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1 La simetría de los primos Gracia Arredondo Fernández
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La simetría de los primos
Gracia Arredondo Fernández
2
Índice
La simetría de los primos ............................................................................. 3
1. La simetría de los primos. El programa de los primos ........................................................ 3
2. Simetrías encadenadas para los números compuestos impares. Los primos gemelos .... 13
3. Simetrías encadenadas para los números pares .............................................................. 15
4. Programa de los números compuestos impares .............................................................. 16
Referencias: .............................................................................................. 18
3
La simetría de los primos
1. La simetría de los primos. El programa de los primos
Los números primos [40] se distribuyen entre los naturales formando patrones
simétricos [14, 15, 47] que pueden observarse si se disponen en columnas y se marcan
con un color diferente al del resto de números naturales. Palíndromos de color es el
nombre que se ha dado a las simetrías, porque la misma distribución de color se lee de
arriba abajo que en sentido inverso en cada unidad de simetría. Un programa
determina si una unidad de simetría está formada por un único palíndromo de color o
si debe continuar hasta que se forme un segundo palíndromo de mayor tamaño. El
programa se puede ejecutar desde cualquier número natural y en los dos sentidos.
Las unidades de simetría, delimitadas por llaves, tienen cero, uno o dos primos.
El programa que se describe en la página siguiente determina si una unidad de simetría
está formada por un único palíndromo de color, como
4 5 6
o si debe continuar hasta que se forme un segundo palíndromo de mayor tamaño:
15 16 17 18 19 20 21
En este caso forman ya un palíndromo pero el programa, como se verá, ordena continuar hasta que se complete un segundo palíndromo mayor, delimitado por una llave.
15 16
4
Para ejecutar el programa hacen falta tres columnas de números. La primera está
formada por los números naturales repetidos, la segunda por los números naturales
con los primos marcados en rojo, y la tercera columna es la suma de las dos primeras,
también con los primos en rojo.
El programa tiene dos variables:
El color del número en la segunda columna, rojo si es primo, negro si no lo es.
Será el color del mensaje en la cuarta columna.
El mensaje de la cuarta columna:
Si en cada fila el color del número en la segunda columna y el color del número en la tercera columna son iguales, el mensaje es “sigue”
Si los colores son diferentes, el mensaje es “para
1 2 3 sigue 1 3 4 para 2 4 6 sigue 2 5 7 sigue 3 6 9 sigue 3 7 10 para
El programa
Es en la segunda columna, la de los números naturales, donde el programa forma las unidades de simetría en la distribución de los primos. El programa para formar las unidades de simetría, delimitadas por llaves, está determinado por los mensajes de las dos primeras filas de cada unidad de simetría:
Si ambos mensajes son negros, el programa dice sigue, no te pares cuando el primer palíndromo se haya formado, continúa hasta que un segundo palíndromo de mayor tamaño se forme
Si ambos mensajes son rojos el programa dice para una vez que el primer palíndromo se haya formado.
Si hay el mismo mensaje en esas dos primeras filas pero son de diferente color los mensajes, el programa dice para, i.e., la unidad está completa una vez que se haya formado el primer palíndromo, aunque ambos mensajes digan “sigue”
Diferente mensaje y diferente color de los mensajes: se obedece el mensaje de la primera fila.
El programa puede ejecutarse empezando en cualquier fila. También puede
ejecutarse en sentido inverso.
