Lagrange Restringida
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Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012 1 8 RESUMEN: Optimización con restricciones de igualdad g 1 x 1 , …, x n ( ) = c 1 Optimizar f x 1 , …, x n ( ) sujeto a ! g m x 1 , …, x n ( ) = c m ! " # # $ # # . número de restricciones= ! < ! = número de variables Técnicas de resolución: 1) Método de sustitución. 2) Método de los multiplicadores de Lagrange (1736-1813). 8.1 Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas de la restricción en términos de las otras variables, y sustituir dicha variable en la función objetivo. Este método es difícil de aplicar cuando la restricción es una función complicada, o cuando hay un sistema de ecuaciones para expresar las restricciones.
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Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012
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8 RESUMEN: Optimización con restricciones de igualdad
g1 x1,…,xn( ) = c1
Optimizar f x1,…,xn( ) sujeto a !
gm x1,…,xn( ) = cm
!
"
##
$
##
.
número de restricciones= ! < ! = número de variables
Técnicas de resolución:
1) Método de sustitución.
2) Método de los multiplicadores de Lagrange (1736-1813).
8.1 Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas de la restricción en términos de
las otras variables, y sustituir dicha variable en la función objetivo.
Este método es difícil de aplicar cuando la restricción es una función
complicada, o cuando hay un sistema de ecuaciones para expresar las
restricciones.
Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012
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8.2 Método de los multiplicadores de Lagrange
Condición de regularidad: la matriz jacobiana de g = g1,g2 ,…,gm( ) es
Jg x( ) =
!g1!x1
x( ) !g1!x2
x( ) ! !g1!xn
x( )!g2!x1
x( ) !g2!x2
x( ) ! !g2!xn
x( )! ! " !
!gm!x1
x( ) !gm!x2
x( ) ! !gm!xn
x( )
"
#
$$$$$$$$$
%
&
'''''''''
.
La condición de regularidad consiste en que el rango de la matriz
jacobiana sea igual al número de restricciones m en el óptimo.
Condiciones necesarias de óptimo local
Definimos la función lagrangiana o Lagrangiano:
L x1,…,xn( ) = f x1,…,xn( )! !1(g1 x1,…,xn( )! c1) !…! !m(gm x1,…,xn( )! cm )
Llamamos a !1, !
2,…,!
m multiplicadores de Lagrange:
Condiciones necesarias
!L!xi
= !f!xi
! !1!g1!xi
!…! !m!gm!xi
= 0, (i =1,…,n) .
Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012
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En la práctica
n ecuaciones de las
condiciones necesarias =
Se resuelve el sistema formado por
n m+ ecuaciones con las n m+
incógnitas x1,…,xn ,!1,…,!m{ } . m restricciones
Condiciones suficientes de óptimo para el problema de optimización
restringido:
Condiciones suficientes:
Sea *x un punto crítico del Lagrangiano que cumple las ! restricciones y
sea HL(x) su matriz Hessiana:
1) Si HL( *x ) es definida positiva, entonces *x es un mínimo relativo.
2) Si HL( *x ) es definida negativa, entonces *x es un máximo relativo.
3) Si HL(x) es semidefinida positiva para todo ! ∈ !!, entonces *x es un
mínimo absoluto.
4) Si HL(x) es semidefinida negativa para todo ! ∈ !!, entonces *x es un
máximo absoluto.
Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012
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Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange (dos
variables y una restricción de igualdad)
Sea el problema de optimización restringida
max f x, y( )sujeto a g x, y( ) = c
!"#
$#
Sean la solución x0 (c), y0 (c)( ) con multiplicador de Lagrange !0 (c) y la
función valor óptimo f0 (c) = f x0 (c), y0 (c)( ) . Entonces:
df0dc
c( ) = !0 (c)
Así, el multiplicador de Lagrange !0 (c) es la tasa de variación del valor óptimo de la función objetivo cuando la constante de restricción ! cambia. En particular si !" es un cambio pequeño, entonces
!! ! + !" − !!(!) ≈ !! ! ∙ !" es decir, variando la constante de restricción en !" unidades el valor del óptimo varía en !! ! ∙ !! unidades. Los economistas llama al multiplicador de Lagrange !! ! un precio sombra del recurso.
