Lamina Nº 2 Construcciones Geometricas i y II

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LENGUAJE GRAFICO CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 3 UNIDAD CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS I TRANSFERENCIA DE UN ANGULO CONSTRUCCIÓN DE UN ANGULO IGUAL A OTRO CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS: CONOCIENDO SUS LADOS CONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDO CONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO NO COMPRENDIDO TRAZADO DE PARALELAS CON COMPÁS Y REGLA SIN GRADUAR DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UN NUMERO DE PARTES IGUALES TRAZADO DE PERPENDICULARES CONSTRUCCIÓN DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO UBICACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS II MEDIDA DE ÁNGULOS MÉTODO DE LA TANGENTE MÉTODO DEL SENO MÉTODO DE LA CUERDA POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS CONSTRUCCIÓN DE HEXÁGONO CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO Y UN OCTOGO CONSTRUCCIÓN DE PENTÁGONO, HEPTÁGONO Y DECÁGONO CONSTRUCCIÓN DE ENEÁGONO POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS CONOCIENDO EL LADO CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS III CAMINO MAS CORTO ENTRE DOS PUNTOS EXTERIORES A UNA RECTA TRAZADO DE TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA RECTAS TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS RECTAS TANGENTES EXTERNAS RECTAS TANGENTES INTERNAS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ARCOS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA ARCOS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS ARCOS TANGENTES EXTERNOS ARCOS TANGENTES INTERNAS ARCOS TANGENTES EXTERNOS E INTERNOS CURVAS EN GOLA O DE CURVATURA OPUESTA ING° WILLIAM QUIROZ GONZÁLES PAGINA N° 1

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LENGUAJE GRAFICO CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

3 UNIDAD

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS I

TRANSFERENCIA DE UN ANGULOCONSTRUCCIÓN DE UN ANGULO IGUAL A OTROCONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS:

CONOCIENDO SUS LADOSCONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO COMPRENDIDOCONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO NO COMPRENDIDO

TRAZADO DE PARALELAS CON COMPÁS Y REGLA SIN GRADUARDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UN NUMERO DE PARTES IGUALESTRAZADO DE PERPENDICULARESCONSTRUCCIÓN DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO UBICACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS II

MEDIDA DE ÁNGULOSMÉTODO DE LA TANGENTE MÉTODO DEL SENOMÉTODO DE LA CUERDA

POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIASCONSTRUCCIÓN DE HEXÁGONO CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO Y UN OCTOGOCONSTRUCCIÓN DE PENTÁGONO, HEPTÁGONO Y DECÁGONOCONSTRUCCIÓN DE ENEÁGONO

POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOSPOLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFERENCIAS DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS CONOCIENDO EL LADO

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS III

CAMINO MAS CORTO ENTRE DOS PUNTOS EXTERIORES A UNA RECTATRAZADO DE TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIARECTAS TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS

RECTAS TANGENTES EXTERNASRECTAS TANGENTES INTERNAS

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTESARCOS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA ARCOS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS

ARCOS TANGENTES EXTERNOSARCOS TANGENTES INTERNASARCOS TANGENTES EXTERNOS E INTERNOS

CURVAS EN GOLA O DE CURVATURA OPUESTA

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INTRODUCCIÓN

La presente unidad tiene por objetivo realizar las construcciones geométricas que servirán al estudiante para conocer la aplicación practica con base matemático, de los diferentes problemas gráficos que se presentan en la vida profesional

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ITRANSFERENCIA DE UN ANGULO:

DATOS: Un ángulo agudo u obtuso cualquiera ABC

INCÓGNITA: Construir otro ángulo igual, utilizando regla sin graduar y compás.

