LA_ACTIVIDADES_GEO 2°

Geometr aActividades

Segundo grado de Secundaria

Editorial

GeometraLibro de actividadesseGundo Grado de secundariacoLeccin inteLectum evoLucin

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dvalos Lissn 135, Cercado de Lima Telfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edicin: Yisela Rojas Tacuri

Equipo de redaccin y correccin: Josu Dueas Leyva / Christian Yovera LpezMarcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vegascar Daz Huamn / Kristian Huamn RamosSaby Camacho Martinez / Eder Gamarra TiburcioJhonatan Peceros Tinco

Diseo de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente

Retoque fotogrfico: Luis Armestar Miranda

Composicin de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogolln Mayur Roger Urbano Lima Grficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado

Primera edicin: 2013Tiraje: 15 000

Hecho el depsito legal en la Biblioteca Nacional del PerN. 2013-11979ISBN: 978-612-313-087-9Registro de Proyecto Editorial N. 31501001300685

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,sin previa autorizacin escrita del editor.

Impreso en Per / Printed in Peru

Pedidos:Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima.Telfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664E-mail: [email protected]

Impresin:Anbal Paredes Editor S.A.C.Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATERUC 20538732941

La coLeccin inteLectum evoLucin para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedaggicos establecidos en el Diseo Curricular Nacional de la Educacin Bsica Regular, adems se alinea a los patrones y estndares de calidad aprobados en la Resolucin Ministerial N. 0304-2012-ED.La divulgacin de la coLeccin inteLectum evoLucin se adeca a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N. 29839, norma que protege a los usuarios de prcticas ilcitas en la adquisicin de material escolar.El docente y el padre de familia orientarn al estudiante en el debido uso de la obra.

La coLeccin inteLectum evoLucin para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedaggicos establecidos en el Diseo Curricular Nacional de la Educacin Bsica Regular, adems se alinea a los patrones y estndares de calidad aprobados en la Resolucin Ministerial N. 0304-2012-ED.La divulgacin de la coLeccin inteLectum evoLucin se adeca a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N. 29839, norma que protege a los usuarios de prcticas ilcitas en la adquisicin de material escolar.El docente y el padre de familia orientarn al estudiante en el debido uso de la obra.

Temas Pginas

PRIMERAUNIDAD

Lneas y segmentosAplicamos lo aprendido Practiquemos

68

ngulosAplicamos lo aprendidoPractiquemos

1214

TringulosAplicamos lo aprendidoPractiquemos

2123

Tringulos rectngulos notablesAplicamos lo aprendidoPractiquemos

2931

Maratn matemtica 35

SEGUNDAUNIDAD

Congruencia de tringulosAplicamos lo aprendido Practiquemos

3840

PolgonosAplicamos lo aprendido Practiquemos

4446

CuadrilterosAplicamos lo aprendido Practiquemos

5052

CircunferenciaAplicamos lo aprendido Practiquemos

5658

Maratn matemtica 62

TERCERAUNIDAD

ProporcionalidadAplicamos lo aprendido Practiquemos

6567

Semejanza de tringulosAplicamos lo aprendido Practiquemos

7173

Relaciones mtricasAplicamos lo aprendido Practiquemos

7779

Relaciones mtricas en tringulos rectngulosAplicamos lo aprendido Practiquemos

8486

Maratn matemtica 89

CUARTAUNIDAD

Polgonos regularesAplicamos lo aprendido Practiquemos

9264

rea de una regin planaAplicamos lo aprendido Practiquemos

9799

Geometra del espacioAplicamos lo aprendido Practiquemos

102104

Transformaciones geomtricas en el plano cartesianoAplicamos lo aprendido Practiquemos

107109

Maratn matemtica 111

Contenido

Unidad 1

Reflexiona

Razona...!

Todo esfuerzo se traduce en triunfo si esconstante.

El nico medio de alcanzar el xito esmerecerlo.

La vida es un deber que cumplir, unprogreso que realizar, una prueba quesuperaryunaeternidadquepreparar.

Busca lo bueno en todo. En laspersonas, fjate ms en las cualidadesque en losdefectos; en las cosasy en losacontecimientos,buscaelaspectobuenoytildelosmismos.

RecuerdaEuclidesSe conoce muy poco de la vida de este sabio griego. Posiblemente vivi entre el 365 y el 300 a. C., pero se desconoce su lugar de nacimiento. Se le denomina de Alejandra porque fue en esta ciudad donde desarroll todo su trabajo.

Su obra Elementos de geometra es el texto matemti-co de ms xito en toda la historia, tanto es as que hasta una poca muy reciente se utilizaba como texto escolar en Inglaterra.

Arqumedes (287-212 a. C.)Se le considera padre de la ciencia mecnica, y el cientfico y matemtico ms importante de la Edad Antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil aos para que apareciese un cientfico comparable con l: Isaac Newton.

En el campo de las matemticas puras su obra ms impor-tante fue el descubrimiento de la relacin entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razn Arqumedes pidi que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.

A l debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. Tambin a l se le ocurri usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos ene-migos. Eureka, eureka! Lo encontr!, eso es lo que dicen que grit un da el sabio Arqumedes mientras daba saltos desnudo en la baera. No era para menos, ya que medir volmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se saba hacer en la poca de Arqumedes, pero con volmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo haba conseguido.

Hasta que Arqumedes se dio cuenta de que cuando entraba en una baera llena de agua hasta el mismo borde, se derra-maba una cantidad de agua. Y tuvo la idea de que si poda medir el volumen de ese agua derramada habra hallado el volumen de su propio cuerpo.

En el ao 212 a. C., Siracusa fue conquistada por los roma-nos. Un grupo de soldados romanos irrumpi en la casa de Arqumedes al que encontraron absorto trazando en la are-na complicadas figuras geomtricas. No tangere crculos meos (no toquis mis crculos), exclam Arqumedes en su mal latn cuando uno de los soldados pis sobre sus figuras; en respuesta, el soldado traspas con su espada el cuerpo del anciano Arqumedes.

Cuntos palitos se deben mover como mnimo para que el perrito vea a la izquierda y siga feliz?

A) 4 B) 5 C) 1 D) 3 E) 2

6 Intelectum 2.

Aplicamos lo aprendido

tema 1: Lneas y segmentos

1 En la figura halla x si AB , CD.

A B C Dx12

7

A) 4 B) 5 C)6 D) 3 E) 2

2 En el segmento AB se ubican los puntos consecutivos M; N; O y P los cuales son los puntos medios de los segmentos AB; MB; NB y OB, respectivamente; calcula AP si AM = 16.

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

3 En la figura halla k si AB , CD:

A BM6 k

C

DN

23k

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

4 En la figura, halla x.

A B C D E F3

17x

A) 8 B) 10 C) 11 D) 9 E) 12

5 A, C, D y E son puntos consecutivos de una recta, tal que D es punto medio de CE y AC + AE = 50. Halla AD.

A) 30 B) 36 C) 20 D) 15 E) 25

6 Calcula AD, si: AB BC CD2 3 4= =

4A B C D

A) 15 B) 18 C) 20 D) 13 E) 22

Claves

7GEOMETRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

1. B

2. C

3. A

4. B

5. E

6. B

7. A

8. D

9. B

10. B

11. D

12. A

13. A

14. B

7 Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que: AD = 10; CD = AB + BC y CD

BC52= , calcula BD.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 10

8 En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: AB = BC; CD = 2DE Calcula AD, si AB + AE = 6

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 2

9 P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta, de modo que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcula QR.

A) 10 B) 9 C) 20 D) 13 E) 16

10 En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: BD = 5

3 (AE) y AC + BD + CE = 40

Calcula AE.

A) 24 B) 25 C) 20 D) 16 E) 45

11 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que: AC + AB = 3

4 (BC). Calcula BC

AB .

A) 41 B) 3

1 C) 32

D) 61 E) 4

3

12 Se tienen los puntos colineales A, B, C, D y E, situados de tal forma que: AC + BD + CE = 45 y BD

AE23=

Calcula AE.

A) 27 B) 29 C) 25 D) 23 E) 21

13 En una recta se ubican los puntos A, B y C tal que M es el punto medio de BC. Calcula AM si AB + AC = 12.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 3 2 E) 4 3

14 Se tienen los puntos A, B, C y D colineales y consecutivos tal que: AB = 8 y (AB)(BD) = (AC)(CD) Calcula CD.

A) 4 2 B) 8 C) 6 D) 12 E) 16

Practiquemos

8 Intelectum 2.

Nivel 1

Comunicacin matemtica

1. Completa con las letras A; B; C; D y E en los recuadros si tambin son puntos consecutivos del segmento AE.

B E

AD

2. Ubica M si M es punto medio de AB y N, si N es punto medio de CD.

A B

aa

A C D

aa

3. Indica si las expresiones son correctas () o incorrectas ().

Si:

A

B

B

A AB = BA

AB , BA

AB = BA

Razonamiento y demostracin

4. Segn el grfico, halla x.x

A B C

4

7

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Calcula x.

MSDEx12 1332

A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 4

6. Calcula x.

ELAS2

17

V3 x 6

A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 8

7. Halla x.x

A B2x

C12

A) 6 B) 5 C) 3 D) 2 E) 4

8. Halla a.

REP A

aa 2a16

A) 1 B) 2 C) 0 D) 3 E) 4

9. Halla x

x (x + 3)PNM

15

A) 2 B) 3 C) 7 D) 4 E) 6

10. Halla n.n

16

(2n + 1)T A S

A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3

11. Halla el valor de x.

25P

x 2x(x + 1)

E UR

A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7

12. Halla n.

M E D l31

n(2n - 1) n

A) 6 B) 8 C) 7 D) 4 E) 9

13. Calcula b.

C8

16

b bMBA

A) 4 B) 5 C) 7 D) 10 E) 8


Resolucin de problemas

14. Halla AC.

A B EC1 2,5x 4x3x

13

D

A) 4,5 B) 4 C) 6,5 D) 5,5 E) 7

15. Halla la distancia entre los puntos medios de NP y QR.

M3 4 5 6

N RP Q

A) 10 B) 16 C) 15 D) 18 E) 17

16. Si: EL = 5, LA = 3 y TA = 10

L AET

Halla TE.

