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La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos que

equidistan de un punto fijo llamado focoy de una recta fija

llamada directriz.

Punto Foco = Punto Directriz

PF = PD

La parbola tiene un eje de

simetra, cuya interseccin en

La parbola es el vrtice.

|p|

La distancia del vrtice

al foco, tiene como valor |p|.

La distancia de la directriz

a el vrtice is igual a |p|.

LA PARABOLA


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I. Ecuacin Cannica de la Parbola - Vrtice (0, 0)

La ecuacin de la prabola con

vrtice (0, 0)y foco en el eje - x

esy2= 4px.

Las coordenadas del focoes (p, 0).

La ecuacin de la directrizisx= -p.

Sip> 0, la parbola se abre hacia la derecha.Sip< 0, la parbola se abre hacia la izquierda.


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La ecuacin de la parbola con

vrtice (0, 0)y foco en el eje-y

esx2= 4py.

Las coordenadas del foco son (0,p).

La ecuacin de la directrizisy= -p.

Sip> 0, la parbola se abre hacia arriba.

Sip< 0, la parbola se abre hacia abajo.

II. Ecuacin Cannica de la Parbola con Vrtice (0, 0)


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Una parbola tiene como ecuaciny2 = -8x. Hallar las

coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y

grfica de la prabola.

Si tenemos en cuenta la ecuacin cannica, entonces

esta esy2= 4px. El vrticede la parbola es (0, 0).

El focoesten el eje-x.

Por lo tanto, comparamosy2

= 4px cony2

= -8xEntonces, 4p= -8

p= -2.Como p < 0, se abre

Hacia la izquierda, siendo

coordenadas del foco(-2, 0).

La ecuacin de la directriz

esx= -p, si reemplazamos

entonces x = -(-2), por lo

tanto

x= 2.

F(-2, 0)

x= 2

Ejemplo


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Una parbola con vrtice (0, 0) y cuyo focoesten los ejes.

Escribe la ecuacin de dicha parbola.

Si el foco es (-6, 0), la ecuacin de la parbola esy2= 4px.

Pes igual a la distancia del vrtice a el foco, entoncesp= -6.

La ecuacin de la parbola esy2= -24x.

b) La directriz estdefinida porx= 5.

La ecuacin de la directriz esx= -p, reemplazando -p = 5op = -5.

La ecuaci

n de la par

bola esy2

= -20x.

Ejemplos de Ecuaciones de la Parbola con Vrtice (0, 0)

Entonces el foco esten el eje-x, la ecuacin de la parbola esy2= 4px.

c) El foco is (0, 3).

a) El foco es (-6, 0).

Si el foco es (0, 3), la ecuacin de la parbola esx2= 4py.

pes igual a la distancia del vrtice a el foco, entoncesp= 3.

La ecuacin de la parbola esx2

= 12y.


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Sipes positiva, la parbola se abre hacia arriba.

Sipes negativa, la parbola se abre hacia abajo.

Las ecuaciones ordinariaspara las parbolasparalelas al eje-y son:

(x-h)2= 4p(y-k)

Ecuacin Ordinaria de la Parbola con Vrtice (h, k)

(x-h)2= - 4p(y-k) El grfico de la parbola es hacia

abajo.


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Sipes positiva, la parbola se abre hacia la derecha.

Sipes negativa, la parbola se abre hacia la izquierda.

Las ecuaciones ordinariaspara las parbolasparalelas al eje-x son:

(y - k)2= 4p(x - h)

(y -k)2= - 4p(x - h) El grfico de la parbola es hacia

la izquierda.


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EJEMPLO DE ECUACION DE PARBOLA Vrtice (h;k)

Escribe la ecuacin de la parbola con un foco de (3, 5)y

la directrizx= 9, (ecuacin ordinaria y general)

La distancia del foco a la directriz es 6 unidades, entonces por el grficorecordamos que el vrtice se encuentra en la mitad de esta distancia, es

decir a tres unidades, por lo que el vrtice es (6, 5).

(6, 5)

El eje de simetra es paralela al eje-x, y la

Parbola se abre a la izquierda, siendo la

ecuacin: (y-k)2= -4p(x-h) h= 6 yk= 5

Ecuacin ordinaria

y2- 10y+ 25 = -12x+ 72

y2+ 12x- 10y- 47 = 0 Ecuacin general

(y- 5)2= -4(3)(x- 6)

(y- 5)2= -12(x- 6)


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Hallar la ecuacin de la parbola, siendo su vrtice

(-2, 6) y un punto de la prabola P(2, 8).

Luego de ubicar el vrtice y el punto, nos damos cuenta que el eje desimetra es paralelo al eje-y.

El vrtice es (-2, 6),siendo,h= -2 yk= 6.

Sustitumos en la ecuacin respectiva

Para hallarpy Obtenemos lo siguiente:

(x-h)2= 4p(y-k)(2 - (-2))2= 4p(8 - 6)

16 = 8p

2 =p

x= 2 ;y= 8

(x-h)2= 4p(y-k)(x- (-2))2= 4(2)(y- 6)

(x+ 2)2= 8(y- 6) Ecuacin ordinaria x2+ 4x+ 4 = 8y- 48

x2+ 4x+ 8y+ 52 = 0 Ecuacin General de la Parbola

Ejemplo de Ecuacin de una Parbola Vrtice (h; k)


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Hallar las coordenadas del vrtice y el foco de la parbola,

la ecuacin de la directriz, y su grfico respectivo; siendo

Su ecuacin generaly

2

- 8x- 2y- 15 = 0.

y2- 8x- 2y- 15 = 0

y2- 2y+ _____ = 8x+ 15 + _____1 1

(y- 1)2

= 8x+ 16(y- 1)2= 8(x+ 2)

El vrtice es (-2, 1).

El foco es (0, 1).

La ecuacin de la directriz esx= -4.

La parbola se abre hacia la derecha.

4p= 8

p= 2

Ecuacin

Ordinaria

Analizando una Parbola


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Hallar los elementos de la parbola

y2- 10x+ 6y- 11 = 0

9 9y2

+ 6y+ _____ = 10x+ 11 + _____(y+ 3)2= 10x+ 20

(y+ 3)2= 10(x+ 2)

3.6.12

V(-2; -3) 4p = 10

p =2,5

F(0,5 ; -3 )

Directriz x = - 4,5


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Preguntas Sugeridas:

Resolver en la presente clase los

ejercicios de la hoja de aplicacin,

con sus grficos respectivos.

SUERTE.

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