Las Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de las Matemát
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL “EL MÁCARO” CENTRO DE ATENCIÓN VALLE DE LA PASCUA EXTENSIÓN UNIVERSITARIA GUÁRICO LAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Autores: Álvarez B, Richard. C.I: 17.741.523
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL “EL MÁCARO”
CENTRO DE ATENCIÓN VALLE DE LA PASCUA
EXTENSIÓN UNIVERSITARIA GUÁRICO
LAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Autores:
Álvarez B, Richard. C.I: 17.741.523
Ramos G, Wilder G. C.I: 19.361.287
Facilitadora:
Lcda. María Anuares.
Valle de la Pascua; Enero 2009
ÍNDICE
PÁG.
Introducción………………………………………………………………………….03
CAPÍTULO
I. Estrategias Metodológicas
a. Conceptualización……………………………………………………05
b. Tipos…………………………………………………………………07
c. Caracterización………………………………………………………08
d. Utilidad en el Aula…………………………………………………...09
II. Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de la Matemática
a. Importancia del Uso de Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de
la Matemática………………………………………………………...11
b. Algunas estrategias metodológicas que se pueden aplicar en la
enseñanza de la Matemática……………………………………...….13
c. Diversas teorías que se ajustan a la Enseñanza de la Matemática…...20
III. El Estudio de la Matemática
a. Importancia…………………………………………………………..28
b. Aplicaciones a la Vida Diaria……………..…………………………30
c. Educación Matemática……………………………………………….33
d. Educación Matemática: Campo de Conocimiento, Área de
Investigación, Disciplina Científica………………………………….35
e. La Perspectiva Paradigmática en el Marco de la Investigación en
Educación Matemática……………………………………………….38
2
INTRODUCCIÓN
Una de las actividades dentro del área educativa de gran importancia, exigencia y
responsabilidad es la relación docente - estrategias metodológicas que se deben
cumplir en todas las instituciones escolares, por ello es necesario que estas sean
revisadas continua y cuidadosamente para lograr un buen rendimiento en el
aprendizaje de los alumnos.
La estrategia es la actividad más agradable con la que cuenta el docente. Desde sus
inicios en el aula hasta la culminación de todas y cada una de sus actividades De allí
que a los niños no debe privárseles de las actividades de integración en el aula de
clases, porque con ellas desarrollan y fortalecen su campo de experiencias, sus
expectativas se mantienen y sus intereses se centran en el aprendizaje significativo.
En los actuales momentos se reconoce la necesidad de revisar estas estrategias
metodológicas para conseguir así que los alumnos se sientan altamente motivados y
comprometidos con su aprendizaje, permitiendo de esta manera que sean capaces de
asumir su responsabilidad con claro conocimiento de su misión como lo es el mejorar
su rendimiento académico durante sus estudios.
Es condición necesaria y urgente, repensar la manera como se trabaja la
matemática dentro de las aulas (González, 1994). Generalmente, esta disciplina es
enseñada descontextualizada de las otras áreas curriculares y sin ninguna relación con
otros ámbitos de la vida real del alumno, por lo cual, en la práctica rutinaria se
enfatiza la resolución de problemas en forma mecánica y repetitiva sin favorecer la
producción de conocimiento. El proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática
queda reducido a la mera aplicación de fórmulas sin sentido para el estudiante.
De acuerdo a lo antes expuesto, la problemática de la enseñanza y el aprendizaje
de la matemática, pareciera que radica principalmente en la aplicación de estrategias
metodológicas efectivas, en consecuencia el docente debe innovar en esta materia,
para ello requerirá de una profunda reflexión sobre lo que hace y la forma como lo
hace.
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En este sentido, la presente monografía observa de manera puntual lo referente a
las Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de las Matemáticas, con el propósito
de analizar de manera crítica y constructiva todo lo pertinente al tema para de este
modo contribuir con la calidad de la enseñanza y el aprendizaje en los alumnos.
Para lograr esto, se pretende a través de la investigación documental identificar
con el manejo de mensajes registrados en la forma de manuscritos e impresos, la
información; que se revisará de forma puntual en un conjunto de material
bibliográfico, el cual será sometido a interpretación y análisis profundo para así
determinar la relevancia de las estrategias metodológicas en la enseñanza de las
matemáticas. Con esta forma de investigación se plantea describir las siguientes
partes: Capitulo I, Estrategias Metodológicas, donde se destaca la conceptualización,
los tipos, la caracterización y su utilidad en el aula; Capitulo II, trata sobre las
Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de la Matemática, su importancia,
estrategias que se aplican en la enseñanza y las teorías que se ajustan a la enseñanza;
mientras que en el Capítulo III se profundiza sobre el Estudio de la Matemática,
resaltando su importancia y las aplicaciones en la vida diaria, así como también habla
de la importancia de la Educación Matemática, la educación Matemática como
Campo de Conocimiento, Área de Investigación y Disciplina Científica; y la
Perspectiva Paradigmática en el Marco de la Investigación en Educación Matemática,
buscando con ello abarcar en el estudio de la matemática su proyección como línea de
investigación.
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CAPÍTULO I
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Conceptualización
Conjunto de actividades utilizadas para el desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje (Serrano, 2005). El estudio sobre estrategias cognitivas ante diversas
situaciones de aprendizaje viene ocupando un indudable protagonismo en la
investigación pedagógica durante los últimos veinte años. En el campo educativo, la
instrucción de estrategias de aprendizaje no sólo se considera compatible con el
paradigma constructivista del aprendizaje Coll, (1997), sino que su inclusión en el
currículo se ha concebido como un medio imprescindible para que los alumnos
“aprendan a aprender” durante el desarrollo de la educación obligatoria. Sin embargo,
no parece existir un acuerdo tan claro en cuanto al modo de integrar este tipo de
enseñanza en el currículo, ni aún siquiera sobre el mismo concepto de estrategia.
