Las barras giran libremente en los nudos, por tanto el ... · PDF filePara un acero Kp cm E kp...

Estructuras articuladas 2D

Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)

El nudo articulado (acero, madera) frente al nudo rígido•Movimientos del nudo en el plano:

•Las barras giran libremente en los nudos, por tanto el giro del nudo no afecta a las barras.

•El nudo se desplaza, este movimiento se descompone en dos direcciones ortogonales, uno en la directriz de la barra y otro en dirección perpendicular a la directriz .

La ley de Hooke

K E

2 6 2

6

** * *

12000 / 2*10 / ( 5 )1000

1 12000 2*10 * 500 0,

*

51000 1000

E A F LF K L L EL A L

Para un acero

Kp cm E kp cm L m

L L

E

cm

σ ξ

σ ξ

ξ

=Δ

= Δ = Δ ⇒ = ⇒

= = ⇒ = ≤

= ⇒Δ = = =

Robert Hooke (1635-1703) Thomas Young (1773-1829)

Fisuración en pilares por tracción


Aparcamiento recinto ferial .I.F.E.M.A. ( parque Juan Carlos I)

Tensiones de compresión


Estructuras no esbeltas: sigue teniendo validez la Ley de Hooke.

Esbeltez “geométrica” = Cociente entre la longitud de una pieza y la menor dimensión de su sección recta. En una probeta de hormigón es la relación entre su altura (30 cm.)y su diámetro (15 cm.)

Para estructuras esbeltas aparece el fenómeno del pandeo.

FA

σ =

E

La probeta de hormigón

medioFA

σ =


Investigando un poco, las cosas no son tan simples:

Se somete una probeta a axil puro, en la sección recta sólo tenemos tensión normal:

Pero si estudiamos un plano inclinado un ángulo α con la sección recta tendremos tensiones. “σα“y “Շα”.

La sección A1 es mayor y la tensión normal ahora es menor y de valor: *cosF FA Aα

σ α= =

F

F

F F

α

α ασα

*cosmedioσ σ α=

2*cos *cos

* * *cos * 22

medio

mediomediosin sin sin

α

α

σ σ α σ αστ σ α σ α α α

= =

= = =

Estas expresiones indican:

1/ la tensión normal máxima se presenta en la sección recta.

2/ La tensión tangencial máxima se da cuando sin2α = 1, es decir, para ángulos de 45º.

La probeta rompe por tensiones tipo “Շ” aunque la solicitación sea axil.

Círculo de Mohr

σmax

maxح

σ

ح

Resolución cerchas isostáticas


Equilibrio gráfico

Estructuras sencillas: ISOSTÁTICAS

Se resuelven utilizando sólo las ecuaciones de equilibrio:* equilibrio del conjunto → reacciones.

** equilibrio de barra → solicitación axil en barras.

Método analítico y mejor el gráfico.

La deformación axil. Alargamiento o acortamiento no influye en el valor de lasolicitación. Las barras se pueden considerar RÍGIDAS longitudinalmente.

La deformación perpendicular a la directriz no afecta al equilibrio del nudo.

En grandes estructuras hay que tener en cuenta estos movimientosAntiguamente se utilizaba del diagrama de Williot.Actualmente se utiliza el método matricial.

Nudo articulado


Puente carril bici y paso peatonal elevado de L = 40m en Av. de los Andes (2006)

*** NUDO ARTICULADO: Se diferencia del nudo rígido en que los extremos de todas las barras que concurren en él giran libremente, se comportan los enlaces como articulacionesperfectas.

Cercha al la española en el aula museo de construcción (E.U.A.T.M.)

Evolución cubiertas


Par y picadero A la molinera Par e hilera ( 7 m.)

Equilibrio gráfico sin tirante

Cubierta a la española (12 m.)

P

Equilibrio gráfico con tirante

Cercha a la española (hasta unos 12 m.)