5
Lo que sigue es un ejemplo de las primeras simetrías que se generan en la
segunda columna, la de los naturales, a partir del número 12. El programa puede
ejecutarse simplemente mirando los mensajes coloreados de la cuarta columna:
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 sigue
7 15 22 sigue
8 16 24 sigue
8 17 25 para
9 18 27 sigue
9 19 28 para
10 20 30 sigue
10 21 31 para
11 22 33 sigue
11 23 34 para
12 24 36 sigue
12 25 37 para
13 26 39 sigue
13 27 40 sigue
14 28 42 sigue
14 29 43 sigue
15 30 45 sigue
15 31 46 para
16 32 48 sigue
16 33 49 sigue
17 34 51 sigue
17 35 52 sigue
18 36 54 sigue
18 37 55 para
DM, DC 1
MM, DC para
DM, DC 1
Ambos negros sigue
Ambos negros- sigue
Ambos rojos- para
MM, DC- para
DM, DC- línea 1
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA
6
19 38 57 sigue
19 39 58 sigue
20 40 60 sigue
20 41 61 sigue
21 42 63 sigue
21 43 64 para
22 44 66 sigue
22 45 67 para
23 46 69 sigue
23 47 70 para
24 48 72 sigue
24 49 73 para
25 50 75 sigue
25 51 76 sigue
26 52 77 sigue
26 53 79 sigue
27 54 81 sigue
27 55 82 sigue
28 56 84 sigue
28 57 85 sigue
29 58 87 sigue
29 59 88 para
30 60 90 sigue
30 61 91 para
31 62 93 sigue
31 63 94 sigue
32 64 96 sigue
32 65 97 para
33 66 99 sigue
7
Estas son, en filas, las primeras unidades de simetría generadas a partir del
número 12, las unidades de las dos páginas previas:
12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37
38 39 40
41 42 43
44 45 46
47 48 49 50 51 52 53
54 55 56
57 58 59 60 61 62 63
64 65 66
67 68 69 70 71
72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94
95 96 97 98 99
100 101 102
103 104 105 106 107
108 109 110
111 112 113 114 115
116 117 118
119 120 121
122 123 124
125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138
8
Estas son, dispuestas en filas, las primeras unidades de simetría que genera el programa comenzando en el número uno:
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10
11 12 13
14 15 16
17 18 19
20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38
39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54
55 56 57
58 59 60 61 62
63 64 65
66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79
80 81 82
83 84 85 86 87 88 89
90 91 92
93 94 95
96 97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107
108 109 110
111 112 113 114 115
116 117 118
119 120 121
122 123 124
9
Las primeras unidades que se generan empezando en el 2:
2 3
4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37
38 39 40
41 42 43
44 45 46
47 48 49 50 51 52 53
54 55 56
57 58 59 60 61 62 63
64 65 66
67 68 69 70 71
72 73 74
75 76 77
78 79 80 81 82 83 84
85 86 87
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
99 100 101 102 103 104 105
106 107 108 109 110
111 112 113 114 115
116 117 118
119 120 121
122 123 124
125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138
139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
10
Empezando en el número 3:
3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27
28 29 30
31 32 33 34 35 36 37
38 39 40
41 42 43
44 45 46
47 48 49 50 51 52 53
54 55 56
57 58 59 60 61 62 63
64 65 66
67 68 69 70 71
72 73 74
75 76 77
78 79 80 81 82 83 84
85 86 87
88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
99 100 101 102 103 104 105
106 107 108 109 110
111 112 113 114 115
116 117 118
119 120 121
11
Las primeras unidades de simetría generadas a partir del 9
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28
29 30 31
32 33 34
35 36 37 38 39
40 41 42
43 44 45 46 47
48 49 50
51 52 53 54 55
56 57 58
59 60 61
62 63 64
65 66 67 68 69
70 71 72 73 74
75 76 77
78 79 80 81 82 83 84
85 86 87
88 89 90
91 92 93
94 95 96
97 98 99 100 101
102 103 104 105 106 107 108
12
Hacia la izquierda el programa funciona perfectamente:
para 1 2
para 1 3
para 2 4
sigue 2 5
para 3 6
sigue 3 7
sigue 4 8
sigue 4 9
para 5 10
sigue 5 11
sigue 6 12
para 6 13
para 7 14
para 7 15
sigue 8 16
para 8 17
sigue 9 18
para 9 19
sigue 10 20
sigue 10 21
para 11 22
sigue 11 23