En algunos de estos trabajos, el concepto de estrategia se vincula al de
“procedimiento incluso al de “técnica de aprendizaje”. En cualquier caso, se enfatiza
que las estrategias constituyen conjuntos de operaciones mentales manipulables; es
decir, “secuencias integradas de procedimientos o actividades que se eligen con el
propósito de facilitar la adquisición, almacenamiento o utilización de la información”
Pozo (1999); “la secuencia de procedimientos que se aplican para lograr aprender”
Coll (1997); “las actividades u operaciones mentales seleccionadas por un sujeto para
facilitar la adquisición del conocimiento” Beltrán (1998 ). Por otro lado, este carácter
propositivo e intencional, dotado de un cierto nivel de conciencia metacognitiva,
convierten el concepto de estrategia en algo más que un mero “producto” del
comportamiento metacognitivo.
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En definitiva, parece haber una coincidencia en enfatizar la imbricación del
concepto de estrategia con la “serialidad” del pensamiento, al mismo tiempo que con
su capacidad de autorregulación más o menos conciente. Podríamos decir, en
consecuencia, que una estrategia se caracteriza, no sólo por la representación
detallada de una secuencia de acciones, sino también por una particular cualidad de
dichas acciones.
La estrategia cognitiva está indisolublemente asociada al terreno de lo
procedimental y, por lo tanto, se caracteriza por su naturaleza serial y secuencial. En
nuestra opinión, sin embargo, la clásica acepción sustantiva de la estrategia como un
conjunto de actividades dirigidas hacia un fin resulta redundante con el mismo
concepto de procedimiento. Una estrategia es más bien un tipo particular de
procedimiento Coll, (1997). Así, un procedimiento puede ser ejecutado de forma
“ciega” o incluso conectando unas acciones con otras de modo arbitrario o, por el
contrario, de forma autorregulada, adaptando dichas acciones a las condiciones que
presenta cada tarea, en cada momento del proceso de ejecución.
Las estrategias tienen una función de mediación y regulación de los procesos
cognitivos. Parece aceptado que este modo de actuar es de vital importancia para el
funcionamiento de los diferentes procesos cognitivos y de aprendizaje. He aquí
entonces un elemento fundamental el logro de la investigación, pues el docente debe
estar bien informado acerca de las estrategias que utiliza y puede utilizar, según sea el
caso o el momento más adecuado para su ejecución
Las estrategias metodológicas son secuencias integradas de procedimientos que se
eligen con un determinado propósito. Se conciben como las acciones, instrumentos,
técnicas, procedimientos y actividades que se planifican para operacionalizar y llevar
a efecto la ejecución de los programas de las asignaturas. Estas permiten identificar
principios, criterios y procedimientos que configuran la forma de actuar del docente
en relación con la programación, implementación y evaluación del proceso de
enseñanza aprendizaje.
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Por ello, se conceptúan, en general, como el conjunto de procedimientos que
marcan el desarrollo de actividades y hacen posible el aprendizaje significativo de la
niñez o, específicamente, el desarrollo de sus competencias.
Tipos
Las estrategias de acuerdo con la utilidad que se le da se puede establecer en dos
grupos de estrategias cognitivas íntimamente relacionados de concordancia con lo
desarrollado por Schemeck, (1998):
1. Estrategias básicas, constituidas por un conjunto de acciones mentales de adquisición y transformación mental de la información. Estas estrategias son susceptibles de aplicarse ante cualquier tarea cuyo objeto sea optimizar la capacidad de atención, representación, categorización, razonamiento o el control metacognitivo del sujeto.2. Estrategias específicas, que, aún compartiendo los mismos objetivos y acciones cognitivas de las anteriores, poseen un mayor grado de especialización respecto a los conocimientos previos de los que se vale, así como de los contenidos y tareas concretas sobre los que se aplica. No se trata de procedimientos esencialmente distintos, sino de diferentes niveles de análisis de las operaciones mentales que se realizan en función de la especialización de la tarea. La máxima especialización se adquiriría al desarrollar un aprendizaje técnico donde se incorporan y automatizan habilidades e instrumentos con objetivos más específicos. (p.58)
En resumen, podemos afirmar que todo docente debe tener claro la utilidad de las
estrategias y el momento exacto para su aplicación en el desarrollo del proceso
enseñanza – aprendizaje, manteniendo así un desarrollo armónico de todos aquellos
elementos que surjan durante la etapa de evolución cognitiva de los estudiantes.
Las Estrategias Metodológicas se pueden identificar en tres tipos, lo cuales son:
presentación, interacción y trabajo personal.
- Presentación: En la cual el protagonista es el docente, unidireccional es decir la
comunicación tiene una dirección de activa (docente) a pasiva (alumnos). En ella
encontramos actividades de enseñanza - aprendizaje como pueden ser las
exposiciones orales, las demostraciones, las proyecciones/observación de material
audiovisual, las conferencias y otras. Requiere de algunas condiciones como: un
total dominio de contenidos, el uso de un vocabulario amplio, el manejo de
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vocabulario propio de la asignatura, una capacidad de expresión corporal, un
dominio grupal, uso eficaz del tiempo y el manejo apropiado de recursos
didácticos.
