INTRODUCCION A LA TEORIA DE MEDICION

EXPERIENCIA N° 1

I. OBJETIVOS

a) Reconocer los instrumentos de medida e identificar su lectura

mínima.

b) Determinar y expresar correctamente los valores medios de las

mediciones directas e indirectas.

c) Calcular los errores estimados en las mediciones directas e

indirectas, aplicando la teoría de errores.

d) Realizar mediciones con mayor grado de precisión.

II. FUNDAMENTO TEORICO

La medición de una magnitud M consiste en determinar un número X que se

obtiene comparando esta magnitud con respecto a una magnitud fijo y

arbitraria U llamada unidad. La magnitud M cumple la siguiente ecuación:

M = XU.

Los instrumentos de medición pueden ser: una regla graduada, un

cronómetro, un termómetro, un multímetro, una probeta, un capacimetro,

etc.

Se debe tener en cuenta que cuando realizamos la medición de una

magnitud física, generalmente nunca se obtiene un valor real o exacto de

esa magnitud y por lo tanto no se puede afirmar de la exactitud de una

magnitud medida en el laboratorio, por más sofisticados que sean los

instrumentos de medición.

El proceso de medición se divide en:

Medición Directa : Es aquella que se obtiene directamente por observación

al hacer uso del instrumento de medida (por comparación). Por ejemplo: la

medición de la medición de la masa utilizando una balanza, la medición de

una distancia utilizando una regla graduada, la medición de un intervalo de

tiempo utilizando un cronómetro, etc.

Medición Indirecta: Esta clase de medición se obtiene como resultado de

una serie de observaciones o medidas directas y luego se utiliza una

ecuación o fórmula matemática, por ejemplo: para la medición del volumen

de un cilindro es necesario medir el diámetro de su base y su altura y luego

usar la fórmula:

V = d 2 . h

4

Aquel valor que posee la magnitud, en forma exacta o real, perfectamente

definida y que no tiene ninguna clase de errores, se denomina valor real o

verdadero. Valor que en la práctica no es posible de ser determinado por

muy buenas o precisas que sean los instrumentos de medida.

Valor Medio : Es el valor más próximo y que mejor representa al valor real

o verdadero de una magnitud y resulta de una serie de mediciones que son

promediadas, el valor medio es más preciso cuanto mayor sea el número de

mediciones realizadas.

El valor medio esta definido por:

XX X X X

n

X

nn

ii

n

( ... )1 2 3 1

donde X1, X2, X3, ... Xn son los valores de cada medición

n : número de mediciones

cuando se tiene unas cinco medidas directas. Por ejemplo expresados con el

mismo valor, entonces la variable que se midió es estable. La medida

directa que no tiene un valor exacto se expresa de la siguiente manera:

X : valor real

X = Xi X Xi : medida i ésima

X : error o incertidumbre

Si se toma más de cinco medidas directas en las mismas condiciones

anteriores y estas presentan variación en sus valores decimos que esto

corresponde a fluctuaciones que están en un entorno o intervalo de valores.

Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real.

Las n - mediciones directa realizadas, se pueden tratar estadísticamente

mediante la TEORIA DE LA MEDICION. El valor real de medida queda

expresada por:

X = X X X : Valor real

X : Medida promedio

X : Error o incertidumbre

Los errores de la medición directa son: sistemáticas, del instrumento,

aleatorio, etc.

Errores Sistemáticos : Son errores relacionados con la destreza del

operador, la técnica, los métodos de cálculo y de redondeo. Estos errores

siempre son posibles de cometerse pero con precaución y conocimiento de

ellos, pueden minimizarse, evitarse o anularse, siendo estas sus principales

características.

Un error sistemático asociado con el operador, es el error de paralelaje

(Ep) que tiene que ver con la postura que toma el operador para la lectura

de la medición.

