PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA VARIANZA

Hay ocasiones en las que se necesitan pruebas relativas a la varianza o la desviación estándar de una población. En esta sección presentamos dos procedimientos, uno basado en la suposición de normalidad, y el otro en la prueba de una muestra grande.

Procedimientos de prueba para una población normal

Supóngase que deseamos probar la hipótesis de que la varianza de una distribución normal σ2 es igual a un valor especificado, por ejemplo σ2. Sea X N (µσ2), donde, µ y σ2 se desconocen, y sea XI, X2,. . ., XII una muestra aleatoria de n observaciones de esta población. Para probar

Empleamos la estadística de prueba

Donde S2 es la varianza de la muestra. Ahora bien si Ho: (T2 = σ2.5 es cierta, entonces la estadística de prueba x2o sigue la distribución ji cuadrada con n - l grados de libertad. En consecuencia, Ho: σ2 = σ2.5 se rechazaría si

Donde X2α/2, n-1 y X2 1-α/2, n-1 son los puntos porcentuales α/2 superior e inferior de la distribución ji cuadrada con n - l grados de libertad.

La misma estadística de prueba se emplea para las alternativas de un lado. Para la hipótesis de lado derecho

Rechazamos Ho si

Para la otra hipótesis unilateral izquierda

Rechazamos Ho si

PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA RAZON DE LA VARIANZA

En esta sección se presentan pruebas para comparar dos varianzas. Con el mismo enfoque de la sección anterior, se presentan pruebas para poblaciones normales y pruebas de muestras l grandes que pueden aplicarse a poblaciones que no son normales.

Procedimiento de prueba para poblaciones normales

Supóngase que se tiene interés en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y varianza de la población, µ1, σ21, µ2 y σ22 son desconocidas. Se desea probar la hipótesis sobre la Igualdad de las dos varianzas, H0: σ21 = σ22, por ejemplo. Supóngase que, para ello se tienen disponibles dos muestras aleatorias; una de tamaño ni tomada de la población 1, Y otra de tamaño n2 proveniente de la población 2. Y sean S21 y S22 las varianzas muéstrales. Para probar la alternativa bilateral

Se utiliza el hecho de que el estadístico

Tiene una distribución similar a la F con n1 -1 grados de libertad en el numerador y n2 -1, grados de libertad en el denominador, si la hipótesis nula Ho: σ21 = σ22 es verdadera. Por consiguiente, debe rechazarse Ho si el valor de la estadística de prueba

Donde f α/2, n1-1 y f 1-α/2, n1-1, n2-1 son los puntos inferior y superior que corresponden al porcentaje 100α/2 de la distribución F con n1 – 1 grados de libertad. Para encontrar f 1-α/2, n1-1, n2-1 debe utilizarse

El estadístico de prueba de la ecuación puede emplearse para probar hipótesis alternativas unilaterales. Puesto que las etiquetas asignadas a las poblaciones son arbitrarias, sea σ21 la varianza de la población que se propone como la mayor. Por consiguiente, la hipótesis alternativa unilateral es

Si

Entonces debe rechazarse Ho: σ21 = σ22

PROBLEMA RESUELTO DE PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA VARIANZA

Suponga que un fabricante de pernos esta produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas piezas se distribuyen normalmente; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción para estimar la varianza de todos los diámetros, la cual resultó ser S

2 = 0.009 mm

2.

Con un nivel de significancia de 0.05. ¿Se puede concluir que la varianza poblacional es igual o menor 0.01 mm

2?

Solución Datos n =25 S

2 = 0.009 mm

2

= .05 1. 1. Establecer la hipótesis

Ho: 2 .01

Ha: 01.2 2. 2. Establecer la estadística de prueba.

2

22 )1(

Sn

3. 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo.

g.l =24 36.415

Nivel de significancia = 0.05

Zona de Rechazo = { 22 / > 36.415)

4. 4. Calcular la estadística de prueba.

2

22 )1(

Sn

Como la 2 esta bajo la hipótesis nula entonces tenemos

01.0

)009.()24(2 = 21.6

5. 5. Como 21.6 es menor que 36.415 no se rechaza la hipótesis

nula con un nivel de significancia de 0.05. 6. 6. Conclusión

Existe evidencia estadística para decir que la varianza poblacional es igual o menor 0.01 mm

2.

EJMPLOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA RAZON DE LA VARIANZA

Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas

en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La

variabilidad del espesor de las capas de óxido es una característica

crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la

fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos

mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se

obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad

del espesor del óxido. Veinte obleas son depositadas en cada gas. Las

desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido son SI =

1.96 angstroms y S2 = 2.13 angstroms, respectivamente. ¿Existe

alguna evidencia que indique preferencia por alguno de los gases?

Utilice α = 0.05.

En este problema puede aplicarse el procedimiento de ocho pasos para la prueba de hipótesis, de la manera siguiente:

1. Los parámetros de interés son las varianzas del espesor del óxido σ21 = σ22. Se supondrá que el espesor del óxido es una variable aleatoria normal para ambas mezclas de gases. 2. Ho: σ21 = σ22

3. H1: σ21 ≠ σ22

4. α = 0.05

5. El estadístico de prueba está dado por la ecuación

6. Dado que n1 = n2 = 20, se rechaza Ho: σ21 = σ22 si fo > f 0.025,19,19 o si fo< f 0.975,19,19 = 1/ f 0.025,19,19 = ½.53 = 0.40

7. Cálculos: dado que s21 = (2.13)2 = 4.54, el estadístico de prueba es

8. Conclusiones: como f 0.975,19,19 = 0.40 < 0.85 < f 0.025,19,19 = 2.53, no es posible rechazar la hipótesis nula Ho: σ21 = σ22 con el nivel de significancia α= 0.05. Por consiguiente, no hay evidencia fuerte que indique cual de los dos gases dará como resultado una varianza más pequeña en el espesor de la capa de óxido.