- Interacción: En este momento de la clase se da la comunicación en múltiples
direcciones por ello decimos que es pluridireccional, todos en la clase tienen
responsabilidades de producción, organización o sistematización. Dentro de las
actividades de enseñanza y aprendizaje encontramos: trabajos de campo, lecturas
dirigidas, trabajos grupales, resolución de ejercicios, elaboración de conclusiones,
dinámicas grupales, dramatizaciones y otras. Las condiciones necesarias para la
interacción están dadas por: dominio de grupo, claridad en el objetivo de la
actividad, competencia en la técnica de la pregunta y el manejo de respuestas,
total dominio del tema o contenido, uso eficaz del tiempo.
- Trabajo Personal: Decimos que es unipersonal, ya que es el momento en que
cada estudiante como individuo se enfrenta a situaciones en la cual debe poner
todo su empeño y proceso mental en el desarrollo de la misma. Algunas de las
actividades de enseñanza y aprendizaje para el trabajo personal son: lectura
silenciosa, resolución de ejercicios, ejecuciones demostrativas, consultas
bibliográficas, exámenes o evaluaciones. En el trabajo personal el estudiante tiene
la oportunidad de: demostrar lo aprendido, y requiere de pautas sólidas como:
Claridad en el objetivo de la actividad, claridad en las pautas de evaluación
(indicadores de logro).
Caracterización
Las estrategias según sea su intención así como del modelo educativo pueden ser
estrategias de enseñanza y estrategias de aprendizaje, aunque simultáneamente están
en cualquier actividad de aula. Las estrategias de enseñanza son procedimientos que
el docente utiliza en forma reflexiva y flexible para promover aprendizajes en los
estudiantes, son medios o recursos para prestar la ayuda pedagógica.
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Las estrategias de aprendizaje son actividades u operaciones mentales empleadas
para facilitar la adquisición de conocimiento. Son procesos de toma de decisiones
(conscientes e intencionales) en los cuales el alumno elige y recupera, de manera
coordinada, los conocimientos que necesita para complementar una determinada
demanda u objetivo, dependiendo de las características de la situación educativa en
que se produce la acción.
La naturaleza de las estrategias se puede identificar con un cierto plan de acción
que facilita el aprendizaje del estudiante y tiene, un carácter intencional y propósito.
Las clasificaciones de las estrategias son muchas, aunque casi todas incluyen, al
menos estos tres grupos: estrategias de apoyo, estrategias cognitivas y estrategias
metacognitivas.
Las estrategias metodológicas diseñadas para los procesos de enseñanza y
aprendizaje producen cambios en los esquemas mentales y en las estructuras
cognitivas de los aprendices, que se concretan en:
Información verbal, conceptos.
Estrategias cognitivas.
Procedimientos.
Habilidades motrices.
Actitudes.
Valores.
Normas.
Utilidad en el Aula
Se entienden por estrategias de aula el conjunto de estrategias educativas,
métodos, quehaceres, etc., que utiliza el maestro diariamente en el aula para explicar,
hacer comprender, motivar, estimular, mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje,
etc.
Toda actividad de aula debe estar organizada y estructurada en función de las
estrategias metodológicas y ellas serán las que debidamente llevadas a la práctica
permitirán un trabajo basado en procesos de pensamiento. En toda actividad de clase
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se deben estructurar estrategias metodológicas que permitan la participación del
docente, del grupo de estudiantes y del estudiante como individuo, en ellas se podrán
evidenciar, las conductas que demuestran la ocurrencia de algún tipo de aprendizaje y
que deben estar respaldadas por todo un proceso de actividad constructiva.
Además determinan la aplicación de una serie de procesos y operaciones
cognitivas, que finaliza en la elaboración de determinados tipos de representaciones:
Esquemas y Significados sobre los contenidos curriculares.
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CAPÍTULO II
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA
Al abordar las estrategias metodológicas, se hace referencia a las herramientas que
se emplean el proceso del pensar y el aprender. Todo maestro en sus actos cotidianos
lleva la noble y firme intención de lograr aprendizajes duraderos en sus estudiantes.
¿Cómo lograrlo? Son múltiples los elementos a tener presente. Considero de vital
importancia que el estudiante conozca a manera global lo que se le pretende enseñar y
lo que se espera, que él aprenda.
Este proceso de enseñanza-aprendizaje debe estar mediado por el lenguaje natural
o de dominio de los estudiantes y conectado en forma paulatina con el lenguaje
matemático. Ello implica por parte del maestro un claro conocimiento y dominio de
lo que quiere enseñar para que pueda orientar este aprendizaje en forma gradual,
teniendo en cuenta que los estudiantes (inclusive los adultos) cruzan por una etapa
concreta en la cual requiere manipular, graficar hasta abordar el nivel simbólico.
Implementar entonces el lenguaje como herramienta transversal en la construcción
de conocimiento matemático, mediado por el afecto, hará de la enseñanza de ésta área
una tarea más humana y accesible.
Importancia del Uso de Estrategias Metodológicas en la Enseñanza de la
Matemática.
En toda acción educativa para el desarrollo cognitivo de los educandos, los
profesores tienen que hacer uso de las estrategias metodológicas y si verdaderamente
se quiere que los niños desarrollen sus habilidades, destrezas, técnicas que selecciona
con mucha responsabilidad la estrategia metodológica adecuada que permita en el
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menor tiempo, y con el menor esfuerzo alcanzar los objetivos previstos, por ello es
fundamental que el profesor sea un experto en la aplicación de las estrategias
metodológicas y sobre todo en el área lógico matemática, ya que muchos niños tienen
aversión a está área, tan elemental en la formación.
