1

'L’ILLA DEL TRESOR II

PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES

2

La Marta, la Núria, en Jordi i en Ramón continuaven interessats en l’Illa del

Tresor i no paraven d'informar-se i informar-se de la vida als vaixells, els

pirates i tot el que trobaven al voltant del tema.

Encara continuaven interessats d'anar al parc temàtic sobre l’Illa del

Tresor que havien inaugurat a Anglaterra.

Van decidir fer una rifa i vendre butlletes per poder guanyar una mica de

diners.

Després d’uns quants dies l’estat de comptes dels nois era el següent:

Núria Marta Jordi Ramon

Diners

recollits

(en cèntims

d’euro)

150 600 5000 50

Butlletes

venudes

3 12 100 1

Hi ha alguna relació entre el nombre de butlletes venudes i el preu?

Al doble de butlletes, el doble de preu; al triple de butlletes, el triple de

preu.

3

En aquests cas diem que el nombre de butlletes i el preu són magnituds

directament proporcionals.

Diem que dues magnituds són directament proporcionals si en

augmentar-ne o disminuir-ne una ( el doble, el triple...) l’altra també

augmenta o disminueix ( el doble, el triple...)

La relació entre aquestes dades es pot escriure de forma fraccionària.

51

50.......

100

5000

12

600

3

150

Aquest quocient de dues quantitats comparables b

a s’anomena constant

o raó de proporcionalitat.

El quocient és constant i correspon al preu d’una butlleta.

La igualtat entre dues raons s’anomena PROPORCIÓ

d

c

b

a 5

12

600

3

150

En tota proporció d

c

b

a es compleix que: a.d = c.b

Així en la proporció: 12

600

3

150 es compleix 150 . 12 =600 . 3

1800=1800

Aquesta propietat ens permet:

*Esbrinar si dues raons formen o no proporció sense fer la divisió.

5

3 i

4

5,1 no formen proporció perquè: 3 . 4 = 12 5 . 1,5 = 7,5

*Calcular el terme desconegut en una proporció.

Calcula x en la següent proporció:

4

x

2

32

8

Efectuem el producte en creu: 8 . x = 2 . 32

8 . x = 64

x = 8

64= 8

La proporció per tant és: 8

2

32

8

En Ramon va trobar aquesta informació:

“ El cocoter i el cacauer produeixen fruits i una beguda riques en vitamines. Després de la carn feta malbé, l’arròs i la galeta seca de la seva llarga travessia, els mariners somiaven aquestes riqueses naturals que les costes tropicals els oferien profusament”

En el vaixell "La Hispaniola” el cuiner un dia va fer paquetets de galetes per

als mariners afamats i les venia d’aquesta manera: 10 peces de vuit, 2

paquets de galetes. A la setmana següent el cuiner va decidir fer el següent

negoci:

18 peces de vuit, 3 paquets de galetes.

5

El preu de les galetes és proporcional al nombre de paquets?

Aquestes magnituds seran proporcionals si es compleix la igualtat següent:

3

18

2

10 .................no es compleix el producte en creu: 10 . 3 = 2 . 18

30 36 no és igual.

Com que els quocients són diferents o bé els productes en creu també són

diferents les magnituds no són proporcionals.

En Jordi s’interessava molt pel tema de les guerres i batalles entre pirates

i mariners:

6

“Aquest vaixell encallat espera la marea alta: la situació és ideal per als pirates, que prefereixen atacar preses més febles que ells. Un grup nombrós de petites embarcacions podien vèncer un gran vaixell, sempre que aquest estigués immobilitzat”

En un combat naval hi ha 150 pirates i 200 tripulants. Quina és la raó dels

pirates respecte dels tripulants?

En un altre combat naval la raó dels pirates respecte dels tripulants és 6

5.

Què hi ha més pirates o tripulants?

Si sabem que hi ha 100 pirates, quants tripulants hi ha?

En un combat naval la raó pirates/tripulants és: 2/1 . El nombre de

pirates és 150. Calcula el nombre de tripulants i després el nombre total de

persones que intervenen en la lluita.

7

En el seu llibre en Jordi va trobar: “ Enfonsament d’un vaixell mercant per un de pirata: aquest drama apareix ressenyat en un opuscle il·lustrat a Anglaterra sota el títol “ Els pirates de les Antilles” amb el relat de les seves atrocitats, els seus usos i els seus costums”

En Jordi ràpidament va anar a buscar el llibre “Els pirates de les Antilles”

ja que li interessava moltíssim saber més coses sobre els pirates.