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

17. Halla AC.

Aa

B C D E20

a a a

A) 2,5 B) 5 C) 15 D) 10 E) 8

18. Halla ME.

14TEM A

20

A) 13 B) 12 C) 15 D) 11 E) 10

19. Halla (BC + CD).

A B C4

D14

A) 9 B) 5 C) 2 D) 4 E) 3

20. Halla x, si PS = 20.

Px

Q R S2x

3x

A) 15 B) 10 C) 5 D) 16 E) 11

21. Calcula BD.

A B10

C D15

A) 20 B) 24 C) 25 D) 12 E) 32

Nivel 2


22. Completa los valores numricos faltantes:

18

10

15

5

23. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda:

I. El punto medio de un segmento equidista de sus extremos. ( )

II. Las rectas paralelas tienen un solo punto en comn. ( )

III. El segmento de recta se extiende infinitamente. ( )

A) FFF B) VFF C) VVF D) VVV E) FVV

24. Segn el grfico completa con = o , en los recuadros en blanco.

A

B

M3

8

AM NC

DN MB

CD N 38 AB AM DN


25. Halla BC.

A B3k 5k

C

40

A) 20 B) 15 C) 35 D) 25 E) 10

26. Segn el grfico, halla x.

A2,5

7,5

2x + 1B C

A) 3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 5

10 Intelectum 2.

27. Halla ( 2x + y).

A L I C Yy 2x 2x

16

y

A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8

28. Halla x.CA B D

36(x + 3) (x + 8)(2x - 3)

A) 9 B) 6 C) 7 D) 12 E) 11

29. Segn el grfico, halla x.

BA2 3

14x2

PE

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 1

30. Halla a.

A B C D23

E

a (a + 1) (a + 2) 2a

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

31. Halla x.T YAK

x (x + 1) (2x + 1)30

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

32. Calcula x.

Aa a b b

B C D E

x

20

A) 4 B) 5 C) 12 D) 10 E) 15

33. Calcula x.

29P Q R S

(x - 1) (2x - 3)(x + 1)

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

34. Halla el valor de a.

15C DA B

2a - 1 a + 12a

A) 6 B) 10 C) 7 D) 3 E) 9


35. Halla (x + y).

C E R0,5 1,5

6y

2,5 1 1,2A S O

44x 5

A) 1 B) 6 C) 5 D) 7 E) 5,5

36. Si: SA = 2x; LE = 3x y SE = 8x.

L18

ES A

Halla x.

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6

37. Halla AM.

A M CB30

4x x

A) 10 B) 12 C) 8 D) 18 E) 14

38. Halla (CO + RE).

AEROC39

2x 2x 2x (2x - 1)

A) 20 B) 16 C) 18 D) 24 E) 28

Nivel 3


39. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda:I. Una recta es una sucesin de puntos en el espacio. ( )

II. Una lnea es una sucesin de puntos en un mismo plano. ( )

III. Una recta se extiende en un solo sentido. ( )

A) VVF B) VFF C) FFF D) FFV E) FVV


Cla

ves

Nivel 1

1.

2.

3.

4. C

5. D

6. D

7. E

8. E

9. E

10. C

11. A

12. B

13. A

14. E

15. A

16. A

17. D

18. A

19. A

20. C

21. A

Nivel 2

22.

23. B

24.

25. D

26. D

27. E

28. C

29. B

30. A

31. E

32. D

33. B

34. D

35. A

36. E

37. B

38. A

Nivel 3

39. A

40.

41. E

42. D

43. C

44. A

45. B

46. B

47. A

48. C

40. Completa los valores restantes:18

7


41. Halla n.

REP

4 n2 - 7 720

U

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 4

42. Si: AC = 6 y AB = 61

64_ i .

CBA

Halla BC.

A) 2,5 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

43. Calcula x.

BMA12

x2 - 2 x2 - 2

A) 6 B) 2 C) 2 2 D) 8 E) 4


44. Halla x.

Si: CDBC

43= , AB = BC y AD = 20.

x

C DA B

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

45. Calcula AD, si AB = 3BC y BC = 2CD.

6DCBA

A) 59 B) 54 C) 25 D) 50 E) 48

46. Si: AB = BC2 y BC = CD3 .

DCBA12

Calcula AC.

A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 10

47. Si: BC CD2 6= y AC = 14.

18A B C D

Calcula AB.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 15 E) 11

48. Si: AB = 5BC, calcula a.

A B2a - 3 5

C

A) 16 B) 13 C) 14 D) 20 E) 21

12 Intelectum 2.


1 Halla m+DOB + m+COA, si el ngulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90.

D

C

B

AO

A) 180 B) 100 C) 150D) 160 E) 130

2 La diferencia de las medidas de los ngulos consecutivos AOB y BOC es 30. Halla la medida del ngulo que forman la bisectriz del ngulo AOC y el rayo OB .

A) 25 B) 5 C) 20 D) 18 E) 15

3 Calcula x, si m+POR = 100.

O

PR

x

A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 75

4 Calcula x, si OB es bisectriz del ngulo AOC.

20 4x

C B

D AO

A) 15 B) 10 C) 20 D) 30 E) 12

5 Calcula x.

(8x 30)

4x

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 18

6 A qu ngulo se le debe restar su complemento para obtener 10?

A) 60 B) 15 C) 40 D) 25 E) 50

tema 2: NGULOS

Claves


7 Calcula x, si OM es bisectriz.

A

5x - 103x + 60

M

BO

A) 30 B) 40 C) 35 D) 25 E) 45

8 Si L L1 2' , calcula x.

40L1

L2

x150

A) 70 B) 80 C) 60 D) 40 E) 100


20x + b

30 + aab

L1

L2

A) 35 B) 40 C) 60 D) 20 E) 50


40

142x

L1

L2

A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 14

11 Calcula x, si L L1 2' .

x x

x

x

L1

L2

A) 37 B) 18 C) 38 D) 60 E) 45


70

80

x

L1

L2

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 85


x

3

3 L1

L2

A) 45 B) 90 C) 135 D) 120 E) 150

14 Si L L1 2' y a + q = 142, calcula x.

x

L1

L2

A) 64 B) 74 C) 84 D) 70 E) 19

1. A

2. E

3. A

4. C

5. A

6. E

7. C

8. B

9. E

10. C

11. E

12. D

13. A

14. A

Practiquemos

14 Intelectum 2.

Nivel 1


1. Relaciona los conceptos con las figuras:

I. ngulo agudo. (III)

II. ngulo obtuso. (III)

III. ngulo recto. (III)

2. Clasifica los siguientes ngulos, si L1 // L2:

L1

L2

feg h

a bdc

I. ngulos alternos internos: y ; y

II. ngulos conjugados externos: y ; y

III. ngulos correspondientes: y ; y

3. Completa los recuadros:

60

70


4. Halla x.

2x

3x

A) 56 B) 54 C) 38 D) 59 E) 62

5. Calcula x.

2xx 3x

BC

A D

A) 20 B) 30 C) 28 D) 36 E) 32

6. Halla x.

xx - 20 x + 20

A) 60 B) 52 C) 62 D) 72 E) 76

7. Calcula x.

2xx

30

A) 11 B) 12 C) 24 D) 10 E) 20

8. Calcula x.

7075

502x

3x

A) 32 B) 36 C) 35 D) 33 E) 34

9. Calcula a.

30 25

505

A) 33 B) 32 C) 31 D) 28 E) 29


10. Calcula a, si m+AOD = 130.

A

BC

D

3040 2

O

A) 20 B) 30 C) 15 D) 25 E) 32

11. Si L1 // L2, calcula x.

8x

40L1

L2

A) 5 B) 10 C) 3 D) 7 E) 2


100

20x

L1

L2

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1


4x - 20

60

L1

L2

A) 30 B) 60 C) 90 D) 20 E) 50


4x

84

L1

L2

A) 16 B) 20 C) 21 D) 24 E) 26


120

6xL1

L2

A) 10 B) 20 C) 21 D) 26 E) 29


130

5x

L1

L2

A) 10 B) 16 C) 20 D) 24 E) 26


38

2x

L1

L2

A) 19 B) 21 C) 30 D) 66 E) 71


18. Calcula x, si m+AOD = 102.

A B

Cx -

x + x

DO

A) 64 B) 36 C) 51 D) 27 E) 34

19. Halla, m+POQ, siendo la m+AOC = 160.

A

PB

Q

CO

A) 40 B) 100 C) 120 D) 80 E) 86

16 Intelectum 2.

20. La diferencia de las medidas de dos ngulos complementarios es 40. Calcula el mayor.

A) 75 B) 45 C) 35 D) 25 E) 65

21. Dos ngulos congruentes miden: (4q + 28) y (60 - 4q).Calcula q.

A) 10 B) 12 C) 4 D) 2 E) 6

22. Las medidas de un par lineal se diferencian en 38. Halla el mayor ngulo.

A) 108 B) 98 C) 96 D) 86 E) 109

23. Las medidas de un par lineal se diferencian en 58. Halla el menor ngulo.

A) 61 B) 56 C) 58 D) 59 E) 62

24. Dos ngulos complementarios se diferencian en 18. Cunto mide el mayor?

A) 46 B) 54 C) 48 D) 42 E) 56

25. Dos ngulos suplementarios se diferencian en 32. Cunto mide el mayor?

A) 102 B) 118 C) 106 D) 120 E) 98


40x

120

L1

L2

A) 80 B) 100 C) 120 D) 130 E) 140


170

110

x

L1

L2

A) 85 B) 90 C) 80 D) 60 E) 40


170

140

x

L1

L2

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70


40

30

xL1

L2

A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 100


48

25

x L1

L2

A) 25 B) 20 C) 23 D) 18 E) 19

Nivel 2


31. Indica las notaciones correctas () o incorrectas ().

A

B

O

I. +AOB , m+AOB , a

II. +BAO , m+BAO = +a

III. m+BOA = m+AOB = a

32. Completa en los recuadros:

120


70

33. Si L1 // L2, clasifica los siguientes ngulos:

L2

L1

a

ef

gh

db

c

I. Correspondientes: y ; y

II. Alternos externos: y ; y

III. Conjugados internos: y ; y


34. Halla x.

x40

x + 20

2x

A) 15 B) 28 C) 26 D) 30 E) 20

35. Halla a.

70

20 + 3

2

A) 40 B) 35 C) 55 D) 45 E) 37

36. Calcula x.

40

2xx + 50

A) 30 B) 20 C) 40 D) 60 E) 50

37. Calcula x.

220x

60

A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 5

38. Calcula x.

4x2y - 8

y + 10

A) 32 B) 38 C) 31 D) 28 E) 36


6w

4w

xL1

L2

A) 60 B) 72 C) 108 D) 120 E) 140


x

7w

80 - wL1

L2

A) 60 B) 70 C) 90 D) 100 E) 110


70

x2 - 11

L1

L2

A) 6 B) 10 C) 9 D) 11 E) 7

18 Intelectum 2.

42. Si L1 // L2 // L3, calcula x.

10

5

x

L1

L2

L3

A) 30 B) 60 C) 90 D) 120 E) 150


43. Uno de dos ngulos complementarios mide el cudruple del otro. Calcula el menor.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 15 E) 25

44. Dos ngulos suplementarios se diferencian en 64. Halla el mayor.

A) 124 B) 122 C) 116 D) 118 E) 114

45. Dos ngulos opuestos por el vrtice miden:(3x - 20) y (x + 28).Calcula x.

A) 24 B) 16 C) 18 D) 26 E) 20

46. Si L1 // L2 // L3, calcula x.

x 70

50L1

L3

L2

A) 115 B) 130 C) 110 D) 120 E) 150


x

80

60

L1

L2

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 140

48. Si L1 // L2, calcula el valor de x.

30100

x

L1

L2

A) 60 B) 70 C) 100 D) 110 E) 130

49. Calcula x.

x

10

A) 170 B) 160 C) 150 D) 140 E) 130

Nivel 3


50. Relaciona los conceptos con los grficos:

I. Par lineal ( )

II. ngulos adyacentes ( )

III. Bisectriz ( )

51. Clasifica los siguientes ngulos:

I. ngulos consecutivos: y ; y

II. ngulos opuestos por el vrtice: y

III. ngulos suplementarios: y ; y


52. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda:I. Dos rectas paralelas pertenecen a un mismo plano. ( )

