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La Regresión Logística aplicada a un programa de salud en Medicina Veterinaria. http://www.veterinaria.org/revistas/redvet/n090914/091403.pdf

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REDVET - Revista electrónica de Veterinaria - ISSN 1695-7504

La Regresión Logística aplicada a un programa de salud en Medicina Veterinaria - The logistic regression applied to a health program in Veterinary Medicine

Ramírez, W. y Y. Rodríguez

Centro de Estudio de Ciencias de la Educación Superior Universidad de Granma (UDG), Cuba.

Contacto: [email protected]

Resumen Está ampliamente reconocida que la regresión logística (RL) es una herramienta de gran utilidad, pues aporta elementos valiosos en los análisis de investigaciones clínicas y epidemiológicas, entre otras, lo que proporciona a la práctica, valiosísimos recursos que permiten realizar juicios bien fundamentados para lograr determinados objetivos. El objetivo del trabajo, fue proporcionarle los elementos de aplicación a los menos conocedores de la materia. En búsquedas realizadas, las referencias no poseen una aplicación a la Medicina Veterinaria, que sin dudas aportarían muchos elementos a las exégesis que puedan efectuarse. Se ha hecho una descripción por pasos, a partir de la introducción de datos de un problema hipotético sobre la aplicación de un programa de lucha. Hacer los cálculos, manualmente, sería engorroso y por ello, se empleó el Sistema SPSS para Windows 11.5.1, 2002. Para algunos gráficos, se utilizó el Statgraphics Ver. 5.1, 2001 con los resultados debidamente graficados y explicados. Se concluyó que el material aportados será de utilidad para la profesión de referencia. Palabras clave: regresión I logística I programa I salud I medicina I veterinaria. Abstract It is widely recognized that the logistic regression (LR) is a very useful tool, as it provides valuable elements in the analysis of clinical and epidemiological research, among others, providing a practical, valuable resources that enable informed judgments to achieve certain objectives. The aim of the work was to provide them with skills applicable to the least knowledgeable about the subject. In searches conducted, references



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have no application to the Veterinary Medicine, which undoubtedly would bring many elements to exegesis to be conducted. It has done a description of steps, from data entry to a hypothetical problem on the implementation of a control program. Making calculations manually would be cumbersome and therefore the system SPSS for Windows 11.5.1, 2002 was used for some graphics, the Statgraphics used Ver. 5.1 2001 duly explained and results plotted. It was concluded that the material will be provided useful reference for the profession. Keywords: logistic regression I health I veterinary medicine I program.

Introducción Está ampliamente reconocida que la regresión logística (RL) es una herramienta de gran utilidad, pues aporta elementos valiosos en los análisis de investigaciones clínicas y epidemiológicas, entre otras, lo que proporciona a la práctica, valiosísimos recursos que permiten realizar juicios bien fundamentados para lograr determinados objetivos. Este procedimiento, se encuentra dentro del los análisis multivariante, no depende del tiempo y probablemente sea el más empleado en lo que se ha calificado por otros como Ciencias de la Vida. Matemáticamente, tiene como fundamento explicar una función sigmoidea, cuya variable solamente puede tomar valores entre 0 y 1, a través de una expresión que puede contemplar la existencia de variables independientes que se representa por una fórmula, abajo consignada. Gráficamente se ajusta a una curva en forma de una S alargada (Gráfico 1). Las razones o argumentos que sustentan lo anterior, de modo resumido son: Proporcionar la posibilidad de introducir como variables predictoras

de la respuesta (variable dependiente) una combinación de variables categóricas y cuantitativas.

Tomándose en cuenta los coeficientes de regresión () de las variables independientes introducidas en el modelo, se puede lograr la obtención directamente de la Odds Ratio (OR) de cada una de ellas, que se corresponde con el riesgo de tener un resultado evaluado para un determinado valor de (X), respecto al valor disminuido en una unidad (X -1).

En la RL, la variable dependiente (la que se quiere modelar, Y) es categórica, generalmente dicotómica (binaria), lo que constituye una situación muy frecuente y simple de representar fenómenos en



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la naturaleza por ejemplo: Si/No, Sano/Enfermo, Bueno/Malo, etc.

Lo que se pretende mediante la RL, es expresar la probabilidad de que un suceso ocurra como función de ciertas variables. Si lo que se pretende modelar o predecir se representa por Y (variable dependiente) y las k variables independientes (explicativas y de control), se designan por X1, X2, X3,… Xk. El modelo de RL, dará lugar a una ecuación que permitirá estimar la probabilidad de que ocurrirá un suceso.

