UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFacultad de Ingeniera Geolgica Minera y Metalrgica - FIGMM

INTRODUCCIN

Cuando escuchamos la palabra velocidad y/o aceleracin, debemos comprender que se est haciendo mencin de dos factores muy importantes para determinar cundo un movimiento es uniforme, o en su defecto uniformemente acelerado; ya sea rectilneo o circular. Adems que estos dos factores se presentan da a da a nuestro alrededor, pues para obtenerse como velocidad o aceleracin, estos requieren de ciertas caractersticas; siendo el movimiento el nico elemento que tienen en comn. El movimiento de los objetos es algo que ocurre continuamente a nuestro alrededor, y de este se derivan diferentes magnitudes en la fsica tales como la velocidad y la aceleracin.

Desde un punto de vista de la fsica, se puede decir que la velocidad acta como una fuerza aplicada sobre una masa, lo cual se cuantifica como el tiempo que tarda en recorrer dicha masa una trayectoria determinada. La velocidad se toman en cuenta, tanto la direccin como el sentido del movimiento. Confundir la velocidad con la rapidez puede ser muy comn, pero dicha caracterstica de la velocidad determina su diferencia entre ella y la rapidez.

Ahora bien, cuando hablamos de aceleracin, existe una idea comnmente errnea acerca de su concepto pues se piensa que una aceleracin se da solamente si la velocidad aumenta. De acuerdo al sentido comn, esta sera la idea ms acertada, pero en fsica este concepto es ms general. Se considera que cualquier cambio de velocidad, sea magnitud, direccin o sentido, implica una aceleracin. Es importante resaltar que en fsica el movimiento acelerado es cualquier movimiento en el que cambia la velocidad, e incluso cuando esta disminuye se considera que sigue siendo una aceleracin slo que este movimiento pasa a ser conocido como un movimiento desacelerado.

OBJETIVOS

Determinar la velocidad media de un mvil que se desplaza al lo largo de un plano inclinado.

Determinar la velocidad instantnea de un mvil en un punto de su trayectoria a partir de la informacin posicin vs tiempo.

Determinar experimentalmente la aceleracin instantnea de un mvil con movimiento rectilneo uniforme variado.

Comprender el concepto matemtico de la derivada usando como ejemplos los conceptos fsicos de velocidad y aceleracin instantnea.

FUNDAMENTO TERICOCONCEPTOS MATEMATICOSFuncin real de variable real (f):Conjunto de pares ordenados reales tales que a un mismo primer elemento no le corresponde dos segundos elementos diferentes f= {x, f(x)}Lmite de una funcin en un punto x0:Es el valor al cual se aproxima la variable dependiente f(x) cuando la variable independiente x se aproxima a x0. Algunas veces el lmite no existe.Razn de cambio de una funcin en un intervalo (x1, x2)

= (1.1)Funcin de razn de cambio de una funcin alrededor de un punto xn

(1.2)Derivada de una funcin en un punto xn , cuando existe el lmite:

(1.3)O aproximadamente

(1.4)

(Esta aproximacin ser mejor cuanto ms pequea sea )Funcin derivada: es el conjunto de pares ordenados

Donde xn es cualquier nmero real sobre el cual est definida la funcin y es el correspondiente segundo elemento obtenido de acuerdo a la ecuacin (1.3)

Segunda derivada () .es la funcin derivada de la funcin CONCEPTOS TEORICOS Funcin posicin. Es el conjunto de pares ordenados {t,x(t)} Donde t es el tiempo transcurrido desde un instante fijado convencionalmente como t0=0, x(t) es la posicin respecto a un punto tomado convencionalmente como x0.Velocidad media en un intervalo de tiempo (t1,t2) La velocidad media o velocidad promedio indica la velocidad en un intervalo de tiempo

(1.5)(Comparar con el concepto razn de cambio, ecuacin (1.1))