A la hora de enseñar la Matemática trae consigo, estas breves reflexiones tienen
dos consecuencias importantes en relación con la Enseñanza de la Matemática si se
quiere que los alumnos las aprendan:
Es necesario dedicar espacio y tiempo para experimentar, para manipular y
para observar, siempre que a través de estas actividades se promueva el
planteamiento de preguntas y la génesis de ideas para responderlas. No tiene
sentido enseñar matemática haciendo leer el libro de texto; hay que poner en
práctica la matemática en el día a día.
No hay que pensar que únicamente observando ya se aprenden las ideas de la
ciencia actual. Las experiencias escolares deben caracterizarse por poner en
evidencia diferentes observaciones de un mismo fenómeno y la diversidad de
manera de explicarlos. Que los estilos científicos de explicar sean apropiados
es algo que provendrá más de interacciones socioculturales generadas al
constatar y contrastar esta diversidad que directamente de la experimentación.
Otro factor importante a la hora de aprender matemáticas son las estrategias de
razonamiento características del sistema cognitivo de las personas.
Uno de los tipos de razonamiento más utilizados en la causalidad. Tendremos a
relacionar dos variables o dos ideas otorgando, a una, el valor de causa, y a la otra, el
valor de efecto. Por ejemplo, algunos alumnos relacionan el sabor dulce de azúcar
con la posibilidad de que sus átomos tendrán este sabor.
Paralelamente, hay estrategias de razonamiento que son diferentes entre una
manera de procesar la información lógico – analítica y otra analógico – intuitiva.
La matemática es principalmente un proceso de pensamiento que implica la
construcción y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente.
Estas ideas, por lo general, surgen de la necesidad de resolver problemas en la
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ciencia, la tecnología y la vida cotidiana que van desde cómo modelar ciertos
aspectos de un problema científico complejo hasta cómo hacer el balance de un
talonario de cheques.
Algunas Estrategias Metodológicas que se pueden aplicar en la Enseñanza de la
Matemática
El docente debe preparar su objetivo de matemática de modo que pueda captar la
atención de los estudiantes, planteándose estrategias didácticas que sirvan de agente
motivador en el aprendizaje de la materia haciendo uso de actividades lúdicas para
presentarlas a los estudiantes. Para Chacón, C. (2000), estas son definidas como:
Un resultado de la teoría que por su naturaleza causa algún tipo de admiración y asombro en algunos casos, porque nota cierta “belleza estética” en otros por lo sorprendente del resultado, y en otros, simplemente porque resulta entretenido verificar la veracidad de la afirmación. (p. 66).
Desde esta perspectiva se evidencia que el motivo que capta la atención de una
proposición matemática que se catalogan como una actividad lúdica, es el hecho de
que contiene alguno de los rasgos propios de los juegos de entretenimiento, dado que
su observación implica enfrentarse de manera voluntaria y libre a una experiencia de
aprendizaje, presenta situaciones de reto al ingenio personal generando cierto nivel de
tensión e incertidumbre, pero sobre todo causa en los alumnos, placer. Para ello se
requiere por parte de éstos, de destreza mental para su solución, de establecer
estrategias para atacar el problema de un nivel de atención y de razonamiento propio
de la mayoría de los juegos.
Se puede destacar que, para muchos la matemática es mortalmente aburrida, nada
tiene que ver con el juego. En cambio, para la mayoría de los matemáticos, la
matemática nunca deja de ser totalmente un juego, bien escogidas y adaptadas a
situaciones de aprendizaje bien planificadas, las actividades lúdicas pueden
desempeñar un papel importante en el desarrollo cognitivo de los estudiantes;
considerando desde relaciones numéricas simples hasta ejercicios propios olimpiadas
matemáticas.
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Tomando en cuenta que, tradicionalmente, gran parte de los estudiantes sienten
aptitudes de apatía hacia la matemática. Se ha escrito mucho acerca de las causas que
llevan a esa desmotivación pero hasta qué punto la actitud del profesor es un
componente que ayuda a motivar o desmotivar al estudiante.
Para lograrlo, el profesor de matemática debe poseer un amplio conocimiento de
resultados con el fin de que los pueda clasificar en orden de dificultad para poder
presentarlo a los estudiantes de forma adecuada. Esto implica que su formación no
puede ser solamente en la parte instruccional formal de la matemática sino que debe
poseer una serie de conocimientos adicionales en aspectos técnicos y teóricos que le
permita establecer las estrategias de aprendizaje adecuadas.
La actividad en el niño debe contribuir a cambiar su mundo exterior, y esto a su
vez es condición necesaria para su propia autotransformación, debemos tener en
cuenta que toda actividad tiene la intención de transformar y ejercer su influencia en
el interior del individuo, a continuación se presenta algunas técnicas propuestas para
los docentes en la enseñanza de la matemática.
La Comunicación Directa para Lester (1990) la comunicación directa “es un
método que consiste en incorporar en el alumno nuevas informaciones y aplicar las
conocidas por los alumnos para su comprensión, mediante la exposición o el uso del
material individual”. (p. 35). La comunicación directa se puede decir que es el trato
que el docente tiene con su alumno para transmitir conocimientos de una forma
directa e individual.