II. Las rectas perpendiculares forman entre s un ngulo agudo. ( )

III. Las rectas secantes tienen al menos un punto en comn. ( )

A) VFF B) VFV C) FFV D) FFF E) VVV


53. Calcula q.

3 + 202

+ 2

A) 60 B) 58 C) 62 D) 56 E) 70

54. Calcula x.

110

2x

A) 5 B) 10 C) 15 D) 25 E) 35

55. Calcula x.

x7

2

A) 10 B) 30 C) 60 D) 40 E) 50

56. Calcula x.

3x8

7

A) 16 B) 15 C) 20 D) 18 E) 13

57. Calcula q.

28 + x3x - 402( + 24)

A) 35 B) 32 C) 34 D) 28 E) 37

58. Si L1 // L2 // L3, calcula x.

120

x110

L1

L2

L3

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

59. Calcula x.

x

160

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

60. Calcula x, si L1 // L2.

x

x

5x

6x

L1

L2

A) 10 B) 9 C) 20 D) 15 E) 18

61. Calcula x.

20

60

x

A) 100 B) 120 C) 130 D) 150 E) 135

20 Intelectum 2.


62. Si la medida de un ngulo es tres veces la medida de su suplemento, cul es la medida del ngulo?

A) 45 B) 135 C) 105 D) 35 E) 60

63. Uno de dos ngulos suplementarios mide el ctuple del otro. Halla el menor.

A) 10 B) 20 C) 18 D) 24 E) 15

64. Dos ngulos complementarios son entre s como 2 es a 3. Cunto mide el menor?A) 26 B) 54 C) 42 D) 36 E) 38

65. Calcula x, si: a + b = 160 y L1 // L2.

b a

50w + 10w

xL1

L2

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

66. Si L1 // L2; calcula x.

x

3x

L1

L2

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 36

67. Calcula x.

x

2x

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

68. Calcula x, si L1 // L2.

2

2

x

L1

L2

A) 135 B) 130 C) 145 D) 160 E) 175

69. Calcula x, siendo L1 // L2.

w w

x

3x

L1

L2

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

70. Si: L1 // L2; adems: a - q = x2 + 45. Calcula x.

a

a

w w

x

L1

L2

A) 20 B) 25 C) 30 D) 45 E) 50

Claves

Nivel 1

1. 2. 3. 4. B5. B6. A7. E8. D9. A10. B11. A12. B13. D14. C

15. B16. E17. E18. E19. D20. E21. C22. E23. A24. B25. C26. B27. C28. C29. C

30. C

Nivel 2

31. 32. 33. 34. D35. D36. A37. B38. B39. B40. E41. C42. B

43. B44. B45. A46. D47. A48. E49. A

Nivel 3

50. 51. 52. 53. C54. D55. D

56. D57. A58. E59. C60. C61. C62. B63. B64. D65. E66. E67. E68. A69. C70. C



1 De la figura, calcula x.

x 40

A) 100 B) 110 C) 130D) 105 E) 80

2 Halla (x + y), si el tringulo ABC es equiltero.

30

x y20

B

A C

A) 60 B) 100 C) 80 D) 70 E) 120

3 Halla x.

30

x

A) 75 B) 70 C) 60 D) 82 E) 80

4 Halla q.

40

30 120

A) 50 B) 40 C) 35 D) 30 E) 25

5 Calcula a.

4

A) 7 B) 8 C) 10 D) 6 E) 9

6 Halla a.

70 80

A) 65 B) 70 C) 80 D) 75 E) 60

tema 3: TRINGULOS

Claves

22 Intelectum 2.

7 Calcula: (a + b)

20

60

60

A) 140 B) 100 C) 120D) 150 E) 110

8 Halla x.

60

x+10

A) 20 B) 30 C) 40D) 70 E) 50

9 Calcula x.

2x

5x

A) 22,5 B) 20 C) 32D) 95 E) 32,5

10 Halla x, si BM es bisectriz del +ABC.

x

8030MA C

B

A) 30 B) 40 C) 25D) 50 E) 55

11 Halla b.

30

110

A) 80 B) 70 C) 120D) 105 E) 100

12 Calcula x, si BH es altura y L es mediatriz de AB.

60 x

A CH

B

L

A) 120 B) 150 C) 130D) 115 E) 100

13 Halla q, si EB es bisectriz del +ABH.

B

A C30

E H

A) 15 B) 20 C) 30D) 45 E) 25

14 Calcula x, si AM es mediana y PM = MC.

P

M

A C

B

x

x

A) 30 B) 60 C) 45D) 40 E) 55

1. B

2. D

3. C

4. A

5. E

6. B

7. A

8. A

9. A

10. C

11. B

12. A

13. A

14. C

Practiquemos


Nivel 1


1. Relaciona los conceptos con las comparaciones de los ngulos del siguiente tringulo:

I. Tringulo equiltero ( ) a < b < q

II. Tringulo escaleno ( ) a = b = q

III. Tringulo issceles ( ) a = q

2. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda.Segn el tringulo:

a b

c

El permetro est dado por: p = 21 (a + b + c) ( )

El teorema de Pitgoras es: c2 = a2 + b2 ( )

El semipermetro est dado por: 2p = a + b + c ( )

3. Relaciona los conceptos con las igualdades segn la siguiente figura.

z

x

y

I. Tringulo equiltero ( ) x = 90

II. Tringulo rectngulo ( ) x = z = 110

III. Tringulo issceles ( ) x = y = z


4. Halla x.

105

2x + 60 37

A) 41 B) 42 C) 38 D) 36 E) 44

5. Calcula q.

150126

A) 86 B) 85 C) 76 D) 84 E) 79

6. Halla x.

70

x2x + 20

A) 20 B) 25 C) 35 D) 30 E) 42

7. Halla x.

70x

50

30

A) 30 B) 60 C) 50 D) 20 E) 10

8. Calcula x.

75

10x 5x

A) 5 B) 15 C) 7 D) 8 E) 9

9. Calcula q.

50

80

60

A) 30 B) 20 C) 25 D) 35 E) 36

24 Intelectum 2.

10. Halla a.

235

45

A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 40

11. Halla x.

704x + 10

x + 70

A

B

C70

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

12. Calcula a.

5 5

58 + 4

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 7

13. Calcula q.

4

9

7

A) 10 B) 12 C) 18 D) 15 E) 20

14. Halla x.

80

x

A) 120 B) 118 C) 130 D) 115 E) 105

15. Halla x.

64

x

A) 42 B) 48 C) 40 D) 58 E) 56

16. Halla x, si G es baricentro.

B

G

A P C

8

x

A) 8 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17. Halla x.

3x2x - 10

A) 10 B) 15 C) 20 D) 18 E) 23

18. Halla x.

65

x

A) 40 B) 35 C) 50 D) 48 E) 60


19. Si BM es mediana, calcula AC.

A 5x - 20 2x + 1

B

CM

A) 7 B) 15 C) 30 D) 14 E) 28


20. Calcula x, si BH es altura y BF es bisectriz del ngulo ABC.

20

50A H F C

Bx

A) 50 B) 70 C) 60 D) 40 E) 65

21. Si BD es bisectriz, calcula x.

A

B

Cx

60

D

A) 15 B) 20 C) 35 D) 10 E) 30

22. Si AD es altura, halla x.

B

A

D

Cx

A) 60 B) 55 C) 40 D) 45 E) 75

23. Calcula x, si BH es altura y BF es bisectriz del ngulo ABC.

50 30

x

A

B

CH F

A) 10 B) 20 C) 40 D) 80 E) 30

24. Calcula x, si BH es altura.

B

HA C

x

20

A) 40 B) 15 C) 20 D) 5 E) 30

25. En el grfico, calcula x, si CP es bisectriz.

100

2x xA

P

B

C

A) 45 B) 25 C) 20 D) 50 E) 30

26. Dos lados de un tringulo miden 6 y 8. Calcula el mayor valor entero del tercer lado.

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

27. En la figura, mostrada calcula x.

120

x

22

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 70

Nivel 2


28. Completa con AE; CE y BH segn corresponda:

A

B

C

E

H

I. Bisectriz exterior ( ) II. Bisectriz interior ( )III. Altura ( )

29. Rellena los recuadros con las letras G (baricentro), H (ortocentro), O (circuncentro), E (excentro) e I (incentro) segn corresponda:

2k

k

26 Intelectum 2.

30. Si en un tringulo dos ngulos externos suman 270, qu tringulo es?A) Rectngulo B) ObtusnguloC) Equiltero D) IsscelesE) Acutngulo


31. Calcula q.

32

43

35

A) 118 B) 125 C) 130 D) 120 E) 110

32. Halla x.

100a a

3x + 16

A) 6 B) 8 C) 12 D) 10 E) 11

33. Calcula (x + y).

y

x

A) 305 B) 310 C) 290 D) 250 E) 270

34. Halla x.

3x + 108x + 40

A) 5 B) 8 C) 15 D) 12 E) 10

35. Halla x.

60x

A) 20 B) 15 C) 35 D) 30 E) 45

36. Halla x.

64

x

A) 58 B) 48 C) 46 D) 60 E) 66

37. Halla x, si BM es bisectriz.

50

5x 3x

B

MA) 5 B) 15 C) 20 D) 25 E) 10

38. Halla x.

3x

4x

A) 30 B) 60 C) 28 D) 29 E) 36

39. Halla x.

x

60

3020

A) 120 B) 105 C) 110 D) 118 E) 113



40. Si el tringulo ABC es equiltero, calcula x.

A

B

C P

x

80

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 15

41. En el tringulo obtusngulo ABC (obtuso en B), calcula x, si toma un valor entero.A

B 5 C

2x

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

42. En un tringulo ABC se traza la ceviana BP (P ! AC) de tal manera que: AB = BP = PC. Halla la medida del ngulo interior C, si m+A = 80.

A) 80 B) 40 C) 100 D) 20 E) 60

43. Calcula el mayor valor entero que puede tomar h, si a + b = 36.

ab

BA

C

h

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 14

44. En un tringulo ABC, se traza la mediana BM, si AM = 5x - 4 y MC = 3x + 6. Calcula AC.

A) 5 B) 7 C) 14 D) 21 E) 42

45. En un tringulo acutngulo ABC se trazan las alturas BH y CL intersecndose en O tal que OH = AH. Calcula la m+C del tringulo ABC.

A) 45 B) 60 C) 53 D) 75 E) 30

46. Calcula la suma de todos los valores enteros de x que hacen que el tringulo exista.

5 x

7

A) 65 B) 67 C) 64 D) 63 E) 81

Nivel 3


47. Qu clase de tringulo es aquel en el que el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el incentro coinciden en un mismo punto?Respuesta:

48. En un tringulo obtusngulo, el nmero de alturas exteriores es:

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) Todas son interiores.

