La Revolución La Revolución Educativa que trajo Educativa que trajo

la Geometría la Geometría Dinámica deDinámica de CCabriabri – –

GéomètreGéomètre

Grupo DITE-MAGrupo DITE-MA

Dr. Dr. Eugenio Díaz Barriga ArceoEugenio Díaz Barriga Arceoediazb@gauss.mate.uadec.mx

Ivonne Sandoval CáceresIvonne Sandoval Cáceresisandoval@mate.uadec.mx

David Benítez MojicaDavid Benítez Mojicadbenitez@mail.uadec.mx

Universidad Autónoma de CoahuilaUniversidad Autónoma de Coahuila

FacultadFacultad dede M Matemáticasatemáticas

IntroducciónIntroducciónEn México, alrededor de los años 70’s y aún En México, alrededor de los años 70’s y aún

80’s, en el sistema educativo se habían 80’s, en el sistema educativo se habían aceptado sin crítica laceptado sin crítica laas reformas que s reformas que proponía el movimiento denominado proponía el movimiento denominado Matemática Moderna. Remanentes de esta Matemática Moderna. Remanentes de esta postura incluso pueden ser encontrados hoy postura incluso pueden ser encontrados hoy en día.en día.

El resultado fue un sistema que omitió el El resultado fue un sistema que omitió el campo didáctico por excelencia de la campo didáctico por excelencia de la Matemática:Matemática:

La GeometríaLa Geometría

Y sin embargo, se mueven ...Y sin embargo, se mueven ...

Desde tiempos griegos, los métodos cinemáticos se encontraban implícitos en el estudio de una gran gama de figuras estáticas. Ya en temprana época, la investigación en Educación Matemática necesito de herramientas que permitieran primero transformar gráficas o dibujos de modo ágil en algún lenguaje simple. Así, los abuelos de la Geometría Dinámica fueron lenguajes como Logo o Basic y las calculadoras graficadoras. Y sin embargo, solo hasta hoy las figuras se Y sin embargo, solo hasta hoy las figuras se mueven en tiempo real con el surgimiento mueven en tiempo real con el surgimiento de la Geometría Dinámica... de la Geometría Dinámica...

Una historia llena de bits:

Cabri-GéomètreA principios de los años 80, Cabri-Graph se concibe por el equipo EIAH del Laboratorio Leibniz en Grenoble, Francia, para trabajar teoría de gráficas. Unos años más tarde, se pensó en un paquete que permitiera crear, modificar y manipular figuras geométricas en tiempo real; sus primeras líneas de código fueron escritas entre octubre de 1986 y enero de 1987. El padre de Cabri-géomètre es el investigador francés Jean-Marie Laborde quién contó con la fuerte colaboración de su tesista, el también francés Frank Bellemain.Para 1988 Cabri-géomètre obtiene un reconocimiento industrial al ganar el premio de software educativo que le otorgara Apple. Tiempo después, Texas Instruments compra los derechos para incluir este paquete en su calculadora TI-92, primera calculadora geométrica.

Otros paquetesAdemás de Cabri-Géomètre, existen otros paquetes que realizan Geometría Dinámica, como por ejemplo:

»SketchPad»Hypothese»Cinderella»GeoFlash»Calques»Non Euclidean

Todos ellos tienen sus ventajas y desventajas respecto a la arquitectura con la que fueron diseñados. Algunos dieron peso a trazar diseños bonitos; otros a involucrar al lenguaje de programación con la Geometría; otros buscaron tener la facilidad de enriquecer una biblioteca de lecciones, etc.

¿Qué es Cabri-¿Qué es Cabri-Géomètre?Géomètre?

Cabri-GéomètreCabri-Géomètre es un es un paquete de paquete de Geometría Geometría DinámicaDinámica, Geometría de , Geometría de las figuras que pueden las figuras que pueden deformarse, moverse. En deformarse, moverse. En él pueden modelarse él pueden modelarse distintas geometrías distintas geometrías (euclideana, no (euclideana, no euclideanas, proyectiva, euclideanas, proyectiva, analítica, tridimensional, analítica, tridimensional, etc.). Utiliza menus tipo etc.). Utiliza menus tipo Windows ...Windows ...

