7/23/2019 La Serie de Grandi

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LA SERIE DE GRANDI

¿0 = 1/2?

Seguramente muchos conozcáis este maravilloso teorema matemático, pero lo reencontré elotro día gracias a Marta Macho-Stadler y no me resisto a traéroslo aquí:

Sabéis que la suma de infinitos términos no es necesariamente igual a infinito !e",

#$%&' ( #$%)' ( #$%*' ( + ( + #$%&n' ( +

es igual a $ #pues es lo que tenemos si cortamos una unidad por la mitad, una de esas dosmitados por la mitad, uno de los dos cuartos resultantes por la mitad, uno de esos dos octavospor la mitad, etc, etc'

!ues bien, cuánto será la suma siguiente

. / $ 0 $ ( $ 0 $ ( $ 0 $ ( $ +

1agamos una peque2a operaci3n: separemos esta suma de infinitos términos en dos bloques4el primer bloque es sencillamente el primer $, y el segundo bloque todo lo demás4 de estemodo, tenemos que lo anterior puede e5presarse como

. / $ 0 #$ 0 $ ( $ 0 $ ( $ 0 $+'

6i"aos en que, a causa del paréntesis, el segundo uno está sumando, el tercero restando, elcuarto sumando, etc, al revés que en la e5presi3n original !ero resulta que lo que haydentro del paréntesis es e5actamente la e5presi3n original 7s decir, lo que hay dentro delparéntesis es igual a .

!or lo tanto:

. / $ 0 .

7s decir

&. / $

8 de este modo

. / 9

sea:

$ 0 $ ( $ 0 $ ( $ 0 $ ( $ + /$%&

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6i"aos en que . puede e5presarse también de otros modos, pe", poniendo todas las vecesque ocurre ($ en una e5presi3n, y todas las veces que ocurre 0 $ en otra:

. / #$ ( $ ( $ ( $+' 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ +

sea:

. / #$ ( $ ( $ ( $ ( $+' 0 #$ ( $ ( $ ($ ( $+'8 llamando ; a lo que hay en cada paréntesis:

. / ; 0 ; / < ≠ $%& / .

6ascinante, verdad 7n realidad no hay ninguna contradicci3n, porque uno de los pasos quehe dado está mal