49. En un tringulo issceles, la altura relativa a la base es a la vez: I. Mediana y bisectriz interior. II. Mediatriz de la base.III. Bisectriz exterior.A) Solo I B) II y III C) Solo II D) Todas E) I y II


50. Halla x.

x40

20

A) 50 B) 30 C) 70 D) 53 E) 60

51. Halla (a + q).

70

A) 100 B) 90 C) 105 D) 110 E) 107

52. Halla x.

150

70

x

A) 110 B) 120 C) 100 D) 118 E) 121

28 Intelectum 2.

53. Halla x.

183x x

A) 10 B) 12 C) 6 D) 8 E) 9

54. Halla x.

38 x

15

A) 50 B) 53 C) 46 D) 82 E) 41

55. Calcula x.

40

x

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 150

56. Halla m+DBC.

A D

B x + y

2y - 152x + 48C

A) 72 B) 54,5 C) 89,5 D) 94,4 E) 35,5

57. En la figura, calcula x.

BC

D

150

60A

A) 30 B) 45 C) 70 D) 60 E) 80

58. En la figura PQ // AC, AB = 7 y BC = 9. Calcula PQ.

P

A C

B

Q

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

59. En la figura, calcula AC si AB = 5.

B

CA 2

A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8


60. Calcula el mximo valor entero de x.

4 8

2x

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

61. En la figura, cuntos valores enteros puede tomar el lado AC para que el tringulo exista?

B

A C

4 6

A) 10 B) 8 C) 7 D) 4 E) 3

62. Halla m+ APT, si m+ CBR = 140.

PB

R

A

C

T

A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 160

63. En un tringulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz BD del +ABC las cuales forman un ngulo de 20. Si la m+A = 60, calcula la m+C (AB 1 BC).

A) 15 B) 10 C) 20 D) 35 E) 60

64. Si O es ortocentro, calcula x.

A

B

CH

M

O

x

10

A) 10 B) 20 C) 30 D) 15 E) 18

65. Si M es baricentro y BM = 12, calcula (MN + BN).

A

B

C

M

N

A) 12 B) 24 C) 27 D) 30 E) 32

Cla

ves

D) 30

Nivel 1

1.

2.

3.

4. A

5. D

6. D

7. A

8. C

9. A

10. A

11. C

12. E

13. D

14. C

15. D

16. C

17. C

18. C

19. C

20. C

21. A

22. D

23. A

24. C

25. C

26. B

27. D

Nivel 2

28.

29.

30. A

31. E

32. B

33. E

34. B

35. D

36. A

37. E

38. E

39. C

40. B

41. D

42. B

43. C

44. E

45. A

46. D

Nivel 3

47.

48. A

49. E

50. E

51. D

52. C

53. E

54. B

55. B

56. E

57. B

58. C

59. D

60. D

61. C

62. E

63. C

64. A

65. B



tema 4: TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES

1 Calcula x.

B C

D

A

3

4

x

12

A) 14 B) 18 C) 16D) 13 E) 10

2 Halla x.

D45

308

C

B A

x

A) 16 2 B) 13 2 C) 16D) 16 3 E) 15

3 Calcula AD, si BC = 11 2 .

45C

B

A D60

A) 5 B) 7 C) 6D) 8 E) 5,5

4 Calcula x.

A 45 37

B

C

20

x

A) 28 B) 29 C) 32D) 16 E) 13

5 Si AB = 20, calcula DC.

30

B

A CD

A) 20 3 B) 4 3 C) 35

D) 8 3 E) 3

10

6 Si DE = 3 y D es punto medio de AC , calcula BE.

A

B

E

D C37

A) 57 B) 4

3 C) 58

D) 6 E) 4

Claves

30 Intelectum 2.

7 Si AB = 9, calcula AD.

6045

B

A B

D

A) 2 B) 7 2 C) 18 2D) 8 E) 16

8 Si ABCD es un cuadrado, halla BE.

A

B C

D

E

45

8

A) 4 B) 8 2 C) 4 2D) 7 2 E) 8

9 Si ABCD es un trapecio, halla CE.

A E

B

12

C6

53

A) 10 B) 11 C) 15D) 20 E) 17

10 Calcula x, si AB = BC = 10.

x

120

B

A C

A) 10 3 B) 5 3 C) 10 2D) 3 2 E) 10

11 Calcula x, si AB = AD y BD = 2.

A

B C

D

x30

2

A) 3 3 B) 3 C) 5 3D) 2 5 E) 2 3

12 Halla x, si AB = 2 y BC = 4.

A

B C

x

1202

4

A) 7 B) 3 7 C) 2 7D) 5 E) 2 5

13 En el cuadriltero PQRS; PQ = 3 3 y QR = 2 3 . Calcula (PS + RS).S

R

QP120

A) 15 B) 14 C) 16D) 17 E) 18

14 Calcula (x + y).

x

y

2 2105

30

45

A) 2 + 2 3 B) 2 + 4 2 C) 6 + 2 3D) 4 + 2 3 E) 4 + 3 3

1. D

2. A

3. E

4. A

5. E

6. A

7. C

8. C

9. A

10. A

11. E

12. C

13. A

14. C

Practiquemos


Nivel 1


1. Relaciona segn el siguiente grfico.Si a < b, entonces:

a

b

c I) Cateto mayor ( ) c

II) Hipotenusa ( ) a

III) Cateto menor ( ) b

2. Completa los recuadros en blanco.

a 60

a 245

3. Relaciona:I. Tringulo rectngulo

notable pitagrico. ( ) Lados enteros.

II. Tringulo rectngulo notable aproximado.

( ) ngulos irracionales.

III. Tringulo rectngulo notable exacto.

( ) ngulos de 15 y 75.


4. Halla x.

x

30

4 2

A) 2 B) 4 C) 2 2 D) 3 E) 3 2

5. Halla x.

8

45x

A) 4 2 B) 4 C) 8 2 D) 6 E) 8

6. Halla x.

x

45

2

A) 4 2 B) 4 C) 2 2 D) 2 E) 6

7. Halla x.

4

x 3

60

A) 2 B) 2 3 C) 4 3 D) 5 E) 4

8. Halla x.

6012

x

A) 6 2 B) 6 C) 8 D) 6 3 E) 9

9. Halla x.

x

602 3

A) 6 B) 3 2 C) 3 3 D) 3 E) 4

10. Halla x.

452x

4

A) 2 B) 8 2 C) 6 2 D) 6 E) 2 2

32 Intelectum 2.

11. Halla x.

60

x2 3

A) 2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4

12. Halla x.

60

128x

A) 6 B) 8 C) 3 D) 2 E) 1


13. En la figura; si AC = 2BC, calcula x.A

DG E

F

CB

x

A) 40 B) 20 C) 30 D) 37 E) 53

14. Calcula el permetro de un tringulo equiltero si una de sus alturas mide 4 3 cm.

A) 18 cm B) 18 cm3 C) 24 cm D) 16 cm3 E) 24 cm3

15. La altura de un tringulo equiltero mide 3. Halla su permetro.

A) 2 3 B) 6 3 C) 23

D) 63 E) 4

3

16. Halla AB, si CD = DE = 5 y AE = 13. Adems, m // n .C

D

A

B m

n

A) 24 B) 25 C) 23 D) 19 E) 20

17. Halla: CDPR , si ABCD y PQRS son cuadrados.

A

P

B Q C

D

R

S

A) 33 B) 2

2 C) 42

D) 31 E) 3

2

Nivel 2


18. Indica V (verdadero) o F (falso) segn corresponda: I. Los lados de un tringulo pitagrico son enteros negativos (Z-). ( )

II. Solo los tringulos rectngulos de 30 y 60, y el de 45 son exactos. ( )

III. Los ngulos de los tringulos notables aproximados son irracionales. ( )

19. Completa con: cateto menor, hipotenusa y cateto mayor, segn corresponda:

I. Si b = 90

AB

C

& AC es

II. Si b = 90 y a 2 q

& AB es

III. Si b = 90 y a 2 q

& BC es

20. Llena los recuadros con los valores que corresponden.

2 33

22


21. Calcula: x2 + 7

40

x + 141

A) 8 B) 9 C) 64 D) 71 E) 81


22. Calcula AB, si CD = 3.

37 45A B C

D

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

23. Calcula: x2 - 1

5

x 13

A) 12 B) 144 C) 143 D) 145 E) 25

24. Calcula: x + 1

24

x 25

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

25. Calcula ab.

6

45b

a

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

26. Calcula BC, si AB = 5.

53 30A

B

C

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15


27. En la figura, calcula el permetro del cuadriltero ABCD.

120

30A B

C

D

6

4

A) 15 4 2+ B) 16 3 5+ C) 18 5 4+D) 11 5 3+ E) 6 3 4+

28. En la figura, calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa.

15

3 m

A C

B

A) 4 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m

29. En un tringulo ABC equiltero, calcula: MN + NP

A CM8 8

N

PB

A) 2 10 B) 4 5 C) 8 2 D) 10 3 E) 6 3

Nivel 3


30. Demuestre que c2 = a2 + b2 (teorema de Pitgoras) a partir de la siguiente figura, sugerencia: El rea de un trapecio est dado por la semisuma de sus bases multiplicado por su altura.

a

ab

B

A DE

C

bc

c

31. Rellena los recuadros si los tringulos ABC y AOC son tringulos pitagricos.

7

1520

A

O

B C

34 Intelectum 2.

32. Completa los recuadros en funcin de a.

2a

45

30

15


33. Si: AB = 18, calcula BC.

15 22A

B

C

D

A) 20B) 24C) 28D) 30E) 36

34. Calcula: (b - a)

b

a20

37

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

35. En la figura, calcula (AB)(BC).

A C

D

B30

302 m3

A) 4 m2 B) 8 m2 C) 5 m2 D) 6 m2 E) 7 m2

36. En la figura DE = 5 m. Halla AE.

60

45

53

A

B

C D

E

A) 2 m2B) m3 C) m4 2D) 9 m2E) 3 m2

37. En la figura, AB = 2 2 . Calcula AD.

A B

C

D

3745

A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7


38. En un tringulo rectngulo ABC (recto en B), se traza la altura BH y luego la altura HD (D ! BC), si: BC = 2HC y HD = 2, calcula AB.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

39. Si ABC es un tringulo equiltero, AB = 12 y PB = 4. halla el permetro de PQRS.

Q

B

P

S

A CR

A) 14 3 B) 14 C) 16 D) 16 3 E) 11 33 +

40. Halla SR, si el tringulo ABC es equiltero, cuyo lado mide 32 3 y P es punto medio de AB .

S

T

PA R B

C

A) 12 B) 15 C) 20 D) 30 E) 24

Claves

Nivel 1

1. 2. 3. 4. C5. E6. C7. E8. D

9. D10. E11. A12. C13. C14. C15. B16. B17. E

Nivel 2

18. 19. 20. 21. D22. E23. C24. B25. C

26. B27. D28. C29. DNivel 3

30. 31. 32. 33. B

34. D35. B36. A37. C38. C39. E40. D


Matemt ica

1. En la siguiente figura, calcula x.

A

B

C

D

10020

8040

x

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

2. Siendo CE = CD; calcula x.

2x

B

E x

A

C D

A) 30 B) 40 C) 50 D) 45 E) 26

3. En un tringulo rectngulo la mediana relativa a un cateto de longitud b se interseca perpendicularmente con la mediana relativa a la hipotenusa. Teniendo en cuenta esto, halla la longitud del otro cateto.

