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LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN

Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano que

equidistan de una recta fija llamada directriz (L) y de un punto fijo

exterior a dicha recta llamado foco (F) de la parábola.

Se llama parábola a la sección cónica generada al cortar un cono recto

con un plano paralelo a la generatriz.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Foco (F). Es el punto fijo de la parábola.

Directriz. Es una recta fija.

Vértice (V). Donde la parábola hace el giro más fuerte, es el punto de

medio del segmento que une la directriz y el foco.

Eje Focal. Eje de simetría, es la recta perpendicular a la directriz que pasa

por el foco.

Parámetro. Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p

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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA

A partir de su definición vamos a deducir la ecuación de una parábola con vértice

en el origen de coordenadas.

El eje de la parábola coincide con el de las abscisas y el vértice con el

origen de coordenadas.

2 2

x p y 0 x p 2 2

x p y 0 x p

Elevando al cuadrado:

2 2 2 2 2x 2px p y x 2px p 2 2 2 2 2x 2px p y x 2px p

Simplificando:

2y 4px 2y 4px

F(p;0) F(-p;0)

D: x = -p D: x = p

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El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas y el vértice con

el origen de coordenadas.

2 2

x 0 y p y p 2 2

x 0 y p y p

Elevando al cuadrado:

2 2 2 2 2x y 2py p y 2py p 2 2 2 2 2x y 2py p y 2py p

Simplificando:

2x 4py

2x 4py

RESUMEN

Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción

(0; 0) (p; 0) x = -p px4y2 Parábola se abre hacia la derecha,

el eje de simetría es el eje X.

(0; 0) (-p; 0) x = p px4y2

Parábola se abre hacia la

izquierda, el eje de simetría es el

eje X.

(0; 0) (0; p) y = -p py4x2 Parábola se abre hacia arriba, el

eje de simetría es el eje Y.

(0; 0) (0; -p) y = p py4x2 Parábola se abre hacia abajo, el

eje de simetría es el eje Y.

F(0;p)

F(0;-p)

D: y = -p

D: y = p

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ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA

Si el vértice de la parábola se ubica en cualquier punto (h; k) del plano que no sea el

origen de coordenadas, el eje de simetría es paralelo a un eje coordenado y p > 0,

obtenemos:

Vértice Foco Directriz Ecuación Descripción

(h; k) (h + p; k) x = -p +

h hxp4ky 2

Parábola se abre hacia la

derecha, el eje de simetría

es paralelo al eje X.

(h; k) (h - p; k) x = p + h hxp4ky 2

Parábola se abre hacia la

izquierda, el eje de simetría

es paralelo al eje X.

(h; k) (h; k + p) y = -p +

k kyp4hx 2

Parábola se abre hacia

arriba,

el eje de simetría es paralelo

al eje Y.

(h; k) (h; k - p) y = p + k kyp4hx 2

Parábola se abre hacia

abajo,

el eje de simetría es paralelo

al eje Y.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Partiendo de la ecuación ordinaria de la parábola y dependiendo del paralelismo de

su eje focal con respecto a los ejes, la ecuación general de la parábola queda

expresada así:

2

2

y Dy Ex F 0 eje focal paralelo al eje X

x Dx Ey F 0 eje focal paralelo al eje Y

Veamos el caso de la parábola de vértice (h; k), con foco (p + h; k), eje focal

paralelo al eje X y cuya directriz es la recta x = h – p, con p > 0, su ecuación

ordinaria es:

hxp4ky 2

Desarrollando la fórmula anterior obtenemos: 2 2y 2ky k 4px 4ph

Ordenando:

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2 2y 2ky 4px k 4ph 0

Haciendo: -2k = D; -4p= E; k2 + 4ph = F y reemplazando en la ecuación anterior,

obtenemos:

2y Dy Ex F 0

Conocida como la ecuación general de la parábola

con eje focal paralelo al eje X.

De manera análoga, si el eje focal es paralelo al eje Y, obtenemos:

2x Dx Ey F 0

Conocida como la ecuación general de la parábola

con eje focal paralelo al eje Y.

PARA LA CLASE …

01. Determina el foco y la directriz de

cada parábola:

y2 = 4x

y2 = -6x

x2 = 12y

x2 = -8y

02. Determina el vértice, foco y la

directriz de cada parábola:

(x + 2)2 = 4(y - 1)

(x + 3)2 = 6y

(y - 2)2 = -4(x + 1)

(y + 3)2 = 12x + 8

03. Determina el vértice, foco y la

directriz de cada parábola:

x2 + 4x – 4y + 8 = 0

x2 - 2x + 2y + 5 = 0

y2 + 6y + x + 7 = 0

y2 - 2y - 2x - 3 = 0

2x2 – 12x – 40y + 98 = 0

04. Halla la ecuación de la parábola con

vértice V(0; 0) y foco F(0; 3)

05. Halla la ecuación de la parábola

cuyo vértice coincide con el origen de

coordenadas y pasa por el punto (3, 4),

siendo su eje OX.

06. Escribe la ecuación de la parábola

de eje paralelo a OY, vértice en OX y

que pasa por los puntos A (2, 3) y

B(-1, 12).

07. Halla la ecuación general de la

parábola de vértice (2;3), eje focal

paralelo al eje Y, y que pasa por el

punto (0;5).

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08. En cada uno de los siguientes

ejercicios, el vértice de la parábola

está en el origen de coordenadas.

Determina su ecuación.

Es simétrica respecto del eje de

abscisas y pasa por el punto P(-1; 2).

Su eje focal es el eje de

ordenadas y pasa por el punto

P(2; -3)

La directriz es la recta y – 4 = 0

El foco tiene abscisa cero y p = 8

09. Encuentra la ecuación de la

parábola si su vértice es V(0;0) y las

coordenadas del lado recto son

A(-4; 2) y B(4; 2).