Otros errores sistemáticos son los errores ambientales y físicos (Ef). Por

ejemplo, al cambiar las condiciones climáticas, estas afectan las

propiedades físicas de los instrumentos: dilatación, resistividad, etc. Estos

errores (Ef) se minimizan o compensan aislando el experimento,

controlando el ambiente en la región de interés, tomando un tiempo

adecuado para la experimentación.

También se incluyen como errores sistemáticos, los errores de cálculo, los

errores en la adquisición automática de datos y otros.

Errores del Instrumento de Medición

* Error de lectura mínima (ELM) : cuando la expresión numérica de la

medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del

instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la

lectura mínima del instrumento.

Ejemplo: Lectura mínima de 1/20 mm. ELM = ½ (1/25 mm) = 0.02 mm

* Error de cero (Eo): Es el error propiamente de los instrumentos no

calibrados.

Ejemplo: Cuando se tiene que las escalas de lectura mínima y

principal no coinciden, la lectura se verá que se encuentra desviada hacia

un lado del cero de la escala. Si esta de desviación fuera menor o

aproximadamente igual al error de lectura mínima, entonces Eo es Eo = ElM

Ei = (ELM)2 + (Eo)2

Errores Aleatorios : Son originados básicamente por la interacción del

medio ambiente con el sistema en estudio, aparece aun cuando los errores

sistemáticos hayan sido suficientemente minimizados, balanceados o

corregidas.

Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos. Si se toma n-

mediciones de una magnitud física X, siendo las lecturas: X1, X2, ... Xn el

valor estimado de la magnitud física X, se calcula tomando el promedio de

la siguiente manera

X = X1 + X2 .... Xn = X i

n n

La diferencia de cada medida respecto X se llama desviación. El grado de

dispersión de la medición, estadísticamente se llama desviación estándar ,

la dispersión indica la confiabilidad y precisión del valor medio calculado

de una serie de medidas. La desviación standard () se calcula de la

siguiente forma:

( ) ( ) ... ( )X X X X X X

nn1

22

21

2

= ( )X X

n

ii

n

2

1

El error aleatorio Ea se toma como:

Ea = 3

n - 1

Determinación de los Errores : De acuerdo con las clases de mediciones,

tenemos que los errores pueden ser calculados de la siguiente manera:

* En mediciones directas:

a) Si se realiza una sola medición de la magnitud, el error absoluto en

este caso, se puede considerar en primera aproximación por:

X = Mínima escala de lectura del instrumento

2

b) Si se realizan varias mediciones para una misma magnitud

X = Ei + Ea

* En mediciones Indirectas: Las medidas indirectas son afectadas por

los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan” cuando

se calcula el valor de la medición indirecta.

Si R = R (A, B, C, ... ) expresa una magnitud física cuya medición se

realiza indirectamente; entonces:

Error en la Suma : R = A + B + C + ....

El error absoluto es:

R = (A)2 + (B)2 + (AC)2 + ........

Error en la Resta : R = A - B - C - ....

El error absoluto es:

R (A)2 + (B)2 + (AC)2 + ........

Error en el Producto : R = A . B . C ....

El error absoluto es:

R = R ( A )2 + ( B )

2 + ( AC )2 + ........

A B C

Error en la División : R = A / B C .... = A . B-1 2-1 ......

El error absoluto es:

R = R ( A )2 + ( B )

2 + ( AC )2 + ........

A B C

Error de una Potencia : R = K An

El error absoluto es:

R = n ( A ) R

A

Error en el Producto de Potencias : R = KA2 . Bb . Cc ....

El error absoluto es:

R = R a2 ( A )2 + b2 ( B )

+ c2 ( AC ) + ........