8

En un batalla naval la raó dels pirates respecte als tripulants és de 7/6.

Què hi ha més, pirates o tripulants? Si sabem que hi ha 120 pirates, quants

tripulants hi ha?

Quina és la raó entre els nois i noies de la teva classe?

“ Al segle XVIII, la presa ideal per als pirates eren les grans naus mercants que feien la ruta de les Índies Orientals. Les seves enormes bodegues amagaven totes les riqueses d’Orient, i les tripulacions, molt reduïdes per una qüestió d’economia, no estaven gaire preparades per combatre contra els pirates”

En una bodega d’un vaixell mercant hi havia un bagul que pesava: 86Kg i un

altre bagul que pesava 344Kg. Quantes vegades més pesat és un bagul que

l’altre?

En un combat naval el nombre de vaixells pirates és 1,5 vegades més gran

que el nombre de vaixells mercants. Quants vaixells pirates hi ha si el

nombre de vaixells mercants és de 3.

9

Digues si les parelles de raons següents formen proporcions:

5

10

10

4

8

2

32

8

2

5,0

6

5,1

4

5

28

35

8

6

5

4

Calcula x en les següents proporcions:

63

10 x

9

155

x

8

10

4

x

x

15

4

6

Completa els termes que falten per obtenir una sèrie de raons iguals:

1812

5,7

6

5,2

3

Observa la taula següent que mostra el nombre de monedes d’or trobades

en diferents baguls d’una bodega i el pes de l’or trobat a cada bagul(en

grams), i després completa-la sabent que les magnituds són proporcionals i

indica quina és la raó de proporcionalitat.

Bagul 1 Bagul 2 Bagul 3 Bagul 4 Bagul 5

Pes 75 100

Nº

monedes

3 10 1

10

“Lluïsos francesos i escuts espanyols: els pirates tenien predilecció pels cofres plens de

monedes, que eren fàcils i ràpides de posar en circulació als ports comercials i els permetien fer bona vida a terra, jugar, o comprar mercaderies que negociarien en canvi de vi o de licors”

Completa la taula:

Nº ampolles rom Preu total

4

2 1,5 escuts

3

7

A la tornada d’una expedició el cuiner es decideix a fer un pastís de coco.

Completa la taula següent amb les quantitats de coco i sucre necessària per

fer compota de coco sabent que les magnituds han de ser proporcionals:

Kg de coco 8 y 20 100

Kg de sucre x 9 15 z

11

Determina en cada cas si les magnituds que s’indiquen depenen

habitualment l’una de l’altra. Són directament proporcionals? Justifica la

resposta:

- En una persona, l’edat i l’alçada.

- En un país, el nombre d’habitants i el consum de llet.

- El nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.

- El costat d’un quadrat i el seu perímetre.

- El pes de l’arròs d’una paella i el nombre de comensals.

- El nombre de persones d’una família i el pes de totes elles.

En una selecció de personal per fer una expedició naval de 35 entrevistats

en passen 17. I en una altra selecció de 45 entrevistats en són escollits 22.

En quina de les dues ha hagut més èxits?

RESOLUCIÓ de problemes per reducció a la unitat i regla de tres:

Si per fer 2 pastissos de tortuga gegant faig servir 10 ous, quants ous

necessitaré per fer 6 pastissos?

Reducció a la unitat: Proporcionalitat regla de tres:

Un pastís: 2

10

6

x

52

10 ous un pastís 2 . x = 10 . 6

2x= 60

5 . 6= 30 ous dels 6 pastissos. x=30

Calcula quanta quantitat de farina es necessita per fer 10 pastissos de

cacauet si per fer-ne 2 en necessitem 150 grams?

12

Un lladre ha robat coses dels vaixells atracats al port i comença a correr

perquè no l’atrapin. Fa 15 Km en 45 minuts. Si continua a la mateixa

velocitat, quan tardarà a recórrer els pròxims 6 Km? I a completar el

trajecte fins a casa seva que és de 42 Km?

En una bodega propera al port omplen 45 ampolles de rom en 5 minuts,

quant tardaran a omplir 180 ampolles si van al mateix ritme.

Els nostres amics la Núria, en Jordi, en Ramon i la Marta van continuar

pensant en guanyar diners per fer el seu viatge a Anglaterra.

