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Informe de laboratorio N 04

I. Definiciones:FUNDAMENTO TEORICO

El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de losejes principales de inercia, la inercia rotacional puede serrepresentada como una magnitud escalar llamada momento deinercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inerciarotacional debe representarse por medio de un conjunto demomentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor deinercia.

Ecuaciones del momento de inercia

Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento deinercia del mismo se define como la suma de los productos de lasmasas de las partculas por el cuadrado de la distancia r de cadapartcula a dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), segeneraliza como:

El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo elvolumen del cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.

Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papelanlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo yuniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a seracelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia quepresenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, la

segunda ley de Newton: tiene como equivalente para larotacin:

Dnde:

es el momento aplicado al cuerpo.

es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje derotacin y

es la aceleracin angular.

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Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referenciapermanezca constante.

La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad ves

, mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con

velocidad angular es , donde I es el momento de inercia conrespecto al eje de rotacin.

La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene

por equivalente la conservacin del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccin

que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la mismadireccin si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un ejees de simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giroalrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido tambina lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner)establece que el momento de inercia con respecto a cualquier ejeparalelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual almomento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de

masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distanciaentre los dos ejes:

Donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa porel centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un ejeparalelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y

h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera ladescomposicin de coordenadas relativa al centro de masas C

inmediata:

Donde el segundotrmino es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa

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en torno al centro de masa es nula, por la propia definicin de centrode masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no sercoincidentes, dado que el centro de masa slo depende de lageometra del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del

campo gravitacional en el que est inmersodicho cuerpo.

I. EQUIPODETRABAJO

Una varilla con soporte

Una rueda de Maxwell

1.5m de cuerda

Un cronometro digital

Un vernier

Una regla milimetrada

Una balanza


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I. Procedimiento

experimental:1. Con ayuda del vernier medir las dimensiones de la rueda de

Maxwell y el cilindro interior en el.

2. Enrollar la rueda de Maxwell hasta cerca de la altura del

soporte.

3. Soltar y medir la altura que ascendi la rueda

4. Adems medir el tiempo que se tom en ascender la rueda.

5. Repita el paso 2,3 y 4 seis veces y sacar un promedio de ellos.

6. Medir la masa de la rueda.


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I. Datos obtenidos, Clculos y

resultados:Hallando el tiempo promedio (tiempo de

cada del eje de la rueda)

T(seg) t1 t2 t3 t4 tprom

H(89.3c

m)6.33 6.42 6.27 6.28 6.325

MASA DE LA RUEDA=477.6 g

RADIO DEL EJE=0.31

Tabla de alturas y tiempo de cada de la

rueda:

t1 t2 t3 tprom

H1=80cm 6.18 6.23 6.19 6.2

H2=60cm 5.42 5.48 5.36 5.42

H3=40cm 4.40 4.38 4.36 4.38

H4=20cm 3.34 3.37 3.36 3.357

H(cm)80 60 40 20

t238.44 29.376 19.184 11.27

PENDIENTE=tan()= t2H=0.4585 s2/cm

De la ecuacin tenemos: Tan = g2(Imr2+1)I= mr2gt22h-1


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Reemplazando:

I= 0.4776*0.003129.81*0.4585*1002-1

Despejando el momento de inercia terico I:

I(T)=0.0012762 Kgm2


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Hallando el momento de inerciaexperimental:

Tomando medidas a las partes de la rueda de

maxwell:

Volumen del cilindro hueco ( V1)

V1= RExt2-RInt2h=6.452 4.9822.67=140.967cm3

Volumen de la varilla cilndrica ( V2)


DIAMETRO

DIAMETRO

ALTURA=2.67cm

L=15.45 cm

DIAMETRO=0.6

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V2=0.3122.67= 4.664cm3

Volumen del rayo de la rueda ( V3)

V3=0.75*1.05*3.66=2.882cm3

Volumen del cilindro pequeo (V4)

V4=1.3422.67=15.062cm3


ANCHO=0.75

PROFUNDIDAD=1.05

LARGO=3.66

RADIO=1.34

ALTURA=2.6

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CALCULANDO LA DENSIDAD:

=MASA RUEDAVOLUMEN TOTAL=477.6

gV1+V2+5V3+V4=2.727 g/cm3

Hallando el momento de inercia de cada parte

de la rueda:

1. Del cilindro hueco de volumen V1:

Sabemos: V=r2hV=2.r.h.r

Adems: m= .V

Momento de inercia 1:

I1=r12m=r2.. 2.h.r.r =. 2.h4.986.45r3 r=

=2.732*2*2.67r444.986.45

I1=12760.476 g/cm2

2. Del la varilla cilndrica de volumen V2:


Adems: m= .V


I2=r22m=r2.. 2.h.r.r =. 2.h00.31r3 r=

=2.727*2*15.45r4400.31


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I2=0.611 g/cm2

3. Del rayo paralelepido de volumen V3:

Sabemos: V=b.r.h V=b.h.r

Adems: m= .V

Momento de inercia 3: I3=r32m=r2..b.h.r =. b.h1.344.98r2

r=

=2.727*1.05*0.75r331.344.98

I3=86.688 g/cm2

4. Del cilindro pequeo de volumen V4


Adems: m= .V


I4=r42m=r2.. 2.h.r.r =. 2.h01.34r3 r=

=2.727*2*2.67r4401.34

I4= 36.875 g/cm2

Hallando el momento de inercia experimental :

I(E)= I1+I2+5I3+I4=0.00132 Kgm2

%ERROR=/0.0012762- 0.0013231/0.0012762x100%

=3.675%


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I. Observaciones: El eje de la rueda presentaba pequeas deformaciones las

cuales puede incluirse como errores que apareceran en los

clculos.

En las mediciones de las dimensiones de la rueda de

maxwell tuvimos que hacer promedios por lo irregular de

sus radios, as como el grosor de dicha rueda.

Los tiempos medidos fueron casi constantes, quiere decir la

diferencia entre los tiempos medidos fue 0.2s

aproximadamente.

Debido a que no se tena la masa de cada parte de la rueda

se hall la densidad del material de la rueda ya que

tenamos la masa total y el volumen de cada parte, por ello

se lleg a calcular una densidad de 2.727g/cm3 por lo que

se deduce que el material de la rueda es de aluminio.

VII. Conclusiones: Como sabemos siempre hay mrgenes de errores en las

mediciones efectuadas, por consiguiente los momentos de

inercia salen con cierto error.

El error en el clculo del momento de inercia se debe adiferentes aspectos hechos en el laboratorio, como mediciones

de tiempo, clculos en las longitudes, etc.

Se logr determinar el momento de inercia de dos slidos con

masas similares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el

momento de inercia entre ellos gracias a la distribucin de su

masa, siendo mayor el momento del aro porque su masa est

distribuida en el borde la circunferencia.


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Se puede concluir que entre ms alejada este la masa del

centro de rotacin, mayor es su inercia. Esto se ve en los

resultados obtenidos con el aro, mucho mayor que el disco a

pesar que sus masas eran muy similares.


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