Manipulación Directa de Manipulación Directa de Objetos AbstractosObjetos Abstractos

Jean-Marie Laborde (2001)Jean-Marie Laborde (2001):: EEn el proceso de n el proceso de percepción del que aprende es importante percepción del que aprende es importante creer que se manipulan los objetos del creer que se manipulan los objetos del mediomedio..

Moreno (1998): El trabajo en un entorno como Moreno (1998): El trabajo en un entorno como Cabri-Géomètre nos reserva diferencias Cabri-Géomètre nos reserva diferencias fundamentales con respecto al trabajo fundamentales con respecto al trabajo conceptual en Geometría, pues conceptual en Geometría, pues el entorno el entorno viene provisto de la posibilidad de viene provisto de la posibilidad de “arrastrar”“arrastrar”

Cabri-GéomCabri-Géomèètre proporciona un tre proporciona un marco marco constructivoconstructivo en el cual se pueden : en el cual se pueden :

Arrastrar objetos (puntos, líneas, Arrastrar objetos (puntos, líneas, circunferencias, cónicas, etc)circunferencias, cónicas, etc)

Explorar el comportamiento al infinito de Explorar el comportamiento al infinito de distintas construccionesdistintas construcciones

Definir conceptos abstractos a través de Definir conceptos abstractos a través de macros.macros.

Buscar regularidades e invariantes.Buscar regularidades e invariantes.

Maximum circumferences in the Maximum circumferences in the spheresphere

Let us consider two points diametrically opposed in the sphere and that Let us consider two points diametrically opposed in the sphere and that they are not neither in the poles neither in the equator of the figure. We they are not neither in the poles neither in the equator of the figure. We can suppose that they will be respectively the highest and lower points can suppose that they will be respectively the highest and lower points with relationship to the stereographic plane of the maximum with relationship to the stereographic plane of the maximum circumference that we want to build. Let us take z0 to the lowest and z1 circumference that we want to build. Let us take z0 to the lowest and z1 is the highest point and the corresponding points in the plane in fact the is the highest point and the corresponding points in the plane in fact the z0 * previous and another point z1*, respectively.z0 * previous and another point z1*, respectively.

1. A meridian contains to the 1. A meridian contains to the North pole, the points z0, North pole, the points z0, z1 and to the South pole. z1 and to the South pole.

2. The angle formed between 2. The angle formed between the points z0, the North the points z0, the North pole and z1 is a right pole and z1 is a right angle. angle.

3. The points z0* and z1* they 3. The points z0* and z1* they are in the same plane to are in the same plane to this meridian. this meridian.

4. The triangle of vertexes z0*, 4. The triangle of vertexes z0*, South pole and North pole South pole and North pole is similar to the triangle is similar to the triangle determined by the North determined by the North pole, the South pole and pole, the South pole and the point z1 *. the point z1 *.

Definición de una Macro

Una macro en Cabri queda Una macro en Cabri queda completamente definida completamente definida por el proceso constructivo, por el proceso constructivo, sus objetos iniciales, los sus objetos iniciales, los objetos finales y un objetos finales y un nombre.nombre.

Sobre las pruebas Sobre las pruebas visuales y la visuales y la

demostracióndemostración

Ejercicios de asociación de campos de pendientes, Ejercicios de asociación de campos de pendientes, curvas solución, ecs. difs. curvas solución, ecs. difs. yy formas analíticas. Un formas analíticas. Un

ejemplo.ejemplo.

Relacione cada familia de Relacione cada familia de curvas con sus curvas con sus correspondientes correspondientes opcionesopciones

y = 1 / (1 + C e y = 1 / (1 + C e xx))

y = ln ( C + e y = ln ( C + e xx ) )

(x-1) (x-1) 2 2 + (y+1) + (y+1) 22 = C+2 = C+2

y = C e y = C e xx - x -1 - x -1

x x 22 - y - y 22 = C x = C x

y = C sen xy = C sen x

y y 2 2 - (x-1) - (x-1) 22 = C = C

y = x y = x 2 2 + C x + 1+ C x + 1

y ’ = y ctg xy ’ = y ctg x

y ’ = e y ’ = e x - yx - y

y ’ = (y - x y ’ = (y - x 22 - 1 ) / x - 1 ) / x

y ’ - y = xy ’ - y = x

y ’ = (x y ’ = (x 22 + y + y 22) / (2 x y)) / (2 x y)

y ’ = y ( y -1)y ’ = y ( y -1)

y ’ = (x - 1) / yy ’ = (x - 1) / y

y ’ = (1 - x) / ( 1 + y)y ’ = (1 - x) / ( 1 + y)

