ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

INFORME DELABORATORIO DEOSCILACIONES Y

ONDASTEMA: Péndulo simple

Alvaro Martínez

18-02-2014

1. Objetivos

• Comprobar que un péndulo simple con oscilaciones pequeñas se puede aproximar a un m.a.s. .

• Calcular experimentalmente el valor de la gravedad mediante el péndulo simple y compararlo con valores de la teoría

2. Introducción y marco teórico

Un péndulo simple es un fenómeno físico que se puede aproximar con muy buenos resultados mediante un movimiento armónico simple cuando sus oscilaciones son pequeñas, si hacemos un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan en el péndulo tenemos:

donde designaremos por l a la longitud del péndulo que es constante m la masa, haciendo las sumatorios de fuerzas radiales y tangenciales

∑ f r=mac

T−mgcos(θ)=m θ̇2 l

T=m θ̇2l +mgcos(%tehta) (1)

∑ f T=maT

−mgsin(θ)=m θ̈ l

θ̈+gl

sin (θ)=0 (2)

Si θ≈0⇒sin (θ)≈θ por desarrollo del seno en serie de Taylor, entonces (2) se convierte en:

θ̈+glθ=0 (3)

Que es una ecuación diferencial que corresponde a un movimiento armónico simple con solución

θ( t)=θ̂0e i w0 t

con w0=√ gl

que es la frecuencia angular, a partir de la cual obtenemos el periodo T

T=2π√ lg

el cual observamos que solo depende de l y g , es decir de la longitud de la cuerda del péndulo y de la gravedad, no depende ni de la masa ni del ángulo inicial con el que el péndulo se suelte.

En este laboratorio vamos a comprobar experimentalmente esta conclusión teórica haciendo variar la masa, el ángulo inicial, y la longitud del péndulo simple para valores pequeños de θ (hasta 30 grados) y comparar que tan bueno es nuestro modelo aproximando el péndulo simple a un m.a.s. .

3. Materiales

• Soporte Universal • Nuez para el soporte universal• Barras de acero• Masas calibradas• Cuerda• Graduador• Cinta métrica • Cronometro

4. Métodos y procedimientos

Armamos un péndulo con la base universal, la nuez, la cuerda y los pesos. Para medir con mayor exactitud el periodo del péndulo vamos a medir 10 oscilaciones con el cronometro en nuestros tres distintos experimentos.

El primer experimento consta de variar la masa y medir el periodo del péndulo con las distintas masas que se presentaran con detalle en la Tabla 1 de este informe, en este experimento se tiene la longitud constante, medida desde la punta de la cuerda en el soporte universal hasta el centro de masa de las masas calibradas y también el ángulo inicial va a ser constante igual a 10 grados.

En el segundo experimento tomamos la masa constante y también la longitud del péndulo constante medida como se dijo en el primer experimento, lo que se considera variable en este experimento es el ángulo inicial del péndulo y también medimos el tiempo de 10 oscilaciones del péndulo, esta información se anotara en la Tabla 2.

El tercer experimento se trata de variar la longitud del péndulo manteniendo constante la masa y el ángulo inicial del péndulo, como en los otros experimentos estas medidas estarán en la Tabla 3.

Como medida experimental para tener un error menor vamos a realizar tres veces cada medida y hacer el promedio aritmético de estas para hacer las comparaciones con el modelo teórico propuestoen la introducción. Para la gravedad tomaremos el valor 9.7727 m/s2 que es la gravedad el la ciudad de quito donde se realizo nuestro experimento y también procederemos a graficar nuestros resultados de cada experimento y encontrar relaciones con regresiones que sean convenientes y encontrar el valor de lagravedad para compararlo con el propuesto en la bibliografía.

5. Resultados y tratamiento de datos

Después de realizar los experimentos tenemos los siguientes resultados medidos

Primer experimento

Variamos la masa del péndulo, con longitud y ángulo constante l=85 cm y θ= 20° (ángulo inicial) respectivamente

Tabla 1 Masa (m)[g] T[s] (tiempo de 10 oscilaciones) Promedio T [s]

40 18.27 18.08 18.33 18.23

80 18.33 18.32 18.22 18.29

120 17.9 18.08 18.3 18.09

160 18.41 18.5 18.2 18.37|

Figura 1Gráfica del tiempo en función de la masa

Podemos ver que el tiempo es constante para cada valor de masa diferente, como predijo la teoría el tiempo de oscilación T es independiente de la masa según la figura 1 esto se nota claramente. La regresión lineal de los datos en azul es una linea casi constante con una pendiente despreciable con valor positivo de 0.00055

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23

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25

0 5 10 15 20 25 30 35

T[s

]

theta [grados]

T=f(theta)

Regresion lineal: T=0.0127458theta+17.8429Datos

Segundo experimento

Ahora nuestra parámetro variable es el ángulo inicial del péndulo θ, manteniendo constante la longitud l=80 cm y la masa m=110 g

Tabla 2Θ[°] T[s] (tiempo de 10 oscilaciones) Promedio T [s]

5 17.85 17.72 17.92 17.89

10 18.03 18.07 18.00 18.03

20 18.00 18.17 18.12 18.02

30 18.37 18.22 18.2 18.26

Figura 2Gráfica del tiempo en función de la ángulo θ (theta)

En la figura 2 tenemos la regresión lineal en azul con una pendiente 0.0127458 que nos da una curva casi constante, se puede observar que esta pendiente es mas grande que la pendiente de la figura 1 pero aún así es despreciable, por lo cual también podemos concluir que el tiempo de oscilación medido T no depende del ángulo θ que es lo que predijo nuestro modelo lineal al comparar el péndulo simple con un m.a.s. .