)...( 11exp1/11 mm xx

iyp Fórmula (1) p= probabilidad 0, 1, 2, 3, … k son los parámetros del modelo y exp significa la función exponencial, que es una expresión simplificada que corresponde a elevar el número e a la potencia contenida dentro del paréntesis, siendo la constante de Euler, o base de los logaritmos neperianos con un valor aproximado a la milésima, es decir 2,718.

Gráfico 1. Paradigma del Ajuste de la Curva Logística



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Desarrollo La aplicación del modelo, se hará mediante un ejemplo sencillo que tiene como contenido el texto siguiente: Problema Ejemplo: En un territorio determinado, el Servicio Veterinario, necesita evaluar la aplicación de un programa de prevención y control contra una determinada enfermedad en una especie animal de importancia para la producción. Los elementos considerados son los meses de aplicación del programa y su éxito o fracaso; partiendo del principio de la dicotomía, se asigna 1 cuando es favorable y 0 en caso contrario.

Cuadro 1.- Los datos

Hacer los cálculos, manualmente, sería engorroso y por ello, se empleó el Sistema SPSS para Windows 11.5.1, 2002. Para algunos gráficos, se utilizó el Statgraphics Ver. 5.1, 2001. Por tanto, se procederá en consecuencia. Pasos a seguir:



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Cuadro 2. La entrada de datos y comandos para la ejecución

Cuadro 3. La declaración de variables



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Cuadro 4. Las nuevas variables

Cuadro 5. Las probabilidades



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Cuadro 6. Las opciones de estadísticos y gráficos

Resultados y comentarios.

Cuadro 7.- El resumen del procesamiento En el Cuadro 7, en primer lugar, aparece el resumen con el número de casos (N) introducidos, los seleccionados para el análisis y los excluidos (casos perdidos por algún valor faltante. A continuación, otro que ofrece



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especificaciones de la codificación de la variable dependiente (debe ser dicotómica). Internamente, el sistema asigna los valores, 0 al menor de los dos códigos y 1 al mayor.

Cuadro 8.- El bloque inicial La naturaleza no lineal de la transformación logística requiere de otro procedimiento, el de máxima verosimilitud, se utilice de forma iterativa para encontrar la estimación más probable de los coeficientes, lo que proporciona la suma de los cuadrados al calcular la medida de ajuste global del modelo. En este bloque inicial (Cuadro 8), viene calculada la verosimilitud de un modelo que posee los términos constantes (a o b). Debido a que la verosimilitud L es un número muy pequeño (entre 0 y 1), se acostumbra a proporcionar el logaritmo neperiano de la verosimilitud (LL) que es un número negativo, o al menos dos veces el logaritmo neperiano de la verosimilitud (-2LL). Este estadístico, mide hasta qué punto un modelo se ajusta bien a los datos; este resultado, también recibe el nombre de desviación; mientras más pequeño sea ese valor, más apropiado será el ajuste; en el caso que nos ocupa, es 32,671. Al realizar la introducción de los datos, en Opciones, el historial de iteraciones, la salida de la



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computadora, muestra un resumen de ese proceso de estimación del primer parámetro (bo). Este, ha requerido tres ciclos para estimar correctamente el término constante, porque la variación de -2LL entre el segundo y tercer torcido (vuelta), ha cambiado en menos del criterio fijado por el programa (0,001); también ejemplifica el valor del parámetro calculado (b0 = 0, 575). Por medio del siguiente, Cuadro 8, se puede evaluar el ajuste del modelo de regresión (con un solo parámetro), comparando los valores predichos con los observados. Por defecto, se ha empleado un punto de corte de la probabilidad de Y para clasificar a los elementos de 0,5; esto significa que aquellos para los que la ecuación calcula la probabilidad <0,5 se clasifican como Estado = fracaso, mientras que si la probabilidad resultante es 0,5 se clasifican como Estado = éxito. En este primer paso el modelo ha clasificado correctamente un 64 % de los casos y en ninguno, el fracaso ha sido dispuesto correctamente.

Cuadro 9.- El ajuste del modelo y variables en la ecuación En el Cuadro 9, variables en la ecuación, se presenta el parámetro (B), su error estándar (ET) y su significación estadística con la prueba de Wald, que es un estadístico que se corresponde con la ley de X2 con un grado de libertad; así como la estimación de OR (Exp(B). En la ecuación de regresión, solamente aparece la constante, quedando fuera la variable MESEXP. No obstante, en el cuadro subsiguiente, como tiene una significación estadística asociada al índice de Wald de 0,005, el proceso automático por pasos, continuará incorporándola a la ecuación.