Un dia rellegint el seu llibre :

“ Fins molt de temps després de la seva mort, Kidd va ser un símbol de l’èxit en el bandidatge d’alta mar. Els seus béns van ser venuts ( or, argent, joies, teixits preciosos) i amb una part del producte obtingut es va comprar un dels vaixells on es troba actualment el Museu de la Marina de Greenwich. La imatgeria popular el representa amb una pala, tot enterrant un tresor que molts han buscat debades.”

13

Van decidir fer pins en forma triangular amb el retrat de famosos pirates.

Per això primer els van fer en més gran. Quan els van tenir fets van decidir

guardar-los per l’exposició del dia de Sant Jordi.

14

"Quin va ser el seu rostre veritable, quins van ser els seus mòbils que duien aquests homes, que havien declarat la guerra a la societat, a no arriar bandera? Són preguntes que mai no han rebut una resposta acceptable: la indignació popular era tan viva davant els fets de la pirateria que aquesta sempre va ser mereixedora d'una condemna rotunda, que deixava de banda qualsevol temptativa d'explicació. La literatura popular, en canvi, en va oferir una visió idíl·lica i fantàstica que va acabar d'enfosquir la qüestió. Entre els capitans pirates més cèlebres, Bartholomew Roberts i Edward Teach, anomenat Blackbeard ( a baix , a la dreta), van alimentar nombrosos relats Bartholomew Roberts va ser un navegant honrat durant vint anys. Cap al 1700 , es va passar a la pirateria, que li oferia riqueses i poder. Va ser sens dubte el més gran capità pirata del segle XVIII; va capturar més de 400 vaixells en 4 anys. Va ser mort el 1722, en un combat contra la Royal Navy davant les costes africanes. Blackbeard, mort el 1718, passava per una encarnació del diable, fins i tot per a la seva tripulació, que en temia la crueltat. La barba li cobria el pit i li arribava fins als ulls, reforçant la ferocitat del seu rostre. Per acabar de terroritzar els seus enemics, es fixava metxes enceses al barret i es presentava voltat d'un halo de fum"

Per fer el disseny dels pins primer van agafar un triangle de costats: 5, 6

i 9 cm respectivament i un altre triangle de 10, 12i 18 cm respectivament.

Volem saber si aquests dos triangles són proporcionals?

Costat Costat costat

Triangle 1 10 12 18

Triangle 2 5 6 9

15

I si els triangles són de 7, 8 i 11 cm de costats un d’ells i l’altre de 14, 16, i

22 cm de costats. Són proporcionals aquests dos triangles?

Un cop fet un dels triangles amb el retrat d’un pirata fan una ampliació

amb una fotocopiadora. Si el primer triangle fa 7, 8 i 11 cm de costats i

l’ampliat fa 14, 16 i 22 cm de costats. Són proporcionals els dos triangles?

Si ho són indica quina és la constant de proporcionalitat.

Els quatre nois compren cartolines de colors:

Si 5 cartolines costen 3 euros. Quant costen 4 cartolines?

Decideixen comprar cartolines de tal manera que n'hi hagin 5 de blanques

per cada 3 de colors. Si en total n'hi ha 12 blanques. Quantes n'hi ha de

colors?

Decideixen decorar tot el perímetre de cada triangle amb gomets. Si fan

servir 20 gomets per a un triangle de 20 cm de perímetre. Quants gomets

faran servir per a un triangle de 10 cm de perímetre?.

Els nois proposen a l’IES de pintar la sala d’exposicions perquè es veu

molt bruta i el dia de l’exposició els agradaria que tot quedés molt lluït.

Si les parets tenen una superfície de 60 m2 quants pots de pintura

necessitarà el pintor si sabem que per pintar una habitació de 20 m2 va

gastar dos pots de quilo.

16

Quan els nois estan a casa de la Núria pintant els retrats, la mare de la

Núria els prepara un entrepà de pernil. Si sabem que 150 gr de pernil val 3€.

Quant valdran 500gr. A quin preu va el quilo d’aquest pernil?

Els nois fan 3 retrats en una hora. Quant de temps trigaran a fer 45

retrats?

Aquell dia el pare del Ramon el va venir a buscar abans d’hora amb el

cotxe ja que havien d'anar a veure la iaia d’en Ramon que estava malalta.

Si el cotxe del pare d’en Ramon consumeix 6,2 litres de benzina cada 100

Km, quants litres consumirà en un viatge de 3,2 Km. I de 320Km?