Cerchas madera (fotos aula museo E.U.A.T.M.)


Formas derivadas (hasta unos 30 m.)


Cercha inglesa Cercha belga

Cercha a la alemana Cercha Swan

Cercha Polonceaucompuesta

Cercha Polonceau

Cubiertas en diente de sierra ( a la americana)


Fijación de un nudo en el plano.

Relación entre barras y nudos en el plano


Condición necesaria pero NO suficiente → puede cumplirse y no ser una estructura

↓es deformable (el error está en la forma → FORMA CRÍTICA)

Clasificación estructuras articuladas planas I


Isostáticas 2n – r = b

Reticulado I

1º/ Simples: las más sencillas, triangulaciones simples.

2º/ Compuestas: dos simples unidas por: una articulación y una barra, o tres barras

2n – r = b

2(6) - 3 = 9 → OK

2n – r = b

2(6) - 4 = 8 → OK

2n – r = b

2(7) - 4 = 10 → OK

BA

4

7 t

3 t

7 t

1

2

3

56

7

8

C

D

E

F

4 m.

1 m.

3 m. 3 m.5 m.

Clasificación estructuras articuladas planas II


Isostáticas 2n – r = b

Reticulado I3º/ Complejas: Por definición las que no son ni simples ni compuestas.

2n – r = b

2(10) - 8 = 12 → OK

2n – r = b

2(6) - 3 = 9 → OK

Normalmente no hay ningún nudo con sólo dos barras por donde poder empezar, el primero en encontrar un método para poder resolverlas fue Henneberg.

Su método también llamado de sustitución de barras, puede aplicarse a la resolución de cualquier estructura isoltática, es por tanto, un método general.

Clasificación estructuras articuladas planas II

1

2

314

5

6

8

9

10

11

12

13

1 ,5 t

1 ,5 t

10 t

0 5 m

A

B JI

F G

EDC 4

7

H

4

4

15

2 t

2 t

2 t

4 t

3 t

3 t

1


Isostáticas 2n – r = b Reticulado II1º/ Reticulado completo: La triangulación de barras está completa.

2n – r = b

2(6) - 4 = 8 → OK

Reticulado incompleto.

(Base fija).

ISOSTÄTICA

2º/ Reticulado incompleto: En determinados casos se pueden sustituir algunas barras de triangulación por un número equivalente de reacciones. El nº de reacciones ha de ser > 3.

2n – r = b

2 (8) - 3 = 13 → OK

Reticulado simple y completo.

ISOSTÁTICA

3º/ Reticulado abundante: Hay más barras de las estrictamente necesarias.

2n –r < b

2(8) -4 =12 <13 → hiper

Reticulado abundante.

Base fija

BA

4

7 t

3 t

7 t

1

2

3

56

7

8

C

D

E

F

Clasificación estructuras articuladas planas III


Sustentación1º/ Isostática:

El número de reacciones coincide con el de ecuaciones de equilibrio: 3 en el planoen general o 6 en el espacio. (LA ÚNICA EXCEPCIÒN ES EL ARCO DE TRES ARTICULACIONES)2n – r = b

2(8) - 3 = 13 → OK

Reticulado simple y completo.

Sustentación: isostática.

ISOSTÁTICA conjunto.

2º/ Base fija:

El número de reacciones es superior a 3 en el plano o 6 en el espacio.

3 m 3 m 3 m

1 t/m

1

0,75 t 0,75 t3,00 t 3,00 t2,00 t 2 3

54 8 9

1,5 m 1,5 m

2,60 m6 7

2n – r = b

2(7) - 6 = 8 < b = 9

Reticulado completo.

Sustentación: base fija

Hiperestática conjunto.

Ejemplos formas planas CRÍTICAS


Isostáticas 2n – r = b ¡Condición necesaria pero NO suficiente!.

