7/21/2019 La Naturaleza Fractal de Los Sismos 2013

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La naturaleza fractal de los sismos

La Tierra es un sistema dinmico. Comparte las mismas propiedades de todos los sistemasdinmicos. En ella ocurren procesos fsicos como respuesta a balances de masa y energa, yuna gran variedad de mecanismos disipativos. Las principales manifestaciones energticasinvolucradas corresponden a energa nuclear, trmica, gravitacional, de mareas, magntica,qumica, y mecnica. El movimiento de ms de una decena de placas tectnicas sobre toda lasuperficie de la Tierra, como enormes fragmentos de loza de rocas rgidas de ms de cienkilmetros de espesor desplazndose a velocidades de varios centmetros por ao sobre elmanto terrestre, es slo una de las partes visibles de esta impresionante dinmica interna. Sobreestos bloques de material rocoso reposan los continentes y los fondos ocenicos. Se muevenunos respecto a otros produciendo un intrincado puzzle de formas y tamaos diversos. En esteescenario es donde toma lugar la transmisin de fuerzas entre placas. Sus fronteras sedeforman y all toman lugar importantes desplazamientos entre ellas (terremotos). Este puzzle de

las capas ms externas y rgidas del planeta disipa energa y produce deformacin en susformas frgil (ssmica) y/o dctil (assmica o creep). Esta dinmica modula a escala global losrasgos ms notables de la superficie de nuestro planeta. Hay tambin fuentes de energa deorigen externo, principalmente la que nos llega del Sol y la energa gravitacional de la Luna,responsable de los balances de masa y energa involucrados en la atmsfera, la erosin delpaisaje y el fenmeno de mareas. Sin embargo los mayores procesos como el volcanismo, losterremotos, los movimientos de las placas tectnicas, la existencia de un intenso campomagntico terrestre y su deriva y variacin de intensidad en el tiempo, el alejamiento de la Lunarespecto a la Tierra, etc., son todos fenmenos determinados principalmente por flujos ybalances de masa y energa que ocurren en el interior de la Tierra. Al origen de estos procesosse encuentra fundamentalmente la radioactividad de las rocas en el manto terrestre que calienta

la Tierra profunda y genera procesos de convencin de los materiales del ncleo y mantoterrestre. Esto permiten explicar la deformacin que se observa en el manto superior y en lacorteza terrestre y finalmente los sismos.

Estas enormes fuerzas tectnicas resultantes del flujo de deformacin desde el mano terrestrehacia las capas de rocas ms fras, superficiales y rgidas de la Tierra, producen un paulatino ysostenido incremento de la energa potencial elstica en las rocas de la corteza terrestre. Estaenerga potencial es almacenada en las rocas hasta el limite de sus capacidades mecnicas,para luego formar parte de un proceso de deformacin frgil generando con ello sismicidad.Desde esta perspectiva los terremotos corresponden a un fenmeno disipativo como parte deuno de los eslabones de la cadena de procesos energticos del planeta.

Si examinamos con ms detalle la transferencia de energa entre las placas tectnicas enmovimiento y los sismos, necesitaremos de un modelo conceptual que nos permita conectarciertas propiedades observadas de esta transferencia y describir cmo este flujo de energamecnica se organiza en el espacio y en el tiempo. Esto es uno de los temas fundamentales dela sismologa: la comprensin de cmo esta energa se libera y se moviliza a travs de la matrizde redes o sistemas de fallas que caracteriza la deformacin frgil en la corteza y cmo se llegaa producir una ruptura ssmica. Las rupturas ssmicas se producen en fallas que participan a suvez en la transferencia de energa hacia fallas vecinas, o sea, se organizan y emerge as unanueva estructura en este proceso disipativo: un Sistema.

Entre la manifestacin de este proceso a escala global (la Tectnica de Placas) y lo que ocurreen un evento ssmico particular (ruptura ssmica de una falla), existe todo un dominio de

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investigacin que los sismlogos han logrado caracterizar fenomenolgicamente como unproceso de auto-organizacindonde emergen heterogeneidades, jerarquas y auto-similitud.La medida geomtrica de esta auto-similitud corresponde a la dimensin fractal del rgimenssmico.

