La regla de los signos de DescartesEn los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible

demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos

de Descartes, relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación

polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada

de su historia y también para demostrarla.

Qué es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio  . Si

igualamos  a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican,

colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la

siguiente lista:

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo:

del 3al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando   al número de cambios de signo en

la lista de coeficientes del polinomio  , tendríamos entonces que en este

caso  .

Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha

ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución

real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de

cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con

el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una

cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas

ocasiones dicha cota puede propocionar información muy interesante sobre la

cantidad de raíces positivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla:

Regla de los signos de Descartes

El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con

coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de

cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los

ceros).

Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes

es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el

caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya

que  . Pero se puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota

superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no

se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho

sabemos que si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces

positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo

anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener

solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.

La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático

francésRené Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró.

Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio

una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha

demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático

francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro

admirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como

cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios

en un múltiplo de dos.

Demostración de la regla de los signos de DescartesVamos a terminar este artículo sobre la regla de los signos de Descartes dando una

demostración de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio   de

grado n cuyo coeficiente líder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor

grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también

que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que  ), ya que

si lo es podemos sacar factor común un término de la forma   que después se puede

eliminar.

Vamos a probar esta regla por inducción en n:

Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la ecuación es   con   (un cambio de signo) la única solución es   (una solución positiva). Si es   con   (ningún cambio de signo) la única solución es   (ninguna solución positiva).

Supongamos entonces que   es un polinomio de grado  , con coeficiente

líder igual a 1 y con  . Distinguimos dos casos:

1. Si  , entonces el número de cambios de signo de la ecuación debe ser impar, ya que comenzamos en un número positivo, el 1, que es el coeficiente

líder, y terminamos en un número negativo,  . Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación también es impar:

Como el grado del polinomio es n, se tiene que el término   es el que marca

la tendencia del polinomio para valores grandes de x. De hecho, para algún

valor grande y positivo de x, digamos  , se tiene que   es positivo, por

lo que aplicando el teorema de Bolzano a  en el intervalo   tenemos

que existe al menos una raíz de   en el intervalo  , esto es, positiva.

Si llamamos k a esa raíz, se tiene que  , con  un

polinomio de grado   y tal que   es positivo (dado que k es

positivo y   es negativo). Aplicando la hipótesis de inducción a   

obtenemos que ese polinomio tiene un número par de raíces positivas, por lo

que   tiene un número impar de soluciones positivas (todas las que

tiene   junto con k).

2. Vamos con el caso  . Si la ecuación no tiene soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple, ya que cero es un número par. En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva,

llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que  ,

siendo   un polinomio de grado   tal que   es negativo (ya

que k es positivo y   también). Podemos aplicar la hipótesis de inducción

a  , lo que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces

positivas. En consecuencia,   tiene un número par de raíces positivas

(todas las de   junto con k).

Lo que nos dice todo esto es que el número de cambios de signo y el

número de raíces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los

dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos números son

iguales o difieren en un múltiplo de dos.

Nos queda probar que hay más cambios de signo que raíces positivas, es decir,

que el número de cambios de signo es una cota superior del número de raíces

positivas. Lo vemos:

Si hubiera más raíces positivas que cambios de signo en los coeficientes

de , entonces debería haber al menos dos raíces positivas más que el

número de cambios de signo (por lo que hemos probado antes).

Manteniendo la notación anterior, tenemos que al menos debería

haber   raíces positivas.

Por otra parte, se tiene que   tiene al menos una raíz entre cada dos

raíces de   (sabéis por qué, ¿verdad?). Por tanto habría al

menos   raíces de  .

Pero   tiene como mucho tantos cambios de signo como  , es

decir,  cambios a lo sumo, y además su grado es  . En estas

condiciones la hipótesis de inducción nos dice que dicho polinomio

cumple la regla de los signos, es decir, cumple que tiene más cambios

de signo que raíces positivas.

Llegamos entonces a una contradicción provocada por la suposición

inicial. Por tanto hay más cambios de signo que raíces positivas.

Como comentario final, es interesante resaltar que si tomamos el polinomio   y

le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del

número de soluciones negativas de  .

Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raíces positivas

del polinomio, sino una cota superior de las mismas. Por ello no podemos solamente

con esta regla cuántas raíces positivas tiene nuestra ecuación. Pero sí podemos

aprovechar algún conocimiento previo sobre las raíces positivas de la misma. Pongo

un ejemplo:

Supongamos que tenemos una ecuación polinómica con dos cambios de

signo entre sus coeficientes, y supongamos también que mediante otros

métodos hemos encontrado una solución positiva de la misma, digamos k.

Por la regla de los signos sabemos que la ecuación tendrá dos soluciones

positivas o no tendrá ninguna. Pero tenemos ya una, k, por lo que nuestra

ecuación tiene dos raíces positivas exactamente. Eso nos indica que si

necesitamos buscar otra raíz de la ecuación, podemos hacerlo entre los

números positivos, ya que seguro que hay otra más.

También se puede combinar el comentario final, que nos calcula una cota del número

de raíces negativas, con la propia regla, para así obtener más información sobre las

raíces reales de la ecuación.

Y para finalizar os dejo este mensaje del foro de Rincón Matemático donde hay un par

de documentos en pdf con información adicional acerca de la regla de los signos de

Descartes y otros resultados relacionados.