“Als vaixells se servia doble ració de grog amb qualsevol excusa, i hi havia púding en determinades ocasions, per exemple quan el cavaller descobria que era l’aniversari d’un dels mariners; a més, hi havia sempre un barril de pomes obert al costat de la coberta, i tothom era lliure d’agafar-ne quan volia.” "Vaig ficar-me tot sencer dins el barril, i em vaig adonar que gairebé no quedaven pomes"

17

Per fer un púding de pomes de 6 racions es necessiten: 3 ous, 100 gr de

mantega, 120 gr de pomes i 6 de llevat. Quina quantitat es necessita de

cada ingredient per fer-ne un de 8 racions?

Racions Ous Mantega Pomes Llevat

6 3 100 120 6

8 x y z t

La relació de proporcionalitat és aquesta:

tzyx

601201003

8

6

Utilitzem el mètode dels productes creuats:

6x= 3 . 8 6x=24 x=4 ous.

6y=100 . 8 6y=800 y=133 gr

6z= 120 . 8 6z = 960 z=160 gr

6t= 6 . 8 6t =48 t=8 gr

Aquí tenim una recepta de pastís de formatge per a 5 persones i calcula la

quantitat necessària de cada ingredient per fer-ne un per a 12 persones:

sucre : 80gr

farina:30gr

ous :3

llet: 250 cm3

formatge fresc de cabra: 250 gr.

18

REPARTIMENTS PROPORCIONALS

Després d’una llarga travessia per mar 3 mariners es disposen a reparar

desperfectes del vaixell. Cada un d’ells ha invertit 8, 5 i 11 hores

respectivament.

El capità decideix repartir 90 escuts entre tots tres i el problema

consisteix a repartir els guanys d’una manera justa.

1- Reduir a la unitat

En total han estat 24 hores.

Preu d’una hora: 90: 24= 3,75 escuts

Per tant: 8 hores 8 . 3,75 = 30 escuts

5 hores 5 . 3,75 = 18,75 escuts

11 hores 11 . 3,75 = 41,25 escuts

2-Per proporcionalitat

El benefici de cada treballador és proporcional al temps que hi han

treballat.

Benefici x y z x+y+z=90

Temps 8 5 11 8+5+11=24

x, y i z són les incògnites del problema.

Si un treballador hagués fet tota la feina, en 24 hores, haguès cobrat els

90 escuts totals.

24

90

1158

zyx

24

90

8

x x= (90 .8):24=30 escuts per 8 hores

24

90

5

y y= (90 . 5) : 24 = 18,75 escuts per 5 hores

24

90

11

z z= (90 . 11 ) : 24 = 41,25 escuts per 11 hores

19

Uns pirates fan una aposta al pòquer i fan taules, aleshores es reparteixen

2500 lluïsos. Dels dos pirates un ha apostat 250 lluïsos i l’altre 2250 lluïsos.

Reparteix el premi proporcionalment a la quantitat apostada.

Uns pirates es reparteixen 1500 escuts d’un cofre en funció de les hores

que han estat treballant per desenterrar-lo que són 3, 2 i 5 hores

respectivament.

Quants diners corresponen a cada un?

De la mateixa manera que abans uns pirates es reparteixen 6.300 escuts

d’un altre cofre en funció de les hores treballades que són 10, 15 i 20 hores.

Calcula quants diners tocaran a cada un?

Uns pirates inverteixen abans de fer l’expedició 200, 300 i 700 lluïsos per

poder contractar el vaixell i totes les altres despeses. A la tornada tenen

un botí de 75.600 lluïsos. Quants diners s’endurà cada pirata?

Calcula la quantitat d’escuts que s’han repartit 3 pirates i el que ha rebut

cadascun sabent que el repartiment és proporcional als nombres 2, 3 i 5 i

que el tercer ha rebut 198 escuts més que el primer.

20

Calcula quant toca a cada pirata si es reparteixen un botí de 6000 escuts

sabent que el primer juga el doble que el segon i aquest el triple que el

tercer.

PERCENTATGES I PROPORCIONALITAT “ Aquests estranys peixos, ricament guarnits d’escates multicolors, habitants dels mars tropicals, eren ben coneguts pels navegants. La seva quantitat i la seva varietat s’expliquen per la riquesa dels fons, on creixen veritables prats subaquàtics que n’afavoreixen la reproducció i el creixement"

21

“Pentó, tetrodó argentat, diodó: aquestes espècies d’estranys noms van fascinar els savis que , al segle XVII, van anar a estudiar la flora i la fauna de les Antilles. El primer inventari il·lustrat és obra de Charles Plumier, botànic del rei Lluís XIV de França: entre el 1689 i el 1704, va dibuixar, amb una rigorosa exactitud, centenars de làmines”

En una llarga travessia uns mariners pesquen amb una malla 1000 peixos.