sigue 12 24
sigue 12 25
para 13 26
Ambos negros- sigue
Ambos rojos- para
MM, DC- para
DM, DC- línea 1
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA
13
2. Simetrías encadenadas para los números compuestos impares. Los
primos gemelos
Todos estos números están ligados por el mismo programa ejecutado de forma encadenada, es decir, con la condición de que la última fila de cada unidad de simetría sea también la primera fila de la siguiente unidad, la fila del número compuesto impar. Cada unidad de simetría, como antes, tiene o bien cero, o bien uno, o bien dos números primos, con una distribución que forma palíndromos de color. Comenzando en la fila del 9, que es el primer impar compuesto:
4 9 13 para
5 10 15 sigue
5 11 16 para
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 sigue
7 15 22 sigue
8 16 24 sigue
8 17 25 para
9 18 27 sigue
9 19 28 para
10 20 30 sigue
10 21 31 para
11 22 33 sigue
11 23 34 para
12 24 36 sigue
12 25 37 para
13 26 39 sigue
13 27 40 sigue
Ambos negros- sigue
Ambos rojos- para
MM, DC- para
DM, DC- línea 1
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA
Los primos gemelos:
Siempre que haya dos primos en una misma
unidad de simetría, son primos gemelos
y
todos los primos gemelos están agrupados
de esa froma (rectángulos amarillos)
Además, todos los gemelos se pueden
encontrar en la tercera columna
representados por el primo mayor de cada
par. En esa columna están todos los primos
gemelos mayores y ninguno de los primos
menores de cada par de gemelos.
14
0 0 0 sigue
0 1 1 sigue
1 2 3 sigue
1 3 4 para
2 4 6 sigue
2 5 7 sigue
3 6 9 sigue
3 7 10 para
4 8 12 sigue
4 9 13 para
5 10 15 sigue
5 11 16 para
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 sigue
7 15 22 sigue
8 16 24 sigue
8 17 25 para
9 18 27 sigue
9 19 28 para
10 20 30 sigue
10 21 31 para
11 22 33 sigue
11 23 34 para
Todos los primos están ligados por el programa de ese mismo modo encadenado:
Ambos negros- sigue
Ambos rojos- para
MM, DC- para
DM, DC- línea 1
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA
15
3. Simetrías encadenadas para los números pares
Si marcamos los números pares con azul, se generan patrones simétricos del
modo encadenado comenzando en el 4, el primer número par no primo. Es importante
señalar que el programa es aún el programa de los primos. Dos programas ligeramente
diferentes se verán en las próximas páginas
0 1 1 sigue
1 2 3 sigue
1 3 4 para
2 4 6 sigue
2 5 7 sigue
3 6 9 sigue
3 7 10 para
4 8 12 sigue
4 9 13 para
5 10 15 sigue
5 11 16 para
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 sigue
7 15 22 sigue
8 16 24 sigue
8 17 25 para
9 18 27 sigue
9 19 28 para
10 20 30 sigue
10 21 31 para
11 22 33 sigue
Ambos negros- sigue
Ambos rojos- para
MM, DC- para
DM, DC- línea 1
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA
16
4. Programa de los números compuestos impares
Si marcamos con un color diferente (rosa) los números compuestos impares en la segunda columna y en la tercera columna, se puede encontrar un programa que genera simetrías, con cero, uno o dos números compuestos impares en cada unidad. El programa respeta también la distribución simétrica de primos en cada unidad.
Ambos mensajes son negros- sigue
Mismo mensaje y diferente color- para
Diferente mensaje y diferente color- para
0 1 1 sigue
1 2 3 sigue
1 3 4 sigue
2 4 6 sigue
2 5 7 sigue
3 6 9 para
3 7 10 sigue
4 8 12 sigue
4 9 13 para
5 10 15 para
5 11 16 para
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 para
7 15 22 para
8 16 24 sigue
8 17 25 para
9 18 27 para
9 19 28 sigue
10 20 30 sigue
10 21 31 para
Ambos negros- sigue
Ambos rosas- imposible
MM, DC- para
DM, DC-para
MM- mismo mensaje
DC- diferente color
DM- diferente mensaje
EL PROGRAMA DE LOS
IMPARES COMPUESTOS
17
Por último, el programa para los números pares es el mismo que para los
primos y genera patrones repetitivos:
Diferentes mensajes con diferente color– se sigue el mensaje de la primera línea.