Funcin velocidad media alrededor de un instante tn

(1.6) (Comparar con el concepto funcin razn de cambio ), ecuacin 5.2

Velocidad instantnea en un instante tnEs la velocidad en un instante dado y se calcula as:

(1.7)(Comparar con el concepto derivada en un punto ), ecuacin (1.3)

Funcin velocidad instantnea Es el conjunto de pares ordena

Donde tn designa un instante y v (tn) es la velocidad en ese instante obtenida de acuerdo a la ecuacin (1.7)(Observe que la funcin velocidad instantnea viene a ser la derivada de la funcin posicin)Aceleracin media en un intervalo de tiempo (t1,t2)

(1.8)Funcin aceleracin media alrededor de un instante

(1.9)

Aceleracin en el instante tn

(1.10)Funcin aceleracin instantnea Es el conjunto de pares ordenados

Donde tn designa un instante y a(tn) es la aceleracin en ese instante de acuerdo a la ecuacin (1.10)Es la funcin derivada de la funcin velocidad instantnea

PARTE EXPERIMENTALEXPERIMENTO N1: VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTNEAS EN EL MOVIMIENTO RECTILNEO.

OBJETIVOS: Determinar la velocidad instantnea de un cuerpo en movimiento rectilneo a partir de la informacin posicin vs tiempo. Determinar la aceleracin instantnea a partir de la informacin velocidad instantnea vs tiempo.

MATERIALES: Riel sobre un plano inclinado con tira de papel elctrico.

Carrito metlico.

Fuente del chispero. Una tira de papel bond de 65cmx6cm. Cinco hojas de papel milimetrado.

Chispero electrnico, produce chispas cada 25 milisegundos o cada 50ms segn la posicin del interruptor negro en la parte superior derecha

PROCEDIMIENTO: Disponga el sistema riel/plano inclinado con una inclinacin de 10 a 25 grados sexagesimales, como se muestra en la figura.

Conecte la fuente del chispero a 220v. Conecte la salida de la fuente a la entrada del chispero. Conecte una salida del chispero a la banana sobre el riel y la otra salida del chispero a la banana sobre la base de madera, la cual a su vez est conectada al papel elctrico. Coloque en ON el interruptor de la fuente pero todava no el del chispero. Coloque el carrito en la parte superior del plano inclinado, sostenerlo de la parte de acrlico. El estudiante A colocara en ON el interruptor del chispero y un instante despus el estudiante B que est sosteniendo el carrito lo soltara. Cuando el carrito llegue a la parte ms baja del plano inclinado, inmediatamente el estudiante A colocara en OFF el interruptor del chispero. Sobre el papel bond queda marcada una serie de puntos designe al instante en que se produjo el primer punto de la trayectoria como t0 =0 y X0=0 en cualquier otro punto.

ANLISIS DE DATOS:Grafica de la funcin posicin. Con las dos primeras columnas de la tabla t en ticks y x en cm graficar la funcin en papel milimetrado.Velocidad instantnea en t =4ticks A partir de las dos primeras columnas y haciendo uso de las operaciones indicadas en la parte superior de la tercera columna, llene la tercera columna. Observe que la primera y tercera columnas definen la funcin velocidad media alrededor de .Observe tambin que esta funcin no est definida en t=4. Haga un grfico de la funcin Observe que este grafico se puede considerar como constituido por dos partes (1) para t4. Si prolonga ambas partes para que se encuentren en t=4 se obtendr la velocidad aproximadamente instantnea en v (4). Ella estar expresada en cm/tick, haga la transformacin a m/s.

Velocidad Instantnea en varios puntos Repita lo mismo para los instantes t=8, t=12, t=16, t=20, t=24, ticks.Aceleracin en un instante (t=16) Ahora que ya tiene la funcin velocidad instantnea puede proceder a hallar la aceleracin en un instante, en forma anloga a como de la funcin posicin obtuvo la velocidad en cada instante.