En la comunicación directa se puede poner en práctica la explicación dialógica:
consiste en el desarrollo sistemático y organizado de una serie de preguntas y
respuestas que tanto el profesor como los alumnos, deben ir formulando en torno a un
asunto o tema de estudio. Esta actividad debe ser motivadora del dialogo y la
construcción colectiva de los conocimientos mediante la participación activa de los
alumnos, durante los cinco momentos de la secuencia de la actividad. Debe estar
orientada al mejoramiento de los niveles de socialización y comunicación horizontal
y democrática, así como hacia la práctica de la actitud crítica, razón por la cual debe
desarrollarse en forma dinámica y utilizando un lenguaje claro y sencillo.
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Comunicación Grupal: La comunicación grupal para Lester (1990) “Consiste en
organizar a los alumnos en pequeños grupos para permitir una mejor comunicación,
participación e intercambio de ideas y opiniones ante un tema planteado”. (p. 36) La
comunicación grupal se va a dar siempre entre dos o más alumnos donde va a fluir el
proceso de la comunicación entre todos los participantes.
Entre las técnicas se recomienda el torbellino de ideas, la discusión en pequeños
grupos, la dramatización y el debate dirigido. La técnica del torbellino de ideas
consiste en el intercambio de opiniones sobre un tema por un grupo de alumnos,
donde no se critiquen las opiniones expresadas. Esta técnica se recomienda para
aportar soluciones a un problema, estimular la creatividad e imaginación.
La dramatización es una técnica donde dos o más alumnos escenifican una
situación de la vida real, que puede surgir después de una clase expositiva,
narraciones de cuentos, observaciones y excursiones. Dicha escenificación tiene
como finalidad que el grupo comprenda, analice y discuta mejor una actividad, un
tema o una situación concreta.
Una vez finalizada la dramatización, se procede a la discusión y análisis de la
representación, primero por parte de los actores y luego por el resto del grupo.
La Historieta: para Coll (1997) “Son historias donde predomina la acción,
contadas en una secuencia de imágenes y con un repertorio específico de signos”. (p.
20). En la historieta siempre va a prevalecer un conjunto de series o secuencias
gráficas con finalidad narrativa. Es una forma narrativa, cuya estructura no consta
sólo de un sistema, sino de dos: lenguaje e imagen. La función de la imagen es, más
que ilustraba, por cuanto la acción es sustentada por palabra e imagen; de allí que en
ambos sistemas se necesiten mutuamente.
El tipo de lenguaje predominante en las historietas de estilo directo. Este posee una
inmediatez desconocida en los textos, no necesita ser precedido por frases
introductoras tales como: Dijo. Preguntó. La identificación del que habla y la
caracterización de lo que él dice, en estilo directo, se logra a través de un medio
gráfico: el globo que aparece sobre la cabeza de quien utiliza la palabra.
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Para dar a conocer la opinión o la intención de los personajes, se presentan el
monólogo interior, el mismo se encuentra inscrito dentro de un globo que tiene
pequeños círculos en la parte inferior.
El Periódico Mural: Para Coll (1997) “Es una técnica que consiste en la
presentación de un pliego mural con figuras alusivas a un tema determinado en
clase”. (p. 23). Con respecto a la definición anterior el periódico mural viene a se un
medio impreso realizado con pintura u otra técnica sobre un muro o pared con
expresiones referidas a los temas de clase.
Esta técnica sirve para ampliar los conocimientos, además de permitir por medio
de la imagen, resaltar contenido de tipo matemático. También se puede definir como
un medio de comunicación social visual, de bajo costo, de carácter popular y
participativo, que está formado por textos, dibujos, gráficos, avisos y fotografías. La
exhibición de este medio de comunicación alternativo se realiza en sitios públicos,
donde la gente pueda leerlos y analizarlos.
El periódico mural es una estrategia instruccional de enseñanza aprendizaje, su
función es comunicar ideas que pueden ser gráficas como: recortes de revistas o
periódicos y fotografías, escritas en letra clara tipo imprenta, que sea impactante,
precisa y objetiva.
La técnica del periódico mural es recomendada en el proceso enseñanza
aprendizaje en la matemática ya que sirve para resaltar las ideas provenientes del
educando a manera de solucionar problemas matemáticos, resolución de operaciones,
entre otros.
El Cuento: Bonilla (1984) manifiesta que “el cuento es una narración escrita de
forma real o imaginaria, donde su función es exponer el curso de la historia, dar un
comentario final y explicar las secuencias para la comprensión de la trama”. (p. 40).
Se puede ubicar el cuento como una creación eminentemente narrativa donde hay un
relator que cuenta lo que hacen los personajes, lo que piensan, lo que sienten, es
testigo de una trama representada por los protagonistas.
El cuento constituye uno de los medios que se pueden utilizar para desarrollar la
vida afectiva del niño, su utilización es de gran valor. Es un recurso que se puede
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utilizar de motivación al iniciar un tema o al ilustrar un aspecto en particular, es un
medio de enseñanza que cautiva al alumno y lo lleva a un aprendizaje significativo.
En la primera infancia, el cuento está constituido por las canciones de cuna, los
juegos de palabras, los cuentos de movimiento, los ritmos y las rondas. En la segunda
infancia, el Interés se centra en los objetos, la imitación de animales: es la etapa de la
fantasía, el material literario debe tener mucho ritmo. En la tercera infancia, la
imaginación creadora es rica, interesándose en los cuentos de superhombres, se
introducen las leyendas, las novelas de héroes y las historietas.
Cada etapa de desarrollo tiene su propia literatura y en cada una de ellas es posible
hacer uso de ese recurso para educar al niño en el conocimiento del entorno y de las
matemáticas.