La Jerarqua de los sismos

El rgimen ssmico que se observa en una regin dada (por ejemplo en la zona central de Chile;200 km x 200 km x 200 km), se define a travs de las caractersticas que presenta elensamblado de todos los tipos de terremotos que all ocurren y su distribucin en el espacio ytiempo. Las caractersticas cuantitativas de este rgimen son los parmetros estadsticos de esteensamblado. Los sismos se distribuyen en el espacio y tiempo de acuerdo a sus energas deuna manera curiosamente irregular. Comprender esto es esencial para responder a lanecesidad de establecer, con cierto grado de detalle y de confiabilidad, la sismicidad que puedaocurrir en un lugar dado y en un momento dado a futuro. O sea, disponer de una herramientapara caracterizar la amenaza ssmica del lugar. Para esto es deseable comprender la sismicidad

pasada y detectar un eventual rasgo rtmico en ella. Los sismos se manifiestan en la Tierra en laregin de material ms frgil y fro, o sea, en el casquete ms externo del planeta. Se organizanespacial y temporalmente en la corteza a travs de un complejo arreglo de fallas que permitenacomodar la deformacin frgil. Esta configuracin de la actividad ssmica sigue un un patrnbien conocido por los sismlogos como Ley de Gutenberg-Richter. Esta ley G-R representa ladistribucin del nmero N de terremotos con respecto a sus energas ssmicas E siguiendo la leyde potencias: N ~ E-b (Aki & Richards, 1980). De acuerdo a esta ley el nmero de eventosssmicos pequeos en una regin dada del espacio es mayor que el nmero de eventos demagnitudes mayores. Por otro lado, otras disciplinas de la fsica han constatado que ladistribucin de N defectos en cierta regin del espacio tambin sigue una ley de potencias: N ~L-d de acuerdo a los tamaos L de estos defectos (Aki, 1981; Fukao and Furumoto, 1985).

Estos rasgos estadsticos comunes con carcter de leyes de potencia son elementos esencialesde un orden particular y curioso en la manifestacin de estos fenmenos.

La heterogneidad que se observa de un ensamblado de terremotos corresponde a su carcterde auto-similitud, a su estructura jerrquica o fractal (Keilis-Borok et al. 1989). La estructurafractal de esta heterogeneidad espacial y temporal de la sismicidad emerge de las propiedadesdel rgimen ssmico(Rykunov et al. 1987). Analizando su estructura fractal, junto con la ley derecurrencia ssmica Gutenberg-Richter, podemos comprender el carcter de auto-similaridad delos procesos ssmicos y enfrentar de mejor manera el problema de la amenaza que ellosrepresentan.

Descripcin Fractal de la sismicidad

De acuerdo a la tectnica de placas, la deformacin corticalocurre preferentemente en los bordes de las placas. En unsentido general, las fronteras de placas corresponden a laszonas de ridges (centros de creacin y expansin de lasplacas), zonas de subduccin (lugares donde las placasvuelven a introducirse en el manto), y zonas de fallastransformantes tales como en San Francisco en California,USA (zonas neutras donde no se crea ni destruye materialde las placas). Los desplazamientos relativos en las zonas

de creacin o de destruccin de placas, o sea, en zonas defallas transformantes y de subduccin respectivamente,ocurren a lo largo de fallas. En estas zonas se organizapreferentemente la actividad ssmica en el planeta.

Figura 1: Distribucin de la sismicidad mundial

poniendo en evidencia las fronteras de placas.

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Varias correlaciones estadsticas han sido determinadas para relacionar la frecuencia deocurrencia de terremotos en estas regiones y su magnitud, pero la ms aceptada en lacomunidad de sismlogos corresponde a la Ley de Gutenberg-Richter (1954):

Log N = "bm + loga' (Ec. 1)

Donde b y a son constantes, el logaritmo es en base 10 y el punto sobre N corresponde alnmero de terremotos por unidad de tiempo con magnitud mayor que m que ocurren en unespacio dado.

La magnitud de un terremoto es una medida de su tamao basado en la amplitud del movimientodel suelo registrado en un instrumento sismolgico. Existen varios tipos de magnitud segn eltipo de onda ssmica utilizada para cuantificar el tamao del sismo. Usaremos la magnitud deonda superficial que se basa en la medida de la amplitud de ondas superficiales a periodos de20 s.

La cosntante b en la Ley Gutenberg-Richter (valor-b) vara de regin en regin, pero su rangoest comprendido entre 0.6 < b < 1.2. La cosntante a es una medida del nivel de sismicidadregional.

La magnitud de un sismo puede relacionarse a la energa ssmica (ES) mediante la relacinemprica:

log ES=1.44 m + 5.24 (Ec. 2)

donde la energa ssmica ESes medida en Joules.

Figura 2: Ley Gutenberg-Richter para la sismicidad mundial enun ao.