PROCEDIMIENTO :

a) Trazar una línea cualquiera, tal como B'C'.

b) Haciendo centro en B y con una abertura cualquiera del compás, cortar a los lados del ángulo dado en los puntos E y F, respectivamente.

c) Con la misma abertura del compás hacer centro en B' y cortar a B'C' en F'

d) Con radio igual a EF y haciendo centro en F', trazar un arco hasta cortar (intersecar) al arco anterior, en el punto E' Unir los puntos E' y B' encontrando el ángulo A´B´C´

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CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS:

CONOCIENDO LOS TRES LADOS:

DATOS: Conociendo los lados e, f y g de un triángulo EFG.

INCÓGNITA: Construir el triángulo EFG.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento de longitud igual a uno de los lados del triángulo, por ejemplo CB.

b) Con radios iguales a los otros dos lados CA y AB y haciendo centro en C y B respectivamente, trazar arcos hasta que se corten en el punto A y A´

c) Finalmente, unir los puntos A y A’ con los puntos C y B .

CONOCIENDO DOS LADOS Y EL ANGULO NO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS:

DATOS: Conociendo los lados CB, AB y el ángulo de vértice A.

INCÓGNITA: Construir el triángulo ABC.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento que tenga una longitud igual a uno de los lados del triángulo, por ejemplo AB.

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b) En el extremo A del lado AB, se dibuja el ángulo de vértice A , con centro en el extremo B del lado AB y con un radio igual a la longitud del lado CB se traza un arco de circunferencia que interceptará a la recta que parte de A y tenga un ángulo de vértice A

c) Luego se unen los vértices A y B con C, formándose el triangulo ABC

CONOCIENDO DOS LADOS Y UN ANGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS:

DATOS: Conociendo los lados AB, AC y el ángulo A, comprendido entre estos lados.

INCÓGNITA: Construir el triángulo ABC.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazar un segmento de longitud igual a uno de los lados del triángulo, por ejemplo AC.

b) En el extremo A se dibuja el ángulo A y a partir de este, se lleva la longitud del lado AB

c) Se unen los extremos C y B, formándose el triangulo ABC

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TRAZADO DE PARALELAS :

DATOS: Dada una recta AB y un punto S exterior a ella

INCÓGNITA: Trazar una recta paralela por el punto S dado a la recta dada AB.

PROCEDIMIENTO :

a) Tomando un punto cualquiera T, que pertenezca a la recta AB y uniéndola con el punto dado S, nos determina el segmento ST.

b) Con un arco de radio cualquiera y con centro en T cortamos a la recta AB y ST en los punto L y K, respectivamente.

c) Con el mismo radio y tomando como centro al punto S, trazamos un arco hasta cortar a la recta ST en el punto M.

d) Con un arco de radio igual a LK y haciendo centro en M cortar al arco que ejecutamos en el paso anterior en el punto J

e) Uniendo el punto J con S, obtendremos la recta paralela por el punto S a la recta AB.

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DIVISIÓN DE SEGMENTOS EN PARTES IGUALES

DATOS: Dado un segmento de recta EF.

INCÓGNITA: Dividir el segmento dado en un número n = 9, de partes iguales.

PROCEDIMIENTO :

a) Auxiliándonos de una recta m cualquiera que pase por uno de los extremos del segmento dado, por ejemplo F.

b) Con un arco de radio cualquiera, dividir a la recta auxiliar m, en el número de partes que se nos solicita.

c) Unimos el último punto de división en la recta auxiliar m, con el otro extremo del segmento dado E y trazamos paralelas a esta por los otros puntos de división hasta cortar el segmento dado, determinando la división del segmento en un numero de partes iguales.

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TRAZADO DE PERPENDICULARES:

Utilizando únicamente compás y regla sin graduar. Aplicar el principio matemático: "todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de sus extremos”.

DATOS: Dado un segmento de recta AB.

INCÓGNITA: Trazar segmentos de perpendiculares al segmento AB

PROCEDIMIENTO :

Existen varios casos, dentro de ellos tenemos, perpendicular por el punto medio de un segmento de recta, perpendicular por un punto del segmento de recta, perpendicular por un punto exterior del segmento de recta y perpendicular por un punto extremo del segmento de recta

PERPENDICULAR POR EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Con un radio sensiblemente mayor que la mitad del segmento de recta y centro en los extremos trazar dos arcos de circunferencia, los puntos de intersección determinaran la perpendicular por el punto medio del segmento de recta AB.