CRÍTICAS: Cumplen la fórmula, pero no pueden trabajar sin sufrir una deformación primero. No son verdaderas estructuras. Al analizarlas, nos encontramos que para que exista equilibrio alguna de las barras, o alguna de las reacciones →∞

2n – r = b

2(18) - 6 = 30 → no OK

2n – r = b

2(6) - 3 = 9 → no OK

2n – r = b

2(7) - 4 = 10 → no OK

2n – r = b

2(6) - 3 = 9 → no OK

Pascal demostró que una estructura reticulada con 6 nudos en una cónica, es crítica.

Equivale a dos bielas alineadas.

En este caso la falta de una barra no se puede compensar con una reacción mas.

2 reticulados simples unidos por tres bielas concurrentes.

Estructuras articuladas hiperestáticas e hipostáticas


En caso de no verificarse la fórmula → 2n- r = b → hay dos posibilidades

*Estructuras hiperestáticas:

2n – r < b

Hay exceso de barras → hiperestática interna.

Hay exceso de reacciones → hiperestática externa.

Simultáneamente hay exceso de barras y apoyos → hiperestática interna y externa.

*No se pueden utilizar estas simplificacionesUna biela es equivalente a un apoyo móvil.Dos bielas concurrentes y que no estén en prolongación equivalen a un

apoyo fijo.

** Si el G.H. = 1 → método de los trabajos virtuales o método matricial.

*** Si el G. H. >1 → método matricial.-------------------------------------------------------------------------

**Estructuras hipostáticas:

2n – r > b

Faltan barras → hipostática interna.Faltan reacciones → hipostática externa.Faltan barras y apoyos → hipostática interna y externa.

NO es una estructura válida para edificación, es un mecanismo → No se puede calcular. Su estudio, en cambio, es útil en relación con las estructuras de nudos rígidos para saber el grado de traslacionalidad.

Estructuras HIPERESTÁTICAS: son necesarias:

Ecuaciones de equilibrio.

Ecuaciones de comportamiento del material.

Ecuaciones de compatibilidad deformaciones.

Estructuras Articuladas Hiperestáticas

26Nota: todas las barras A=18 cm E = 2 * 10 kp /cm (200 GPa)

1/ Analizarla y clasificarla.

De la estructura de acero croquizada, de peso propio despreciable, se pide:

2/ Obtener las reacciones ( componentes horizontal y vertical).

4/ Calcular el desplazamiento horizontal del nudo D ( indicando módulo en mm. y sentido).

1t <>10 kN

3/ Obtener las solicitaciones en todas las barras y dibujar a escala los de las barras: 1y 4.

2


Final diciembre 2008

2n –r = b

2(7) -6 = 8 < 9 → hiperestática

Grado hiperestático: 13 -12 =1

Reticulado completo, base fija.

3 m 3 m 3 m

1 t/m

1

0,75 t 0,75 t3,00 t 3,00 t2,00 t 2 3

54 8 9

1,5 m 1,5 m

2,60 m6 7

*No se pueden utilizar estas simplificaciones

Una biela es equivalente a un apoyo móvil.Dos bielas concurrentes y que no estén en prolongación equivalen a un apoyo

fijo.

** Si el G.H. = 1 → método de los trabajos virtuales o método matricial.*** Si el G. H. >1 → método matricial.

Mecanismos


Fallo fórmula entre nudos, barras y reacciones

El peligro de algunos errores en el diseño


A - H y E – F son bielas descargadas ⇒ trabajo axil.

RH = RF = 0.

En el apoyo fijo G la reacción horizontal es nula al no existir fuerzas exteriores horizontales.

Idea feliz

Uno de los errores que deben evitar cometer incluso los ingenieros con experiencia es pasar por alto la labor previa de contar nudos, barras y reacciones en una presunta estructura articulada. Este debe ser un paso previo a su análisis y cálculo.

Mecanismos


R H = P/4

Mecanismos


Mecanismos


R H = P/4 R E = - P/4R G = P

Solución propuesta: Equilibrada en fuerzas y momentos.

