Lagu i a Onda Rectangular

7/31/2019 Lagu i a Onda Rectangular

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Captulo 3

Guas de onda y resonadores

3.1. Introduccion

A frecuencias superiores a 3 GHz, la transmision de ondas electromagneticas a lo largo delneas y cables se vuelven mas difciles, principalmente por las perdidas que se presentan enel dielectrico solido (necesario para soportar los conductores) y en los conductores mismos.Para solucionar esto, se pueden transmitir las ondas a traves de un tubo metalico llamadogua de onda [1, 4, 6, 8]. La forma mas comun de estas guas de onda es la rectangular (cortetransversal).

3.2. La gua de onda rectangular

Figura 3.1: (a) Gua de onda rectangular. (b) Condiciones de frontera electrica. (c) ymagnetica

Las corrientes inducidas en las paredes de las guas de onda generan un aumento en lasperdidas de potencia, y para minimizarlas, la resistencia de las paredes de las guas de onda,se debe hacer lo mas pequeno posible.

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3.3. GUIA DE ONDA RECTANGULAR 25

Figura 3.3: (a) Posible configuracion del campo para una gua de onda. (b) Amplitud del

campo electrico a lo largo de la gua. (c) Amplitud del campo electrico a lo ancho de la gua

3.3. Gua de onda rectangular

Ya se ha considerado que la onda de modo superior consiste en dos ondas componentesplanas TEM y luego se aplica la condicion en la frontera de que la componente tangencialdel campo resultante E debe hacerse cero en las paredes perfectamente conductoras de lagua. Este metodo podra extenderse para proporcionar informacion mas completa acercade las ondas en una gua de onda hueca [1, 4, 6, 8].

En este metodo se principia con las ecuaciones de Maxwell y se desarrolla una ecuacionde onda en coordenadas rectangulares. Esta eleccion de coordenadas se hace para que lascondiciones de frontera para la gua rectangular puedan despues aplicarse facilmente. Seintroducen luego las restricciones de variacion armonica respecto al tiempo y una onda queviaja en la direccion x(direccion de la gua). Se hace luego una eleccion del tipo de modo detransmision de orden superior que va a analizarse. Entonces puede considerarse una ondaelectrica transversal (TE) para que Ex = 0 o una onda magnetica transversal para que laHx = 0. Si , por ejemplo, se selecciona el tipo TE se sabe que debe haber una componenteHx, puesto que una onda de modo superior siempre tiene una componente longitudinal delcampo y si Ex es cero significa que Hx debe tener un valor. Se considera entonces con-veniente escribir las componentes del campo restante en terminos de Hx.Luego se obtiene

una solucion de una ecuacion de onda escalar de Hx que satisfaga las condiciones en lafrontera de la gua rectangular. Esta solucion se sustituye en las ecuaciones para las otrascomponentes de campo (Ey, Ez, HyyHz).

Al comenzar con el procedimiento, se tiene las ecuaciones del rotacional de Maxwell encoordenadas rectangulares, el siguiente conjunto de seis ecuaciones escalares [1,4,6,8]:

Hzy

Hyz

Ex Ex

t= 0 (3.1)

Hxz

Hzx

Ey Ey

t= 0 (3.2)


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26 CAPITULO 3. GUIAS DE ONDA Y RESONADORE

Hy

x

Hx

y

Ez Ez

t

= 0 (3.

Ezy

Eyz

+ Hx

t= 0 (3.

Exz

Ezx

+ Hy

t= 0 (3.

Eyx

Exy

+ Hz

t= 0 (3.

exx

+eyy

+ezz

=ev

(3.

hxx

+hyy

+hzz

=mv

(3.

Por las ecuaciones de divergencia de Maxwell en coordenadas rectangulares se tiene para caso de espacio libre de carga ( = 0) las siguientes ecuaciones escalares:

Exx

+Eyy

+Ezz

= 0 (3.

