La recta, parte 1.pptx

LA RECTAPendiente / inclinación de la recta

s

I.- La rectaEn nuestra vida diaria nos encontramos continuamente con líneas: trazos y perfiles rectos que identificamos sin ninguna duda, si nos topamos con una tabla de madera sabemos que es recta porque su espesor, longitud o anchura son constantes a lo largo de la misma, contornos que conforman líneas bien definidas. De ahí surge preguntarnos:

¿Qué es constante en una línea? Antes de contestar esta pregunta revisemos algunas cosas que en estudios previos hemos manejado.

La rectaHemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales, de 2 variables, como el ejemplo que a continuación se muestra

2 x + 3 y = 45 x - 2 y = -9

donde cada ecuación, su representación geométrica o espacial, conforma una línea recta y cuya solución de “x” y “y” establecen las coordenadas del punto de cruce de las mismas.

La recta

La línea A está representada por la ecuación

2x +3y=4, mientras que la línea B es la representación gráfica de

5x -2y=-9y el punto de inter-sección Q(-1,2) es la solución al sistema

La rectaEsta forma constituye una de las tantas que conoceremos en esta unidad, a esta particular forma de ecuación de la línea recta se le conoce como forma canónica (pasando todos los términos al lado izquierdo e igualándola a cero después del despeje, la primera ecuación quedaría como 2x+3y-4=0).

Forma canónicaA x + B y + C

= 0

La recta (características)Analicemos ahora varias líneas cualesquiera para observar sus características.

X

Y

1.- Se extienden indefinidamente.


X

Y

2.- Tiene una inclinación (pendiente), las líneas A y C perpendiculares entre sí y paralelas una y otra a los ejes.

F b

Línea C con ángulo cero


X

Y

3.- Cruzan a los ejes en al menos un punto.

Cruza al eje Y y al

eje X

Cruza al eje X

Cruza al eje Y

La recta (resumen de características) a)Se extienden

indefinidamente.

b)Tiene una inclinación (pendiente), las líneas A y C son paralelas una y otra a los ejes, siendo perpendiculares entre sí.

c)Cruzan a los ejes en al menos un punto.

X

Y

La recta (resumen de características)Tomando los axiomas de Euclides.

a)Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une (véase la recta A que une a P y Q).

b)Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada (igual puede decirse de una recta perpendicular). Véase las rectas B, C y D.

X

Y

D

La pendiente de la recta

La pendiente de la recta.La pendiente m (se le designa de este modo comúnmente) de una recta es la tangente del ángulo que forma la misma con respecto al eje X (inclinación). Tangente F

=

Cat. Opuesto_________Cat. Adyacente

Cat. Opuesto= y2-y1Cat. Adyacente= x2-x1

Tangente F = m =

_________Y2 - Y1X2 - X1

Hipot

enus

a

Cateto adyacente

x1 x2

y2

y1

Q(x2,y2)

M(x1,y1)S(x2,y1)

y2-y

1

x2-x1

Cate

to o

puest

o

F

La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 1.- Determinar la pendiente de la recta conociendo los puntos A(2,3) y B(4,7) que pertenecen a ella. 1.- Primero anotemos la

fórmula de la pendiente de la recta, utilizando siempre ya la notación de m.

12

12

xxyy

m

2.- Establezcamos arbitrariamente el punto A con las coordenadas (x1,y1) y el punto B con (x2,y2).

(x1,y1)

(x2,y2)

La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 1.- Determinar la pendiente de la recta conociendo los puntos A(2,3) y B(4,7) que pertenecen a ella. 3.- Sustituyamos los

valores de cada variable

24

2437

m

(x1,y1)

(x2,y2)

2mLa pendiente de esta recta, que cruza los puntos A(2,3) y B(4,7), es m=2.

12

12

xxyy

m

La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 2.- Determinar la pendiente de la recta conociendo otro punto de la misma recta, punto C(1,1).1.- Repitiendo el proceso establecemos, como antes, los pares coordenados de la fórmula y sustituimos.

224

2437

m

(x1,y1)

(x2,y2)

2.- Cambiemos los pares coordenados y calculemos de nueva cuenta.

(x2,y2)

212

2131

m

No debe sorprender que ambos cálculos de la pendiente, para cualquier par de puntos de la misma recta, son IGUALES.