17

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23

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25

40 60 80 100 120 140 160

T[s

]

masa(m)[g]

T=f(m)

Regresion lineal: T=0.00055m+18.19Datos

Tercer experimento

Tabla 3l [cm] T[s] (tiempo de 10 oscilaciones) Promedio T [s]

30.5 11.05 11.07 11.08 11.07

61 15.58 15.57 15.78 15.64

91.5 19.42 19.10 19.10 19.21

122 22.10 22.00 22.10 22.07

Figura 3Gráfica del tiempo en función de la longitud

En la figura 3 vemos los datos experimentales en rojo y la linea de tendencia de regresión que es laparábola T=5.7175+0.189984l-0.00459554l2, ahora observamos que el tiempo T aumenta mientras

aumenta la longitud l, este resultado esta de acuerdo con la relación T=2π√ lg

que nos indica

que T depende de l y de g en una relación de raíz cuadrada.

Ahora para determinar la gravedad experimentalmente vamos a graficar T2=f(l) con los datos de la tabla 4 que son derivados de la tabla 3, hacer un análisis de regresión lineal de estos datos y sacar la pendiente de esta regresión lineal para comprobar con nuestro modelo matemático.

10

12

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16

18

20

22

24

20 40 60 80 100 120

T[s

]

l [cm]

T=f(l)

Regresion : T=5.7175+l0.189984-l 2 0.000459554 Datos

Tabla 4l [cm] T2 [s2]

30.5 122.5449

61 244.6096

91.5 369.0241

122 487.0849

Figura 4Gráfica del tiempo al cuadrado en función de la longitud

Vemos en la figura 4 que la regresión es una curva lineal con pendiente 4.08208, y como se esperaba igual que el la figura 3 vemos que el tiempo T si depende de la longitud l del péndulo.

Ahora para sacar la gravedad comparamos

T=2π√ lg

⇒T 2=4 π

2 lg

⇒T 2=kl

donde k=4 π2

g

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

20 40 60 80 100 120

T 2

[s

2 ]

l [cm]

T 2 =f(l)

Regresion : T=1.30725 + l4.08208 Datos

Como vemos que el tiempo al cuadrado tiene una relación lineal con la longitud con la constante de proporcionalidad k, entonces esta contante tiene que ser nuestra pendiente λ=4.08208 de la regresión lineal de la figura 4, comparando estas expresiones determinamos la gravedad en Quito.

k=4 π2

g=λ

⇒g=4 π2

λ=(4)

(9.869604)

4.08208=9.6712[

ms2 ]

Cabe notar que nuestro análisis se hizo con centímetros pero es evidente que la pendiente de nuestra regresión lineal es la misma si hacemos el análisis con metros y no centímetros, por eso las unidades de la gravedad determinada para una mayor generalidad esta en metros sobre segundos al cuadrado.

Ahora calcularemos el error de nuestra gravedad obtenida con la que se encuentra en la bibliografía que es 9.7727 m/s2

E=∣9.6712−9.7727∣

9.7727∗100=1.039 %

6. Conclusiones

• Se comprobó que un péndulo simple se puede aproximar muy bien a un m.a.s. cuando las oscilaciones son pequeñas y el seno del ángulo del péndulo con respecto a la vertical se puede aproximar al ángulo.

• Vemos en todas las figuras del informe con los datos de las tablas respectivas y sus regresiones lineales, como el tiempo de oscilación no depende ni de la masa ni del ángulo del péndulo, el periodo de oscilación es función exclusiva de la longitud del péndulo.

• Calculamos la gravedad experimentalmente con una precisión muy buena ya que nuestro error rondo el 1%

• Se puede decir que los métodos para realizar el experimento sin ser muy precisos fueron suficientemente necesarios para obtener un buen resultado

• En la figura t3 se puede ver que el periodo tiene una relación cuadrática con respecto a la longitud y el periodo al cuadrado como es evidente en la figura 4 tiene una relación lineal con respecto a la longitud

• Como recomendaciones para futuros experimentos se puede decir que los instrumentos se pueden mejorar y hacer mas cantidad de medidas para tener un promedio mas representativodel fenómeno

7. Bibliografía

• M. Zemansky and F. Sears, University physics, 13th edición, (Addison-Wesley, 2012), pp. 453-455

• A. P. French, Vibraciones y Ondas, (editorial reverté), pp. 6-8• Physicalisch-Technische Bundesanstalt, Germany 2007, Gravity information system PTB,

http://www.ptb.de/cartoweb3/SISproject.php, 16-02-201• nota: los gráficos fueron hechos en GNU OCTAVE