur a terme funcions especificades.

No es la meva intencio de fer ara un resum historic de les relacions

entre les ciencies de la vida i les ciencies fisiques i matematiques . Interessa

138

L.1 \1 I I'I; 1 1TICi I LILS CIi;XCILS DL LA VID,I 5

rues afirmar el fet que la nostra vida intellectual es influida per les idees

del 1))611 en que vivitlt , aquest In6n que TEILHARD DE CHARUIN e ha anome-

nat la noosfera. Es, doucs, altautent necessari que el cientific dedicat a

l'estudi dels feuoutens vitals assintili les aportacions que el lnatentatic ha

let a aqucsta noosfera. Peru es tambe important quc el inatenratic s'adoni

que ell tambc pot benefrciar-se de les contributions que el bioleg ha

fet a aquesta tnateixa noosfera. Algun rnaternatic s'ha mostrat ja sensible

a aquesta realitat. Es aixi que jo tree que, quan VON NEUMANN arriba a la

conclusi6 que ((en el sistenta nervi6s central, la logica i la matematica

considerades tout a llenguatges han d'esser, des del punt de vista estruc-

tural, essencialntent diferents d'aquells llenguatges a que la nostra expe-

riencia habitual es refereix, i que la precisi6 i profunditat logica i aritme-

tica dcrnostren que, qualsevol que sigui el sisteina , es inevitable que

aquest difereixi notablement del quc nosaltres considerem conscientment

i explicitament la matematica)), el que realment ens diu es que, de 1'estudi

del sistema nervi6s central, es possible que es descobreixi la necessitat

dunes roves matematiques. Punts tie vista similars foren expressats per

VAN DER VAART, el qual suggeri que la no-linealitat dels sistemes biologics

rs possible que contribueixi a nous desenvoluparnents en el camp de les

equations diferencials; per HENRI LUCAS, que assenyala la falta de siste-

Ines algcbrics quc puguin aparionar-se satisfactoriament amb els sis-

temes genetics; i per S1'AxISLAw ULAm , que amb to profetic diu que hi

hauran novel aplicacions de la matematica a les ciencies biologiques

i nous problemes dins la matematica suggerits per 1'estudi de la mate-

ria viva.

Alguns apercus histories de la matematica en biologia han estat publi-cats per RASI-IEVSKY i VALENTINUZZI. MOROWITZ i WATERMAN " han tractattins i tot de dottar exemples simples d'aplicacions de grafiques, d'cquacionsi de la teoria dels sistemes a la biologia. Recentment ha aparegut unaserie nova de revistes dedicades a la biologia matematica i a l'tis de lescomputadores en medicina i en biologia. Han estat fetes conferencies aMila, New York, Cullowhee, New Hampshire, Houston i Los Angeles,i continuen celebrant-se'n amb la idea de reunir matematics, biolegs i so-ciolegs, i facilitar aixi les comunicacions entre ells. Cal remarcar , tanma-teix, que, malgrat aquestes oportunitats, la rnajoria dels qui treballen enel camp de les ciencies de la vida no s'ha adonat de la importancia que lamatematica biologica tc dins les respectives disciplines, sigui com a objec-te de recerca, sigui corn un mitja metodologic. Tres tipus de preguntesfregiienten la ment del cientifics de la vida:

I. ; Com pot hont aprendre fart de traduir els conceptes biolo-gics en termes matematics?

139

6 1).11,H) (1.IRI)US

2. ^ Quc pot horn aconseguir expressant els conceptes biologics en

termes matentatics?

jins a quin punt la ii gica matematica pot esscr incorporada

al raonamcut biologic?

No crcc que la resposta a la pregunta pugui esser altra que

fart de saber construir models ntatematics, de la mateixa mnanera que

qualsevol altre art pot nomes esser dominat a traves d'un llarg entrena-

ntent i d'una persistent disciplina metodolbgica. Per a alguns bitlegs, el

temps d'aprendre fart ja ha passat, perm encara son a temps de rendir

un bon servei a la posteritat orientant llurs estudiants i els joves investi-

gadors que treballen amb ells envcrs la matematica.

Quant a la segona... No crec que pugui donar una resposta millor quc

1'expressada amb les segilents paraules de NOONEY ', que se la planteja

d'aquesta forma: (4,s important -diu- d'adonar-se que cl model mate-

mAtic resta limitat per la imatgeria i Homes pot referir-se a quantitats con-

tingudes en la imatgeria i en termes quc es deriven de la imatgeria)).