El mismo mensaje en ambas líneas, con diferente color- para
0 1 1 sigue
1 2 3 para
1 3 4 para
2 4 6 sigue
2 5 7 sigue
3 6 9 para
3 7 10 para
4 8 12 sigue
4 9 13 sigue
5 10 15 para
5 11 16 para
6 12 18 sigue
6 13 19 sigue
7 14 21 para
7 15 22 para
8 16 24 sigue
8 17 25 sigue
9 18 27 para
9 19 28 para
10 20 30 sigue
10 21 31 sigue
11 22 33 para
11 23 34 para
12 24 36 sigue
Ambos negros- imposible
Ambos azules- imposible
DM, DC- la primera línea
SM, DC- para
18
Referencias:
[1] L. Penrose and R. Penrose, «Impossible objects: A special type of visual illusion», British
Journal of Psychology, vol. 49, nº 1, pp. 31-33 (1958)
[2] M. Escher, Waterfall. Lithograph. 1961.
[3] A. Einstein, Concerning the Aether, 1924, http://www.oe.eclipse.co.uk/nom/aether.htm
[4] A. Einstein, Ether and the Theory of Relativity, an address delivered on 5 May 1920 in the
University of Leyden, http://en.wikisource.org/wiki/Ether_and_the_Theory_of_Relativity
[5] G. Pólya, How to solve it, London: Penguin books, 1990.
[6] D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Portland: Wiley-Vch, 2008.
[7] B.A. Schumm, Deep Down Things. The Breathtaking Beauty of Particle Physics, Baltimore:
The John Hopkins University Press, 2004.
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[9] J. Stewart, Cálculo diferencial e integral, México: International Thomson Editores, 1998.
[10] J. Stewart, Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas, México: Thomson, 2007.
[11] J. Stewart, Cálculo multivariable, México: Thomson, 2002.
[12] F. Close, Antimatter, New York: Oxford University Press, 2009.
[13] R. Penrose, The Road to Reality. A Complete Guide to the Laws of the Universe, London:
Vintage books, 2005.
[14] M. du Sautoy, Finding Moonshine. A Mathematician´s Journey through Symmetry, London:
Fourth Estate, 2008.
[15] A. Zee, Fearful Symmetry. The Search for Beauty in Modern Physics, Princeton and Oxford:
Princeton University Press, 1986.
[16] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D86, 01001 (2012)
[17] K. A. Olive et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C, 38, 090001 (2014)
[18] S. Carroll, The Particle at the End of the Universe. The Hunt for the Higgs and the Discovery
of a New World, Croydon: Oneworld Publications, 2012)
[19] E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, Princeton and Oxford: W.H. Freeman and
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Relativity: An Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, 1979.
19
[21] E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Black Holes. Introduction to General Relativity, San Francisco:
Addison Wesley Longman, 2000.
[22] C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman and Company,
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[23] L. Randall, Warped Passages, HarperCollins e-books, 2009.
[24] K.S. Thorne, Black Holes & Time Warps, New York: W.W. Norton & Company, 1994.
[25] R. Bousso and J. Polchinski, The String Theory Landscape, Scientific American, September
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[26] R. Penrose, Cycles of Time, London: The Bodley Head, 2010.
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[37] R. Bousso, The Holographic Principle, arXiv: 0203101v2[hep-th]
[38] B. Greene, El universo elegante, Barcelona: Crítica, 2003.
[39] M. du Sautoy, The Music of the Primes. Why an Unsolved Problem in Mathematics
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20
[45] E. Verlinde, On the Origin of Gravity and the Laws of Newton, arXiv: 1001.0785v1 [hep-th]
[46] M. Livio, The Equation that couldn´t be solved, Souvenir Press, 2006.