Nou de cada 10 peixos és un pentó i el 73% dels peixos són diadós.

Quants peixos són un pentó?

Quin percentatge representen?

Quants peixos són diadós? “Lluïsos francesos i escuts espanyols: els pirates tenien predilecció pels cofres plens de monedes, que eren fàcils i ràpides de posar en circulació als ports comercials i els permetien fer bona vida a terra, jugar, o comprar mercaderies que negociarien en canvi de vi o de licors”

22

Un pirata té un botí de 720 lluïsos i perd en el joc el 85% d’aquesta

quantitat. Quants lluïsos perd?

En un botí pirata d’un cofre ple de monedes de cada 20 monedes 5 són

lluïsos. Quin és el percentatge de lluïsos en aquest botí?

A un cuiner d’un vaixell pirata que acostuma a beure més rom del compte

( els dies que està borratxo no cuina bé) el capità l’imposa una penalització.

-Si s’emborratxa un sol dia, del botí que li correspon tindrà un descompte

del 25%

-Si no s’emborratxa cap dia del botí que li correspon tindrà un increment el

20%.

-Si el botí que li correspon és de 150 lluïsos calcula els diners que tindrà en

tots dos casos.

23

La Marta, la Núria, en Jordi i en Ramon continuen entusiasmats llegint el

llibre de l’Illa del Tresor. Com que també continuen fent activitats per

aconseguir anar al parc temàtic decideixen fer una subhasta d’objectes

fets per ells mateixos ( banderes pirates, reproduccions de vaixells fetes

amb fusta, aquarel·les amb dibuixos de vaixells, etc.)

La llista dels preus és la següent:

Objecte Preu

Bandera pirata negre 6 €

Bandera pirata vermella 10 €

Reproducció de vaixell “Pinque” 30 €

Reproducció de vaixell” Ketch” 40 €

Reproducció de vaixell “Chébec” 50 €

Reproducció de vaixell “ Brigantin” 60 €

Reproducció de vaixell “ Bélandre” 70 €

Reproducció de vaixell “Chat” 75 €

Acuarela “Pinque” 20 €

Acuarela “Ketch” 25 €

Acuarela “Chébec” 30 €

Acuarela “ Brigantin” 35 €

Acuarela “ Bélandre” 40 €

Acuarela “Chat” 45 €

24

Un amic del pare de la Marta que treballa en uns grans magatzems veu el

treball que fan els nois i proposa de comprar-los-hi els objectes.

Si els grans magatzems carreguen sobre el preu de compra un 30%

calcula a quin preu els vendran.

I si carreguen un 25%

Al cap d’un mesos arriben les rebaixes d'hivern i decideixen fer un

descompte del deu per cent sobre el preu que tenien un cop carregat el

30%. Quin preu tenen per a les rebaixes?

I si decideixen fer-ho quan el preu és amb una càrrega del 25%, quin preu

tenen a les rebaixes?

25

En aquests grans magatzems molts productes tenen un increment de l'IVA

que com sabem és un impost. De vegades l' IVA és del 12%, altres del 16% i

altres vegades altres percentatges. Calcula el preu un cop aplicat l’IVA.

Producte IVA

A 12%

B 12%

C 12%

D 12%

E 12%

A 16%

B 16%

C 16%

D 16%

E 16%

A 6%

B 6%

C 6%

D 6%

E 6%

En aquests grans magatzems hi ha un article que primer valia 1200€ i ara

val 840€ i un altre article que abans valia 5000€ i ara val 3750€. Indica quin

dels dos ha patit una rebaixa més gran?

En el supermercat d’aquests grans magatzems hi ha una oferta que diu:

“ Emporti-se’n 3 i pagui’n 2”

Aquesta oferta a quin percentatge de descompte equival?

El preu d’un producte s’incrementa amb un 15% d’IVA. Sabem que 18

unitats d’aquest producte valen, incloent-hi l’IVA 3260 €.Calcula el preu,

amb l’IVA i sense l’IVA de 7 unitats.

26

Calcula quin percentatge s’ha apujat el preu d’una bicicleta que costava

120 € i ara costa 144 €.

Esbrina quina de les dues opcions següents és més avantatjosa per al

comprador.

a) En una botiga fan el 25 % de descompte a qualsevol producte i

després hi apliquen un 16% d’IVA.

b) En una altre botiga primer fan el 16% d’ IVA i després apliquen el

descompte del 25%.