La parábola

M. en C. René Benítez LópezDepartamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

(Versión preliminar)

y

x0

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, se puede determinar la ecuación de la parábola y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía .

Una parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de una recta y un punto fijos. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola.

X

B

V

PF

directriz

Foco

qp

YD

nm

1. Trazar

2. Bisecar

3. Unir F con cualquier X en

4. Trazar la mediatriz m de

5. Trazar por X. Se obtiene P en

6. Para obtener más puntos, se repite lo hecho en 3, 4 y 5 con cualquier otro punto de .

FD L

FD

FX

n L

m n

Conocidos el foco y la directriz, la parábola se construye como sigue:

¿Qué sucede con la parábola si la distancia del foco a la directriz crece?

¿Qué sucede con la parábola, si la distancia del foco a la directriz decrece?

¿Es la mediatriz m de tangente a la parábola?FX

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos determinados al unir el foco con los puntos de la directriz?

La parábola se abre

La parábola se cierra

Sí

Es la paralela a la directriz por el vértice de la parábola

La distancia del vértice V al foco F se denota con p, esto es ,,d V F p

V

PF

D

p

p

A B

y es igual que la distancia del vértice V a la directriz , o sea:

, ,d V F d V pL

La cuerda perpendicular al eje de simetría de una parábola por el foco, se llama lado recto de la parábola.

AB es lado recto de la parábola.

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,0,F p ,P x y.y p

, ,d P d P FL

2 2

2 20

0 1

y px y p

22x y p y p

2 22x y p y p

2 4x py

La parábola abre hacia arriba si

La parábola abre hacia abajo si

0p

0p

O

F(0,p)

Q

p

px

y

y = p

,P x y

Si el eje de simetría de la parábola es vertical y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

, ,F h k p.y k p ,P x y

, ,V h k

, ,d P F d P L

2 2

2 20 1

y k px h y k p

2 2x h y k p y k p

2 2 2x h y k p y k p

24x h p y k

La parábola abre hacia arriba si

La parábola abre hacia abajo si

0p

0p

0

Qpx

,F h k p ,P x y

p

y

h

k

y = k - p

Longitud del lado recto de una parábola

La longitud PQ del lado recto de la párábola adjunta, se calcula como sigue:

V

F

D

p

p

S R

P Q

2PQ PF FQ PF

Pero: 2PF PS p

Entonces: 4PQ p

Ejemplo 1

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

22 4 5 12 0x x y

2 51 2

2x y

1,2V

21,

8F

La longitud del lado recto es:5

2

-6 -4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define a la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, determinar la gráfica y la ecuación de la parábola, y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía .

Ejemplo 2

Solución 2 80 20x y

Los puntos de anclaje del puente son:

60, 25P

60, 25Q QP

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

0 ,,F p ,P x y.x p

, ,d P F d P L

2 2

2 21 0

x px p y

2 2x p y y p

2 22x p y y p

2 4y px

La parábola abre hacia la derecha si

La parábola abre hacia la izquierda si

0p

0p

O

F(p,0)

Q

p px

y

x =

p

,P x y

Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice es las coordenadas del foco son y la ecuación de la directriz es Por lo que, si es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones:

,,F h p k.x h p ,P x y

, ,V h k

, ,d P d P FL

2 2

2 21 0

x h px h p y k

2 2x h p y k x p

2 2 2x h p y k x h p

24y k p x h

La parábola abre hacia la derecha si

La parábola abre hacia la izquierda si

0p

0p

0

Q

p p

x

,F h p k

,P x y

x = h p

y

h

k

Ejemplo 3

Solución

Graficar la parábola y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.

2 8 6 7 0y x y

23 8 2y x

2, 3V

0, 3F

La longitud del lado recto es: 8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

Fin