Per quc, clones -es pregunta-, no restein en la imatgeria i ens evitem

de convertir-la en expressions matematiqucs?u

Hi ha tres raons per les quals conve de recorrer al model matematic.

La primera to a veure amb la notacici i la comunicaciO, car la matematica

ofereix una notacio concisa per a expressar relacions quantitatives. I.a

segona esta relacionada amb cis conceptes d'inclusivitat i generalitat, c:n-

la brevetat de la notacio matematica permet la consideracici simultania

d'un gran nombre de variables -i de llurs relacions- i, per la seva natu-

ra abstracta, una generalitat d'expressio i de manipulacio insuperables. La

tercera rah es que, una vegada tin problenta es expressat matcmatica

ment, la vasta coleccio de mctodes i teorenles dc clue disposa el forma

lisme matematic hi es aplicable.

Naturalment, les paraules de Nooney- nomes tenen sentit si cl cientificde la vida coneix les regles de la manipulacio matematica, la qual cosa no

cs frequent. Mentre les roses siguin tal coin son i al cientific de la vida Iintanquin coneixements solids de matematica, nomes es possible un treballde coldaboracio, en cl qual el cientific de la vida pot jugar un paper moltimportant evitant que al matematic Ii passin desapercebuts aquells aspec-tes essentials del probleuna biologic que no poden esser oniesos del model

sense que aquest perdi utilitat.

La tercera pregunta es la de fins a quin punt lit logica matematica pot

esser incorporada al raonament biologic. Aquesta es una pregunta que csmolt mes profunda i que solament alguns Ilan intentat d'analitzar. Undells, VAN DER V.AART, se la formula aixi : a ^ Quina es la utilitat de lal6gica matematica i del metode axiounatic en biologia? Pot dir-se --con-

1,10

LA Ml TLM.I TIC.1 / /,[;S (;/):.\ ('!/:.5 1)1.: 1.,1 I I[)..1 7

lima VAN DLlt VAART- quc, Cu general, horn persegueix dos proposits.

L'un cs d'evitar i reconeixer errors involuntaris en el raonament deductiu.

L'altre es de descobrir el conjunt minim d'axiomcs necessari per a obtenir

un cert tipus de resultats mes aviat que de derivar nous resultatsn. Pero

la questio cs, naturalment, de saber fins a quip punt es possible el raona-nrent deductiu en les ciencics biologiques i quin cs 1'efecte limitant deconceptes disjuntius, corn es ara els conceptes d'infinitat i continuitat, elsquals no semblen tenir una contrapartida en el terreny biologic, o els

conceptes d'ontogenesi, filogenia, natalitat, mortalitat i competicio, queno semblen tenir conceptes equivalents en el terreny rnatematic. La res-posta a aquesta questio cs dificil de trobar i potser haurem de deixar-laa 1'epistemoleg cxtraordinari quc, a mcs do la seva propia especialitat,tingui un coneixeinent profund de la matematica i de les ciencies dela vida.

Els punts que acabo d'csbossar indiquen, si flies no, que comenca ahaver-hi maternatics i cienti:fics de la vida que se senten mutuament cap-tivats per la novetat i 1'encant de ics disciplines respectives. Ha estataquesta afinitat la quc ha conduit alguns d'clls a reconeixer la necessitatque siguin treats programes educacionals que millorin la base matemati-ca de totes aquelles disciplines quc tenen per objecte 1'estudi dels fenomensdo la vida.

Be quc no pretcnc dc donar rccomanacions especifiques per a la crea-cio dc programes de matematiques que puguin csscr establerts immedia-tament, si quc afirmo que aqucsts programes han de perseguir dos ob-jectius generals. Un es 1'estructuraci6 d'un programa quc condueixi al'obtencio d'un grau (llicenciatura o doctorat) en biomatematiques. Unaltre cs la inclusio de coneixements fonarnentals de matematiques en elcurriculum de les diverses disciplines que constitucixen les ciencies de lavida: Medicina, Biologia, Psicologia, Sociologia, etc. Els programes qucpersegucixen el primer objectiu han de tenir una amplia base en mate-matiques i en les diverses disciplines quc constitucixen les ciencies de lavida, i tenen per finalitat la formacio d'un nou cientific. el biomaternatic,la missio del qual seria la de contribuir al desenvolupament de la biologiateorica d'una forma molt senrblant a cony cl fisic-rnatematic contribucixal desenvolupament de la fisica teorica.