En la primera fase el niño puede contar personas, animales, objetos, sumarlos,
restarlos, multiplicarlos y hasta dividirlos, en la segunda fase puede personificar a las
personas, animales, objetos de modo que se identifique con ella, en la tercera fase el
niño puede comprender historietas, leyendas y realizar dramatizaciones donde los
personajes pueden ser representaciones de números, signos entre otros. El cuento a
través de la historia del hombre ha sido una valiosa herramienta educativa, tanto en la
escuela como fuera de ella.
Juegos Didácticos: para CENAMEC (1998) “Los juegos son recursos valiosos
para atender las diferencias individuales” (p. 14), los juegos también suelen ser un
medio de estimulo y a su vez de diversión mientras se esta aprendiendo, es como un
ejercicio recreativo sometido a ciertas reglas donde ganar es aprender y perder es
volver a intentarlo.
Por ejemplo, en una mayor o menor capacidad para comprender la Matemática y
rapidez o lentitud en su aprendizaje; por tanto, es importante contar con juegos como
el Bingo de Adición para los alumnos que presentan dificultad en lograr el dominio
de las combinaciones de adición. Cuando el primer grado se invita a jugar a los
alumnos, con objetos que tienen forma de esfera, de cilindro, de cubo, o a esconderse
dentro, delante o detrás de una caja de cartón, se dan las primeras nociones de
relaciones espaciales. Cuando se propone el juego de construir una caja con una hoja
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de papel, se inicia el concepto de cuerpos geométricos, que es reforzado luego,
cuando le proponemos trazar y construir cuerpos geométricos.
Al usar el juego como una estrategia de la enseñanza de la Matemática, logramos,
por una parte, incorporar a los niños menos preparados e introvertidos; a la
participación activa, a la vez que le es estimulada su superación, valiéndose del
elemento competitivo; por la otra, si ofrecemos el mayor campo para el intercambio
de opiniones y de aclaración de conceptos; y se robustecen las relaciones de
solidaridad y amistad dentro del ambiente de agrado que produce el juego.
El juego como estrategia en la enseñanza de la matemática y en otras disciplinas,
deja de ser espontáneo y se convierte en un juego educativo, el cual se realiza dentro
de ciertos límites dados por sus objetivos establecidos precisamente, dentro de un
tiempo y un espacio, con unas reglas que deben cumplirse para que sea eficaz, el
juego regulado, coincide con las primeras adquisiciones escolares.
No basta con emplear el juego como estrategia en la enseñanza de la Matemática;
es importante que el docente participe en el juego de los niños, que los sepa observar
cuando juegan, que tenga habilidad para hacerlos jugar y que le guste jugar.
El Mapa Conceptual: CENAMEC (1998) define el mapa conceptual como “una
representación o diagrama de conceptos relacionados y jerarquizados, se elabora a
partir de la selección de los conceptos relevantes o clave en un determinado tópico y
estableciendo las relaciones entre ellos”. (p. 29) Estos mapas conceptuales vienen a
facilitar el aprendizaje y la misma enseñanza en los alumnos, donde se plantean temas
relacionados.
Pueden ser utilizados en el aula para: repasar un tema en estudio, para compartir
los significados de los conceptos entre diferentes personas y/o equipos; evaluar los
contenidos de un tema; se pueden referir a: trabajos de campo, lecturas y en general a
cualquier actividad.
Cada miembro de un equipo puede elaborar su mapa conceptual, discutirlo con el
resto de los miembros y acoger uno por consenso o presentar cada mapa por
separado. Es necesario destacar, que un mapa puede diferir de otro, ya que éstos
corresponden a estructuras de conocimientos representativos de la interpretación de
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los contenidos a partir de las estructuras cognitivas previas. Por esta razón, es
importante la elaboración de los mapas correspondientes a los conocimientos previos
(preconceptual) después de recibir nuevas informaciones.
Abarcando un poco más se puede tomar como ejemplo el juego como recurso de
aprendizaje, en sus diversas formas de utilización estratégica, las cuales son:
Estrategias de Cooperación.
El valor del juego como estrategia de cooperación reside en su utilidad para unir y
cohesionar al grupo. Se prima el contacto social, la cooperación y la creatividad, por
encima de la competición y el resultado.
En los juegos así usados importa más el proceso (todo lo que siente, experimenta y
aprende el niño que juega) que el resultado.
Estos juegos se basan en las siguientes premisas: libertad para crear/ competir/
elegir ausencia de violencia y/o agresión participación absoluta, ausencia de
eliminación colaboración de todos para la consecución de un objetivo.
Estrategias de Oposición.
El valor de esta estrategia de oposición está en el desarrollo de la concentración,
en la adquisición de una nueva imagen ajustada de sí mismo y en favorecer la
autoestima. La competición, no consiste en ganar de cualquier manera, ya que no es
un fin en sí misma, la competición es un elemento educativo más. Para que ésta sea
educativa, debe permitir a todos los alumnos conseguir éxito, aprendiendo a ganar y a
perder, pues ambos forman parte de la competición; hay que aceptar las limitaciones
propias y ajenas. En estos juegos se prima el resultado y la ejecución (aspectos
cuantitativos) frente a los aspectos cualitativos o emocionales.
Estrategias de Resolución.
El juego como estrategia de resolución permite fomentar actitudes y habilidades
en la resolución de problemas, en la toma de decisiones propias, en la autoafirmación,
creatividad y pensamiento divergente.