Grafico x vs t2 Observe que el mtodo descrito para hallar la velocidad y aceleracin instantneas se basa solo en las respectivas definiciones, es decir, este mtodo es aplicable para cualquier dependencia de x respecto de T. En particular, en el experimento descrito se espera:

La aceleracin es constante y su valor se puede obtener graficando x vs t2 y calculando la pendiente.

TABLA1: FRECUENCIA 20Hz1Tick = 0.05sTx(T)cm

111.131.641.972.322.663.12

221.21.752.072.422.763.21

33.21.21.862.162.512.853.31

44.4-2.022.282.622.953.42

55.71.32.262.422.743.063.53

67.81.72.352.482.813.133.61

79.91.832.62.562.883.213.7

812.31.97-2.62.953.283.78

914.72.062.22.663.023.363.87

1017.22.132.352.753.113.453.97

1119.92.212.462.83.23.534.06

1222.72.282.55-3.33.624.17

1325.72.362.6433.43.714.28

1429.12.472.763.23.43.764.37

1532.42.542.843.233.53.864.48

1635.92.622.923.3-3.954.61

1739.72.713.023.43.844.72

1843.52.793.13.463.84.14.88

1947.62.883.193.553.94.15.04

2051.72.953.263.623.95-5.27

2156.23.043.363.724.064.55.53

2261.13.153.473.844.24.75.85

2366.73.273.6144.456.1

2472.83.423.764.174.615.27-

2579.53.573.944.364.845.566.7

Grfica de la Funcin PosicinEl ajuste de curva que ms se adecua a la grfica posicin vs tiempo es la de una parbola cuya ecuacin es: x (t) = 0.0972t2 + 0.6638t + 0.405Velocidad Instantnea en t=4(0.2 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=4 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=3 y t=5.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.25m/s

Velocidad Instantnea en t=8(0.4 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=8 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=7 y t=9.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.48m/s

Velocidad Instantnea en t=12(0.6 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=12 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=11 y t=13.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks= 0.58 m/s

Velocidad Instantnea en t=16(0.8 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=16 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=15 y t=17.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.73 m/s

Velocidad Instantnea en t=20(1 segundo)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=20 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=19 y t=21.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.86 m/s

Velocidad Instantnea en t=24(1.2 segundos) Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=24 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=23 y t=25.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 1.28 m/s

Aceleracin en un instante (t=16)Luego de hallar las velocidades instantneas, de la misma forma como las hallamos calcularemos la aceleracin en t=16t(ticks)V(t)(cm/ticks)

41.250.2

82.40.15

122.90.18

163.65-

204.30.16

246.40.34

Para hallar la aceleracin instantnea en el punto t=16 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=12 y t=20.Hallamos la semisuma de estos.

