LA PARADOJA DE EPIMÉNIDES

“LE DEBO TODO ESTA ENTIDAD LÓGICO-LINGÜÍSTICA”

APORÍA Y ANTINOMIA• Los términos ‘aporía’ y ‘antinomia’ guardan cierta relación conceptual con las

paradojas lógicas que tratamos de definir. Según el artículo de Robert S. Tragesser aparecido en “A Companion to Epistemology”, cualquier problema difícil que se plantea cuando estamos tratando de ampliar nuestro conocimiento de un asunto, y que amenaza seriamente obstaculizar nuestro mayor progreso se llama aporía en especial cuando parecen ser igualmente fuertes tanto argumentos a favor como argumentos en contra de cualquier solución. En cambio, Jonathan Vogel define a la paradoja algo vagamente, escribiendo que una paradoja es un argumento de premisas indiscutibles pero con una conclusión inaceptable; más estrictamente, una paradoja se especifica mediante una oración que es verdadera si y sólo si es falsa. Por último, según Tragesser, la antinomia se da cuando somos capaces de defender, o demostrar, tanto una proposición como su contradictoria, pero en ella no podemos hallar error de demostración alguno. Esperamos a la larga poder resolver la antinomia, a través de una cuidadosa reflexión y análisis, ya sea por algún error o por ambos motivos. En este sentido, por un lado, la aporía y la paradoja lógica son argumentos originados por dilemas y contradilemas construidos para comenzar investigaciones y para finalizar la demostración de la inconsistencia de ciertas teorías, respectivamente. Pero, por otro lado, la paradoja lógica y la antinomia son oraciones que dan lugar a contradicciones relevantes que son subsanadas mediante la negación de ciertos supuestos implícitos en la metateoría. Estos dos conceptos (aporía y antinomia) señalan dos aspectos importantes en las paradojas: su aspecto argumental u oracional.

PARADOJA LÓGICA• Siguiendo la etimología, y ayudándonos de términos extraídos de la Poética de Aristóteles,

podemos decir que la ‘paradoja’ tiene dos significados: la posibilidad inverosímil (como sustantivo) y lo falaz (como adjetivo). Además, hay dos formas de definir la paradoja lógica, una considera dicho constructo como una expresión de dos términos del mismo tipo; y la otra lo considera como una expresión de términos de tipos diferentes. Pero no puedo escoger la primera forma de definición, ya que si lo hiciera la paradoja lógica podría ser definida como un teorema de lógica formal o como una conjunción de opuestos (u oxímoron). Ambas posibilidades son inaceptables: la primera es criticada por Marino Llanos quien sostiene que no hay paradojas que se produzcan dentro de los sistemas lógicos afines al esquema de axiomas de Principia Mathematica; la segunda cae por su propio peso ya que es imposible definir algo mediante opuestos tales como calientemente frío o altamente bajo y esto sucedería si leyéramos ‘paradoja lógica’ como la unión de dos adjetivos en donde ‘paradoja’ alude a lo falto de consecuencia lógica por ser falaz, mientras que ‘lógica’ alude a lo racional, lo que forma parte del sentido común estándar. Por lo tanto, la paradoja lógica solo puede ser definida si es entendida como un constructo de dos términos de diferente tipo: ‘paradoja’ es sustantivo y ‘lógica’ es adjetivo. Estrictamente, la paradoja lógica es la posibilidad increíble capaz de ser expresada, formalizada y estudiada mediante el lenguaje lógico. Técnicamente, la paradoja lógica se define como aquel argumento válido cuya conclusión es una contradicción del tipo p&¬p o del tipo V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa, dicha oración también será llamada paradoja lógica.

ARGUMENTO VS ORACIÓN• Basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado

que las paradojas lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel argumentativo y, por otro lado, el nivel oracional . Si reduzco el argumento de la paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a), puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción . Por ejemplo, la oración del Mentiroso “Esta oración es falsa” tiene la propiedad de autorreferencia directa. Y el sistema de oraciones de la Tarjeta de Jourdain: “La siguiente oración es verdadera: “La anterior oración es falsa” ” tiene la propiedad de circularidad (o autorreferencia indirecta) al igual que todo otro paradójico sistema de 3 o más oraciones. Esta tendencia a autorreferirse de la paradoja lógica explica que la ‘Tarjeta de Jourdain’, el ‘Libro Antinómico de Tarski’, la paradoja de Yablo, etc. que son sucesiones de oraciones con una forma lógica generalizable sean consideradas por mí como las únicas premisas de sus respectivos argumentos.

