MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA

LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS

INTEGRANTES

LUÍS PÉREZ C.I. 23547557

WUENDY NAVARRO C.I. 23545854

MIGUEL OLARTE C.I. XXXXXXXXX

DANIEL VIVAS C.I. 25498229

LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias

curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante

una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de

cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

Se ha visto, que un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual

es una sola ecuación que contiene dos variables. Ahora bien, la representación

analítica de una curva utiliza dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramétricas

de la curva.

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una

separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto,

designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica,

estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

x = F (z)

y = F (z)

Es importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una

sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver

en el siguiente ejemplo: (De la Elipse)

Un segmento de recta de 10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos

en los ejes de coordenadas. Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P(x,y)

situado sobre el segmento A B a 4 cm del extremo que se apoya sobre el eje de las x,

como se muestra en la figura:

Ahora bien al solucionar: Observando la figura anterior se tienen las funciones

trigonométricas:

y

A

C

0 xBD

6

4

x

y

P(x,y)φ

φ

cos φ = y sen φ=

Por tanto despejando:

x = 6 cos φ

y = 4 sen φ

Estas son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito, pero deben

ser transformadas para que se puedan identificar, e incluso, para que se pueda

evidenciar que las dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva.

Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:

= cos2 φ

= sen2 φ

Sumando miembro a miembro:

+ = sen2 φ + cos2

Se sabe que: sen2 φ + cos2 φ=1

Sustituyendo se tiene:

+ = 1

Por el resultado obtenido, se observa que el lugar geométrico descrito por P es

una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4.

Este problema implica que toda elipse como la que se acaba de ver con semiejes

a y b, está representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

x = a cos φ ........................................................................................................................ I

y = b sen φ ....................................................................................................................... I’

x

6

y

4

x2

36

y2

16

x2

36

y2

16

x2

36

y2

16

Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:

x = b cos φ ....................................................................................................................... II

y = a sen φ ...................................................................................................................... II’

Ecuaciones Paramétricas de la circunferencia:

Para el caso de una circunferencia de radio a y parámetro φ, también con centro

en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, las ecuaciones paramétricas

de acuerdo a la figura adjunta son:

Considerando a P un punto cualquiera de la curva y a como el radio de la

circunferencia.

De la figura se tiene:

sen φ=

cos φ =

Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:

y = a sen φ ...................................................................................................................... III

x = a cos φ ..................................................................................................................... III’

En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto que

representa el radio de la circunferencia.

y

a

x

a

y

0 xx

yφ

a

P(x,y)

COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas

bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una

distancia, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama

origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje

polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con

este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar

distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un

par ordenado (r, θ) donde res la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre

el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido

antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la

«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada

angular» o «ángulo polar». En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor

de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por

(0,0º).

En consecuencia este sistema consiste en señalar un punto que es el origen de

las coordenadas y a partir de él se señala un segmento de recta horizontal denominado

línea inicial o eje polar, en el cual se marca la escala que se desee, para medir

distancias. Una vez hecho esto, para indicar la posición de un punto cualquiera del

plano, al trazar la recta desde el punto en cuestión hasta el origen del sistema y se mide

el ángulo por el eje polar y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al

origen son las coordenadas polares del punto.

Ahora bien: Para construir los puntos cuyas coordenadas polares son:

A 4, ; B 3, y C 2,

Origen Eje polar

Φ Ángulo polar

x A (distancia, ángulo)Distancia

3π

2

π

4

7π

4

Por lo expuesto, los datos los llevamos a la siguiente figura

Como otro ejercicio tenemos: Al determinar las coordenadas polares de las

vértices de un hexágono regular A, B, C, D, E, y F, tomando como polo al punto 0,

centro del hexágono y como eje polar al rayo OC, según la figura.

Aquí podemos ver: Tomando O C = 1

C(1,0), D(1,π/3), E(1,2π/3), F(1,π), A(1,4π/3) y B(1,5π/3)

3

π/27

π/4

-π/4c

A

x

B

A B

C

DE

F

0 x