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Cuadro 10. - El bloque inicial y prueba ómnibus Según el Cuadro 10, donde aparece el historial de iteraciones, se puede apreciar que el -2LL, respecto al paso anterior, disminuye, es decir, de 32,671 a 23,891. Los coeficientes calculados son para la constante b0 = -2,178 y para la variable MesAplic, b1 = 0,195. A continuación, se aportan elementos sobre el ajuste del modelo con las referidas estimaciones. La probabilidad en el ejemplo, dadas las valoraciones de los parámetros, es lo que se conoce como verosimilitud, pero como es un número pequeño, (frecuentemente menor de uno), se emplea el -2LL (menos dos veces el logaritmo neperiano de la verosimilitud). En el cuadro donde aparece la prueba ómnibus sobre los coeficientes del modelo; se aprecia una X2 que evalúa la hipótesis nula (H0) de que los coeficientes () de todos los términos, excepto la constante, incluidos en el modelo, son ceros. El estadístico X2 para este contraste, es la diferencia entre el valor de -2LL para el modelo solamente con la constante y el valor de -2LL para el actual.

Fórmula (2) y resultado de X2 para el contraste



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La prueba ómnibus aporta tres entradas:

Primera fila (PASO), es la correspondiente al cambio de verosimilitud (de -2LL) entre pasos sucesivos en la construcción del modelo, contrastando la H0 de que los coeficientes de las variables añadidas en el último paso son ceros.

La segunda fila (BLOQUE) es el cambio en -2LL entre los bloques de entrada sucesivos durante la construcción del modelo. Si como es habitual en la práctica, se introducen las variables en un solo bloque, el X2 del Bloque es el mismo que el X2 del Modelo.

Tercera fila (MODELO) es la diferencia entre el valor de -2LL para el modelo solo con la constante y el valor de -2LL para el modelo actual.

En el ejemplo que se expone, al haber solamente una covariable introducida en el modelo, (además de la constante), un único bloque y un único paso, coinciden los tres valores.

Cuadro 11.- El resumen de los modelos

En el resumen de los modelos (Cuadro 11), como complemento de lo anterior, para evaluar de manera global su validez, la primera es el valor del -2LL y las otras, los Coeficientes de Determinación (R2), semejantes al que se logran en la regresión lineal, que expresan la proporción (porcentaje) de la variación explicada por el modelo. Un paradigma perfecto, tendría un valor de -2LL muy pequeño (idealmente cero) y un R2 cercano a uno (idealmente 1).



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-2 log de la verosimilitud (-2LL) mide hasta qué punto un parón se ajusta bien a los datos. El resultado de esta medición recibe también el nombre de desviación; mientras más pequeño sea el valor, mejor será el ajuste; en el ejemplo es 23, 891.

El R2 de Cox y Snell es un coeficiente de determinación generalizado

que se utiliza para estimar la proporción de varianza de la variable dependiente explicada por las variables predictoras (independientes). La R2 de Cox y Snell se basa en la comparación del log de la verosimilitud (LL) para el modelo similitud (respecto al log de la verosimilitud para un modelo de la línea base). Sus valores oscilan entre 0 y 1. En el ejemplo, es 0,296, bastante pequeño que indica que solamente el 29,6 % de la variación de la variable dependiente es explicada por la variable incluida en el modelo.

El R2 de Negelkerke es una versión corregida de la R2 de Cox y

Snell. Este coeficiente tiene un valor máximo inferior a 1, incluso para un modelo perfecto; él corrige la escala del estadístico para cubrir el rango completo de 0 a 1; en el ejemplo es el 40,6 %.

La prueba Hosmer - Lemeshow evalúa la bondad de ajuste del modelo de la regresión logística. La idea parte de que si el ajuste es bueno, un valor alto de la probabilidad predicha (p) se asociará con el resultado 1 de la variable binomial dependiente, mientras que un valor bajo de p (próximo a cero), corresponderá – en la mayoría de las ocasiones – con el resultado Y = 0. Se trata de calcular, para cada observación del conjunto de datos, las probabilidades de la variable dependiente que predice el modelo, ordenarlas, agruparlas y calcular, a partir de ellas, las frecuencias esperadas y compararlas con las observadas mediante una prueba de X2. El estadígrafo de referencia, no se computa cuando los valores esperados o (ni – Ei) son nulos o muy pequeños (menores de cinco). Por otra parte, se desea que no sea significativa, lo contrario de lo habitual. Una ecuación sin poder de clasificación alguno, tendría una especificidad, sensibilidad y total de clasificación correctas, igual al 50 % (por simple azar). Un modelo puede considerarse aceptable, si tanto la especificidad como la sensibilidad tienen un nivel alto, al menos el 75 %. En este ejercicio ejemplo, es 76 % (Cuadro 12).



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Gráfico 2.- La Clasificación

En el Gráfico 2, se puede observar que el modelo calcula unas probabilidades de Y < de 0,5 para todos los casos, por lo que clasifica como éxito = 1; la capacidad explicativa pudiera considerarse aceptable a partir de los coeficientes de determinación. El incremento de aplicación del programa en el tiempo, puede conducir a un mejor ajuste.