Cm /ticks2 = 0.68 m/s2

Grafico x vs t2

La pendiente de la Ecuacin x= 0.1901t2 - 1.963 es 0.190

Aproximadamente a =1.52m/s2TABLA 2: FRECUENCIA 40Hz1Tick = 0.05sTx(T)cm

10.30.530.710.831.0061.171.33

20.70.60.760.881.051.211.37

31.30.60.80.911.081.251.41

41.9-0.850.951.121.291.45

52.70.80.870.971.151.321.48

63.50.80.911.191.361.52

74.40.830.91.021.221.41.56

85.30.85-1.051.261.441.6

96.40.91.11.031.281.471.64

107.50.931.111.311.511.67

118.50.941.0611.381.561.73

129.50.951.05-1.471.631.79

1310.70.971.081.21.561.71.84

1412.21.031.151.351.61.731.88

1513.81.081.211.431.61.761.91

1615.41.121.261.47-1.81.95

17171.161.31.51.61.862

1818.81.21.351.551.71.92.03

1920.71.251.41.61.761.92.06

2022.61.291.441.631.8-2.1

2124.61.331.481.671.8422.13

2226.71.371.521.721.832.052.15

2328.81.411.561.751.912.062.2

24311.451.61.791.952.1-

2533.41.51.651.8322.162.4

2635.71.531.681.872.032.182.35

2738.21.571.731.912.072.222.4

2840.81.621.771.952.112.272.45

2943.41.661.811.992.152.312.48

3046.11.71.852.032.192.352.51

3148.91.741.82.072.232.392.55

3251.71.771.972.112.262.422.58

3354.71.821.972.152.32.462.63

3457.71.862.012.192.352.52.67

3560.81.92.052.232.382.542.7

3663.91.932.092.262.42.582.74

3767.11.972.132.32.462.612.77

3870.42.012.172.342.52.652.81

3973.72.052.22.372.532.682.84

Grfica de la funcin PosicinEl ajuste de curva que ms se adecua a la grfica posicin vs tiempo es la de una parbola cuya ecuacin es x = 0.0972t2 + 0.6638t + 0.405

Velocidad Instantnea en T=4(0.2 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=4 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=3 y t=5.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.14 m/s

Velocidad Instantnea en T=8(0.4 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=8 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=7 y t=9.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.2m/s

Velocidad Instantnea en T=12(0.6 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=12 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=11 y t=13.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.22 m/s

Velocidad Instantnea en T=16(0.8 segundos)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=16 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=15 y t=17.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.32 m/s

Velocidad Instantnea en T=20(1 segundo)Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=20 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=19 y t=21.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.39 m/s

Velocidad Instantnea en T=24(1.2 segundos) Para hallar la velocidad instantnea en el punto t=24 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=23 y t=25.Hallamos la semisuma de estos.

cm/ticks = 0.46 m/s

Aceleracin en un instante (T=16)Luego de hallar las velocidades instantneas, de la misma forma como las hallamos calcularemos la aceleracin en t=16T(ticks)V(t)(cm/ticks)

40.70.075

810.075

121.10.125

161.6-

201.950.0875

242.30.0875

Para hallar la aceleracin instantnea en el punto t=16 determinamos dos puntos consecutivos a este, t=12 y t=20.Hallamos la semisuma de estos.

Cm/ticks2 = 0.425 m/s2

Grafico x vs T2 La pendiente de la Ecuacin x (t)) = 0.0479t2 + 2.4682 es 0.0479

Aproximadamente a =0.3832m/s2

RECOMENDACIONES

Al realizar una medicin siempre colocar en el resultado la incertidumbre ya que por muy exactos que hayamos sido al realizar el proceso nunca debemos descartar la posibilidad de que se haya cometido un error. Mantener el orden en el laboratorio y manejar sus instrumentos con mucho cuidado ya que un impacto o golpe en el instrumento afectara los resultados de las mediciones. Llevar una cmara fotogrfica y una libreta de notas para apuntar los datos presentes en las distintas manifestaciones de los experimentos.

CONCLUSIONES

Cuando calculamos las medidas de las posiciones, velocidades y aceleraciones nos damos cuenta que hay una diferencia con la parte terica.

Si los experimentos seran realizados con rozamiento sera complicado calcular las velocidades y aceleraciones puesto que la fuerza de rozamiento no es uniforme, por eso es que las realizamos con el menor rozamiento posible.

La prctica permiti diferenciar los conceptos frecuentemente confundidos por los estudiantes: velocidad media y velocidad instantnea y aceleracin media y aceleracin instantnea. Al calcular las pendientes estamos obteniendo la mitad de la aceleracin del sistema para cada tramo indicado.

Se puede realizar un Diagrama de Cuerpo Libre para verificar si se la aceleracin obtenida de la prctica coincide o se aproxima a la terica.

BIBLIOGRAFA

1. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN: '" Fisica Universitaria", 2. SERWAY-J "Fsica para Ciencias e Ingeniera" 3. M.ALONSO y E.J.FINN: "Fsica"4. http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad5. http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n

Laboratorio de FsicaPgina 20