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PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE UN SEGMENTO

Haciendo centro el punto dado y con un arco de radio cualquiera, determinar dos puntos en el segmento de recta y luego con el mismo radio trazar dos arcos con centros en cada uno de los puntos anteriormente determinados, obteniendo un punto que unido con el punto dado, nos determina la perpendicular

PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR DE UN SEGMENTO

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Con centro el punto dado y con un arco de radio cualquiera, determinar dos puntos en el segmento de recta, con el mismo radio trazar dos arcos de circunferencia y centros en los puntos anteriormente determinados, obteniendo un punto que unido con el punto dado, nos determina la perpendicular

PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTREMO DE UN SEGMENTO

Utilice el principio de construcción del hexágono regular inscrita en una circunferencia

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CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

DATOS: Conociendo la altura AB del triangulo equilátero.

INCÓGNITA: Construir el triangulo equilátero AFE

Conociendo la magnitud de su altura, construir un triángulo equilátero utilizando sólo compás y regla sin graduar. Basarse en los principios matemáticos.

a) "Las alturas de un triángulo equilátero son iguales y se intersecan a 1/3 de la base y a 2/3 del vértice opuesto a ésta".

b) "El punto de intersección de las alturas de un triángulo que es equilátero equidistan de los extremos de los lados del mismo.

c) "Las alturas de todo triángulo son perpendiculares a sus lados respectivos".

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UBICACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

DATOS: circunferencia dibujada sin compás.

INCÓGNITA: Ubicar su centro O.

Apoyarse en los principios matemáticos.

1) "Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recta".

2) "Tres puntos determinan una circunferencia y sólo una".

PROCEDIMIENTO :

a) Conociendo la circunferencia, se traza una cuerda AB y por el extremo B se traza una perpendicular que interseca a la circunferencia en el punto C

b) Unimos éste punto (C) con el punto A, en donde AC es el diámetro de la circunferencia y su punto medio será el centro de la misma.

c) Determinamos otra cuerda tal como DE y operamos como e los pasos anteriores y determinamos el centro O

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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS IIMEDIDA DE ÁNGULOS:

Para determinar la medida de un ángulo, se puede emplear los métodos siguientes:

MÉTODO DE LA TANGENTE:

DATO: Dado el ángulo agudo ABC

INCÓGNITA: Calcular su medida.

PROCEDIMIENTO:

a) Desde el vértice del ángulo A, sobre uno de los lados AC se toma una longitud X = 10-1 unidades en una escala apropiada, longitud preferentemente la unidad o ésta seguida de ceros, determinando un punto F.

b) Por este punto trazamos una perpendicular hasta cortar el otro lado D, generándose un triángulo rectángulo DAF.

c) En este triángulo se cumple la razón trigonométrica:

cateto opuesto tag. A = ─────────

cateto adyacente

DF DF Tg. B = ── = ──

AF X

Pero si X = 10-1 , tag. B = ED

d) Midiendo el segmento perpendicular DF con la misma unidad con que se midió X y buscando a que ángulo pertenece el valor de la tangente DF encontramos en las tablas de las funciones trigonométricas, obtendremos la solución.

En el triángulo rectángulo ADF se cumple:

Tag. A = tag. α = DF/AF

Pero: AF = X = 10-1 entonces:

Tag. α = 10-1 DF

α = Arc. Tag. DF = 47° 43’ 59”

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Ejercicio : Construir el ángulo de 2727'27", empleando el método de la tangente.

MÉTODO DEL SENO :

DATO: Dado el ángulo agudo ABC.

INCÓGNITA: Calcular su medida, por el metodo del seno.