12

12

xxyy

m

La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 3.- Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(-2,3), determina adicionalmente el ángulo que subtiende.1.- Sustituyamos los

valores de cada variable en la fórmula sgte.:

21

42

2213

m

B(2,1)

A(-2,3)

21m

2.- Para el ángulo utilizamos el arco tangente de -1/2.

12

12

xxyy

m

(x2,y2)

(x1,y1)

o56.26)21

(tan 1

Observe que -26.56º es igual a 153.04º

La pendiente es igual para cualquier par de puntos de la recta.

Los triángulos conformados por las proyecciones de las coordenadas de los tres puntos SON PROPOCIONALES. Por lo que las pendientes

m y m1, que es una constante de proporción de dos de sus lados (recuérdese que la tangente es igual a cateto opuesto/cateto adyacente) son iguales, es decir que:

a

a’= k a

b

b’= k bc

c’=

k c

a’b’m = a

bm1 =

m = m1

y

La inclinación de la recta En el ejercicio 3 obtuvimos que el valor del ángulo de inclinación de esta recta es de -26.56º (equivalentes a 153.04º) el cual se muestra en la siguiente figura.

B(2,1)

A(-2,3)

Conviene tener en mente que aunque comúnmente se utilizan como sinónimos inclinación y pendiente, no debemos perder la noción de que el primer concepto es un ángulo y el segundo es la tangente de ese ángulo. La inclinación está dado en grados o radianes y la pendiente no tienen unidades.

-26.56º

153.04º

Valor de la pendiente en los diferentes cuadrantes

El valor de la pendiente en los cuadrantes

La pendiente en el cuadrante I es positiva ya que y1 y x1 son positivas.

Cuadrante I

X

Y

y1

x1

m = y1 positivo x1 positivo

+

+

Cuadrante I


La pendiente en el cuadrante II es negativa ya que x1 es negativa y y1 es positiva.

Cuadrante II

X

Y

y1

x1

m = y1 positivax1 negativa

+

+

Cuadrante II


Cuadrante III

X

Y

y1

x1

+

+ La pendiente en el cuadrante III es positiva ya que y1 y x1 son negativas.

m = y1 negativax1 negativa

Cuadrante III


Cuadrante IV

X

Y

y1

x1

+

+ La pendiente en el cuadrante II es negativa ya que y1

es negativa y es x1

positiva. m =

y1 negativax1 positiva

Cuadrante IV

Apunte de trigonometría

Apunte de trigonometríaEl ángulo de inclinación es el ángulo subtendido por una recta con respecto al eje X, considerándose positivo si el giro corre en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo si corre en sentido contrario.

+ -


BA

B

90º < D A < 180º Los ángulos A y B son suplementarios por lo que se cumple que:DA + D B = 180º DB= 180º - D A Dado que el ángulo b es negativo (giro en el mismo sentido que las manecillas del reloj)

Tangente( D A )= -Tangente(D B)Tangente( D A )= -Tangente(180º - D A) Para un ángulo > 270º basta restar directamente restar 360º y determinar la tangente.

Ejemplo.Tan 135º = -Tan(180º - 135º ) = -Tan(45º)

Para el ángulo de inclinación se cumple que:


BB

180º < D A < 270º DA - D B = 180º DB = D A - 180ºDado que el ángulo b es positivo (giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj)

Tangente( D A )= Tangente(D B)Tangente( D A )= Tangente( D A -180º)

Ejemplo.Tan 200º = Tan(200º - 180º ) = Tan(20º)

A

Para el ángulo de inclinación se cumple que:

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS

DE LA MISMA

Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.

Para encontrar la ecuación de la recta cuando conocemos dos puntos de la misma, haremos uso de un ejercicio anterior solo que reemplazaremos algunos valores por variables.Recordemos primero que las pendientes m y m1 son iguales.

m1

m


Ahora sustituyamos las coor-denadas de los puntos A y B por las coordenadas cuales-quiera que ya conocemos, en este caso A(x1,y1) para el punto A y B(X2,y2) para el punto B. En el caso del punto C ahora lo establecemos como un punto arbitrario P con coordenadas P(x,y) . No olvidemos que las pendientes son iguales.