Hxx

+Hyy

+Hzz

= 0 (3.1

Supongase ahora que cualquier componente de campo vara armonicamente tanto con tiempo como la distancia y que ademas puede atenuarse con la distancia. En consecuencilimitando la atencion a ondas que viajan en la direccion positiva de x, se tiene, por ejemplque la componente del campo Ey se expresa por medio de:

Ey = E1 exp(jwt x) (3.1

Donde es la constante de propagacion= +j =constante de atenuacion =constante de fase

Cuando se introduce la restriccion de ?? en las ecuaciones de la 3.1 a la ?? estas se rducen a:

Hzy

Hyz

( +jw) Ex = 0 (3.1

Hxz

+ Hz ( +jw) Ey = 0 (3.1

Hy Hxy

( +jw) Ez = 0 (3.1

Ezy

Eyz

+jwHx = 0 (3.1
http://-/?-http://-/?-


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3.3. GUIA DE ONDA RECTANGULAR 27

Ex

z

+ Ez +jwHy = 0 (3.16)

Ez Exy

+jwHz = 0 (3.17)

Ex +Eyy

+Ezz

= 0 (3.18)

Hx +Hyy

+Hzz

= 0 (3.19)

Las ocho ecuaciones anteriores pueden simplificarse si se introduce una impedancia en serieZ y una admitancia en paralelo Y en forma analoga a una lnea de transmision donde

[1,4,6,8]: Z = jw

m1

(3.20)

Y = +jwm1

(3.21)

sustituyendo estas relaciones en las formulas de la 3.12 a la 3.19 queda:

Hzy

Hyz

Y Ex = 0 (3.22)

Hxz

+ Hz Y Ey = 0 (3.23)

Hy

Hx

y Y Ez = 0 (3.24)

Ezy

Eyz

ZHx = 0 (3.25)

Exz

+ Ez ZHy = 0 (3.26)

Ey Exy

ZHz = 0 (3.27)

Ex +Eyy

+Ezz

= 0 (3.28)

Hx + Hyy

+ Hzz

= 0 (3.29)

Se selecciona el tipo o modo de onda de transmision (de manera que Ex = 0 y Hx = 0), lasecuaciones se reducen entonces a:

Hzy

Hyz

= 0 (3.30)

Hxz

+ Hz Y Ey = 0 (3.31)

Hy Hxy

Y Ez = 0 (3.32)
http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


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28 CAPITULO 3. GUIAS DE ONDA Y RESONADORE

Ez

y

Ey

z

ZHx = 0 (3.3

Ez ZHy = 0 (3.3

Ey zHz = 0 (3.3

Eyy

+Ezz

= 0 (3.3

Hx +Hyy

+Hzz

= 0 (3.3

3.4. Gua de onda cilndrica

La solucion de este procedimiento es similar al usado con la gua de onda rectangular. supone una variacion armonica en el tiempo, paredes perfectamente conductoras y un medinterior sin perdidas( = 0) que no contenga carga ( = 0), y con un radio Ro. [1,4,6,8]Las dos ecuaciones rotacionales de Maxwell conducen a seis ecuaciones escalares y las decuaciones de divergencia de Maxwell llevan a dos ecuaciones escalares. En coordenadacildricas, esas ecuaciones son como sigue:

1

r

Ez

+ E ZHr = 0 (3.3

Er Ezr

ZH = 0 (3.3

Er

+1

rE

1

r

Er

ZHz = 0 (3.4

1

r

Hz

+ H Y Er = 0 (3.4

Hr Hzr

Y E = 0 (3.4

Hr

+1

rH

1

r

Hr

Y Ez = 0 (3.4

Err

+ Er

r+ 1

rE

Ez = 0 (3.4

Hrr

+Hrr

+1

r

H

Hz = 0 (3.4

Donde Z es la impedancia en serie del circuito equivalente Z= jw, m1

Y= admitancia en derivacion o en paralelo = jw,/mE = E1e

z

= + j= constante de propagacion. Estas ocho relaciones son las ecuaciones generalpara el campo de estado estacionario de una onda que viaja en la direccion z, como expresa en coordenadas cilndricas.

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