Otra solución:

Zona izquierda: Como C-D es también una biela ⇒ Cy = 0 y Cx = -P Zona derecha: E = 0 y entonces por simetría RH =RG = P/2

Equilibrada en fuerzas y momentos.

R H = P/2 R G = P/2 R E = 0

Desde el punto de vista estructural.


2n –r = b

2(8) -6 = 10 > 8 → mecanismo

Grado mecanismo: 10 -8 =2

Reticulado incompleto, base fija.

2n –r = b

2(8) -6 = 10 = b

Se intenta arreglar con dos bielas (en rojo)

Tiene arreglo cuando C no esté unido a B y D con dos bielas en prolongación

RV = P/2 RV = P/2

Pero es CRÍTICA por el error de diseño en B – C – D Reticulado completo, base fija.

Para este estado de carga particular tiene solución.

RH = P/2 RH = P/2

Solución en teoría de 2º orden.


Geometría en la estructura deformada: ,

Despreciando el término:

Equilibrio de fuerzas en el plano: , con “α” muy pequeño,

Imponiendo la ley de Hooke:

Sustituyendo la 2ª ecuación en la cuarta:

Donde se tiene N1 en función de la deformación ” v ” si este puede medirse con precisión.

Sustituyendo en la 3ª ecuación: y

Eliminando “v” en la 3º ecuación, la relación entre P y N1 es:

Finalmente entonces:

2 2 21 1 1( )L L L v+ Δ = + 2 2 2 2

1 1 1 1 12 *L L L L L v+ Δ + Δ = +

22

1 112

vL LL

Δ → Δ =

1 *sin2P N α=

1 11

1 *L N

L E Aξ Δ= =

2 21

1 211 1

*2 * * 2

Nv v EANL L E A L

= → =

3

31

*v EAPL

= 3* Pv L EA=

3

1

**

2

PLP EANL

=

31

**2P E AN

P=

P

No tiene solución en teoría de primer orden

A BC

No se puede descomponer P en las direcciones A - C y B - C

P

A B

C

L

vN1

1 2

1 2

N2

P/2P/2

Si tiene solución estudiando la estructua deformada.

Si tiene solución en teoría de segundo orden.

1

L1 +ΔL1

1 11

* *2P vN N

Lα= =

Compleja y crítica a la vez

1

12

13

15

11

14

2

3

4 5

6

7

8910

1617 18

19 21

20

Apellidos: Nombre: D.N.I.:

Obtener analítica y gráficamente las reacciones.

Obtener las solicitaciones de las barras.

(Este ejercicio puntúa sobre 10)

2 t

2 t

2 t

2 t

2 t

1 t

1 t

3 t

2 m. 2 m. 2 m. 2 m. 2 m. 2 m.

Dpto. "TECNOLOGÍA DE LA EDIFICACIÓN"ESCUELA UNIVERSITARIA DE ARQUITECTURA TÉCNICA

(223) ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN IIExamen extraordinario 12/12/2002



n= 12 b = 21 r= 3

2n –r = b

2(12) - 3 =21 → OK

Reticulado completo

Forma compleja

Sustentación isostática

Aparentemente isostática conjunto.

FORMA CRÍTICA

En una estructura hexagonal no se impide un pequeño movimiento relativo de los diversos nudos cundo los puntos “m”, “n” y “o” están alineados. Esto sucede por el teorema de Pascal, cuando los seis nudos están sobre una cónica.

Imagen del tomo I “Ciencia de la Construcción de Belluzzi.

Ejemplos I estructuras articuladas isostáticas


3 m

3 m 9

4

3

3 t

2,25 m

1 T/m

1

5

876

2 t

4 t

2,25 m2,25 m2,25 m

4 t

2A B

D

C

E

F

G

1 t

1011

12

2 t

H

3 m

2,25 m


n= 8 b = 12 r= 4

2n –r = b

2(8) - 4 =12 → OK

Reticulado incompleto

Forma simple

Base fija

ISOSTÁTICA conjunto.


n = 8 b= 12 r= 4

2n –r = b

2(8) - 4 =12 → OK

Reticulado incompleto

Forma compuesta

Base fija.