Els programes quc persegueixen el segon objectiu haurien d'esser cons-

truits sobre una amplia base matematica que tiugucs ramifications dinsles matematiques especialitzades quc proincten d'una forma especial do

satisfcr els requerinients dc les diverses disciplines pertanyents a les 6e1-

tics do la vida.L'expansid actual do la iuvcstigacio medica, biologica i sociologica iur-

plica 1'estudi de fenomens d'una gran complexitat, Cant en el camp atomic

1 , 11

S DAVID CARDUS

o molecular, coin en el dels sistemes. Estudis sobre la teoria de 1'evolucid,

l'origen de la vida, la genetica, el disseny d'organs artificials, la incapa-

citat fisica i mental de 1'home, l'organitzacio social, els sistemes eiologics

i la vida sota conditions no terrestres, son exemples de problemes que

desafien 1'ansia inquisitiva del cientific actual.

Es evident que la natura complexa d'aquests problemes ultrapassa la

capacitat de solucio de cada disciplina en particular i fa necessaria la

incorporacid de tecnologies avancades coin es ara 1'enginyeria i la compu-

tacio electronica en el camp de la investigacio biomcdica i de les cicncies

sociologiques. La tasca de 1'enginyer (tins la medicina preventiva i de la

incapacitacio fisica es cada dia mes prominent. La importancia de la conn-

putadora electronica en les ciencies fisiques i no fisiques cs inquestiona-

ble. En molts dels centres actuals d'investigacio biomcdica, 1'enginyer i la

computadora electronica formen part de l'equip de treball. Aixo ha creat

molts problemes de comunicacici entre el cientific de la vida, que cs qui

to el problema, i el matematic i 1'enginyer, que son els qui coneixen tee-

niques de possible aplicacio a la solucio del problema. Aquesta situacio

ens indueix a pensar que si volein que cis programes d'ensenyament mate-

rnatic per al cientific de la vida tinguin un impacte immediat, caldra que

en una fase inicial siguin flexibles i diniunics. Sera convenient d'estruc-

turar-los d'acord amb caracteristiques i potencialitats locals, de forma que

pugui establir-se una connexio immediata entre la teoria matematica i la

problem,'itica a la qual ha d'aplicar-se. Un altre punt a considerar es que

el programa tingui una certa segiienncia. A tin nivell basic, caldria ense-

nyar les matematiques dell problemes biologics eleunentals (,out cs antla difusio de particules, el potential de membrana, el transport actin, latermodinamica cellular, els processor de facilitacio i inhibici6 neural i cisd'integracid del sistenia nervios central. A un nivell ntcs elcvat, caldria

ensenyar les matematiques que tenen aplicacio a l'estudi del proces d'in-

formacio sensorial de la bio-psicologia, de la genetica, de 1'evolucio, etc.

A un nivell encara mes clcvat, podrien esser ensenyades matematiquesaltament cspeculatives coin la topologic, que, cornbinada amb la cihernc-

tica, es susceptible d'esser aplicada al disseny i la construccio d'6rgansartificials amb autocontrol i potser, fins i tot, amb control voluntari.

Voldria en aquest punt destacar que la prescncia de la computadora

electronica no significa simplement l'aparicio d'un instrument mes entre

els molts que l'investigador ja posseeix. Els instruments fins ara constructsper l'home han tingut coin a finalitat d'augmentar el poder resolutiu dell

seus sentits, mentre que la computadora electronica potencia una altra

de les facultats humanes; el raonament, que fins a l'adveniment de la

computadora ha mancat d'un instrument que faciliti la seva validacio mit-

jancant l'aplicacio iterativa de les lleis de la logica.

1 1 2

LA . t.ITLAfATICI I LES (:H y'CILs 1)I; LA VIDA 9

Una de les grans oportunitats que la computadora electronica brinda

a 1'investigador cs la simulacio d'experiments infactibles en cI laboratori.

Certes possibilitats logiques poden csser explorades en Ilur totalitat. Expe-riments biologics fisicament impossibles, pero clue reposen sobre una baseextensa de coneixements i una teoria que els uneix, donen floc

a hipotesis que solarnent poden csser acceptades o rebutjades estudiant

els resultats d'experiuients de simulacio.