PROCEDIMIENTO:

a) Tomemos un punto en uno de los lados del ángulo que se encuentre a una distancia X = 10-1 del vértice del ángulo (X la unidad o la unidad seguida de ceros). Por este punto trazamos una perpendicular al otro lado hasta cortarlo formándose un triángulo rectángulo AGJ en el cual la hipotenusa tiene el valor de X = 10-1 y el cateto opuesto medido con la misma unidad.

b) Empleando la razón trigonométrica seno, encontramos el valor del ángulo dado en las tablas de funciones trigonométricas:

GJ GJSen. A = ── = ── pero X = 10-1,

AJ X

Sen. A = 10-1GJ, entonces G = Arc. Sen. 10-1GJ

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A = Arc. Sen. 10-1GJ = 47°51’53”

Ejercicio: Aplicando el método del seno, dibujar un ángulo de 3737'37"

MÉTODO DE LA CUERDA:

DATO: Dado el ángulo agudo ABC.

INCÓGNITA: Calcular su medida, por el metodo de la cuerda.

PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio igual a X = 10-1 (X la unidad o la unidad seguida de ceros), trazamos un arco hasta cortar a los lados del ángulo, en los puntos J y K los que nos determina la cuerda JK.

b) Empleando el principio: "La longitud de la cuerda de un ángulo es el doble de la longitud del seno de su arco mitad, en una circunferencia de radio unidad".

JK = 2 sen (BAC/2)

c) Despejando el valor del ángulo BAC

BAC = 2 Arc. Sen (KJ/2)

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Buscando el valor en las tablas de funciones trigonométricas

Angulo BAC = A = 2 Arc. Sen. (KJ/2x10-1) = 53°07’ 48”

Ejercicios:

1) Construir el ángulo de 4141'41", aplicando el método de la cuerda.

2) Construir el triángulo PQR, conociendo que el ángulo Q tiene un valor de 6446' y el ángulo R tiene un valor de 7447' y el perímetro igual a 12 cm.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN CIRCUNFEREN-CIAS

En la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia, se conoce el centro y el radio r de ésta.

CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO:

DATOS : longitud del hexágono conocido L6

INCÓGNITA: Construir el hexágono regular de lado L6

PROCEDIMIENTO:

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Para la construcción del hexágono, basarse en el principio matemático siguiente:

"El radio de la circunferencia circunscrita a un hexágono regular es igual al lado del hexágono".

Ejercicios: Construir un hexágono regular conociendo que su lado tiene un valor de π unidades lineales (cm., m ...., etc.)

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO Y UN OCTÓGONO.

DATO: Conociendo la circunferencia de centro O y radio r.

INCÓGNITA: Trazar el cuadrado y el octágono inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Describir una circunferencia de centro O y radio r.

b) Trazar dos diámetros mutuamente perpendiculares, que corten a la circunferencia en cuatro puntos, los que al unirse nos determinan el cuadrado (PQRS).

c) Determinando las mediatrices de los lados del cuadrado y prolongándolos hasta que corten a la circunferencia que al unirlos nos generará el octógono.

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CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO, DECÁGONO Y HEPTÁGONO:

DATO: Conociendo la circunferencia de centro O y radio r.

INCÓGNITA: Construir (trazar) el pentágono, decágono, y el heptágono inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Ejecutamos una circunferencia de centro O y radio r, trazamos dos diámetros mutuamente perpendiculares.

b) Tomamos uno de los cuatro radios (OC), generados por los diámetros perpendiculares trazados en el paso anterior, y mediante su mediatriz ubicamos el punto medio (G) del radio escogido.

c) Hacemos centro en este punto (G) y con un radio r1 igual al segmento CG, cortamos al radio opuesto al escogido (OB) en el punto H que unido

con el C nos arroja la medida del pentágono (L5). Los segmentos FG y HD nos dan las medidas del heptágono y decágono respectivamente (L7 y L10).

d) Con estos segmentos (L5, L7, L10) dibujamos los polígonos, tomando cualquiera como punto de partida.