B(x2,y2)

A(x1,y1)

P(x

,y)

x x1 x2

y

y1

y2

m1

m


B(x2,y2)

A(x1,y1)

P(x

,y)

x x1 x2

y

y1

y2

m1

m

Tenemos que:

1mm

Igualamos términos

12

12

1

1

xxyy

xxyy

12

12

xxyy

m

xxyy

m

1

11

xxxxyy

yy 1

12

121

Fórmula para cálculo de m

Luego para m1

Despejamos

El término x1 - x______ x1 - x

pasó multiplicando


B(x2,y2)

A(x1,y1)

P(x

,y)

x x1 x2

y

y1

y2m

1

m

Multiplicando por -1 ambos tér-minos para que quede en función de y y que esta sea positiva.

Finalmente tenemos que

)1())(1( 112

121

xxxxyy

yy

112

121)( xx

xxyy

yy

Que es la ecuación de la recta conociendo dos puntos de la misma. Obtengamos la ecuación de la recta del ejercicio 1 de la sección de la recta, ejercicio 4 ahora.


Esta es la ecuación que buscamos

)2)(2437

(3 xy

(x1,y1)

(x2,y2)

112

121)( xx

xxyy

yy

423 xy

)2)(24(3 xy

)2(23 xy

342 xy

12 xy

Hacemos las dos restasHacemos la división 4/2Multiplicamos por 2 a (x-2)Pasamos -3 a la derechaHacemos -4+3=-1

Ejercicio 4.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(4,7).

Observa que la pendiente es el factor de la variable

independiente X

m=

2 2

Ecuación de la recta conociendo un punto y su

pendiente (Forma punto-pendiente)

Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente)

Partiremos de la ecuación anterior donde teníamos dos puntos de la recta.

y –y1 =

y2 –y1

x2 –x1

(x –x1)_____

Si observamos detenidamente el primer término del la expresión algebraica del lado derecho corresponde al valor de la pendiente, por lo que si reemplazamos ésta por m, la ecuación queda como:

y –y1 =

m ( x –x1)

Que es la ecuación buscada

Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente)

Gráficamente queda representada como:

y –y1 =

m ( x –x1)

m = tangente (b)

b

(x1,y1

)

Y

X

Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente).

Ejercicio 5. Determina la ecuación de la recta que cruza el punto A(1,2) y que tiene un ángulo de inclinación de 120º.

y –y1 =

m ( x –x1)

a) Cálculo de la pendiente.

)60()120( oo TanTanm

732.1m

Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente).

Ejercicio 1. Determina la ecuación de la recta conociendo que cruza el punto A(1,2) y que tiene un ángulo de inclinación de 120º.

1732.1)2( xy

732.1732.12 xy

2732.1732.1 xy

b) Sustitución de m y del punto A(x1=1, y1=2).

y = - 1.732 x + 3.732

Ecuación de la recta, forma pendiente- ordenada al

origen

Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.

Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos.

y –y1 =

y2 –y1

x2 –x1

(x –x1)_____

Ahora consideremos que conocemos el punto de cruce con el eje Y, es decir aquel punto donde y1=b y

x1=0, condición ésta última que ocurre, como dijimos, al cruzar por el eje Y. Sustituyendo en la anterior ecuación, esta queda como:

y –b =

m ( x –0)


Ésta última es la ecuación buscada.

y –b = m

x – m 0 .

y –b = m

x

y = m

x + b


Gráficamente queda representada como:

y =

m x +bQ(0,b)

Y

Xb

m = tangente (b)


Solución. Consideremos que el eje Y colocamos los grados Fahrenheit, mientras que en el eje de las X lo hacemos con los Celsius. Ya establecido de ese modo la ordenada al origen es el punto A(0,32), es decir que 0 oC corresponden 32 oF, y que la pendiente es 9/5. Véase el gráfico siguiente.

32 oF corresponden a 0 oC

oF

oC

m=9/5

Ejercicio 6.- Obtén la fórmula de conversión de grados Celsius a Fahrenheit (ecuación de la recta que las relaciona), si se sabe que a 0 oC corresponden 32 oF, y que además la relación de cambio es de 9/5, es decir que a cada 5 grados Celsius corresponden 9 Fahrenheit.


