Universidad Tecnológica De Panamá

Facultad De Ingeniería Mecánica

Curso:

Dinámica aplicada

Lab # 3

“Vibraciones Mecánicas” Péndulo Simple

Profesor:

Erick Sanchez

Instructor de laboratorio:

Cristobal Chérigo

Estudiantes:

Jorge Álvarez 20-24-1823

Gustavo Bernal 8-865-2001

Omar Castillo 8-868-1929

Jonathan Goti 8-877-670

Juan Tribaldos 4-761-2258

Abdiel Vargas 8-860-65

Fecha: 30/ 9 /14

Objetivo: Determinar los parámetros principales de un sistema de péndulo simple bajo

vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático. Comparar

resultados teóricos y experimentales.

Materiales:

1. Computadora

2. Matlab-Simulink

3. Esfera

4. Hilo

Desarrollo:

1.1 Anote todas las características físicas del mismo y preséntelas en el informe.

𝑙 = 52,2 𝑐𝑚 ; 𝑑 = 51,82𝑚𝑚 → 𝑟 = 25,91𝑚𝑚 ; 𝑚 = 520𝑔 ; 𝜃 ≈ 10º 1.2 Desplace la esfera de acero de la posición de equilibrio estático y libere. Mida el

periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. (Tomado con 2 cronómetros al mismo tiempo)

Primera oscilación: 𝜏 = 3,93s; 𝜏 = 3,95s

Segunda oscilación: 𝜏 = 4,03s ; 𝜏 = 4,04s

Tercera oscilación: 𝜏 = 3,95s ; 𝜏 = 3,96s

Promedio: 𝜏 = 3,977s 1.3 Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir

del periodo natural medido.

𝑓 =1

𝜏=

1

3,977𝑠= 0.2514𝑠−1

𝜔𝑛 =2𝜋

𝜏=

2𝜋

3,977𝑠= 1.58𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

1.4 Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa puntual.

𝐸𝐶 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚(𝑙�̇�)

2

𝐸𝑃 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃)

𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝐶 →𝑑

𝑑𝑡(𝐸𝐶 + 𝐸𝑃) = 0

𝑑

𝑑𝑡𝐸𝐶 = 𝑚𝑙2�̇��̈�

𝑑

𝑑𝑡𝐸𝑃 = 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 �̇�

𝑚𝑙2�̇��̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 �̇� = 0

𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

𝑚𝑙2�̈� + 𝑚𝑔𝑙𝜃 = 0

�̈� +𝑔

𝑙𝜃 = 0

�̈� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0

1.5 Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 1.2.

𝜃(𝑡) = 𝜃𝑜 cos 𝜔𝑛𝑡 +�̇�

𝜔𝑛sin 𝜔𝑛𝑡

𝜃(𝑡) = (10) cos 𝜔𝑛𝑡

1.6 Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento.

𝜔𝑛 = √𝑔

𝑙= √

9.81𝑚/𝑠2

52,2 𝑐𝑚 = √

9.81𝑚/𝑠2

0,522𝑚 = 4,335𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

𝜏 =2𝜋

𝜔𝑛=

2𝜋

4,335𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1= 1,449𝑠

𝑓 =1

𝜏=

1

1,449𝑠= 0,6901𝑠−1

1.7 Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para una masa esférica.

𝐸𝐶 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝐼�̇�2

𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝐺𝑂̅̅ ̅̅

𝐼𝐺 =2

5𝑚𝑟2

𝐺𝑂̅̅ ̅̅ = 𝑟 + 𝑙

𝐸𝐶 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2(

2

5𝑚𝑟2 + 𝑚(𝑟 + 𝑙)) �̇�2 =

1

2𝑚 (𝑟 (

2

5𝑟 + 1) + 𝑙) �̇�2 =

𝐸𝑃 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃)

𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝐶 →𝑑

𝑑𝑡(𝐸𝐶 + 𝐸𝑃) = 0

𝑑

𝑑𝑡𝐸𝐶 =

1

2𝑚 (𝑟 (

2

5𝑟 + 1) + 𝑙) �̇��̈�

𝑑

𝑑𝑡𝐸𝑃 = 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 �̇�

1

2𝑚 (𝑟 (

2

5𝑟 + 1) + 𝑙) �̇��̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 �̇� = 0

1

2𝑚 (𝑟 (

2

5𝑟 + 1) + 𝑙) �̈� + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

1

2(𝑟 (

2

5𝑟 + 1) + 𝑙) �̈� + 𝑔𝑙𝜃 = 0

�̈� +2𝑔𝑙

(𝑟 (25

𝑟 + 1) + 𝑙)𝜃 = 0

�̈� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0

1.8 Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 1.2.

𝜃(𝑡) = 𝜃𝑜 cos 𝜔𝑛𝑡 +�̇�

𝜔𝑛sin 𝜔𝑛𝑡

𝜃(𝑡) = (10) cos 𝜔𝑛𝑡

1.9 Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento.

𝜔𝑛 = √2𝑔𝑙

(𝑟 (25

𝑟 + 1) + 𝑙)= √

2(9.81𝑚/𝑠2)(0.522𝑚)

(25,91 ∙ 10−3 (25

∙ 25,91 ∙ 10−3 + 1) + 0,522𝑚)

= 4,317𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

𝜏 =2𝜋

𝜔𝑛=

2𝜋

4,317𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1= 1,455𝑠

𝑓 =1

𝜏=

1

1,455𝑠= 0,6873𝑠−1

1.10- Comparar los resultados obtenidos en los puntos 1.2, 1.3, 1.6 y 1.9. Explique las diferencias

Al comparar los datos obtenidos tenemos:

Comparaciones Opinión sobre las diferencias

𝑓 = 0.2514𝑠−1

𝜔𝑛

= 1.58𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

Promedio: 𝜏 = 3,977s

- El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad. Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales.

- Se aprecia que la diferencia en la velocidad angular cambia significativamente al variar la frecuencia ya que son proporcionales.

𝜔𝑛 = 4,335𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

𝜏 = 1,449𝑠

𝑓 = 0,6901𝑠−1

𝜔𝑛 = 4,317𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠−1

𝜏 = 1,455𝑠

𝑓 = 0,6873𝑠−1

1.11 Graficar la posición, la velocidad y la aceleración

Grafica de Posición:

TIEMPO POCICION

1 -3.68494446

2 -7.28423686

3 9.05334612

4 0.61202133

5 -9.50439904

6 6.39261519

7 4.79311265

8 -9.92508598

9 2.52156547

10 8.06672024

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 2 4 6 8 10 12

Tiempo Vs Pocicicon

Grafica de Velocidad

Tiempo Velocidad

1 40.2994583

2 80.5989166

3 120.898375

4 161.197833

5 201.497292

6 241.79675

7 282.096208

8 322.395667

9 362.695125

10 402.994583

Grafica de aceleración

Tiempo Aceleracion

1 -69.2483054

2 -136.887018

3 170.132517

4 11.5012426

5 -178.608805

6 120.131463

7 90.0732514

8 -186.514449

9 47.3858257

10 151.591622

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12

Velocidad vs Tiempo

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8 10 12

Aceleracion VS Tiempo