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LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

d(X,F) + d(X,F’) = k

Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.


|d(X,F) – d(X,F’)| = k

Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto, llamado foco, y de una recta llamada directriz.


d(X,F) = d(X,d)

ESTUDIO DE LA ELIPSE

Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Centro de la elipse: O

Semieje mayor: a

Semieje menor: b

Semidistancia focal: c

Focos: F(c,0), F(-c,0)

Vértices: A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b)

Constante: k = 2a, porque d(A,F) + d(A,F’) = k, luego k = 2a

RELACIONES EN LA ELIPSE:

1) a2 = b2 + c2

2) Excentricidad: excc

=a

La excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

El vértice B cumple: d(B,F) + d(B,F’) = k

Como k = 2a y d(B,F) = d(B,F’)

d(B,F) = d(B,F’) = a

a, b y c forman un triángulo rectángulo, luego a2 = b2 + c2

Cuanto más separados están los focos, mayor es la excentricidad y más se aleja la elipse de la circunferencia.

a = 15, c = 4

exc = 4/15 = 0’267

a = 15, c = 9

exc = 9/15 = 0’6

a = 15, c = 12

exc = 12/15 = 0’8

¿Cómo será una elipse de excentricidad cero?

Es una circunferencia

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE:

Ecuación de la elipse centrada en el origen de coordenadas y cuyos ejes son los ejes de coordenadas.

Cualquier punto X(x,y) de la elipse cumple: d(X,F) + d(X,F’) = k

Como k = 2a , d(X,F) + d(X,F’) = k 2 2 2 2, (x c) (y 0) (x c) (y 0) 2a

2 2 2 2(x c) (y 0) (x c) (y 0) 2a, 2 2 2 2 2 2x 2cx c y x 2cx c y 2a,

2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y , 2

2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x 2cx c y x 2cx c y ,

2x 22cx c 2y 2 2 2 2 24a 4a x 2cx c y x 22cx c 2y ,

2 2 2 22cx 4a 4a x 2cx c y 2cx, 2 2 2 24a x 2cx c y 4a 4cx,

Simplificando por 4, 2 2 2 2a x 2cx c y a cx, elevando al cuadrado,

2 2

2 2 2 2a x 2cx c y a cx , 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x ,

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a cx a c a y a 2a cx c x , 2 2 2a x 2a cx 2 2 2 2 4 2a c a y a 2a cx 2 2c x ,

2 2 2 2 2 2 4 2 2a x a c a y a c x , 2 2 2 2 2 2 4 2 2a x c x a y a a c ,

x2 en el 1er miembro y a a2 en el 2º, se obtiene 2 2 2 2 2 2 2 2x a c a y a a c ,

como a2 = b2 + c2, a2 – c2 = b2, luego 2 2 2 2 2 2b x a y a b ,

sacando factor común a

dividiendo por a2b2, se obtiene

2 2 2 2 2 2 b x a y a b , dividiendo por a2b2, se obtiene: 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

b x a y a b,

a b a b a b

2b 2

2 2

x

a b

2

a 2

2

y

a

2

2

a

b

2b2a 2b

, es decir,

x y

a b

2 2

2 21

EJEMPLO 1: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen de focos (2,0) y (-2,0) y constante 6.

La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: 2 2

2 2

x y1

a b

K = 2a, luego 2a = 6, a = 3

a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 9 – 4 = 5

2 2x y1

9 5

EJEMPLO 2: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen, de excentricidad 0’8 y semieje mayor 10. Represéntala.

La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma: 2 2

2 2

x y1

a b

Conocemos a = 10, como exc = , c

a

c

10= 0’8, c = 8; a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 100 – 64,

b2 = 36, b = 6. 2 2x y

1100 36

2 2x y1

100 36 REPRESENTACIÓN DE

1.- Ejes de coordenadas

2.- Centro de la elipse

3.- Semiejes

4.- Vértices de la elipse

5.- Dibujar la elipse

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CON LOS FOCOS EN EL EJE Y:

x y

a b

2 2

2 21

FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y

y x

a b

2 2

2 21

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN DE COORDENADAS

FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y

(x ) (y )

a b

2 2

2 21 (y ) (x )

a b

2 2

2 21

EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente

elipse y represéntala.

2 2y x1

36 16

Centro: O(0,0)

Semiejes: a: 6, b = 4

a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 36 – 16 = 20,

Focos sobre el eje Y

c = 20 = 4’47

Vértices: A(0,6), A’(0,-6), B(4,0), B’(-4,0)

Focos: F(0,4’47), F’(0,-4’47)



22(x 2)

y 14

Centro:

Semiejes: a = 2, b = 1

a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,

Focos sobre el eje X

c = 3 = 1’73

Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)

Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)

C(2,0)

exc = c

a

3

20’866



2 2(x 2) (y 1)1

25 16

Centro:


a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9,

Focos sobre paralelo al eje X

c = 3

Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)

Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)

C(-2,1)

exc = c

a

3

5 0’6

EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la elipse

4x2 + y2 = 4 y represéntala.

Centro:


a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,

Focos sobre el eje Y

c = 3 = 1’73

Vértices: A(0,2), A’(0,-2), B(1,0), B’(-1,0)

Focos: F(0,1’73), F’(0,-1’73)

C(0,0)

exc = c

a

3

20’866

Dividiendo la ecuación por 4 obtenemos: 2

2 yx 1

4

22y

, x 14

EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la

elipse 4x2 + 9y2 – 16x + 36y + 16 = 0 y represéntala.

Si nos fijamos en los términos que contienen x podemos escribir:

(2x – 4)2 = 4x2 – 16x + 16 (3y + 6)2 = 9y2 + 36y + 36

4x2 + 9y2 – 16x + 36y + 16 = (2x – 4)2 + (3y + 6)2 – 36

luego

por tanto la ecuación de la elipse se puede escribir: (2x – 4)2 + (3y + 6)2 – 36 = 0

Si en el primer binomio se extrae factor común a 2 y en el segundo a 3, se obtiene:

[2(x – 2)]2 +[3(y + 2)]2 – 36 = 0,

(2x – 4)2 + (3y + 6)2 = 36

4(x – 2)2 +9(y + 2)2 = 36 dividiendo por 36

2 24(x 2) 9(y 2) 36

36 36 36

2 2(x 2) (y 2)1

9 4

2 2(x 2) (y 2)1

9 4

Centro:


a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5,

Focos sobre un eje paralelo al eje X

c = 5 = 2’24

Vértices: A(5,-2), A’(-1,-2), B(2,0), B’(2,-4)

Focos: F(4’24,-2), F’(-0’24,-2)

C(2,-2)

exc = c

a

5

20’118

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