Cuadro 12. - El Cuadro de clasificación Finalmente, el sistema nos ofrece las variables que dejará en la ecuación, sus coeficientes de regresión, con sus ET y el valor estadístico de Wald para evaluar la hipótesis nula (i = 0), la significación estadística asociada y el valor de la OR (Exp (B) con sus intervalos de confianzas.



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Cuadro 13.- Las variables en la ecuación Con estos datos (Cuadro 13), se puede construir la ecuación de regresión logística que en el ejemplo es: p(Estado = éxito) = 1/1 + exp(2,178 – 0,195)

= 1/1 + 2,718(1,983)

= 0,121 Con esta probabilidad predicha, como es <0,50 se clasificaría Estado = fracaso; es decir el programa en aplicación, está dando resultados favorables. El valor significativo del índice de Wald, expresa que la regresión logística de la variable dependiente, es lineal (Gráfico 5).

Gráfico 3.- La predicción Éxito – Fracaso



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En este Gráfico 3.6, se puede apreciar la congruencia con el 76 % de porcentaje global (Cuadro 12).

Gráfico 4. La tendencia

Véase la similitud de este gráfico (4) con el Paradigma del Ajuste de la Curva Logística (Gráfico 1).

Gráfico 5. La demostración de la linealidad logit



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Gráfico 6.- El pronóstico de la certeza

Gráfico 7. El Éxito – Fracaso

Puede apreciarse la semejanza entre los Gráficos 1; 4 y 7.



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Cuadro 14. 6.- La calificación general de la aplicación del programa Una condición favorable de la RL, si la comparamos con la regresión lineal, es que ella no requiere que se cumplan los supuestos gaussianos (normalidad y homocedasticidad de los residuos, independencia entre las observaciones y ausencia de colinealidad entre los predictores. Los supuestos esenciales de la RL son: independencia de las observaciones sucesivas y una relación lineal logit(x) y los predictores X1… Xk.

Conclusión La regresión logística es una herramienta poderosa, debidamente comprobada que puede ser empleada con seguridad para la evaluación de un programa de salud en el ejercicio de la Medicina Veterinaria. Aclaración: Los gráficos 3; 4; 5; 6 y 7, están realizados en Statgraphics. Notas.-

Significación de cada coeficiente del modelo (basada en el estadístico de Wald):

Ofrece el equivalente a la significación de los coeficientes de regresión lineal múltiple. Si una variable independiente resulta no significativa, podemos considerar eliminarla del modelo (a menos que esté confundida con otra variable independiente significativa). La significación del estadístico de Wald para el coeficiente bi es el que corresponde a contrastar la hipótesis nula de que este vale cero; o lo que es lo mismo, que la OR asociada, Exp(bi) = 1, es decir, que la variable Xi



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no es factor de riesgo y por ello, podemos olvidarnos de ella, a menos que la encontremos confundida con otra que sí lo sea.

Exp(bi) = OR estimada para el factor. Aparecen en la columna B de la salida de SPSS. Más interesante aún son los intervalos de confianza para Exp(bi) = OR (si se ha marcado la opción para que los calcule). Si no contienen al valor uno, es señal de que la variable es de interés en el modelo.

Nótese que el valor de la prueba de Wald 5, 5,907 y el X2 = 8,779 del bloque de la prueba ómnibus, son valores que están aproximados y como su discrepancia no es muy grande, indica que el tamaño de la muestra, es apropiado para aplicarlas.

Para estudiar la permanencia o exclusión de una variable en el modelo, se debe calcular el índice de Wald que se obtiene según la fórmula:

Fórmula (3)

Este índice sigue una distribución normal, por lo que aquellas variables que tengan valor de Wald 1,96 deben ser conservadas en el modelo al contribuir significativamente (p<0,05) y de manera independiente a la probabilidad final de la aparición del evento. El estadístico de Wald es una prueba de significación estadística que tantea la hipótesis nula de que las b son iguales a cero. La prueba de Wald evalúa, por consiguiente, la significación estadística individua! de cada uno de los coeficientes estimados. El estadístico de Wald con una distribución X2 (con un grado de libertad) pone de manifiesto cómo la variable independiente explica la dependiente y, por tanto, influye en la probabilidad de la aparición de un suceso según se apuntó arriba.

La prueba de Hosmer – Lemeshow evalúa un aspecto de la validez del modelo: la calibración (grado en que la probabilidad predicha coincide con la observada.

Para más elementos del Modelo de Regresión Logística, deberán consultarse obras especializadas; de igual manera debe procederse con la utilización del SPSS.



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REDVET: 2014, Vol. 15 Nº 9

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