Ejercicio 6.- Obtén la fórmula de conversión de grados Celsius a Fahrenheit (ecuación de la recta que las relaciona), si se sabe que a 0 oC corresponden 32 oF, y que además la relación de cambio es de 9/5, es decir que a cada 5 grados Celsius corresponden 9 Fahrenheit.En este caso dado que tenemos la ordenada al origen y la pendiente de la recta, solo bastaría reemplazar estos valores en la forma pendiente-ordenada al origen.

y = m x + bm = 9/5

donde

b = 32 sustituyendo queda

y = x + 329___5

o expresado en términos de grados Celsius y Fahrenheit

oF = oC + 329___5

Ecuación de la recta,forma simétrica

Ecuación de la recta, forma simétrica.

Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos:

y –y1 =

y2 –y1

x2 –x1

(x –x1)_____

Q(a,0)

R(0,b)

X

Y

(x1,y1)

(x2,y2)

))(00

(0 axa

by

)( axab

y

)( axbya

Considerando primero a R(0,b) como (x2,y2) y a Q(a,0) como (x1,y1), sustituimos en la fórmula:

Hacemos las restasPasamos a “a”

multiplicando al lado izquierdo, observa que m=-b/a

Realizamos el producto de –b por (x-a)


Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos.

Q(a,0)

R(0,b)

X

Y

(x1,y1)

(x2,y2)

abxbya

abbxya

baba

baxb

baya

1ax

by

Pasamos al término –bx al lado izquierdo

Dividimos toda la expresión entre ab

Reducimos expresiones

Y ésta es la ecuación de la recta, en su forma simétrica.


Veámosla gráficamente:

Q(a,0)

R(0,b)

X

Y 1by

ax

Con a, b ¹ 0

Y la pendiente siendo igual a:

ab

m


Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0.Este ejercicio lo podemos realizar de dos formas; la primera es reflejar la ecuación de forma simétrica ya que en su formulación

a y b representan, no olvidemos ese hecho, los puntos de cruce de la recta. Para ello bastará realizar las operaciones algebraicas necesarias, las cuales haremos a continuación:

1by

ax

0623 yx

623 yxPasamos la literal (-6) al lado derecho, cambiando su signo


Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).

66

62

63 yx

Ahora dividimos todos los términos entre 6 para que quede la unidad

623 yx

Efectuamos la división

131

21 yx

Por último, la ponemos en la forma simétrica (subiendo los términos x y y multiplicando por 1)

132 yx Que es la formulación buscada, mientras que 2 es la

abscisa al origen y -3 la ordenada al origen, es decir que los puntos (2,0) y (0,-3) son los puntos de cruce.


Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).

132 yx

3x-2y-6=0 y la anterior formulación representan la recta ilustrada en nuestra gráfica.

Gráficamente ubiquemos los puntos (2,0) y (0,-3) y trazamos la recta que los unes y esa es la recta buscada

Indicamos que habían dos formas de obtener los puntos de cruce que nos sirven para graficar la recta. Veamos como realizarla de otro modo.


Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).Para obtener los puntos de cruce (rectas x=0 y y=0), basta hacer, alternativamente x=0 que nos da la ordenada al origen, y luego y=0, punto de cruce con x, con lo que obtenemos la abscisa al origen. Este método se puede aplicar a cualquier ecuación de una recta. Hagamos primero x=0, punto de cruce con el eje y (ordenada al origen)-

62)0(3 y

62 y

326

y

0xEntonces x=0 y y=-3 nos representa el punto de cruce (0,-3), punto B en la gráfica anterior.


Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).Ahora hagamos primero y=0, punto de cruce con el eje x (abscisa al origen)

6)0(23 x

63 x

236 x

0y Entonces x=2 y y=0 nos representa el punto de cruce (2,0), punto A en la gráfica anterior.


Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6Determinemos los puntos de cruce, ordenada y abscisa al origen, haciendo alternativamente x=0 y y=0.

6)0(85 x65 x

2.156 x

0y

Entonces y=0 y x=-1.2 nos representa el punto de cruce A(-1.2,0).

Para


Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6

68)0(5 y

65 y

75.043

86 y

0x

Entonces x=0 y y=-0.75 nos representa el punto de cruce A(0,-0.75).

Para


Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6Finalmente unimos los puntos A y B, trazando con ellos la gráfica buscada.

Ecuación de los ejes, rectas paralela y perpendiculares

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