A) b2 B) b3 C)

b33

D) 5 1b 4+_ i E) b 2

2

4. Si la mediana relativa a la hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 5 cm y forma un ngulo de 30 con el cateto mayor, entonces la distancia en cm del baricentro al vrtice opuesto al cateto menor es:

A) 2 13 cm B) 34 13 cm C) 3 3 cm

D) 35 13 cm E) 4 13 cm

5. Si en el siguiente tringulo AM es una mediana; entonces calcula x.

A

MB C30

x

15

A) 45 B) 30 C) 60 D) 75 E) 15

6. En la siguiente figura BM es mediana; AH = 16 y HM = 15, halla HC.

A M

H

B

C

A) 17 B) 30 C) 34 D) 40 E) 16

En un tringulo acutngulo ABC, con ortocentro H y circuncentro en O, calcula m+HAO en funcin de los ngulos b y q, si m+ABC = b y m+ACB = q (m+ABC > m+ACB).

2 H

O

x

y

y

yC BQ

A

Asignamos la variable x para m+HAO y la variable y para m+OCB & m+HAO = x / m+OCB = y; luego m+ACO = m+ACB - m+OCB. Reemplazando: m+ACO = q - y; pero el TAOC es issceles dado que O es el circuncentro, por lo tanto: m+ACO = m+CAO = q - yAdems: m+AOC = 2m+ABC & m+AOC = 2bEn el cuadriltero cncavo AOCQ: 90 + x + y = 2b ... (I)En el tringulo rectngulo AQC: 2q - y + x = 90 ... (II)

Finalmente, sumando (I) y (II): 2q + 2x = 2b & x = b - q

Resolucin:

Unidad 2

Se quiere medir exactamente 7 litros de agua pero solo se dispone de envases de 3 y 5 litros. Cuntos transvases como mnimo se deben hacer?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

Razona...!

Reflexiona

Elremediodelasinjurias,eselolvidodeellas.

Aquelqueperdonaunainjuria,obligaasuenemigoainjuriarseasmismo.

El recogimientoy lameditacin son lasprimeraspotenciasdelhombre.

Aquel que se acomoda a lo quefatalmentesucede,essabioyaptoparaelconocimientodelascosasdivinas.

RecuerdaNicols Coprnico (1473-1543)Naci el 19 de febrero de 1473 en Thorn y muri el 24 de mayo de 1543 en Frauenburg. Sigui la carrera ecle-sistica en la Universidad de Carcovia, para marchar en 1496 a Italia donde se matricul en la facultad de leyes, aunque su pensamiento y su aficin estaban ms cerca de la astronoma.

Coprnico pens que se podran calcular ms fcilmente las tablas de las posiciones planetarias si se consideraba al Sol como el centro del universo, lo que implica que los planetas son los que giran alrededor del Sol. Trabaj en el desarrollo de un completo sistema matemtico para demostrar su teora.

5 LAgua 3 L

38 Intelectum 2.


tema 1: Congruencia de tringulos

1 Calcula MN.

M

Q

N

P

5

3

A) 8 B) 7 C) 6D) 9 E) 12

2 Del grfico, calcula x, si LC = 2(AL).

xCA

B

L

A) 60 B) 30 C) 40D) 35 E) 45

3 Calcula (x + y).

4 x ,

7

y 4

9

A) 15 B)18 C) 19D) 12 E) 16

4 En la figura, calcula BC si CD = 15.

53

C

D

B

A

A) 12 B) 18 C) 21D) 14 E) 20

5 En la siguiente figura, halla x, si AB = DC.

B

E

HA D C

x

8

A) 6 B) 8 C) 9D) 15 E) 12

6 Calcula BM, donde M es punto medio de AC.

6 36

B

CA M

A) 10 B) 3 C) 4D) 6 E) 8

Claves


1. C

2. B

3. E

4. A

5. B

6. D

7. A

8. B

9. E

10. A

11. B

12. C

13. A

14. C

7 Del grfico, si AC = 10, calcula BD.

2

B

CA D

A) 5 B) 6 C) 7D) 9 E) 11

8 Calcula x.

20

x

xA

B

C

E

D

A) 65 B) 60 C) 70 D) 52 E) 85

9 Halla x.

x

20A C

N

B

M

A) 8 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

10 Calcula x, si AC = 6x.

A

M

B

C

x + 4

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

11 Si: AB = DC, calcula x.

80 40

x

A DC

B

A) 80 B) 40 C) 50 D) 20 E) 60

12 En el grfico, calcula BC si AH = 2 y HC = 5; adems BC // AP y PC = 3

2 3 BH

B

H

A

C

120P

A) 10 B) 6 C) 7D) 12 E) 9

13 En un tringulo issceles ABC (AB = BC). En la prolongacin de la ceviana interior BD se ubica un punto P tal que m+ABP = m+BPC = 90, si AB = DP + CP, calcula la m+DBC.

A) 45 B) 60 C) 30 D) 40 E) 53

14 En la figura, AE = 6 y FC = 8, calcula FE.

F

A

B

C

E D

A) 1 B) 3 C) 2D) 4 E) 5

Practiquemos

40 Intelectum 2.

Nivel 1


1. En un tringulo issceles, la altura relativa a la base divide a dicho tringulo en dos tringulos:

A) Issceles B) Escalenos C) ObtusngulosD) Congruentes E) Equilteros

2. Completa los recuadros en blanco para que se cumpla que TABC , TRST.

A

B

C

S

R TAB , y AC ,

3. Si para las tres figuras se cumple que TABC , TADC, indica el criterio de congruencia (LAL, LLL o ALA).I.

A

B

C

D

( )

II.

A B

CD

( )

III. A

BCD

( )


4. Halla a.

1123636

60 +

A) 48 B) 64 C) 52 D) 64 E) 63

5. Halla x.

362x

83610

20 2010

A) 8 B) 16 C) 4 D) 2 E) 7

6. Halla x.

882x 24

24

26

1026

10

A) 24 B) 36 C) 42 D) 44 E) 46

7. Halla x.

16 2x + 6

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

8. Halla x.

60 60

802x - 10

A) 50 B) 45 C) 60 D) 30 E) 25

9. Halla x.

4x120

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 25

10. Halla x.60

32x + 1032

A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 20


11. Halla a.

2828

15

2a - 1

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


12. Si M, N y L son puntos medios de AB , BC y AC respectivamente, adems; AB = 12; AC = 16 y HL = 2, calcula el permetro del cuadriltero MNLH.

NM

A CH L

B

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

13. En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior BD y luego se traza la mediatriz de BD que interseca a la prolongacin de AC en E. Si la m+A = 40, calcula la m+EBC.

A) 20 B) 25 C) 40 D) 45 E) 50

14. En la figura, AC es bisectriz del ngulo BAD. Si: AF = BF = FC y BC = 2, calcula CD.

C

DF

A

B

A) 8 B) 4 C) 2 D) 2 2 E) 2 3

15. En un tringulo issceles ABC (AB = BC) la mediatriz de AB y la bisectriz del ngulo interior A se intersecan en un punto de BC . Calcula m+B.

A) 18 B) 22,5 C) 30 D) 36 E) 45

Nivel 2



A

B

C

E

D

FI

I. +EAI , +IAD ( ) II. AI = IB ( )III. IC = ID ( )

17. Completa los cuadros en blanco para que en cada caso el TABC , TBDC.

A B

C

D

I) Caso ALA: si +ABC , y , +BCD

II) Caso LLL: si AB , y , CD

III) Caso LAL; si , BD y , +DBC


A

B

C

M N

P I. +BNM , +BCP ( ) II. BN = NC ( )III. 2NP = AB ( )


19. Hallar a + b, en:

a

b16

14

A) 20 B) 30 C) 28 D) 32 E) 36

42 Intelectum 2.

20. Halla y.

48

482y - 7

13

A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 6

21. Halla x (RM es mediana).R

Q P

x + 28

M6x + 20

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9

22. Halla x.

2x - 1

x + 13

A) 8 B) 7 C) 17 D) 5 E) 18

23. Halla x.

120

13 6

136

2x

A) 20 B) 10 C) 30 D) 15 E) 18

24. Halla x.

8 + a

12 + a

x26

26

8 + a

A) 3 B) 4 C) 5 D) 2,5 E) 4,5


25. Calcula PQ, si LT = 6.

A

B

C

M

LP

Q

T6

A) 12 B) 9 C) 3 D) 18 E) 6

26. Si: AM = MC; BC - AH = 5, calcula CN.

H

B

M

CA

N

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

27. En un tringulo ABC, la m+A = 105; m+C = 25 y AB = 9. Si la mediatriz de AC interseca a BC en P, calcula PC.

A) 4,5 B) 6 C) 18 D) 9 E) 12

28. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B la mediatriz de AC interseca a BC en D tal que DC = 2(BD). Calcula la m+C.

A) 25 B) 26,5 C) 30 D) 45 E) 37

Nivel 3


29. Completa los recuadros en blanco con los smbolos presentes en la siguiente figura.

a


30. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda: I. La altura relativa a la base de un tringulo issceles tambin es la mediatriz de dicha base. ( )

II. La base media de un tringulo se encuentra entre los puntos medios de su base y de un lado. ( )

III. La base de un tringulo issceles es cualquiera de sus lados congruentes. ( )

31. Completa los recuadros en blanco con las notaciones de tringulos que corresponden:

A

B C

E D

F

H

G

& , TABE y THGD ,


32. Si AH = HC, calcula x.

B

A C

19x2 + 3

H

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

33. Calcula AM, si MC = 10.

M

H CA

B

bb

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 15

34. Calcula: x + 10

c c

x

35

A) 16 B) 55 C) 65 D) 34 E) 45

35. Calcula BP, si AM = MC = 10.B

A M

C

P

A) 10 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

36. Calcula x.

8

x2 - 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


37. En un tringulo ABC issceles, recto en B, halla la distancia entre los pies de las perpendiculares trazadas desde A y C, a una que pasa por B y corta a la hipotenusa, sabiendo que A y C distan de dicha recta 5 y 12 unidades, respectivamente.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

38. En un tringulo ABC recto en B la bisectriz exterior del +A y la prolongacin de la altura BH se intersecan en F tal que: AB + AH = 4; HF = 3. Calcula BH.

A) 2 B) 2,5 C) 1,5 D) 0,5 E) 1

39. En un tringulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcula el mayor valor entero de la mediana BM.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7

40. En un tringulo rectngulo ABC recto en B se construye exteriormente el tringulo rectngulo issceles DAC, recto en A, luego se traza DE = BC . Calcula DE, si AB = 12, BC = 16 y EC = 4.

A) 26 B) 28 C) 20 D) 24 E) 18

Claves

Nivel 11. D2. 3. 4. C5. C6. D7. B8. B

9. D10. C11. C12. B13. C14. C15. D

Nivel 216.

