LA PARÁBOLA

LA PARÁBOLA

La parábo la es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano que equ id is tan de un punto f i jo l lamado foco y de una recta f i ja l lamada d i rect r i z .

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Foco Es e l punto f i jo F .Directr iz Es la recta f i ja d .Parámetro Es la d is tanc ia de l foco a la d i rect r i z , se des igna por la le t ra p .Eje Es la recta perpendicu lar a la d i rect r i z que pasa por e l foco .Vértice Es e l punto de intersecc ión de la parábo la con su e je .Radio vector Es un segmento que une un punto cua lqu iera de la parábo la con e l foco .

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

Dada la parábola y2 = 8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola y2 = -8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

CONSTRUCCIÓN DE PARÁBOLAS

Partimos de y = x² x y = x²-2 4-1 10 01 12 4

1. Traslación vertical

y = x² + k

Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.

Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.

El vértice de la parábola es: (0, k).

El eje de simetría x = 0.

y = x² +2 y = x² −2

2. Traslación horizontal

y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.

El vértice de la parábola es: (−h, 0).

El eje de simetría es x = −h.

y = (x + 2)²y = (x − 2)²

3. Traslación oblicua

y = (x + h)² + k

El vértice de la parábola es: (−h, k).

El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2

ECUACIÓN REDUCIDA DE LAPARÁBOLA DE EJE HORIZONTAL

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

Dada la parábola y2 = 8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola y2 = -8x, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LAPARÁBOLA DE EJE VERTICAL

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Dada la parábola x2 = 8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

Dada la parábola x2 =- 8y, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Dada la parábola (y - 2 )2 = 8 (x - 3)2, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE EJE VERTICAL

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Dada la parábola (X - 3)2 = 8 (Y - 2)2, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

 

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.RESUMEN

La parábo la es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano equ id is tan de un punto f i jo l lamado foco y de una recta f i ja l lamada d i rect r i z .

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vért ice con el or igen de coordenadas

Si :

S i :

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vért ice con el or igen de coordenadas

Si :

S i :

Parábola con eje paralelo a OX y vért ice dist into al or igen

Parábola con eje paralelo a OY, y vért ice dist into al or igen

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLAEJERCICIOS

1. Determinar , en forma reducida, las ecuaciones de las s igu ientes parábolas , ind icando e l va lor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la d i rectr iz .

1 6y 2 - 12x = 02 2y 2 = - 7x3 15x 2 = - 42y

2. Determina las ecuaciones de las parábolas que t ienen:1 De di rectr iz x = -3, de foco (3, 0) .2 De di rectr iz y = 4, de vért ice (0, 0) .3 De di rectr iz y = -5, de foco (0, 5) .4 De di rectr iz x = 2, de foco ( -2 , 0) .5 De foco (2, 0) , de vért ice (0, 0) . 6 De foco (3, 2) , de vért ice (5, 2) . 7 De foco ( -2 , 5) , de vért ice ( -2 , 2) . 8 De foco (3, 4) , de vért ice (1, 4) .

3. Calcular las coordenadas del vért ice y de los focos, y las ecuaciones de las d i rectr ices de las parábolas:

1 y2 - 6y - 8x + 17 =02 x2 - 2x - 6y - 5 = 03 y = x2 -6x + 11

4. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A (6, 1), B (-2, 3), C (16, 6) .

5. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

6. Calcular la posición relativa de la recta r ≡ x + y - 5 = 0 respecto a la parábola y2 = 16 x.

7. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su eje OX.

8. Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY , vértice en OX y que pasa por los puntos: A (2, 3) y B (-1, 12) .

9. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: x + y - 6 = 0 y por foco el origen de coordenadas

10.Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1, 3) y foco en (2, 3).

11.Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje x y pasa por los puntos: (0, 0), (-1, 2), (-1, -2).

12.Determine la ecuación canónica de la parábola -9y2 - 8x - 3 = 0

13.Determine la ecuación canónica de la parábola que abre en la dirección del eje x y pasa por los puntos: (1, 3), (3, 4), (7, 12).

14. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos: A (2, 3), B (4, 3), y C (6, -5).

15.Determine la ecuación canónica de la parábola que pasa por los puntos: (-2, 3) (0 ,3), (1, 9).

16.Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en (-1, 1) y directriz y = 5.

17.Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones

a. vértice en (2, 0). b. contiene al punto P = (8, b) con b > 0.c. la distancia de P la directriz es 10.

18. Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (-1, 1) y directriz: y = x.