A B C

* Error Relativo : Es la razón de error absoluto y el valor promedio de la

medida,

Er = X

X

* Error Porcentual : Es el error relativo multiplicado por 100

E% = 100 Er = 100 . X

X

Expresión de la medida:

- En función del error relativo X = X Er

- En función del error porcentual X = X E%

* Error Experimental Relativo:

Eex, r = Valor Teórico - Valor Experimental

Valor Teórico

que expresado como error experimental porcentual es

E ex, % = 100 E ex, r

III. PROCEDIMIENTO

1. Toma de medidas y cálculo del error de la masa del cilindro

- Instrumento: balanza de tres barras 1/10 LM = 0.1 g

Cilindro Completo

Medida DiámetroD (mm)

AlturaH (mm)

0102030405

51.4551.3051.4051.3551.45

4.343.243.143

43.1X 51.39 43.08X 0.112 0.137

* m = m i m = 497.54 n

Medida Masa

* = ( )m m

n

ii

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.905

n-1

* m = Ei + Ea

m1

m2

m3

m4

m5

498

496.5

496

496.8

497.9

m = 0.05 + 1.36 = 1.41 m 497.54

Luego: m 1.41

m = m m

m = 497.54 1.41 g

2. Toma de medida del cilindro de metal con orificio cilíndrico hueco y con

una ranura que es casi paralelepípeda; calculo de los errores:

a) Cilindro completo:

Diámetro:

- Instrumento: Vernier 1/20 Lm = 0.05

* D = D i D = 51.39 mm

n

* = ( )D D

n

ii

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.087

n-1

* D = Ei + Ea

D = 0.05 + 0.087 = 0.112

2

Luego:

Ranura Paralelepípeda

Medida (mm)

a(mm)

hp(mm)

0102030405

28.5028.6028.4528.5028.50

6.26.16.216.196.2

43.0043.2043.1043.0043.10

X 28.51 6.18 43.08X 0.189 0.086 0.173

D = D D

D = 51.39 0.112 g

Altura

- Instrumento: Vernier 1/20 = 0.05

* H = H i H = 43.08

n

* = ( )H H

n

ii

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.112

n-1

* H = Ei + Ea

H = 0.05 + 0.112 = 0.137

2

Luego: H = H H

H = 43.08 0.137g

* = ( )d d

n

ii

n

0 02

1

; Ea = 3 Ea = 0.134

n-1

* d0 = Ei + Ea

b) Ranura Paralelepípeda

Largo:

- Intrumento de medida: Vernier 1/20 Lm = 0.05

* = i = 28.51

n

* = ( ) ii

n

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.164

n-1

* = Ei + Ea

= 0.05 + 0.164 = 0.189

2

Luego:

=

= 28.51 0.189 mm

Ancho : a

- Instrumento de medida: Vernier 1/20 LM = 0.05

* a = a i a = 6.18

n

* = ( )a a

n

ii

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.0

n-1

* a = Ei + Ea

a = 0.05 + 0.061 = 0.086

2

Luego:

a = a a

a = 6.18 0.086 mm

Altura : hp

- Instrumento de medida: Vernier 1/20 LM = 0.05

* hp = hp i hp = 43.08

n

* = ( )hp hp

n

ii

n

2

1 ; Ea = 3 Ea = 0.112

n-1

* hp = Ei + Ea

hp = 0.05 + 0.112 = 0.137

2

Luego:

hp = hp hp

hp = 43.08 0.137 mm

3. Cálculo del Volumen del Cilindro Completo : VC (cm3)

VC = D 2 H

4

* VC = D 2 H = 89.356 cm3

4

* VC = VC ( D )2 + ( H )

2 + ( D )2 = 0.396 cm3

D H D

* VC = VC VC VC = 89.356 0.396 cm3

4. Cálculo del volumen de la ranura paralelepípeda (Vp) cm3

Fórmula : Vp = . a. hp

* Vp = . a. hp = 7.59 cm3

* p = Vp ( )2 + ( a )