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CONSTRUCCIÓN DE UN ENEÁGONO:

DATO: Conociendo la circunferencia de centro O y radio r.

INCÓGNITA: Construir el eneágono regular inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio r = 0.032, trazamos una circunferencia con centro en O y dos diámetros perpendiculares entre sí (AB; CD).

b) Con centro en A y con radio igual a r = 0.032 (AO) trazamos un arco hasta cortar a la circunferencia en el punto S. Por este punto pasar un arco de circunferencia con centro en B y que corte a la prolongación del diámetro CD en el punto X. Haciendo centro en este punto y con un radio igual a XA = XB trazamos un arco que corte al diámetro CD en el punto T. El segmento CT será el lado de un polígono de nueve lados.

d) Utilizando este segmento como cuerda dividimos a la circunferencia en arcos iguales. Al unir los extremos de estos nos determina el eneágono.

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Ejercicio.- Construir un eneágono regular inscrito en una circunferencia, cuyo segmento de rectificación tiene una longitud de 17.77 cm.

CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS :

DATO: Conociendo la circunferencia de centro O y radio r.

INCÓGNITA: Construir un polígono regular de cualquier numero ( n ) de lados inscrito en la circunferencia de centro O.

PROCEDIMIENTO:

a) Trazamos una circunferencia con radio r y centro O en la cual determinamos dos diámetros mutuamente perpendiculares (AC, DE) y dividimos a uno de estos en un número de partes iguales como lados tenga el polígono a construir, haciendo centro en cualquiera de los extremos del diámetro escogido anteriormente y con un radio igual a este trazamos un arco que corte a la prolongación del otro en el punto F.

b) Trazamos una recta que contenga a este punto y al segundo de diámetro dividido (para todos los casos, siempre al segundo a partir de uno de sus extremos) hasta cortar a la circunferencia en el punto B.

c) Con la cuerda que se obtiene al unir este punto y el extremo del diámetro A, dividimos a la circunferencia en arcos iguales. Usando los extremos de estos

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nos determina el polígono que nos solicitan construir.

Ejercicios: Construir un polígono de 21 lados inscrito en una circunferencia de radio conocido (polígono regular).

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN UNA CIRCUNFE-RENCIA, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO:

En la construcción de polígonos regulares, conociendo el valor del lado L.

CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO:

DATOS: Conociendo el valor del lado de un polígono de quince lados (L11)

L11

──o────────o── A K

INCÓGNITA: Construir el polígono regular de 11 lados.

MÉTODO 01 - PROCEDIMIENTO:

a) Con un radio r cualquiera trazamos una circunferencia de centro O en la cual inscribimos un polígono de once lados, el que tendrá por lado L'11 = LN,

b) cualquiera (construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia

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de cualquier número de lados) más la longitud del lado del polígono es dato y

por lo tanto los inscribiremos en el ángulo central LON, teniéndose los puntos A y K extremos del lado del polígono verdadero.

b) Trazamos una circunferencia con centro en O y radio igual al segmento OA, en donde estará inscrito el polígono regular de lado KA.

c) Con una longitud igual a este lado (L11 = KA = 0.03) dividimos a la circunferencia (trazado en el paso anterior) en arcos iguales. Al unir los extremos de estas, adecuadamente, obteniéndose el polígono regular de 11 lados.

CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO DE CUALQUIER NUMERO DE LADOS, CONOCIENDO EL VALOR DEL LADO

DATOS: Conociendo el valor del lado de un polígono de quince lados (L11)

L11

──o────────o── A B

INCÓGNITA: Construir el polígono regular de 11 lados.

MÉTODO 02 – PROCEDIMIENTO

a) Haciendo centro en uno de los extremos del lado y tomando a este como radio,

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trazamos una semicircunferencia que cortará a la prolongación del lado AB en el punto P.

b) Dividimos a esta semicircunferencia en tantas áreas iguales como lados tendrá el polígono a construir enumerándolos de izquierda a derecha.

