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1. Enunciado del problema

En el siguiente problema determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es puesta a ciertas cargas en los nodos mostrados en la ilustración 1, sin tomar en cuenta los efectos de temperatura y el peso de cada viga de la armadura plana; y teniendo en cuenta que el modulo de elasticidad del material de todas las vigas es 3.1 x105 N /mm2, así como el diámetro de la sección constante de cada viga es 50mm.

Ilustración 1

Datos del problema:

Diámetro de la sección constante de cada viga: 50mm

Carga PA=5000N

Carga PB=4000N

Carga PE=2000N

Modulo de elasticidad de cada viga: 3.1 x105 N /mm2

2. Solución (cálculos previos)I. El análisis por el método de los elementos finitos

Ilustración 2

3. Grados de libertad y coordenadas

Como observamos en la ilustración 2, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posición mostrada, para así poder tener las posiciones de los 5 nodos de la armadura plana y así poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro:

Nodo X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 3000 04 1500 15005 0 1500

II. Luego hacemos nuestra tabla de conectividad

Elemento Nodos(1) (2)

GDL1 2 3 4

Le en (mm) Ae en (mm2) Ee en (N/mm2)

1 1 2 1 2 3 4 1500.00 1963.5 3.1 x105

2 2 3 3 4 5 6 1500.00 1963.5 3.1 x105

3 3 4 5 6 7 8 2121.321 1963.5 3.1 x105

4 4 2 7 8 3 4 1500.00 1963.5 3.1 x105

5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.5 3.1 x105

6 4 5 7 8 9 10 1500.00 1963.5 3.1 x105

7 5 1 9 10 1 2 1500.00 1963.5 3.1 x105

Tracción simple Página 2

4. Matriz de rigidez de los elementos (local)

Respecto a X ' : K tw' =( EAle )

e [ 1 −1−1 1 ] (tracción simple)

Respecto a (X, Y): K sr=Lrt(K tw' )Lws donde Lws=Lrt

Resulta: K rse =(EAle )

e [ l2 lmlm m2

−l2 −ml−lm −m2

−l2 −lm−lm −m2

l2 lmlm m2 ]

5. Matriz de rigidez estructural (global)

K iJ=∑e=1

ϵ

ksre | s→i

r→J

(conectividadde modelo)

k ij=[8.1158 0 −4.05790 4.0579 0

−4.0579 0 5.4926

0 0 00 0 −4.0579

−1.4347 −1.4347 1.43470 0 −1.43470 0 −1.43470 −4.0579 1.4347

1.4347 1.4347 −1.43471.4347 6.9273 0

−1.4347 0 6.9273] x 105

6. Cargas nodales

En coordenadas X’ se sabe que:

F 'we =[F ' 1

e F ' 2e ] '

En coordenadas X-Y se tiene:

F se=[F1e F2

e F3e F4

e ] '

7. Ecuación de rigidez

Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q.


[020005000400000

]=105[8.1158 0 −4.05790 4.0579 0

−4.0579 0 5.4926

0 0 00 0 −4.0579

−1.4347 −1.4347 1.43470 0 −1.43470 0 −1.43470 −4.0579 1.4347

1.4347 1.4347 −1.43471.4347 6.9273 0

−1.4347 0 6.9273][Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

] [

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

]=[0.02190.07200.03990.1631

−0.02430.0667

]Por tanto el vector carga total será:

[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

Q10

]=[00

0.02190.07290.03990.1631

−0.02430.066700

]8. Distribución de esfuerzos

En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada elemento se halla asi:

σ e=EBt qt' (Tracción simple)

Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo:

σ e=EBt Ltr qr

Resultando

σ e=( Ele )e

[−l −m l m ][ q1q2q3q4

] (Es el esfuerzo para cada elemento finito)


[σ 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ7

]=[4.58374.5837

−2.8810−1.01864.3215

−5.09300

]9. Diagrama de flujo


10. Digitación del programa en Matlab

%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nddisp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);n(i,1)=input('N(X)= ');n(i,2)=input('N(Y)= ');endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=');lm=[];A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*ndcont=0;for j=1:fcif i==CC1(j,1)cont=1;c1=CC1(j,1);c2=CC1(j,2);endendif cont==1CC(i,1)=c1;CC(i,2)=c2;elseCC(i,1)=0;CC(i,2)=0;endendfor i=1:nele(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2;krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs;krs=zeros(2*nd);endfor i=1:2*ndif i==CC(i,1)Q(i,1)=CC(i,2);elseFC=[FC;F(i)];for j=1:2*ndif j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)];endendend


acuv=[acuv;acuh];acuh=[];endQ1=acuv\FC;for i=1:2*ndif i~=CC(i,1)Q(i,1)=Q1(1,1);[f,c]=size(Q1);if f>=2Q1=Q1(2:f,1);endendendfor i=1:2*ndif i==CC(i,1)r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];endendESF=[];for i=1:neps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIÓN POSICIÓN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');

11. Ejecucion del programa

Ingrese numero de codos =5 Ingrese numero de elementos =7 Ingrese el diámetro de las secciones(mm) = 50 Ingrese el modulo de elasticidad(N/mm2) = 3.1e5 Ingrese tabla de conectividad (solo los nodos) =[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]

Ingrese las coordenadas del nodo (1)

N(X)=0

N(Y)=0


N(X)=1500

N(Y)=0


N(X)=3000

N(Y)=0



N(X)=1500

N(Y)=1500


N(X)=0

N(Y)=1500

Ingrese el vector columna de fuerzas= [0 0 0 2000 5000 4000 0 0 0 0]’

Ingrese condición de contorno [posición valor]= [1 0;2 0;9 0;10 0]

Resultado:

a) Los desplazamientos son:

000.02220.07140.04440.1633-0.02460.066500

b) Las reacciones son:

REACCIÓN POSICIÓN1.0e+004 *

-1.5000 0.0001-0.6000 0.0002 1.0000 0.0009

0 0.0010c) Los esfuerzos (MPa)

4.58374.5837-2.8810-1.01864.3215-5.09300

12. Conclusiones


Para hacer el cálculo con todo lo concerniente a armaduras planas con el método de elementos finitos, solo pude notar el error de redondeo trabajando analíticamente comparado con el Matlab, pero es despreciable dicho error.

También es bueno aclarar que al hacer la tabla de conectividad; este aumenta si la estructura en el plano tiene muchos elementos, para dicho caso es mejor usar el software Matlab.


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