TEMA 2

EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

EXPERIMENTOS: EJEMPLOS

Deterministas

•Calentar agua a 100ºC

•Soltar objeto

Aleatorios

•Lanzar un dado

•Resultado fútbol

•Llegada del bus

a la parada

puntos

quinielavapor

cae

líneas

EXPERIMENTO ALEATORIO

Definición 1.- Decimos que un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado.

Nota: A veces el no conocer en profundidad las

leyes del fenómeno, lo hacen aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS

EJEMPLOS:

•Dado

•Quiniela

•Línea del bus

1,2,3,4,5,6Ω = 1, , 2XΩ =

34,6=Ω

SUCESO ALEATORIO. EJEMPLOS

EJEMPLOS:

Dado:

A=“Obtener puntuación par”

B=“Obtener múltiplo de 3”

C=“Obtener múltiplo de 5”

Quiniela:A=“Empatar”B=“No ganar en casa”C=“Ningún equipo

obtenga puntos”

SUCESOS ELEMENTALES.SUCESOS COMPUESTOS (I)

Definición 3.-Un suceso es elemental cuando consta de un sólo elemento del espacio muestral. En caso contrario se llama suceso compuesto.

SUCESOS ELEMENTALESY COMPUESTOS (II)

EJEMPLOS:

Dado:

A=“Obtener puntuación par”

B=“Obtener múltiplo de 3”

C=“Obtener múltiplo de 5”

Quiniela:A=“Empatar”B=“No ganar en casa”C=“Ningún equipo

obtenga puntos”

Elemental

Compuesto

C

A,BElemental

Compuesto

A

B

SUCESOS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES

Definición 4.- Dados dos sucesos de un experimento aleatorio, diremos que son compatibles si se pueden dar los dos al mismo tiempo, y diremos que son incompatibles en caso contrario.

Dado:

A=“Obtener puntuación par”

B=“Obtener múltiplo de 3”

C=“Obtener múltiplo de 5”

A y C son incompatibles

A y B son compatibles

SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (I)

Definición 5.- El suceso seguro es aquel suceso aleatorio de un experimento que se da siempre. Se denota por Ω

Definición 6.- Decimos que un suceso es imposible cuando no puede darse en el experimento. Se denota por ∅

SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (II)

Dado:

A=“Obtener puntuación menor que 7

B=“Obtener múltiplo de 7”

A es suceso seguro, B es suceso imposible

Quiniela:

A=“Algún equipo obtenga puntos”

B=“Ningún equipo obtenga puntos”

A es suceso seguro, B es suceso imposible

SUCESO COMPLEMENTARIO

Definición 7.- Dos sucesos soncomplementarios si siempre que ocurra uno, no se da el otro y al revés. Si denotamos por A a un suceso, su complementario será denotado por o cA A

Quiniela:

A=“Algún equipo obtenga puntos”

B=“Ningún equipo obtenga puntos”

A y B son sucesos complementarios

OPERACIONES CON SUCESOS: DEFINICIONES

OPERACIONES CON SUCESOS: PROPIEDADES

SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS

Definición 11.- Si tenemos un conjunto A1, A2,... An de sucesos incompatibles dos a dos cumpliendo que

le llamamos sistema completo de sucesos (partición de )

( )i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠

1 2 nA A A∪ ∪ ∪ = Ω…

ΩEncuesta:A=“ningún hermano”B=“un hermano”C=“dos hermanos”D=“más de dos hermanos”

Los sucesos A, B, C y D

forman un sistema

completo de sucesos

(s.c.s.)

CÁLCULO DE

PROBABILIDADES

INTRODUCCIÓN

La idea de probabilidad surge por la necesidad

de medir la incertidumbre o verosimilitud que

posee cada suceso asociado a un experimento

aleatorio.

DEFINICIÓN EMPÍRICA (I)

Interpretación frecuentista de la probabilidad

0

0,5

1

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

N

frec

uenc

ia

rela

tiva

EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos de una moneda y calculamos su frecuencia relativa

DEFINICIÓN EMPÍRICA (II)

Definición.- Cuando se repite un experimento n vecesy se observa el número de ocurrencias, k, de un determinado suceso A ; llamaremos probabilidad deéste a su frecuencia relativa

nkAP /)( =

Ley de los grandes números (Bernouilli)

PROPIEDADES DE LA DEFINICIÓN EMPÍRICA.

•La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

•La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa

•La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.

REGLA DE LAPLACE

Dado: A=“par”, B=“múltiplo de 5”, entonces3 1( ) y ( )6 6

P A P B= =

Nota: Es la primera definición formal que se

dio, pero tiene muchas limitaciones.

TÉCNICAS PARA CONTAR.

Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son útiles los diagramas de árbol.

No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la característica que cumplen. A veces es muy útil la Combinatoria: permutaciones, variaciones,...

TÉCNICAS PARA CONTAR.EJEMPLOS.

Exhaustivo: Suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados. En particular, 10 puntos.

No exhaustivo:

•Parte numérica de la matrícula de un coche. En particular, las que empiezan y terminan en 2

•Posibles fechas de cumpleaños en una clase de n personas.