Un dels terrenys on la matematica i la computacio electronica tindran

tun paper molt important, es el quc avui englobern sota el nom de pro-cessos de decisio. Els mecanismes pels quals hom arriba a prendre unadecisio son entreverats. pero son susceptibics d'una dis-seccio sistematica per mitja d'investigacio psicologica i d'analisi mate-matica. Els processor de decisio, no cal dir-ho, tenen grans implicacionscientifiques i sociologiques. La investigacio cientifica de primera linia re-quereix uns esforSos economics tan considerables que fins i tot els paIsosmes rics, i que per tradicio fomenten la responsabilitat social de la cien-cia, es veuen obligats a escollir entre diverses alternatives i a assignarprioritats entre programes de recerca cientifica que requereixen intricatsi elaborats processos de decisio.

Molts dels comentaris fets en aquesta discussio son aplicables a qui

previament he suggerit que podricm anomenar el biomatematic, es a

dir, el qui des d'ara podem considerar corn el tcoric de la biologia. Sense

cap dubte, aquest nou tipus de cientific necessita tin coneixement de la

matematica molt profund, possiblement mcs profund que el que neces-

sita el fisic. Aquest pensament me 1'evoca tin quadre sinoptic arribuit

it WEAVER i quc pot esser descrit de la manera seguent: En cl mon

de la matematica els esdevenirnents son deterministics o estocastics. Els

sistemes matematics poden constar de poques variables o dc moltes. Un

sistema deterministic de poques variables constitueix la sirnplicitat orga-

nitzada. Un sistema estocastic de poques variables constitueix la simplici-

tat desorganitzada. Un sistema deterministic de moltes variables consti-

tueix la complexitat organitzada. Finalment, els sistemes estocastics mul-

tivariats constitucixen la complexitat desorganitzada. Les matematiques

ruts ben desenvolupades son les quc tracten amb poques variables. Es aqui

on el matematic i el fisic han fet Burs majors contributions. Es cert, tam-

be, que en els darrers 40 0 50 anys els probabilistes han fet molt en el

camp de la complexitat organitzada. On resta molt per fer cs en el camp

dels sistemes estocastics multivariats, el de la complexitat desorganitzada.

Es aqui on crec quc les matematiques actuals son insuficients i que el ma-ternatic o el biomatematic que s'inclini mes per la matematica que per labiologia, pot trobar inspiracio per a crear i desenvolupar ones matema-

tiques amb nous horitzons i potser Lines noves matematiques.

In 1).1VI1) C.IRDU,S

BIBLIOGRAFIA

I. CARDI'US, D.: Quanlitation in Biology and Medicine. Simposirun: Computers in Me-dicine. aJ. Chron. Dis.s, r9: 319-324 (1966)•

2. I)ORcIAN, P.: Mathematics and the Study of Social Relations. Weindcnfeld and Ni-('olson, Londres 1970.

,;. LUCAS, H. L. (Editor): The Cullorvhec Conference on Training in Biornathcvnalics.Typing Service, Raleigh, North Carolina, 1962.

MOORE, E. F.: Mathematics in the Biological Sciences. ,)Scientific American,), 211:

148-164 (196,4).,r. NOOxt:Y, G. C.: Mathematical Models in Medicine:.1. Diagnosis. Symposium: Com-

puters in Medicine. sJ. Chron. Dis.u, rg: (1966).6. POPPER, K. R.: The logic of Scientific Discoverv. Basic Books, Inc., Nova York,

1959-7. RASIIEVSKY, N.: Mathematical Biophysics. Phrsicu-,IlaUrrmatical IEnundatiuns of

Biology. Dovcr Publications, Inc., Nova York. Ig6o.8. SCIII16DINCER, I.: What is Life? Mind and Matter. Cambridge University Press,

1967.g. TEILIIARD DE CHARDIN, P.: Le phi° nomene humairt. Editions du Seuil , Paris, 1955-

10. ULAM, S. M.: Computers. ((Scientific American)), 211: 20;3-216 (1964).

u. W'VATERMAN, T. H. i MOROWI17, H. J.: Theoretical and .Ilathcmatpal Biology.

Blaisdell Publishing, C., Nova York. 1065.12. N6ooucER, J. H.: The Axiomatic Method in Biology. Cambridge University Press.

Cambridge, Anglaterra, 1937.

1.111