10. Halla la ecuación de la parábola que

verifica las siguientes condiciones:

F(2; 3), directriz x – 6 = 0

V(-2; 2) y F(2;2)

El vértice pertenece a la recta

7x + 3y – 4 = 0, eje horizontal y

F(3; -1)

PARA LA CASA …

01. Calcula el vértice, foco y la recta

directriz de las parábolas siguientes:

y2 = 8x

y2 = -8x

x2 = 8y

x2 = -8y

(y – 2)2 = 8(x – 3)

(x – 3)2 = 8(y – 2)

02. Encuentra el vértice, el foco y la

directriz

2x 2x 2y 7 0

2y x 4x 3

24y 4y 4x 24 0

2y 6y x 16 0

2x 4x 2y 0

03. Determina las ecuaciones de las

parábolas que tienen:

Directriz x = -3 y foco (3; 0)

Directriz x = 2 y foco (-2; 0)

Directriz y = 4 y foco (0; 0)

Directriz y = -5 y foco (0; 5)

04. Determina las ecuaciones de las

parábolas que tienen:

Foco (2; 0) y vértice (0; 0)

Foco (3; 2) y vértice (5; 2)

Foco (-2; 5) y vértice (-2; 2)

Foco (3; 4) y vértice (1; 4)

05. Determina la ecuación de la

parábola que tiene su foco en (1; 3) y

vértice en (-2; 3).

06. Halla la ecuación de la parábola con

vértice en (3; -1) y cuya ecuación de la

directriz es: y – 2 = 0

07. Determina la ecuación de la

parábola cuyos puntos P (x; y)

equidistan de la recta y – 1 = 0 y del

punto (3; 5).

08. Determina la ecuación de la

parábola que tiene su foco en (-2, -1) y

su lado recto lo unen los puntos: Q (-2;

2) y Q´(-2; -4).

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09. Usando la definición, halla la

ecuación de la parábola que tiene

su foco en el punto F (2; 0) y su

recta directriz tiene por ecuación

x = -2.

10. Halla la ecuación de la parábola

cuyo vértice coincide con el origen de

coordenadas y pasa por el punto

(3; 4), siendo su eje OX.

11. Escribe la ecuación general de la

parábola de eje paralelo a OY, vértice

en OX y que pasa por los puntos A (2;

3) y B (-1; 12)

12. Determina la ecuación general de

la parábola cuyo eje focal es paralelo

al eje X y pasa por los puntos P(1;2),

Q(-1; 3) y R(-8;4)

13. Determina la ecuación general de

la parábola cuyo eje focal es paralelo

al eje Y y pasa por los puntos P(6;2),

Q(4; -1) y R(-2;2)

14. Determina la ecuación de la

parábola que tiene por directriz la

recta: x + y - 6 = 0 y por foco el

origen de coordenadas.

15. Encuentra la ecuación de la

parábola con eje paralelo al eje de las

abscisas y pasa por los puntos: A(3, 3),

B(6, 5) y C(6, -3).

16. Encuentra la ecuación de la

parábola cuyo eje es paralelo al eje Y,

que pasa por los puntos A(2; -1), B(-4;

-4) y C(6; -9).

17. Halla la ecuación de la parábola de

eje vertical y que pasa por los puntos:

A(6; 1), B(-2; 3) y C(16; 6).

18. Determina la ecuación de la

parábola que tiene como vértice V (1;

0) y tiene como eje focal el eje de las

abscisas que pasa por el punto (2; 2).

19. Determina el vértice V y la

ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2

y cuyo foco está localizado en el punto

F (4; 2).

20. Determina el vértice V, el foco F,

la ecuación de la directriz y el eje

focal de la parábola cuya ecuación es: 3x2 – 3x – 24y – 1 = 0

21. Encuentra la ecuación de la

parábola cuyo vértice es el centro de

la circunferencia2 2x y 2x 2y 0 y su directriz

es x – 2 = 0.

22. Encuentra la ecuación de la

parábola que se abre hacia abajo, cuyo

vértice es el centro de la circunfe-

rencia 2 2x y 14y 40 0 ,

además, la distancia del vértice a la

directriz es 6.

23. La parábola de ecuación 2x 4y ,

es cortada por la recta 2x – y = 3 en

los puntos A y B. Calcula la longitud de

la cuerda AB.

24. Halla la longitud del lado recto de

la parábola cuyo eje es paralelo al eje

Y, que tiene foco F (0; 5) y la recta

directriz pasa por el punto (0; -5).

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25. Halla el punto medio entre el punto

P (-4; -6) y el foco de la parábola de

ecuación: 2x 2x 8y 33 0 .

26. Halla la ecuación de la parábola con

vértice de abscisa positiva y que pasa

por los puntos A (7; 8) y B (7; -12).

Además tiene como directriz a la recta x + 3 = 0.

27. Halla la ecuación de la parábola

cuyo foco está sobre la recta 2x + y

= 1, su vértice pertenece a la recta

x – y + 3 = 0 y su directriz es la

recta x + 4 = 0.

28. ¿En cuántos puntos se interseca la

parábola de ecuación y4x2 con la

circunferencia 22x y 4 1 ?

29. Una antena de TV tiene la forma

de paraboloide de revolución.

Determina la posición del receptor que

se coloca en el foco, si la antena tiene

15 cm de diámetro en su abertura y 5

cm de profundidad en su centro.

30. Un arco tiene la forma de una

parábola con el eje vertical, la altura

de su centro es de 10 cm y tiene en su

base un claro de 30 cm. Determina su

altura a la distancia de 5 cm de un

extremo.