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD (I).

Esta definición fue dada por Kolmogorov en el siglo XX.Enuncia tres axiomas que se basan en propiedades de la probabilidad empírica (frecuencia relativa).

Axioma 1.- Para cada suceso A, su probabilidad es un número entre 0 y 1

0 ( ) 1P A≤ ≤

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD (II).

Axioma 2.- La probabilidad del suceso seguro es 1

( ) 1P Ω =

Axioma 3.- Si A y B son dos sucesos incompatibles, la probabilidad de la unión

( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.

A partir de la definición axiomática de probabilidadse pueden demostrar propiedades de sucesos, como:

•Probabilidad del suceso complementario.•Probabilidad de la unión finita de incompatibles.•Justificación de la regla de Laplace.•Probabilidad de la unión de dos sucesos.•Probabilidad de la diferencia de sucesos

PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO

Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n personas haya al menos 2 con la misma fecha de cumpleaños.

.994.970.891.706.411.117p

605040302010n

Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507

PROBABILIDAD CONDICIONADA (I)

Probabilidad de un suceso, sabiendo que otroha ocurrido.

Ejemplo: DadoCalcular la probabilidad de que haya salido el 3, si nos dicen que el número obtenido es múltiplo de 3.

¿Qué ocurre si repetimos el experimento n veces y usamos la definición frecuentista de probabilidad?

PROBABILIDAD CONDICIONADA (II)

Definición 12.- La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es ( )( / )

( )P A BP A BP B∩

=

La probabilidad de la intersección de sucesos es:

( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅

PROBABILIDAD CONDICIONADA. EJEMPLO

Sorteo no equitativo: En una clase de 27 alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta de fin de curso. Cada alumno tiene un número asignado.

•Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae una al azar.

•Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se realiza una extracción en dos pasos. En el primero se extraen una de las bolas 0, 1 y 2. En el segundo se extrae una de entre todas las bolas.

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Definición 13.- Dados dos sucesos A y B con probabilidades no nulas, decimos que son independientes si

( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =

En estos sucesos se puede calcular cómodamentela probabilidad de la intersección.

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅

INDEPENDENCIA DE SUCESOS. EJEMPLOS

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento de dos dados, obtengamos un 10.

INTERSECCIÓN DE MÁS DE DOS SUCESOS

•Sucesos no independientes:

1 2

1 2 1 2 1 1

( )( / ) ( / ) ( )

n

n n

P A A AP A A A A P A A P A−

∩ ∩ ∩ == ∩ ∩ ∩ ⋅ ⋅ ⋅

…… …

Regla de la multiplicación.

•Sucesos independientes:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅… …

PROBABILIDAD TOTAL (I)

Teorema 1.- Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An la probabilidad de un suceso S es

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= ⋅ + ⋅ + + ⋅…

PROBABILIDAD TOTAL (II)

Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas es superior a 1.80 metros. Además el 60% de estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de coger a un estudiante de altura superior a 1.80 metros.

P(S/M)=0.01P(S/H)=0.04P(M)=0.6

S=“altura superior a 1.80”M=“ser mujer”H=“ser hombre”

P(S)=P(S/M)P(M)+P(S/H)P(H)=0.022

TEOREMA DE BAYES (I)

Teorema 2.- Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera S con probabilidad no nula

1

( ) ( / ) ( )( / )( ) ( / ) ( )

i i ii n

j jj

P A S P S A P AP A SP S P S A P A

=

∩ ⋅= =

⋅∑

con P(Ai) la probabilidad a priori de Ai y P(Ai/S) la probabilidad a posteriori de Ai.

TEOREMA DE BAYES (II)

Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que el estudiante escogido fuera mujer sabiendo que medía más de 1.80.

( / ) ( ) 3( / ) 0.27( ) 11

P S M P MP M SP S

⋅= = =

TEOREMA DE BAYES (III)

Ejemplo 2:Se administra una prueba para detectar usuarios de drogas.Prevalencia en la población: 3%Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad)Cuando se administra a alguien que no la usa, da negativa en el 98% de los casos (especificidad).La prueba dió positiva, ¿cuál es la probabilidad de que la persona use drogas?

TEOREMA DE BAYES (IV)

P( Usa) = .03P( Prueba + / Usa) = .95P( Prueba - /No usa) = .98

Queremos saber P( Usa | Prueba +)

TEOREMA DE BAYES (V)

Selecciono una personaDiagrama de árbol

Usa

.03

No Usa

.97

.95

Prueba +

.02

Prueba +

.05

Prueba -

.98

Prueba -

Si estoy aquí o aquí, ¿cuál es la probabilidad de haber pasado por aquí?

TEOREMA DE BAYES (VI)

++ = =

++

=+ + +⋅

=⋅ + ⋅

ii i

( Pr )( /Pr )

(Pr )(Pr / ) ( )

(Pr / ) ( ) (Pr / ) ( )0.03 0.95

0.03 0.95 0.97 0.02

P Usa y uebaP Usa ueba

P uebaP ueba Usa P Usa

P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Usa