Arco de 3 articulaciones

ISOSTÄTICA conjunto.

C122 t 9

2,00 mA

2,00 m2,00 m

81

2 m

B2,00 m 2,00 m

67

3 4

2 t2 m102

2 t

2 t

112 t5

2 t

Articulación virtual

Ejemplos II Estructuras Articuladas Hiperestáticas


0,5 t/m

1

2

314

5

6

8

9

10

11

12

13

1,5 t

1,5 t

10 t

2 m . 2 m . 2 m . 2 m . 1m . 2 m .

0,5 m .

5 m .

1 m .

1 m .

1 m .

A

B JI

F G

EDC 4

7

H

1m .

4 m .

4 m .

15

2 t

2 t

2 t

1 m .

3 t

3 t

3 t

1 m .

5 t

2 t

5 t

4 t

4 m 4 m 4 m

5 t

1

2 3

4

5

67

8 910

3 m

1 ,5 m

1 ,5 m

A

B

C

D

Final septiembre 2006

2n –r < b

2(8) -4 =12 <13 → hiper

Grado hiperestático: 13 -12 = 1

Hiperestático interno

Arco de 3 articulaciones (parte isostático)

Reticulado Abundante.

Base fija

2º parcial 2006

2n –r < b

2(7) -5 = 9 <10 → hiper.

Grado hiperestático:10 - 9 = 1

Reticulado simple y completo

Base fija.

Fijación de un nudo en el espacio.


Fijación de un nudo en el espacio = 6 reacciones.


Apoyos en 3D


Clasificación de las estructuras reticuladas espaciales.


3d en representaciones plana, engaños visuales.


Mecanismo sustentante sistemas reticulados espaciales


Sistemas reticulados espaciales asimilables a placas


Peaje autopista radial 3-5. Madrid (2004)

Estadio O. de la Cartuja en la preparación de la 2ª copa Davis 2004

Dreams Palacio de Hielo 1800 m2 pista patinaje. Madrid (2003)

Graham Bell (1847 – 1922)


Esta figura (1907) muestra lo que fue probablemente la primera estructura espacial prefabricada. Su inventor Graham Bell, la había imaginada para estudios sobre los aparatos voladores

La cometa de Graham Bell

LANIK nudo sistema “SEO”


1/ Esfera. 2/ Tornillo. 3/ Casquillo separador. 4/ Platillo cónico 5/ Tubo

12

34

5

4 5

31

LANIK nudo sistema “ORTZ”


1/ Esfera. 2/ Tornillo. 3/ Casquillo separador . 4/ Platillo cónico 5/ Tubo

5

4 5

31

1

2

3

4

5

Fabricación, control y ensayos


Ensayo destructivo sistema PALC 1 (Arcelor)

ARCELOR sistema PALC



PALC 1

PALC 3

ARCELOR sistema PALC1 y PALC3



Barras

Palc 1

Palc 3

ASTECA nudo sistema “NUCLOS”


Montaje sistema nuclos

Nudo Mero alemania 1942 (Max Mergeringhausen)


Formado por octógonos inscritos en una esfera maciza, en cada uno de los cuales puede roscarse una barra, hasta un máximo de 18 barras.

Mero moderno (Ball Node system KK)

Método gráfico mediante el sistema diédrico.


α2

α1

β1

2D Coordenadas nudos, ángulos y longitudes barras.


Es tema se desarrolla en el capítulo “ El método matricial en estructuras articuladas”.

3D Coordenadas nudos, ángulos y longitudes barras.


Coeficientes de la matriz de equilibrio en 3D.