2 + ( hp )2 = 0.119

a hp

* Vp = Vp Vp Vp = 7.59 0.119

6. Cálculo del Volumen Real del Cilindro

VRc = Vc - Vo - Vp

* VRc = Vc - Vo - Vp VRC = 89.356 - 1.02 - 7.59= 80.746

* Rc = (Vc)2 + (Vo)2 + (Vp)2 = 0.414

Luego : VRc = 80.746 0.414 cm3

7. Cálculo de la Densidad Experimental del Cilindro

Fórmula : = m

V

* = m 497.9 = 6.162 = 6.162

VRc 80.746

* = . ( m )2 + ( V )

2 = 0.036

m V

Luego: =

= 6.162 0.036

CUADRO N°1

CILINDRO

Cilindro

Completo

Orificio

Cilíndrico

Ranura paralelepípeda

Medida D (mm) H(mm) do (mm) ho (mm) l (mm) a (mm) hp (mm)

01 51.45 4.3 9 15.70 28.50 6.2 43.00

02 51.30 43.2 9 15.60 28.60 6.1 43.20

03 51.40 43.1 9.2 15.75 28.45 6.21 43.10

04 51.35 43 9.1 15.70 28.50 6.19 43.00

05 51.45 43.1 9.2 15.65 28.50 6.2 43.10

Ei = ELm

x = Ei

0.025

0.087

= 0.112

0.025

0.112

= 0.137

0.025

0.134

= 0.159

0.025

0.076

= 0.101

0.025

0.164

= 0.189

0.025

0.061

= 0.086

0.025

0.112

= 0.137

Medida

x x

51.39

0.112

43.08

0.137

9.1

0.159

15.689

0.101

28.51

0.189

6.18

0.086

43.08

0.137

Volumen

(cm3)

(Vc) Volumen(Vo)

(cm3)

Volumen (Vp)

(cm3)

Medida

z z

89.356 0.396

Medida m

m m

m1

49.8

m2

496.5

m3

496.5

m4

498.8

m5

497.9

m

497.54

m

1.41

Volumen

real del

cilindro

80.746 0.414

Densidad

experimental

del cilindro

6.162 0.036

CUADRO N° 2

TARUGO - ESFERA - PLACA

Tarugo Esfera Placa

Medida dt H mt de me l a hp mp

(mm) (mm) (g) (mm) (g) (mm) (mm) (mm) (g)

01 17.22 101.55 17.5 38.00 12.67 38.40 51.1

02 17.16 101.40 17.2 37.95 12.66 37.80 51.1

03 17.30 101.45 17.15 37.80 12.68 37.95 51.1

04 17.18 101.55 17.2 38.40 12.68 38.00 51

05 17.27 101.40 17.1 38.15 12.66 38.15 51

Ei = ELm

x = Ei

0.005

0.079

=0.084

0.025

0.140

=0.165

0.05

0.056

=0.061

0.025

0.30

5

=0.330

0.005

0.01

3

=0.018

0.025

0.30

5=0.33

0

0.05

0.07

3

=0.123

Medida

x x

(mm)

17.226

0.084

101.47

0.165

17.23

0.106

38.06

0.330

12.67

0.018

38.06

0.330

51.06

0.123

Volumen,

Vt

(cm3)

masa

m1

(g)

Volumen

Ve

(cm3)

masa

me

(g)

Volumen,

Vp

(cm3)

masa

mp

(g)

Medida

z z

23.65 0.168 17.23

0.106

18.356 0.227 51.06

0.12

3

Densidad

(g/cm3)

0.729 0.007 2.782 0.035

IV. CUESTIONARIO

1. Coloque el error absoluto y halle el error relativo y el error porcentual

cometido en la medida del volumen del cilindro.

Z Er E %

0.414 Er = 0.414 = 0.00513

80.746

Er . 100 % = 0.513 %

2. Coloque el error absoluto y encuentre el error relativo y el error porcentual

que ha resultado al obtener la medida del volumen de la placa de vidrio y/o metal y

del tarugo.