17. 18. 19. B20. D21. E22. D23. C24. B25. E

26. B27. D28. C

Nivel 329. 30. 31. 32. C33. D

34. D35. A36. C37. E38. A39. E40. B

D

44 Intelectum 2.


tema 2: Polgonos

1 Cul es el polgono convexo cuyo nmero de diagonales excede al nmero de vrtices en 18?

A) Hexgono B) DodecgonoC) Cuadrado D) PentgonoE) Nongono

2 Si las medidas de los ngulos interior y exterior de un polgono regular estn en la relacin de 7 a 2. Calcula el nmero de diagonales que tiene el polgono.

A) 43 B) 27 C) 72 D) 21 E) 36

3 Cuntos lados tiene el polgono cuya diferencia entre la suma de las medidas de los ngulos internos y la suma de las medidas de los ngulos externos es igual a 1080?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 13 E) 20

4 Cmo se llama el polgono regular cuya suma de sus ngulos internos es igual a 3 veces la suma de sus ngulos externos?

A) Octgono B) Decgono C) Hexgono D) Heptgono E) Undecgono

5 Cmo se llama el polgono cuya suma de las medidas de sus ngulos internos es igual a la suma de las medidas de sus ngulos externos aumentado en 1260?

A) Endecgono B) Icosgono C) Decgono D) Pentadecgono E) Tridecgono

6 Halla el nmero de diagonales de un decgono.

A) 42 B) 37 C) 35 D) 40 E) 54

Claves


1. e

2. B

3. C

4. A

5. A

6. C

7. B

8. D

9. C

10. A

11. e

12. B

13. D

14. D

7 Halla la suma de los ngulos interiores de un pentadecgono.

A) 1872 B) 2340 C) 2140 D) 1750 E) 1800

9 Cuntas diagonales tiene un icosgono?

A) 150 B) 180 C) 170 D) 175 E) 200

11 Determina el nmero de lados que posee un polgono de 54 diagonales.

A) 24 B) 14 C) 15 D) 32 E) 12

13 Cuntos lados tiene un polgono convexo, cuya suma de ngulos internos y exteriores es igual a 3960?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

8 Cuntas diagonales se pueden trazar desde 3 vrtices consecutivos en un pentgono?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 9

10 Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular cuyo ngulo exterior mide 40.

A) 27 B) 32 C) 43D) 29 E) 20

12 En un polgono, la suma de los nmeros de lados, vrtices y ngulos interiores es igual a 36. Calcula la suma de los ngulos interiores de dicho polgono.

A) 1620 B) 1800 C) 1980 D) 2070 E) 2160

14 Del grfico mostrado, calcula a.

A

B C

D

E

F

A) 100 B) 110 C) 120 D) 150 E) 160

Practiquemos

46 Intelectum 2.

Nivel 1


1. Indica cules polgonos son convexos y cules son concavos:

A

DE F

CB

Polgonoscncavos: Polgonosconvexos:

2. En la figura siguiente coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda:

A

B

C

E

D

FM

N

I. MN es una diagonal media. ( ) II. AN es una diagonal media. ( )III. FD es una diagonal. ( )IV. CM es una diagonal. ( )

3. Clasifica los siguientes polgonos de acuerdo a la rectitud de sus ngulos.

A

B CD

FE

I. Polgonos con todos sus ngulos rectos: II. Polgonos con algn ngulo recto: III. Polgonos sin ningn ngulo recto:


4. Halla la suma de los ngulos internos de un dodecgono.

A) 720 B) 1800 C) 900 D) 1440 E) 1200

5. Calcula el total de diagonales de un pentgono.

A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 5

6. Calcula el total de diagonales de un endecgono.

A) 46 B) 48 C) 44 D) 52 E) 56

7. Halla el total de diagonales de un nongono.

A) 28 B) 36 C) 32 D) 27 E) 30

8. Calcula el total de diagonales de un polgono de 36 lados.

A) 596 B) 594 C) 610 D) 650 E) 680


9. La suma de los ngulos interiores de un polgono regular es equivalente a 56 ngulos rectos. Halla la medida del ngulo central de dicho polgono.

A) 30 B) 12 C) 132 D) 32 E) 15

10. En un polgono convexo, se toma un punto en uno de sus lados y se une con los vrtices formndose 4 tringulos. Calcula el nmero de diagonales de dicho polgono.

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 9

11. Calcula la suma de ngulos internos de un polgono cuyo nmero de diagonales es igual al cudruple del nmero de lados.

A) 1500 B) 1600 C) 1620 D) 1780 E) 1850

12. Halla el nmero de lados de un polgono regular de lado igual a 4; si el nmero de diagonales es cuatro veces su permetro.

A) 36 B) 35 C) 40 D) 50 E) 38

13. En un polgono de n lados, desde (2n - 19) vrtices consecutivos se pueden trazar (5n + 1) diagonales. Calcula n.

A) 13 B) 12 C) 15 D) 14 E) 16

14. Si a la medida del ngulo interno de un polgono se le disminuye 10, resulta la medida del ngulo interno de otro polgono regular cuyo nmero de lados es 2/3 del nmero de lados del polgono original. Calcula el nmero de lados del primer polgono.

A) 20 B) 28 C) 15 D) 16 E) 18


15. En un polgono equingulo, la relacin entre las medidas de un ngulo interior y otro exterior es como 5 a 1. Cuntas diagonales tiene dicho polgono?

A) 18 B) 36 C) 42 D) 54 E) 52

16. En un polgono regular, se cumple que un ngulo exterior excede en 60 a un ngulo interior. Calcula el nmero de lados.

A) 6 B) 4 C) 8 D) 5 E) 3

Nivel 2



I. Todos los ngulos internos de un polgono cncavo miden menos de 180. ( )

II. Al menos un ngulo interno de un polgono convexo mide ms de 180. ( )

III. Un polgono regular es equiltero y equingulo a la vez. ( )

18. Completa los recuadros con los valores naturales correspondientes:

I. n. de diagonales trazados desde un vrtice: D1 = (n - ) II. n. de diagonales medios trazados

desde un vrtice: DM1 = (n - ) III. Un icosgono posee lados.

19. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda.

En un polgono convexo se cumple: I. El nmero de lados ms el nmero de vrtices ( ) es igual al doble del nmero de vrtices.

II. La suma de sus ngulos internos es 360. ( )

III. La suma de sus ngulos externos est dado por la ( ) relacin: 180(n - 2); donde n es el nmero de lados de dicho polgono.


20. Calcula x, si el polgono es regular.

x

A) 100 B) 120 C) 110 D) 150 E) 130

21. Calcula el nmero de diagonales que le falta trazar al polgono.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

22. Si un polgono tiene 9 diagonales, calcula el nmero de lados.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

23. Halla x.

2x

2x

2x2x

3x

x

A) 10 B) 20 C) 40 D) 18 E) 30

24. Calcula q.

+ y

- y

+ 2x

- 2x

A) 118 B) 108 C) 120 D) 124 E) 144


25. En un polgono equingulo la razn entre la medida de un ngulo interior y un exterior es 3/2. Calcula el nmero de lados del polgono.

A) 5 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12

26. Se tiene un polgono equingulo tal que el nmero de diagonales ms el doble del nmero de lados es 36. Calcula la medida del ngulo interior de dicho polgono.

A) 160 B) 150 C) 100 D) 135 E) 140

48 Intelectum 2.

27. En un polgono regular, se cumple que un ngulo exterior excede en 60 a un ngulo interior. Calcula el nmero de lados.

A) 6 B) 4 C) 8 D) 5 E) 3

28. Halla el nmero de lados de un polgono regular, tal que si tuviera 6 lados menos, la medida de su ngulo externo aumentara en 80.

A) 10 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9

29. Si el grfico ABCDEF es un hexgono regular, calcula EHGA .

E

GD

HF

A

C B

A) 2 B) 3/2 C) 3 D) 5/2 E) 4/3

30. Si a la medida del ngulo interior de un polgono regular se le disminuye en 2, se obtiene la medida del ngulo interior de otro polgono regular cuyo nmero de lados es menor en 2 al nmero de lados del polgono inicial. Calcula la suma de medidas de los ngulos interiores del primer polgono.

A) 600 B) 900 C) 3240 D) 1200 E) 1600

Nivel 3



En un polgono regular se cumple:a) Sus diagonales son congruentes. ( )b) Sus diagonales medias son congruentes. ( )c) Su apotema es mayor que su circunradio. ( )

32. Completa los recuadros con los valores naturales correspon-dientes:

En un polgono regular se cumple:

I. Medida de un ngulo interno: m+i = ( )nn -

II. Medida de un ngulo externo: m+e = n

III. Medida de un ngulo central: m+c = n

33. Indica la suma de los ngulos externos de un polgono convexo de 260 lados.

A) 1600 B) 1200 C) 1800D) 360 E) 3600


34. Si el hexgono es regular, calcula a.

A) 60 B) 120 C) 135

D) 140 E) 160

35. Calcula x, si los polgonos sombreados son regulares.

x

L

A) 60 B) 75 C) 30D) 32 E) 45

36. En la figura, calcula x si el polgono es regular.

x

A) 120 B) 136 C) 72D) 108 E) 96

37. Calcula la m+ABN, si el polgono ABCDEF es regular.

80

x

M C D

E

FA

B

N

A) 15 B) 20 C) 25D) 30 E) 40


38. Calcula x + y, si ABCDE es un pentgono regular.

A aa

q

q

B

C

DE

y

x

A) 120 B) 106 C) 126

D) 144 E) 146


39. En el hexgono equingulo ABCDEF; si a + b = 5, calcula m + n.

A

B C

D

EF

a

b

m

n

A) 1,5 B) 2,5 C) 3,5

D) 4,5 E) 5

40. En la figura se muestra el polgono equingulo ABCDEFGH. Si AB = 5 2 y BC = 7, calcula AC.

A F

H G

C D

B E

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 4 10

41. En un polgono, si el nmero de lados aumenta en uno, el nmero de diagonales aumenta en dos. Calcula el nmero de lados del polgono inicial.

A) 6 B) 3 C) 7

D) 3 E) 45

42. Cuntos lados tiene aquel polgono regular en el que la diferencia entre su ngulo interior y exterior es igual a la mitad de su ngulo central?

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

43. Cuntas diagonales tiene un polgono regular en el que la relacin entre su ngulo interior y exterior es 5?

A) 36 B) 40 C) 54

D) 62 E) 84

44. Calcula el nmero de diagonales de un polgono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ngulo central equivale a nueve veces la medida de su ngulo interior.

A) 45 B) 36 C) 30

D) 35 E) 60

Claves

Nivel 1

1.

2.

3.

4. B

5. E

6. C

7. D

8. B

9. B

10. C

11. C

12. B

13. D

14. E

15. D

16. E

Nivel 2

17.

18.

19.

20. B

21. C

22. E

23. E

24. B

25. A

26. D

27. E

28. E

29. A

30. C

Nivel 3

31.

32.