AUTO - REFERENCIA• Pero, si bien la autorreferencia no está presente en el caso de las paradojas de Russell,

la propiedad de infundación sí que lo está. Esta propiedad consiste en poder construir sin restricciones fórmulas cuyos términos no han sido esclarecidos ni delimitados y se relaciona con la autorreferencia cuando ésta da lugar a paradojas. La infundación consiste en que existan un conjunto B y una secuencia infinita de conjuntos A, A’, A’’, ... tales que AB, A’A, A’’A’, etc. Estos datos sucesivos en los que B abarca a A que abarca a A’, que a su vez abarca a A’’, no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de instancias no sintácticas; toda la expresión conjuntista cobra sentido en virtud de su sola construcción. La propiedad de la circularidad de las paradojas está representada por la presencia de conceptos circulares tales como ‘verdad’ que aparece en las paradojas del Mentiroso y otros como ‘inclusión’, ‘pertenencia’, ‘autorelación’ y ‘autodenotación’ que aparecen en las paradojas de Russell. Dichos conceptos no tienen una extensión a las que se apliquen de inmediato, ellos deben esperan a que se les asigne una extensión hipotética para que no produzca inconsistencia. Pero, la circularidad que se construye como un círculo vicioso tiene la siguiente forma lógica. Si a es una oración paradójica, entonces dentro de una lógica n-valente: V1(a)→V2(a) & V2(a)→V3(a) … & Vn-1(a)→Vn(a) & Vn(a)→V1(a). Luego, por ‘n’ silogismos hipotéticos concluimos ‘n’ círculos viciosos: V1(a)→V1(a), V2(a)→V2(a), V3(a)→V3(a), etc.

VERÍDICO VS FALSÍDICO• Como ya hemos dicho respecto a su definición, la paradoja lógica

entendida como un argumento tiene la forma lógica: P→(Q&¬Q) o P→(Q↔¬Q). En este tipo de paradojas, la clasificación de Quine expuesta en The Ways of Paradox (1976) de las paradojas en verídicas y falsídicas (dejando de lado a las antinomias) tiene una aplicación interesante. La paradoja verídica se constituye como una reducción al absurdo (propia o trivial) que, en el caso de la primera forma lógica, culmina en ¬P. La paradoja falsídica se relaciona con la falacia porque también su ‘prueba’ se construye en base a una desafortunada relación de consecuencia lógica, pero se diferencia de ésta en que la matriz lógica de la paradoja falsídica es inválida (de hecho, es contradictoria) y en ella se concluyen sólo cosas falsas mientras que la matriz lógica de la falacia es contingente. Además, la paradoja falsídica también puede ser una oración o un argumento no paradójico, mientras que la falacia es solo un mal argumento. La reducción al absurdo es propia cuando la premisa adicional en forma de negación que se hace ingresar al cuerpo de premisas participa de modo activo en el desarrollo de la prueba mediante deducciones logradas con su ayuda. La reducción será trivial cuando dicha premisa adicional no participe en ninguna forma en el desarrollo de la prueba.

EJEMPLOS DE PARADOJAS• Existen muchas clases de paradojas lógicas tradicionales. Todas ellas se

construyen como pruebas, es decir, con sucesiones de oraciones de la forma: p →…→ q que representa la tríada: premisas-pasos deductivos-conclusión. Si la forma de q es “R&¬R”, ello permite que por reducción al absurdo podamos concluir ¬p. En el caso de la familia argumental de Russell (paradoja del barbero, de los catálogos, de los alcaldes, de Grelling (1943) y de Berry) y las paradojas matemáticas (paradoja de Cantor, de Burali-Forti, de Richard y de Russell) dicha fórmula sirve para terminar la prueba por reducción al absurdo. Pero, también la forma de q puede ser R↔¬R. En este caso, puede tratarse tanto de una paradoja oracional como de una argumental. Por ejemplo, las familias oracionales de Russell (paradoja de las clases, de las propiedades y de las relaciones) y el Mentiroso (Versión de Haack (1982), versiones de Quine (Hofstadter, 1987), Tarjeta de Jourdain, Libro antinómico de Tarski (2000), Paradoja de Yablo (1993)) permiten construir V(a)↔F(a), siendo ‘a’ el nombre de una oración infundada que puede contener términos circulares y a = {“Esta oración es falsa”, “La siguiente oración es verdadera: La anterior oración es falsa”, “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo”, “La propiedad impredicable se aplica a sí misma”, “La relación que no guarda consigo mismo un término la guarda un término consigo mismo”, etc.}

PARADOJA DEL MENTIROSO• La familia argumental del Mentiroso (paradoja del Quijote (1995) , dilema de

los caníbales, dilema del cocodrilo, paradoja de Protágoras) puede ser susceptible de reformulación mediante la construcción de dilemas y contradilemas, además, en esa familia la oración “a” que aparece en V(a)↔F(a) puede verse en una de las premisas en forma de identidad y a={m, donde m se lee “El pasante será colgado” en el caso de la paradoja del Quijote; H(e), donde H(e) se lee “El explorador será hervido” en el caso del dilema de los caníbales; C(k,h), donde C(k,h) se lee “El cocodrilo se come al niño” en el caso del dilema del cocodrilo; ¬N(e,p), donde ¬N(e,p) se lee “Evatlo no le paga a Protágoras” en el caso de la paradoja de Protágoras}. Como podemos notar la díada oración-argumento ha sido la base para reunir estas paradojas en grupos de familias argumentas u oracionales. Esto permite visualizar la gran relación entre las paradojas del Mentiroso y las de Russell: ellos tienen los mismos tipos de familias. Las paradojas matemáticas forman una familia argumental debido a que tienen la forma de una prueba por reducción al absurdo y además porque no es posible generalizar sus premisas que son más de una.