CAMINO MAS CORTO ENTRE DOS PUNTOS EXTERIORES A UNA RECTA:

Los dos puntos están ubicados a un sólo lado de la recta.

DATOS: La recta JK y los puntos A y B exteriores y ubicados a un sólo lado de esta.

INCÓGNITA: Encontrar el camino más corta que los una, sin tener que cruzar la recta.

PROCEDIMIENTO:

a) Por uno de los puntos dados se traza una perpendicular a la recta dada JK.

b) Sobre esta perpendicular, desde la recta se lleva una longitud igual al segmento BE tal como ED.

c) Se une el punto D con el otro punto A dado encontrándose al intercepto I.

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d) El camino más corto será el determinado por el segmento de recta AIB..

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS IIITRAZADO DE TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA :

PRIMER CASO: Trazar una recta tangente por un punto de la circunferencia

DATOS: La circunferencia de centro O y el punto A que pertenezca a la circunferencia

INCÓGNITA: Trazar la recta tangente a la circunferencia por el punto A

PROCEDIMIENTO :

a) Se une el centro O de la circunferencia con el punto A dado y se dibuja su radio.

b) Por este punto dado A se traza una perpendicular, la cual será la tangente de la circunferencia dada.

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SEGUNDO CASO: Trazar una recta tangente por un punto exterior a la circunferencia.

DATOS: La circunferencia de centro O y el punto B exterior a la circunferencia

INCÓGNITA: Trazar la recta tangente a la circunferencia por el punto exterior B

PROCEDIMIENTO :

a) Se une el punto dado exterior A el centro de la circunferencia O, trazando posteriormente su mediatriz que pasa por el punto M.

b) Haciendo centro en este punto M, trazamos un arco que corte a la circunferencia de centro O, con radio igual a la mitad del segmento OA, en los punto T y T' que son los puntos de tangencia.

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TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS:

Existen cuatro rectas tangente comunes a dos circunferencias dos externas y dos internas

TANGENTES EXTERNAS

DATOS: Las circunferencia de centros O y O1 de radios r = 0.02 y r1 = 0.04 ( r > r1 )

INCÓGNITA: Trazar las rectas tangentes a las circunferencias de centros O y O1

PROCEDIMIENTO.( r > r1 )

a) Conociendo las circunferencias de centros O y O1 y radios r y r1, en donde r > r1 (cuando r = r1, caso particular), haciendo centro en O (centro de la circunferencia de radio mayor) y con un radio igual a r - r1 = 0.02 se traza una circunferencia.

b) A esta circunferencia y por el punto O1 (centro de la circunferencia de radio menor) trazamos las rectas tangentes (dos) [caso: tangente a una circunferencia por un punto exterior] y las perpendiculares a estas por los centros de las circunferencias (O, O1) determinarán en estas los puntos de tangencia de las rectas tangentes externas a la circunferencias dadas.

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TANGENTES INTERNAS O CRUZADAS

DATOS: Las circunferencia de centros O y O’ de radios r y r1 ( r > r1 )

INCÓGNITA: Trazar las rectas tangentes a las circunferencias de centros O y O’

PROCEDIMIENTO.

a) Con un radio (r + r1) y con centro en O1 (centro de la circunferencia de radio menor), dibujamos una circunferencia y por el punto O (centro de la circunferencia de radio mayor) trazamos las tangentes (dos) a la circunferencia de radio (r + r1).

b) Las rectas tangentes comunes interiores serán las paralelas a las líneas anteriores y que pasarán por los puntos de tangencia determinados en las circunferencias dadas por las perpendiculares por sus puntos centros

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CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA

DATOS: Se conocen la recta ST y la circunferencia O de radio r.

INCÓGNITA: Se solicita trazar circunferencias de radio r1 tangentes a la recta y circunferencia propuestas.