33. D

34. B

35. A

36. D

37. B

38. D

39. E

40. B

41. B

42. C

43. C

44. D

50 Intelectum 2.


tema 3: cUADRILTEROS

1 Calcula x.

x

A

B

C

DF

A) 56 B) 45 C) 50 D) 72 E) 48

2 Calcula x, si AH = BH y ABCD es un rombo.

B

H

A

Cx

D

A) 53 B) 70 C) 60 D) 37 E) 30

3 Si ABCD es un romboide. Calcula (x + y).

x

B C

DA

y

A) 180 B) 190 C) 130D) 202 E) 170

4 En la figura ABCD es un trapecio rectangular. Calcula m+BMA.

A D

B C35

M

A) 60 B) 70 C) 65 D) 92 E) 83

5 En la figura, si ABCD es un trapecio, calcula AD.5B C

DA70 40

12

A) 18 B) 17 C) 15D) 20 E) 21

6 Si ABCD es un cuadrado y BCPQ es un rombo, calcula x.

120P Q

CB

A D

x

A) 36 B) 15 C) 18D) 10 E) 30

Claves


1. B

2. C

3. A

4. B

5. B

6. B

7. D

8. B

9. D

10. A

11. C

12. E

13. C

14. C

7 La diferencia entre la longitud de la base media y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8. Calcula la longitud de la base menor.

A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6

9 En un rectngulo ABCD los lados AB y AD miden 8 y 12, respectivamente. Se traza la bisectriz del ngulo A cortando a BC en M. Calcula la mediana del trapecio AMCD.

A) 10 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12

11 Calcula x, si BC // AD.

2xB C

xA D

A) 80 B) 70 C) 60 D) 90 E) 65

13 Calcula MN, si BE = 4 y EC = 21, adems, M y N son puntos medios de AB y ED respectivamente. Adems ABCD es un paralelogramo.

B

A D

M N

E C

A) 15 B) 16,7 C) 14,5D) 10 E) 11,5

8 Las distancias de los vrtices A, C y D de un rectngulo ABCD a una recta son 4; 10 y 2, respectivamente. Calcula la distancia del vrtice B a la recta.

A) 13 B) 12 C) 12,5 D) 11 E) 10

10 Calcula la longitud de la mediana del trapecio de la figura.

5

3

4553

A) 6,5 B) 6 C) 7 D) 8,5 E) 7,5

12 Determina la base mayor AD de un trapecio ABCD, si BC = 4 y su mediana mide 10.

A) 22 B) 19 C) 17 D) 18 E) 16

14 Calcula x, si ABCD es un cuadrado.

x x

A

B C

D

A) 30 B) 45 C) 60 D) 65 E) 75

Practiquemos

52 Intelectum 2.

Nivel 1


1. En las siguientes tres figuras se cumple que: BC // AD. Relaciona dichas figuras con sus conceptos.

I. Trapecio ( )

A

BC

D

escaleno

II. Trapecio ( )

D

CA

B

rectngulo

III. Trapecio ( )

A

C

D

B

issceles

2. De acuerdo al siguiente grfico coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda:

EA C

D

B

I. BD es el eje de simetra del cuadriltero ABCD. ( ) II. AC es la diagonal del cuadriltero EBCD. ( )III. AC es el eje de simetra del cuadriltero ABCD. ( )IV. BD es la diagonal del cuadriltero EBCD. ( )

3. Coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda: I. Un cuadriltero cncavo tiene solamente una diagonal. ( ) II. Un cuadriltero tiene dos pares de lados opuestos. ( )III. Un cuadriltero convexo tiene solamente un ngulo ( ) mayor a 180.


4. Halla x.

150

x40

140

A) 30 B) 20 C) 10 D) 40 E) 25

5. Halla x.

70

x + 503x

80

A) 40 B) 50 C) 30 D) 60 E) 52

6. Halla x.

4x 4x

2x 2x

A) 15 B) 24 C) 26 D) 20 E) 30

7. Halla a.

+ 30

+ 10

+ 20

A) 55 B) 60 C) 75 D) 65 E) 80

8. En el rectngulo ABCD, halla a.

50

A

B C

D

A) 40 B) 70 C) 50 D) 60 E) 30

9. Del grfico, calcula x.

6x5x

4x 9xA

B

C

D

A) 18 B) 20 C) 15 D) 30 E) 17



10. En un cuadriltero ABCD, los ngulos A, B y C son congruentes y el ngulo D mide 120. Calcula la medida del ngulo C.

A) 75 B) 60 C) 80 D) 85 E) 90

11. Determina el ngulo agudo de un paralelogramo sabiendo que el ngulo obtuso es igual al doble de la suma de los dos ngulos agudos.

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 40

12. Las longitudes de las bases de un trapecio estn en la relacin de 5 a 8; si la longitud de la mediana es 26 m, calcula la longitud de la base menor.

A) 5 m B) 8 m C) 10 m D) 12 m E) 20 m

13. Dos ngulos consecutivos de un cuadriltero miden 100 y 120. Calcula el ngulo formado por las bisectrices de los otros dos ngulos del cuadriltero.

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

14. En un cuadriltero ABCD se tiene:m+A = 4

3 x; m+B = x; m+C = x32 ; m+D = 3x - 20

Halla la medida del ngulo A.

A) 52,61 B) 53 C) 52,5 D) 52 E) 54

15. En un cuadriltero convexo ABCD, m+A = 70 y m+D = 80. Calcula la medida del mayor ngulo formado por las bisectrices exteriores de los ngulos B y C.

A) 100 B) 101 C) 102 D) 105 E) 200

Nivel 2


16. Rellena los recuadros con los smbolos + , - o = de acuerdo al siguiente grfico:

A

C

D

B

O

xa

b

d

c

I. a b c d 4xII. a c b dIII. 2x b d

17. Completa los recuadros de acuerdo a los valores presentes en la siguiente figura:

6x

8x

14x

18. Rellena los recuadros con los smbolos +, - o = de acuerdo al siguiente grfico:

z

x

y

I. q a II. x y q zIII. a x y


19. El permetro de un rombo es igual a 56. Calcula el lado del rombo.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

20. Dos ngulos consecutivos de un paralelogramo miden 3x - 40 y 2x + 60. Calcula x.

A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38

21. Si ABCD es un paralelogramo, calcula x.

x

A D130

CB

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

22. Si ABCD es un paralelogramo, calcula x.

A D

x

CB

A) 75 B) 60 C) 90 D) 120 E) 150

54 Intelectum 2.

23. Si ABCD es un rombo, calcula x.B x

A D100

C

A) 50 B) 55 C) 60 D) 45 E) 40


24. Calcula AB + CD + EF, en el siguiente trapecio:

2

EC

A BDF

10

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

25. En la figura, calcula AE, si AC = BE y BC // AD.

20

A

B C

DE

O

A) 10 B) 15 C) 25 D) 20 E) 14

26. Si AD = 14 y DC = 8, hallar la medida del segmento que une los puntos medios de AP y CD. ABCD es un paralelogramo.

A

B

C

D

P

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

27. Si BC // AD, BC + AD = 20 y MQ = 8. Halla PM.

A

B C

Q

D

M

P

A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 2,5

28. Segn el grfico ABCD es un paralelogramo; BT = 5(AT) y BC = 4(AT). Calcula a.

A

B C

ET D

A) 30 B) 60 C) 45 D) 15 E) 75

Nivel 3


29. De acuerdo al siguiente grfico, coloca V (verdadero) o F (falso) segn corresponda.

E

AC

D

B

Q

M N

P

H

G

I. MNQP es el paralelogramo de Varignon de ABCD. ( ) II. AP = PD y GQ = QH ( )III. MNQP es el paralelogramo de Varignon de EFGH. ( )

30. Rellena los recuadros de acuerdo a los valores presentes en la siguiente figura:

4

43

7

3

A

C

D

B

56

5622

34

M N

H

G

31. De acuerdo al siguiente grfico marque con ( V ) la opcin correcta y con (F) la incorrecta. Si A ; B ; C y D son cuadrados:

AB

D

C


I. El permetro del cuadrado B es el doble del ( ) permetro del cuadrado A . II. El permetro del cuadrado C es el doble del ( ) permetro del cuadrado B . III. El permetro del cuadrado A es la quinta parte ( ) del permetro del cuadrado D .


32. En la figura, calcula x.

x

70 80

A) 110 B) 100 C) 105 D) 95 E) 115

33. Si BC // AD y AC = AD, calcula x.

x

A

100

H

B C

D

A) 60 B) 80 C) 70 D) 50 E) 53

34. Si BC // AD y AB = CD = BC = AD2 , calcula x.

B C

A Dx

A) 70 B) 53 C) 60 D) 80 E) 40

35. Si ABCD es un rombo tal que AH = HD = 1. Calcula x.

xB

A DH

C

A) 30 B) 75 C) 60 D) 45 E) 53

36. Si ABCD es un rectngulo tal que AD = 4 y AB = 3. Calcula x.

A D

xB C

A) 53 B) 37 C) 30 D) 60 E) 75


37. Calcula las bases de un trapecio; si una de ellas excede a la otra en 22 m y la mediana mide 92 m.

A) 70 m y 100 m B) 60 m y 90 m C) 81 m y 103 m D) 40 m y 50 m E) 60 m y 100 m

38. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 6 m. Sobre la prolongacin del lado AD se ubica el punto E de modo que DE = 4 m; calcula la distancia del punto medio de CE a AB.

A) 8 m B) 9 m C) 10 m D) 11 m E) 12 m

39. En un trapezoide PQRS, la diagonal QS es perpendicular al lado PQ y PQ = QR = QS. Calcula la medida del ngulo PRS.

A) 45 B) 46 C) 50 D) 40 E) 60

40. La longitud de una de las bases de un trapecio es 1/3 de la longitud de la mediana; si la suma de las longitudes de las bases es 30, calcula la base mayor.

A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

41. Dado un trapecio rectngulo ABCD recto en A y B; M es punto medio de AB y m+MCD = m+ADC. Si BC = 13 m y AD = 27 m, Calcula MC.

A) 18 m B) 19 m C) 16 m D) 17 m E) 20 m

Claves

Nivel 1

1.

2.

3.

4. A

5. A

6. E

7. C

8. C

9. C

10. C

11. B

12. E

13. C

14. A

15. D

Nivel 2

16.

17.

18.

19. C

20. B

21. C

22. C

23. A

24. D

25. D

26. E

27. C

28. C

Nivel 3

29.

30.

31.

32. C

33. C

34. C

35. C

36. A

37. C

38. A

39. A

40. B

41. EC

56 Intelectum 2.


tema 4: circunferencia

1 Halla x + y.

30

48

49

3y

x

A) 50 B) 90 C) 100D) 80 E) 70

2 Halla x, si: CS = CF.

30

x

FS

L

C

A) 75 B) 70 C) 72 D) 73 E) 75,5

3 Calcula .

21223

A) 119 B) 121 C) 120D) 122 E) 124

4 Halla a si mBC!

= 2mAC!

.

A

B

C

D

60

A) 10 B) 22 C) 15 D) 18 E) 26

5 Halla DPR!

, si R es punto de tangencia y RQA!

= 140.