Cúpulas tipo Schwedler


Cúpular Schwedler

Nudos: 8 x 4 = 32 3n = 96

Reacciones 8 x 3 = 24

96 -24 = 72 barras

Barras:

Anillos: 8 x 3 = 24

Nervios: 8 x 3 = 24

Diagonales: 8 x 3 = 24

Total barras = 72 ISOSTÁTICA

Ejemplos cúpulas tipo Schwedler


Cúpula Schwedler, Steingasometer Berlín 1874


Bauherr war im Jahr 1874 die städtische Gasbehälter-Anstalt. Der Rundbau hat einen Durchmesser von 56 Metern, eine Höhe von 21 Metern ohne Kuppel und eine Gesamthöhe von 27 Metern. Das Speichervolumen betrug 30.000 m³ Gas.

Cúpula Schwedler, Steingasometer Berlín restauración 2006


Der Gasometer von 1874 an der Fichtestraße (Berlín)

Cúpula Schwedler, Steingasometer Berlín restauración 2006


Sección

Der Gasometer von 1874 an der Fichtestraße (Berlín)

Cúpula, Steingasometer Berlín restauración para viviendas


Steingasometer restauración para viviendas 2006


Der Gasometer von 1874 an der Fichtestraße(Berlín)Wohnen auf dem BunkerdachBerliner Architekt plant zwölf Apartments aufdem Gasometer an der Fichtestraße

Sistemas reticulados para superficies esféricas I


Nudos: 6 x 24 = 144 +1 = 145

3n = 435 Reacciones: 24 x 3 = 72

435 -72 = 363 barras

A: 24 x 5 = 120 D: (24 x 2 x 5) + 24 = 264

Total barras = 384

Reticulado tipo Schwedler

Nudos: 6 x 24 = 144 +1 = 145

3n = 435 Reacciones: 24 x 3 = 72

435 -72 = 363 barras

A: 24 x 5 = 120 D: (24 x 2 x 5) + 24 = 264

Total barras = 384

Reticulado en red o Föppl

Cúpula Schwedler en una iglesia de Oakland (California)


Cúpula en red, mercado de ganado en Vitoria (Alava) 1975


ø apoyos = 76 m ø exterior = 82 m

Radio curvatura casquete = 140 m

flecha = 15,5 m. Año: 1975

Una capa en rl centro y doble capa resto

Malla de base triangular


Sistemas reticulados espaciales compuestos por tetraedros y octaedros.

Malla tetraédrica pabellón Fernando Buesa en Vitoria


Sistemas reticulados para superficies esféricas II


Cúpula Geodésica: proyección de un icosaedro regular sobre la esfera que le circunscribe

Detalle de transformación de icosaedro a cúpula geodésica


Richard Buckminster Füller 1895-1983


En 1947 hizo célebres sus cúpulas geodésicas, estructuras de gran ligereza y resistencia, de fácil transporte y capaces de cubrir grandes superficies. En 1967 construyó el pabellón de su país E.E.U.U. en la Exposición Universal de Montréal.

En 1985 se descubrió una nueva forma del carbono (de hecho una familia entera de nuevas formas). El primer miembro de esta familia y el mejor conocido es una forma con estructura esférica, compuesta por 60 átomos de carbono: Esta bola de fórmula C60 se conoce también como "fullereno“,

Sus descubridores obtuvieron el Novel de química en 1985.

Proyecto para cubrir Manhattam 1962

Cúpula del teatro-museo Dalí en Figueres


Elevación y montaje de bóvedas reticulares


Cúpula museo de la infantería

Cúpula pabellón Fernando Buesa

Montaje manual de bóvedas reticulares


Tenso - estructuras


Las barras giran libremente en los nudos, por tanto el ... · PDF filePara un acero Kp cm E kp...

Documents

Transcript of Las barras giran libremente en los nudos, por tanto el ... · PDF filePara un acero Kp cm E kp...