PROCEDIMIENTO

a) Por un punto cualquiera J que pertenezca a la recta ST trazamos una perpendicular, sobre la cual llevamos la longitud del radio r1 que debe tener la circunferencia pedidos, segmento JK.

b) Por el punto extremo de este segmento (K) delineamos una paralela a la recta dada.

c) Con un radio igual a la suma de los radios de las circunferencias (dada y la por encontrar) trazamos un arco que corte a la paralela trazada anteriormente determinando los centros de las circunferencias solicitadas: O1 y O2.

ING° WILLIAM QUIROZ GONZÁLES PAGINA N° 31

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LENGUAJE GRAFICO CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

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CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERÁN EXTERNAS:

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DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.03 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.

INCÓGNITA: Trazar los arcos de circunferencia tangentes a las dos circunferencias propuestas, una interna y la otra externa, con radio r = 0.03

a) Se conocen los centros de las circunferencias O1 y O2 y los radios de las mismas r1 = 0.02 y r2 = 0.03 el arco a trazar tendrá radio r .

b) Con radios iguales a r + r1 = 0.05 y r + r2 = 0.06 y con centros en O1 y O2

respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4

que son los centros de los arcos que con un radio r = 0.03 son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.

c) Los puntos de tangencia se determinan, uniendo los centros O1 y O2 con los centros O3 y O4.

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CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERÁN INTERNAS:

DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.07 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.

INCÓGNITA: Trazar los arcos de circunferencia tangentes a las dos circunferencias propuestas, una interna y la otra externa, con radio r = 0.07

a) Se conocen los centros de las circunferencias O1 y O2 y los radios de las mismas r1 = 0.02 y r2 = 0.03 el arco a trazar tendrá radio r .

b) Con radios iguales a r - r1 = 0.05 y r – r2 = 0.04 y con centros en O1 y O2

respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4

que son los centros de los arcos que con un radio r = 0.07 son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.

c) Los puntos de tangencia se determinan, uniendo los centros O1 y O2 con los centros O3 y O4.

ING° WILLIAM QUIROZ GONZÁLES PAGINA N° 35

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LENGUAJE GRAFICO CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A DOS PROPUESTAS.-

LAS CIRCUNFERENCIAS SERÁN UNA INTERNA Y LA OTRA EXTERNA:

DATOS: Conociendo dos circunferencias de centros O1 y O2 de radios r1 = 0.02 y r2 = 0.03 y, el radio r = 0.07 que deben tener las circunferencias tangentes solicitadas.

INCÓGNITA: Trazar los arcos de circunferencia tangentes a las dos circunferencias propuestas, una interna y la otra externa, con radio r = 0.07

a) Se conocen los centros de las circunferencias O1 y O2 y los radios de las mismas r1 = 0.02 y r2 = 0.03 el arco a trazar tendrá radio r .

b) Con radios iguales a r + r1 = 0.09 y r – r2 = 0.04 y con centros en O1 y O2

respectivamente, trazamos arcos que se intersecan en los puntos O3 y O4

que son los centros de los arcos que con un radio r son tangentes a las circunferencias de centros O1 y O2.

c) Los puntos de tangencia se determinan, uniendo los centros O1 y O2 con los centros O3 y O4.

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ARCOS DE DOBLE CURVATURA O CURVAS EN GOLA

DATOS: Conociendo dos rectas cualesquiera AB y CD

INCÓGNITA: Unirlos mediante arcos de doble curvatura, que tenga radio r = 0.02

a) Se traza una paralela a una distancia igual a r = 0.02 a la recta CD, hacia un lado de ésta

b) Se traza recta paralela a una distancia r = 0.02 a la recta AB, en el mismo sentido que se trazo a la recta CD y por el extremo B una perpendicular, que al interceptarse con la mediatriz del segmento EF, se determina el centro del arco que será tangente a la recta AB y haciendo centro en el punto E, con radio r = 0.02 se traza el segundo arco que será tangente a la recta CD

c) Se trazan los arcos, teniendo cuidado los puntos de tangencia de los arcos con las rectas y los arcos

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