D

RP

QA

A) 142 B) 140 C) 220D) 70 E) 280

6 Halla el permetro del cuadriltero de la siguiente figura si BC = 6 y AD = 5.

B

AD

C

A) 38 B) 40 C) 22 D) 44 E) 41

Claves


1. C

2. A

3. D

4. C

5. C

6. C

7. B

8. D

9. A

10. D

11. B

12. B

13. E

14. C

7 En la figura O es centro de la semicircunferencia y AO = EC. Indica la relacin correcta.

AO B C

D

E

A) q = 2a B) q = 3a C) q = 4aD) q = 6a E) 2q = 3a

8 Por un punto P, exterior a una circunferencia de centro O, se trazan las tangentes PA y PB. Halla m+APB, si m+ABO = 20.

A) 60 B) 30 C) 10 D) 40 E) 50

9 Segn el grfico mBC!

= 60, calcula el valor de x.

E

AB

C

D

x

100

A) 70 B) 80 C) 50 D) 10 E) 40

10 Calcula q.

60

50

A) 40 B) 100 C) 90D) 70 E) 10

11 Calcula r, si AB = 5 y BC = 12.

A

rB

C

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

12 Del grfico mostrado, R = 3 y r = 1, Calcula BE.

A

B CE

D

R

r

A) 3 B) 5 C) 7D) 4 E) 6

13 Los permetros de los tringulos ADE; BFG y CHI son 6; 14 y 10 respectivamente, calcula el permetro de tringulo ABC.

A

B C

ED

FH

G I

A) 45 B) 40 C) 25D) 35 E) 30

14 Calcula x en el cuadrante AOB.

A

BO

M

N

P60

80

x

Q

A) 100 B) 90 C) 110D) 130 E) 115

Practiquemos

58 Intelectum 2.

Nivel 1


1. Completa los espacios en blanco con las notaciones correspondientes segn el siguiente grfico:

A

B C

E

S DF

R

Q

O

J

M

N

K

P

H

G

I

I. Rectas tangentes: BE; ___; ___ y ___ II. Rectas secantes: ___ y ___

III. Rectas exteriores: ___ y ___IV. Dimetros: ___ y ___V. Cuerdas: ___ y ___

VI. Apotemas: ___ y ___VII. Sagitas: ___ y ___

2. Indica cul de los grficos siguientes es una porcin de circunferencia:

A

D

B

E

C

F

A) A y D B) B y E C) C y F D) F y B E) E y C

3. Completa los recuadros con las notaciones correspondientes para cada arco:

A

BC

E

DO

N


4. Halla x, si O es centro de la circunferencia.

60

2x

O

A) 24 B) 20 C) 35 D) 32 E) 30

5. Halla a.

2

80A) 10 B) 20 C) 15 D) 40 E) 24

6. Halla .40

80

A) 60 B) 50 C) 55 D) 45 E) 48

7. Halla x.

x56 18

A) 16 B) 20 C) 26 D) 28 E) 18

8. Halla x.

22

78x - 8

A) 48 B) 68 C) 72 D) 58 E) 56


9. Halla a.

119

A) 67 B) 69 C) 72 D) 61 E) 63


10. Halla a, si mAB!

= a + 60

BA 2

A) 30 B) 35 C) 20 D) 25 E) 28

11. En la figura, la mBC!

= 120 y mAD!

= x. Calcula x.B

xP

A

CD

A) 36 B) 42 C) 38 D) 40 E) 48

12. En la figura: BC = 12, AD = 7 y CD = 10. Calcula AB.

A

B

C

D

R

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

13. Halla a, si mPD!

= 72

A

BP

D a

C

A) 60 B) 63 C) 57 D) 50 E) 54

14. Halla mPC!

, si: BC = BA. B

A

P

C

40

A) 140 B) 130 C) 100 D) 120 E) 105

Nivel 2


15. Relaciona:

I. ngulo inscrito

II. ngulo semiinscrito

III. ngulo exterior

IV. ngulo interior

16. Rellena los recuadros con los smbolos + , - o = de acuerdo al siguiente grfico:

R

x

y

I. y q 180

II. 90 x y

III. 180 2y 2x

IV. q 3y 2x 360


I. El radio de una circunferencia inscrita a una ( )figura se denomina circunradio.

II. El radio de una circunferencia exinscrita a una ( )figura se denomina inradio.

III. El centro de una circunferencia circunscrita a una ( )figura se denomina circuncentro.

60 Intelectum 2.


18. Halla x.

x

O

120

A) 53 B) 57 C) 60 D) 62 E) 55

19. Halla a.

108

40

A) 32 B) 29 C) 28 D) 34 E) 36

20. Halla x.

120 x

A) 70 B) 80 C) 75 D) 60 E) 50

21. Halla x.

2x - 1018

A) 21 B) 25 C) 19 D) 23 E) 22

22. Halla x.

72

84

2x

A) 20 B) 32 C) 30 D) 36 E) 35


23. En la figura halla R, si NC = 14, CD = 16 y AD = 9.

A

B C

D

RO

N

M

A) 4,5 B) 5 C) 5,5 D) 6 E) 7

24. Si AB = 5, BC = 8 y AC = 10; halla AP.

A

B

C

PT

M

A) 1 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4

25. Calcula AT, si: AB = 13, BC = 14 y AC = 15. (T es punto de tangencia).

A

B

C

TN

M

A) 6 B) 3 C) 7 D) 2 E) 8

26. En la figura mostrada, las circunferencias de radios 15 y 8 son ortogonales. Halla el inradio del tringulo AOO.

O

AO'

A) 3 B) 4 C) 2,5 D) 4,5 E) 5

Nivel 3


27. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente grfico:

2

O

I. a = =

II. g = =

III. + = 180


28. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente grfico:

O

a

b

29. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el grfico siguiente:

R

30

a

rm

n

d

b

I. d - = n

II. n + = + 2r

III. m + + = d +


30. Halla mAB!

.

60O

B

A

A) 130 B) 150 C) 110 D) 100 E) 120

31. Halla a.

50

A) 60 B) 75 C) 76 D) 70 E) 80

32. Halla q.

102O

A) 52 B) 50 C) 51 D) 53 E) 56

33. Calcula q.

40r

r 116

A) 32 B) 40 C) 38 D) 43 E) 45

34. Calcula q.

200

A) 30 B) 15 C) 20 D) 45 E) 32


35. Si AB = 15, BC = 13 y AC = 14; halla AP.

A

B

C P

T

N

A) 26 B) 27 C) 29 D) 23 E) 21

36. Si PH = 3, calcula HD.

A

B

C

D

H

P O

A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 2 2 E) 6

37. En la figura, AB = 12 y BC = 4. Halla EF.

A B C

DE

F

A) 2 B) 2,8 C) 2,4 D) 3 E) 1,8

Claves

Nivel 11.

2. D3.

4. E5. B6. A7. B

8. D9. D

10. C11. D12. E13. B14. A

Nivel 215.

16.

17.

18. C19. D20. D21. D

22. C23. E24. D25. C26. ANivel 327. 28.

29. 30. E31. E32. C33. C34. C35. E36. B37. C

62 Intelectum 2.

Matemt ica

1. En la regin interior y en la regin exterior relativas al lado BC de un tringulo equiltero ABC, se ubican los puntos P y Q, respectivamente, de modo que el tringulo BPQ es equiltero. Si la m+APB = 100; calcula m+PQC.

A) 60 B) 50 C) 40

D) 30 E) 70

2. En un tringulo ABC, se traza la altura BH en la cual se ubica el punto P; de modo que AB = PC.Si m+PAC = m+BCA, calcula m+APH

A) 30 B) 45 C) 53

D) 37 E) 75

3. Si en la figura AC , CD; calcula x.

3x

x

A

D

2x3xCB

A) 14 B) 8 C) 12D) 18 E) 20

4. En un pentgono ABCDE convexo, los lados AE y DE miden 10 cm y 5 cm respectivamente. Si la suma de las medidas, de los ngulos internos de los vrtices A; B; C y D es 480, calcula la distancia del punto A hacia ED.

A) 2 cm B) 5 cm C) cm25

D) cm25 2 E) 5 3 cm

5. El nmero de diagonales de un polgono convexo excede en 16 a la diferencia entre el nmero de ngulos rectos a que equivale la suma de sus ngulos interiores y el nmero de vrtices del polgono. Cul es el polgono?

A) Octgono B) Pentgono

C) Hexgono D) Decgono

E) Nongono

6. En un tringulo ABC se cumple que AB = BC = 10 cm y AC = 12 cm. Calcula la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C sabiendo; adems, que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia.

A) 5p cm B) 15p cm C) 25p cm

D) 10p cm E) 20p cm

7. En la siguiente figura, O es el centro del arco AB. Adems PE = OA; PF = AB y PH = OB. Halla el valor de x

E

B

A

F

O78

P

H

x

A) 102 B) 168 C) 129

D) 139 E) 142

En el interior de un cuadrante de una circunferencia de radio R se construye una semicircunferencia cuyo dimetro es uno de los radios del cuadrante. Calcula el radio de otra circunferencia tangente interior a el cuadrante y exterior a la semicircunferencia.

xx

x

x

R C

R - x R/2

R/2R/2 - x

P

A B QH

n

Resolucin:

Denominamos A al centro del cuadrante, B al centro de la semicircunferencia y C al centro de la circunferencia tangente a ambas; luego en el tringulo ABC trazamos la altura CH la cual determina dos tringulos rectngulos:

Enel AHC: AH = x y AC = R - x; donde x es el radio de la circunferencia ms pequea

Enel CHB: HB = R/2 - x y CB = x + R/2

Por el teorema de Pitgoras: h2 = (R - x)2 - x2 = (R/2 + x)2 - (R/2 - x)2 & R = 4x ` x = R/4

Unidad 3

RecuerdaPoincar Jules Henri (1854-1912)

Matemtico francs nacido en Nancy y fallecido en Pars. Poincar ha sido calificado por algunos como el ltimo de los matemticos que domin toda esta ciencia, ya que fue capaz de realizar un trabajo innovador en casi todas las ramas de las matemticas, la astronoma, e incluso en literatura. Se interes desde muy joven por las matemticas, gradundose como doctor en 1879, siendo Charles Hermite uno de sus profesores.

Este inters est documentado por sus escritos filosficos y por una gran cantidad de memorias matemticas, en las cuales, entre otras cosas, sent las bases de la topologa. Ms imponente todava es el conjunto de trabajos en torno a la fsica matemtica y la fsica terica. Su obra cientfica fue muy notable; adems de treinta volmenes, consta de un nmero impresionante de artculos, ensayos y memorias, reunidos en Tratados y memorias. Fue uno de los primeros en comprender la importancia de la teora de la relatividad de Einstein.

ReflexionaReflexionaflexionaf

Murosdepiedranohacenunacrcel,nibarrotesdehierrounajaula.Paraunalmainocenteytranquilasolosonunrefugio.

Afronta inteligentemente las circuns-tanciasadversas.Detuactituddepen-dequeellasseanmotivodecadaoes-calonesparaascender.

N

LA_ACTIVIDADES_GEO 2°

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