Ejemplos del uso del principio de Cavalieri en la Historia

1.1. Area de una elipseArea de una elipse

2. Area bajo un arco de la 2. Area bajo un arco de la cicloidecicloide

3. Sobre la densidad entre los 3. Sobre la densidad entre los indivisiblesindivisibles

Con Geometría Dinámica se Con Geometría Dinámica se pueden presentar de modo pueden presentar de modo diferente diversos tópicos del diferente diversos tópicos del Cálculo:Cálculo:

1.1. Máximos y mínimosMáximos y mínimos2.2. Sumas de RiemannSumas de Riemann3.3. Derivada de una función en un Derivada de una función en un

puntopunto

Geometría Dinámica y Geometría Dinámica y CálculoCálculo

Enunciado general Enunciado general del problema de del problema de

Apolonio:Apolonio:MaxMax Problema: Dadas 3 Problema: Dadas 3

“circunferencias” en el plano, “circunferencias” en el plano, se busca trazar una se busca trazar una circunferencia que sea circunferencia que sea tangente a todas ellas.tangente a todas ellas.

Aclaración: La palabra Aclaración: La palabra “Circunferencia” puede “Circunferencia” puede significar punto, línea o la significar punto, línea o la circunferencia en el sentido circunferencia en el sentido habitual (¿porqué?)habitual (¿porqué?)Manejo de los objetos Manejo de los objetos

geométricos al geométricos al infinito:infinito:

El método del funicularEl método del funicular

Para explorar:Para explorar:• Recordar la mediatriz de un segmentoRecordar la mediatriz de un segmento• Envie objetos al infinitoEnvie objetos al infinito• Aproveche la dinámica y descubra casos Aproveche la dinámica y descubra casos

especialesespeciales

Caso Punto, Punto, Punto Caso Punto, Punto, Punto (PPP)(PPP)

Dados tres puntos en el plano, Dados tres puntos en el plano, encontrar la circunferencia que encontrar la circunferencia que pase por ellos.pase por ellos.

Es equivalente a encontrar el Es equivalente a encontrar el cincuncírculo de un triángulo.cincuncírculo de un triángulo.

Rectas notables en el Rectas notables en el triángulotriángulo

1)1) Trazar las Trazar las rectas rectas notables de notables de un un triángulo.triángulo.

2)2) Desplazar Desplazar los vértices. los vértices. Escribir Escribir todas las todas las propiedades propiedades posibles.posibles.

Cabri al auxilio de la Cabri al auxilio de la OptimizaciónOptimización

Proposición.Proposición. Sea f una Sea f una función de Rfunción de Rnn en R y sea en R y sea f(xf(x00) el gradiente de f en ) el gradiente de f en el punto xel punto x00. Entonces la . Entonces la función f(x) crece función f(x) crece (respectivamente decrece) (respectivamente decrece) en la dirección del en la dirección del f(xf(x00) ) (en la dirección de -(en la dirección de -f(xf(x00)).)).

Conclusiones

• Hacia la abstracción: en la medida en que los estudiantes van teniendo un mejor conocimiento del medio informático – lo cual implica un aumento en su capacidad de expresión- son capaces de escribir los enunciados matemáticos.

• Los enunciados matemáticos

• Arrastre del ratón de la computadora

• Los enunciados situados y enunciados generales

• Manipulación directa. Libertad de exploración

Fin

Grupo DITE-MAGrupo DITE-MA

Dr. Dr. Eugenio Díaz Barriga ArceoEugenio Díaz Barriga Arceoediazb@gauss.mate.uadec.mxediazb@gauss.mate.uadec.mx

Ivonne Sandoval CáceresIvonne Sandoval Cáceres

isandoval@mate.uadec.mxisandoval@mate.uadec.mx

David Benítez MojicaDavid Benítez Mojica

dbenitez@mail.uadec.mxdbenitez@mail.uadec.mxUniversidad Autónoma de CoahuilaUniversidad Autónoma de Coahuila

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