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La deformacin liberada durante un terremoto est directamente relacionada con el MomentoSsmico (Mo) que por definicin es:

M0=A"u (Ec. 3)

donde ! es el mdulo de rigidez del material, A el rea de ruptura ssmica y !u eldesplazamiento promedio sobre el plano de falla durante el sismo.

Kanamori y Anderson en 1975 presentaron un trabajo con una serie de relaciones empricas ensismologa para caracterizar fenomenolgicamente propiedades estadsticas de los sismosrelacionando parmetros como energa ssmica, magnitud y Mo, y presentaron bases tericaspara interpretarlas. Una de estas relaciones corresponde a la magnitud y el Mo:

LogM0= cm +d (Ec. 4)

donde cy dson constantes y mla magnitud del sismo.

Una serie de trabajos posteriores permitieron confirmar la naturaleza de esta relacin entre Mo ymagnitud y se establecieron bases slidas en la estimacin de c=1.5.Se ha observado que el Mo ssmico escala con el rea de ruptura A siguiendo la relacin:

M0="A

32 (Ec. 5)

donde !es una cosntante.

Combinando las (Ec. 1), (Ec. 4) y (Ec. 5), obtenemos:

Log N = "3b

2cLogA +Log # (Ec. 6)

donde Log"=bd

c+Loga'#

b

cLog$

y la (Ec. 6) podemos escribirla como N = "A#3b

2c (Ec. 7).

Esto significa que en una regin dada el nmero de terremotos por unidad de tiempo con reasde ruptura mayores que A presenta una dependencia de ley de potencia con respecto al rea A.

En general para terremotos de magnitud m < 7.5 el rea de ruptura puede representarse

aproximadamente bien por el rea de un crculo, es decir A = "r2, es decir A #r2.

Introduciendo esta aproximacin en la (Ec. 7) obenemos:

N " #r$3b

c (Ec. 8)

Para que una determinada estadstica del tipo nmero de objetos v/s distribucin de tamaos delos objetos sea fractal, es necesario que el nmero de objetos (o fragmentos) N con unadimensin caracterstica mayor que r debe satisfacer la relacin:

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N=C

rD

(Ec. 9)

donde D es la dimensin fractal.

Reconociendo la (Ec. 9) en (Ec. 8), encontramos que D = 3bc

, y puesto que c = 1.5, se

encuentra que D = 2b.

As la dimensin fractal de la actividad ssmica a nivel regional o mundial es simplemente dosveces el valor-b. De aqu se deduce que la relacin emprica entre magnitud-frecuenciadenominada Ley Gutenberg-Richter y dada por la expresin (Ec. 1), es enteramente equivalentea una distribucin fractal de dimensin D = 2b.

Se observa que la Ley Gutenberg-Richter mostrada en Figura 2 y (Ec. 1), es vlida y aplica anivel local, regional y global en todo el planeta.

Un nuevo enfoque conceptual de los sismos como respuesta de un proceso no-lineal

En los ltimos aos se ha ido progresivamente incorporando estos nuevos conceptos de auto-similitud y procesos de auto-organizacin para comprender la actividad ssmica. Estaaproximacin corresponde a lo que hoy en da en fsica se describe como evolucin de lossistemas complejos no-lineales y que estudia cmo cada una de las partes del sistemainteracta con las partes vecinas. Se observa que en todo sistema al cual se inyectapermanentemente energa y que presenta modalidades disipativas de la energa, emergenrespuestas muy curiosas: luego de una primera fase de respuesta transiente, aparece una nuevaestructura caracterizada por un estado de auto-organizacin. Tales estados pueden clasificarseen al menos tres categoras: de equilibrio estable, de periodicidad o intermitencia entre variasopciones (bifurcaciones), o simplemente de aparente desorden con una estructura que nosparece catica. Sin embargo este ltimo estado se trata slo de un caos aparente. En losltimos aos la fsica ha hecho muchos progresos y descubrimientos sobre esta emergencia decaos, que en realidad no consiste en un caos total, sino mas bien en otro tipo de estructura en elcual se manifiesta un cierto orden. Orden dentro del caos parece hasta un juego de palabras,pero si vamos a la definicin ms en detalle de ambos conceptos veremos que se trata de algocon un profundo sentido fsico. Los procesos involucrados en un rgimen ssmico parecenobedecer a las leyes y propiedades de estos sistemas complejos denominados en la literatura

