LA PARÁBOLA

•Conceptos y elementos de la parábola.

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo ( F ) llamado foco y de una recta Fija llamada directriz. d( P , F ) =d( P , D )= constante

Los elementos más importantes de la parábola Son:

Foco : es el punto fijo.

Directriz : es la recta fija D.

Parámetro : es la distancia del foco a la directriz y se designa por 2p.

Vértice : es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría.

Lado recto : es la cuerda focal AB perpendicular al eje focal o eje de simetría de la parábola, cuya medida es | 4p |.

• Ecuación de la parábola con vértice en el origen.

A continuación determinemos la ecuación analítica de la parábola.Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje X, y que el vértice se encuentra en el origen del sistema.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del

foco son: ( p , 0 )y la directriz tiene como ecuación : x = -p

Si P ( x , y ) es un punto de la parábola, se cumple que:

d ( P , F ) = d ( P , D )

/ ( )2

reduciendo, resulta la ecuación canónica

Observamos que:

_ Si p > 0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la derecha._ Si p < 0, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la izquierda.

En forma análoga,Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y, la parábola tiene por eje focal al mismo eje Y.

Las coordenadas del foco son : F ( 0 , p )y la ecuación de la directriz es : y = -pSu ecuación canónica es ahora

Conclusión:_ Si p > 0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje Y, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia arriba._ Si p < 0, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje Y, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia abajo.

Ejemplos: 1)Determinemos los elementos de la parábola de ecuación: 2) Determinemos la ecuación de la parábola de foco F(3 , 0) y directriz x + 3 = 0. 3) Determinemos la ecuación de la parábola si L.R = 8 y su directriz D : y = 2.

1) Determinemos los elementos de la parábola de ecuación

Como la ecuación es de la forma:Entonces, 4p = 8 De donde se deduce que: p = 2

Como p > 0, y el eje focal coincide con el eje Y, la curva tiene su concavidad hacia arriba.

Las coordenadas del foco son: ( 0 , p ) F( 0 , 2 )

La ecuación de la directriz es y = -p D : y = -2

El lado recto es L.R. = |4p| = 8

2) Determinemos la ecuación de la parábola de foco F( 3 , 0 ) y directriz x + 3 = 0.

De las coordenadas del foco, deducimos que el eje focal coincide con el eje X, y que p = 3.

Por lo tanto, la curva tiene su concavidadhacia la derecha ( p > 0 ).

La ecuación es de la forma :

Luego la ecuación pedida es:

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Si consideramos una parábola con vértice V(0,0), su ecuación canónica es

Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la ecuación principal de la parábola con vértice V(h,k):

Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal permite conocer de inmediato las coordenadas de su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida del lado recto. Desarrollado los cuadrados de binomios y Ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación general de la parábola:

D= -4p ; E= -2k ;

V(h,k) ; F(h+p,k) ; D: x = -p+h ; L.R : 4p

Ahora ,

Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la forma:

o su equivalente, la ecuación general:

D = -2h ; E = -4p ;

V(h,k) ; F(h,p+k) ; D: y = -p+k

L.R: 4p

Ejemplos:

1)Determinemos los elementos de la parábola de ecuación a)

b)

c)

d)

2) Determinemos la ecuación de la parábola:

a)F( 1 , 3 ) ; V( -2 , 3 ).b)F( ½ , 2 ) ; V( 2 , 2 ).c)F( 6 , -2 ) ; Directriz: x = -2 d)F( 3/2 , -4/3 ) ; Directriz: y = 4/3