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Priman el aspecto decisional o procesal del alumnado este van a ser los juegos más
didácticos. Basándonos en la naturaleza de las tareas, podríamos prever una
progresiva forma de presentar dicha resolución de problemas:
a. Juegos definidos: de dificultad predominantemente ejecutiva. Todos los
elementos (material, objetivo, reglas…) están determinados. Sería el nivel más
fácil de resolver.
b. Juegos semidefinidos: Tan sólo se presenta el objetivo del juego, los alumnos son
el material que se les da tendrán que idear sus actuaciones y buscar soluciones
para cada objetivo propuesto.
c. Juegos no definidos: de dificulta predominantemente decisional.
d. Supondrían el nivel de mayor complejidad, ya que se les ofrece a los alumnos
diversos materiales con los que tendrán que idear diferentes propuestas lúdicas.
Diversas Teorías que se ajustan a la Enseñanza de la Matemática
Las teorías e investigaciones de la instrucción según Sánchez (1994), están
basadas entre otros elementos, en los aportes de las teorías del aprendizaje, han
intentado diseñar modelos que fortalezcan una enseñanza cada vez más eficiente,
vinculando en este caso, la eficacia con las metodologías y recursos pertinentes
utilizados por la instrucción para proporcionar un proceso y un producto y óptimo de
aprendizaje de los alumnos.
Las teorías del aprendizaje que sustentarán el estudio, son:
Teoría Cognoscitiva: La corriente cognoscitiva pone énfasis en el estudio de los
procesos internos que conducen al aprendizaje, se interesa por los fenómenos y
procesos internos que ocurren en el individuo cuando aprende, como ingresa la
formación a aprender, como se transforma en el individuo y como la información se
encuentra lista para hacerse manifiesta; así mismo, considera al aprendizaje como un
proceso en el cual cambian las estructuras cognoscitivas (organización de esquemas,
conocimientos y experiencias que posee un individuo debido a su interacción con los
factores del medio ambiente).
20
En esta teoría, Ausubel, teórico del aprendizaje cognoscitivo, describe dos tipos de
aprendizaje:
- Aprendizaje Repetitivo: Implica la memorización de la información a
aprender, ya que la relación de ésta con aquella presente en la estructura
cognoscitiva se lleva a cabo de manera arbitraria.
- Aprendizaje Significativo: La información es comprendida por el alumno, y se
dice que hay una relación sustancial entre la nueva información y aquella
presente en la estructura cognoscitiva.
De acuerdo con esta teoría, las dos formas de aprendizaje son:
- Por Recepción: La información es proporcionada en su forma final y el
alumno es un receptor de ella.
- Por Descubrimiento: En este aprendizaje el alumno descubre el conocimiento,
y solo se le proporcionan elementos para que llegue a él.
Desde este punto de vista, el alumno es entendido como un sujeto activo
procesador de información, quien posee una serie de esquemas, para aprender a
solucionar problemas, los cuales a su vez deben ser desarrollados tomando en cuenta
que en el contexto escolar existe un nivel de actividad cognitiva; por esa razón, el
docente debe partir de la idea de un alumno activo que aprende de manera
significativa, que aprende a aprender y a pensar. Su papel se debe centrar en
confeccionar y organizar experiencias didácticas para lograr esos fines.
El profesor debe estar profundamente interesado en promover en sus alumnos el
aprendizaje significativo de los contenidos programáticos; para lograrlo, es necesario
que haga uso de las estrategias instruccionales, presentando a sus alumnos la
información y observando sus características particulares, incitándolos a encontrar y
hacer explícita la relación entre la información nueva y la previa, intentando que el
alumno contextualice el conocimiento en función de sus experiencias previas, de tal
forma que sea más significativo, y por lo tanto, menos susceptible al olvido.
21
Uno de los aportes proveniente de los enfoques psicológicos del aprendizaje y de
las teorías más importante representadas en la teoría cognitiva del aprendizaje; como
el constructivismo de Novak y el aprendizaje significativo de Ausubel.
En relación a la primera es importante decir que varias disciplinas han realizado
aportes al conocimiento y el desarrollo de la psicología cognitiva que se produce
variaciones en la forma de abordar el aprendizaje.
De acuerdo a la teoría cognoscitiva se considera el aprendizaje como formación o
modificación de estructuras cognoscitivas y se dedican al estudio empírico de los
llamados procesos psicológicos superiores tales como: percepción, atención,
codificación, memoria, aprendizaje, inteligencia, pensamiento y lengua. Así mismo,
la psicología cognitiva concibe el aprendizaje como un proceso de interacción del
individuo con su medio a través del cual se opera el desarrollo de sus estructuras
cognitivas.
En síntesis, la base de la teoría cognitiva es la existencia de la cognición, termino
genérico que se aplica a cualquier proceso por el que el organismo llega a darse
cuenta u obtener el conocimiento de un objeto: incluyendo como palabra clave de esta
expresión el conocimiento.
Teoría Constructivista: Según Erickon (2001), el constructivismo es una postura
psicológica y filosófica que argumenta que los individuos forman o construyen gran
parte de lo que aprenden y comprenden. Destaca las relaciones entre los individuos y
las situaciones en la que la adquisición y el perfeccionamiento de las habilidades y de
los conocimientos. El constructivismo se distingue de las teorías conductistas del
aprendizaje que subrayan la influencia del medio sobre el sujeto y de las
explicaciones cognoscitivas que colocan el lugar del aprendizaje en la mente y
prestan poca atención al contexto en que ocurre.
