laplace teoremas traslacion
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propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para . constantes. y dx x g dx x f dx x g x f x g x f x g x f dx d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN. Si y es cualquier número real, entonces: ) ( ) ( s F t f £ a ) ( ) ( a s F t f e £ at Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento
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propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para . constantes.
y
dxxgdxxfdxxgxf
xgxfxgxfdx
d
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)()()()(
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.
Si y es cualquier número real, entonces: )()( sFtf£ a
)()( asFtfe£ at
Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento
Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:
Donde significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo s se remplaza por s-a siempre que aparezca.
ass
Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad , tal como se muestra en la figúra 7.11.
a
ass
at tf£tfe£
)()( (I)
USO DEL PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace. 35 te£ t
SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:
45
45
335
)5(6!3
sst£te£
ssss
t
EJEMPLO 2: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace. te£ t 4cos2
SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 5 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:
16)2(
24
4cos4cos 22
22)2(
2
ss
ss
t£te£ss
ss
t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA
TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t
Si y , entonces: )()( tf£sF 0a
)()()( sFeatatf£asu
Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento
En el teorema anterior se puede observar que un múltiplo exponencial de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del segundo teorema se nota que siempre que F(s) se multiplique por una función exponencial , la transformada inversa del producto es la función f desplazada a lo largo del eje t, tal como se muestra en la figura 7.16 (b)
0, ae as
)(sFe as
FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.
Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente:
)()()( atg£eattg£ asu
EJEMPLO 3: Utilizando la forma alternativa del segundo teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.
SOLUCIÓN: Con g(t) = cos t y a = , entonces
fórmula de adición de la función coseno.
tttg cos)cos()(
ss es
st£ett£ u
1cos)(cos 2
)(cos tt£ u
EJERCICIOS PARA LA CARPETA
te£ t10.1
tsene£ t 3.2
)2(.3 tt£ u )(2cos.4 tt£ u
Traslación en el eje s
Traslación en el eje t