PARADOJA DE EPIMÉNIDES• Hemos visto que las paradojas pueden ser oracionales o argumentales. Sin embargo, la paradoja

de Epiménides, que a continuación exponemos, puede ser considerada como una paradoja tipo argumento y como una paradoja tipo oración, sólo que no es paradójica per se en ninguno de los dos sentidos.

• 1. Una expresión es dicha por Epiménides. [P(q)]• 2. Esta expresión es la frase “Todo lo que es dicho por un cretense, es falso“. [q=y(C(y)→F(y))]• 3. Si una expresión es dicha por Epiménides, entonces es dicha por un cretense. [P(q)→C(q)].• POR LO TANTO, lo que Epiménides dice es verdadero si y solo si es falso. [V(q)↔F(q)] • La falsa analogía entre esta paradoja y la del Mentiroso nos obliga a probar que si la oración del

Epiménides es verdadera, entonces es falsa y que si la oración de Epiménides es falsa entonces es verdadera. Pero solamente podemos probar que V(q)→F(q). Postulemos metalógicamente la siguiente afirmación: “Si tenemos un consistente cuerpo de premisas “z” entonces podemos afirmar que solo podemos derivar, o solo la fórmula B, o solo ¬B. Para demostrar la imposibilidad de demostración de una conclusión ¬B (y, en consecuencia la demostrabilidad de B) a partir de cierto cuerpo de premisas “z”, bastará con mostrar que sólo se puede llegar a ¬B por métodos erróneos”. Siguiendo este postulado y haciendo que ¬B=“ F(q)→V(q), donde q= “Todos los cretenses son mentirosos” “, podemos demostrar la imposibilidad de demostración de F(q)→V(q) a partir del cuerpo de tres premisas.

• z = [P(q) & q=y(C(y)→F(y)) & P(q)→C(q)]. Como sabemos la fórmula F(q)→V(q) puede ser reducida a V(q), y por lo tanto, con el argumento anterior habremos demostrado la imposibilidad de demostración de V(q), y derivadamente la demostrabilidad de F(q).

CUASI PARADOJA Y SEUDO PARADOJA

• Como una oración no paradójica que es, la de Epiménides es, en términos de la Teoría de Puntos Fijos de Saúl Kripke (1997), una oración no fundada con valor de verdad en el punto fijo intrínseco, es decir, la oración de Epiménides es una oración que tiene valor de verdad para la interpretación que evite la contradicción. Específicamente, dicha oración solo puede ser consistente, si asumimos su falsedad, pues si suponemos su verdad concluiremos su falsedad. En este sentido, la débil paradoja de Epiménides resulta ser una cuasiparadoja al igual que los principios lógicos autorreferidos y el principio de verificación que se caracterizan por tener un punto fijo intrínseco que los hacen falsos por reducción al absurdo . Asimismo, la débil paradoja de Epiménides se revela como una seudoparadoja por ser un argumento que cae en una falacia. De este modo, la paradoja de Epiménides se revela como una falacia informal del continuum que comete el falaz proceder de creer que posiciones extremas son lo mismo (ya que la paradoja de Epiménides no es como la del Mentiroso), y es también una falacia formal basada en una errada regla lógica de primer orden también llamada Falacia de Aristóteles que sostiene que la negación de “Todos las cosas son verdaderas” es “Todas las cosas son falsas” y no su correspondiente “Algunas cosas son falsas”.

EXCEPCIÓN• Pero, sólo en un caso especial podemos decir que “Todos

los cretenses son mentirosos” es verdadera y falsa a la vez (como la oración del Mentiroso), si asumimos que sólo existe un único cretense, a saber, Epiménides. Esto sucederá debido a que si sólo existe un cretense, podemos suponer falsa a la oración de Epiménides y esto no impediría que también la negación de la oración del profeta “Algunos cretenses son honestos” sea verdadera por la sencilla razón de que si el referente de “algunos” y “todos” es único, v. g. Epiménides, entonces pasar de una premisa existencial a una universal no representaría falacia alguna. Sin embargo, el dato de que Epiménides es el único habitante de su isla altera el esquema original de premisas y cambia el argumento de Epiménides por otro muy distinto.

DESARROLLO