especializada como sistemas de criticabilidad auto-organizada (CAO). Esta nueva teora de CAOes el resultado de un curioso trabajo cientfico colectivo. El fsico y qumico Ilya Prigogine, premioNbel de qumica el ao 1977, ya haba especulado sobre la naturaleza de estas leyes y suspropiedades. En los aos 80 desarroll el concepto de fenmenos no-lineales irreversibles queinvolucran prdida de energa y que se auto-organizan cerca de un estado crtico. El matemticofrancs Mandelbrot, 10 aos antes, publicaba en la revista Science su famoso artculo Cuntomide la costa de Gran Bretaa?, dando cuenta de la existencia de curvas que no eranunidimensionales, sino que posean una dimensin fraccionaria. Esta nueva medida la llamdimensin Fractal. Si embargo una de las primeras observaciones notables sobre laspropiedades de los sistemas no-lineales se debe a Henri Poincar quien en 1913 estudi elllamado problema de tres cuerpos y llam la atencin sobre la dependencia de las condiciones

iniciales en la evolucin de la solucin del problema.

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A comienzos de los aos 60, un geofsico del rea de la meteorologa, Edgard Lorenz, introdujoel concepto de efecto mariposa o efecto de las pequeas perturbaciones estudiando unsistema no-lineal con tres atractores que aproximaba las ecuaciones de convencin en un fluido.En 1986 Per Bak elabor un modelo de un cono de arena que le permiti poner en evidencia yanalizar de forma muy simple la criticabilidad auto-organizada.

La teora CAO de la auto-organizacin en la vecindad de un estado crtico que se ha logradoconstruir y sus propiedades permite describir la organizacin de los sismos cerca de la rupturassmica de la misma manera cmo se establece la auto-organizacin del cono de arena.

Los trabajos pioneros de Hurst en los aos 30 estudiando las crecidas del ro Nilo permitieronponer en evidencia la ley de potencia que modelaba este fenmeno. La funcin acumulativa dela altura de las crecidas del ro segua un comportamiento conocido como Escalera del Diablo

(Devil Staircase), comportamiento que el sismlogo alemn Gutenberg tambin habaencontrado analizando la energa ssmica liberada en una regin. Esta ley de potencia, conocidacomo Ley de Hurst, seala que el rango mximo posible de un sismo en una ventana de tiempodada queda caracterizada por un exponente H del perodo de tiempo observado. Si H es igual a0.5 entonces hay independencia en el proceso. Si H > 0.5 se dice que el proceso es persistente,y si H < 0.5, entonces el proceso es anti-persistente.

Se ha encontrado que el rango de una secuencia acumulativa de momentos (Mo) de terremotosen una regin ssmica vara de acuerdo a la Ley de Hurst, es decir, con una ley de potencia a lolargo de una ventana de tiempo. Este rango de variabilidad permite estimar una magnitudmxima posible para la regin ssmica (Mmax). Si asumimos que los procesos ssmicos son

independientes, el exponente H de esta ley de potencia o Ley de Hurst toma el valor de 0.5. Si elproceso presenta memoria entonces el exponente de Hurst queda comprendido en un rango de0.5 < H < 1.0, lo que significa que el fenmeno ssmico es persistente.

Estas nuevas aproximaciones para el anlisis de un rgimen ssmico en una regin dada esutilizada en modernos estudios de instalaciones nucleares en Europa. Las aplicaciones de estasnuevas metodologas de la fsica no-lineal abre as una nueva era en la sismologa para abordarproblemas sensibles como el de estimacin del peligro ssmico.

Referencias

Aki, K. (1981).A Probabilistic Synthesis of Precursory Phenomena. Earthquake prediction.Fukao,Y., Furumoto, M. (1985). Hierarchy in Earthquake Size Distribution. Phys. Earth Planet.

Per Bak observ que al dejar caerconstantemente partculas o granitos dearena en un lugar, se formaba un cono quecreca hasta alcanzar un ngulo crtico. Unavez que esta configuracin se estableca, seproducan sistemticamente avalanchas dearena para volver a alcanzar nuevamente laconfiguracin del ngulo crtico del sistema.El sistema se auto-organizaba para mantenerel ngulo en una situacin de criticabilidad.

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Inter. V. 37, pp.149 168.Keilis-Borok, V. I., Kosobokov V. G. & MazhkenovV. G. (1989). Similarity in Spatial Distributionof Seismicity. Vychislitelnaya seismologia. V. 22. pp. 28 40.

Rykunov, L. N., Smirnov V. B., Starovoyt Y. O. & Chubarova, O. S. (1987). Self-similarity of

Seismic Emition on Time. Dokl. AN SSSR. V. 297. No 6. pp. 1337 1341. Amer. Geophys Union.Washington. p. 556 -574.

Per Bak: How Nature Works.

Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature.

Feder: Fractals.

Froyland: Introduction to Chaos.

Baker-Gollub: Chaotic Dynamics.