Cuerpo Z

( )

Er E%

Placa 0.225 0.225 = 0.0123

18.353

Er . 100% = 1.23%

Tarugo 0.165 0.1668 = 0.0071

23.65

Er. 100% = 0.71 %

3. Halle el error relativo y el error porcentual de la densidad del cilindro y de

la esfera metálica. Exprese la media con estos errores.

Cuerpo Er E% X = X

Er

X = X

E%

Cilindro 0.036 = 0.0058

6.162

0.58% 6.162

0.0058

6.162 0.58%

Esfera

4. Con la ayuda de tablas de densidades, identifique los materiales de los

cuerpos medidos en el experimento. Dichas tablas se encuentran en textos, o en

“Handbooks”, de Física.

Cuerpo exp teórico Clase de Sustancia

que se identifica

Cilindro Metálico 6.162 7.14 Zinc

Placa de Metal o

de Vidrio

2.782 2.7 g/cm3 Aluminio

Tarugo 0.729 0.007 0.7 g/cm3 Madera de Cerezo

Esfera Metálica

5. Considere los valores de las tablas como valores teóricos. Halle el error

experimental porcentual de las densidades

Cilindro Placa Tarugo Esfera

Error

Experimental

Porcentual

13.69 % 3.04 % 4.14 %

6. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, para el

caso de la medida de la masa de una cucharada de arena:

a) Los errores aleatorios proceden del proceso de medición y no de la variable

(cucharada de arena) que se mide ........................................................ ( )

b) Los errores aleatorios proceden de los errores sistemáticos y no de la

variable que se mide ............................................................................ ( )

c) El proceso de medición y el instrumento de medida son invariantes

comparado con la variable que se mide .............................................. ( )

d) Los errores aleatorios proceden de la variable que se mide y no del

instrumento de medición ni del proceso de medición ......................... ( )

e) La variable que se mide es muy estable; los errores aleatorios provienen de

las fluctuaciones que ocurren en los instrumentos o en los elementos del proceso de

medición ............................................................................................... ( )

f) Los instrumentos y el proceso de medición son estables y precisos; los

errores aleatorios provienen de las fluctuaciones que ocurren en la variable que se

mide ...................................................................................................... ( )

7. ¿Qué medida es mejor la de un tendero que tomo 1kg de azúcar con la

precisión de un gramo, o la de un físico que toma 10cg de una sustancia en polvo

para una balanza que parecía miligramos?

* Para el azúcar:

Precisión de 1 gramo < > LM = 1g ELM = ½ = 0.5 g

Luego la medida de 1 kg de azúcar se expresa como:

mA = 1000 0.5 g

Er = 0.5 = 5 x 10-4 Er% = 0.05 %

1000

* Para sustancia en Polvo

LM = 10-3 ELM = 10 -3 = 0.0005 g

2

Luego la medida de 10cg de la sustancia se expresa como

mS = 0.1 0.0005 g

Er = 0.005 Er% = 0.5 %

Comparando los errores relativos porcentuales en los dos casos,

observamos que la medición de la azúcar es masa exacta por tener el

menor error porcentual.

8. Exprese la medida que Ud. lee en el siguiente gráfico:

0 1 2 3 cm

0 2 4 6 8 10

-11.08

Universidad Nacional Mayor De San Marcos(Universidad de Perú, Decana de América)

Informe de Física I

NOMBRE DE PRÁCTICA: TEORIA DE MEDICION

N° DE PRÁCTICA: N° 1

PROFESORA: MARIS LUISA CERON

ALUMNOS: PAUL PEREZ RICARDI ......................................01114106LUIS GARAY FAJARDO .....................................02131016YORCH VEGA FERNÁNDEZ ............................ 03190150TORIBIO CORDOVA CONDORI .......................02141003LUIS PAULINO AGUILAR..................................02

FECHA DE REALIZADO: 12 / 05 / 03

FECHA DE ENTREGA: 15 / 05 / 03

GRUPO: JUEVES 8-10