Un supuesto básico del constructivismo es que los individuos son participantes
activos y deben construir el conocimiento. Para entender verdaderamente el material,
los estudiantes deben redescubrir ellos mismos los principios básicos. Los
constructivistas difieren en el grado al que adscriben esta función a los estudiantes.
22
Algunos creen que las estructuras mentales reflejan la realidad, mientras que otros
piensan que no hay ninguna realidad fuera del mundo mental del individuo. También
discrepan en que tanto contribuyen a la construcción del conocimiento los
intercambios con maestros, compañeros, padres y otros.
Esta corriente esta influyendo en la teoría y la investigación del aprendizaje, así
como en la reflexión pedagógica sobre los programas y la enseñanza. Es el
fundamento del énfasis en los programas integrados en que los alumnos estudian un
tema de varias maneras. También hay ideas del constructivismo en las normas para la
enseñanza de las matemáticas en los Estados Unidos que influyen en el diseño de
programas y métodos docentes.
Desde el punto de vista del constructivismo, los maestros no enseñan en el sentido
tradicional de pararse enfrente a la clase e impartir conocimientos, sino que acuden a
materiales con lo que los alumnos se comprometen activamente mediante
manipulación e interacción social. Las actividades insisten en la observación, el
acopio de datos, la generalización y la prueba de hipótesis y el trabajo cooperativo.
Del mismo modo, el grupo visita lugares fuera del aula y los maestros elaboran los
programas planeando juntos. De manera que, los estudiantes aprenden a ser más
autorregulados y a planearse metas para asumir un papel más activo en su propio
aprendizaje, el supervisar y evaluar su progreso y a explorar sus intereses de modo
que superen los requerimientos básicos.
El constructivismo no es una corriente unificada sino que se expresa en formas
diversas. El constructivismo exógeno sostiene que la adquisición del conocimiento
consiste en la reconstrucción de las estructuras del mundo exterior. Esta postura
recalca la fuerte influencia del exterior en la construcción del conocimiento, de las
experiencias, la enseñanza y la exposición a modelos. El conocimiento es adecuado
en tanto refleja la realidad. Conceptos como esquema o producciones y la formación
de redes en la memoria evidencian esta idea.
En contraste, el constructivismo endógeno subraya la coordinación de los actos
cognoscitivos. Las estructuras mentales proceden de otras previas, no directamente de
la información del entorno; por ende, el conocimiento es un espejo del mundo
23
exterior adquirido por experiencias, enseñanza e intercambios sociales. El
conocimiento se desarrolla merced a la actividad cognoscitiva de la abstracción y
sigue una secuencia preestablecida. La teoría del desarrollo cognoscitivo de Piaget
ofrece un ejemplo.
Entre ambos extremos se encuentra el constructivismo dialéctico, que sostiene que
el conocimiento proviene de las interacciones de los individuos y su entorno. Las
construcciones no están invariablemente ligadas al mundo externo ni son del todo el
resultado de las elaboraciones de la mente, sino que reflejan las consecuencias de las
contradicciones mentales que producen las interacciones con el medio.
Cada una de las vertientes tiene méritos y puede ser de utilidad para la
investigación y la docencia. La opinión exógena es la apropiada si estamos
interesados en determinar la exactitud con la que los estudiantes perciben la
estructura de conocimiento en cada área. El punto de vista endógeno es conveniente
para explorar la forma en que los estudiantes progresan del nivel inicial a los grados
superiores de desempeño en la adquisición de la competencia. La postura dialéctica es
pertinente para la educación, si se trata de diseñar intervenciones que sean un desafió
al pensamiento inexperto de los niños y sirve como base para investigaciones que
sondeen la eficacia de ciertas influencias sociales como exposición a modelos y la
colaboración entre condiscípulos.
La postura constructivista tiene implicaciones importantes para la enseñanza y la
elaboración de programas. Las recomendaciones más directas son que los estudiantes
deben comprometerse de manera más activa en su aprendizaje y que los maestros
tienen que ofrecerles experiencias que los obliguen a pensar y revisar sus creencias.
El constructivismo indica que son provechosos el aprendizaje en grupo y la
colaboración. Si los alumnos se instruyen unos a otros, los modelos no sólo enseñan
habilidades, sino también aumentan el sentimiento de la eficacia para aprender.
Teoría del Aprendizaje Significativo de Ausubel: En relación a la teoría del
aprendizaje significativo de Ausubel (1991), es necesario indicar que ésta considera
los factores que influyen en el aprendizaje sobre la base de que la manipulación de
24
ellos, permite establecer la naturaleza del proceso de aprendizaje y las condiciones
que lo afectan. Estas variaciones pueden ser de dos tipos: cognoscitivas afectivo-
social; pero Ausubel hace énfasis en las cognoscitivas para fundamentar su teoría,
debido a que considera el proceso educativo como eminentemente cognoscitivo.
Estos factores cognoscitivos de Ausubel son: estructura cognoscitiva, desarrollo
cognoscitivo, capacidad intelectual, diferencias individuales práctica y materiales
didácticos, los cuales dan a entender que su teoría se ocupa fundamentalmente de la
adquisición y retención de conocimientos escolares de manera significativa. El autor
además considera dos grandes dimensiones del aprendizaje escolar, la disponibilidad,
referencia a la forma de presentación del conocimiento para facilitar al estudiante su
aprendizaje y la internalización, que es la manera de como el sujeto incorpora el
nuevo conocimiento a la estructura cognoscitiva ya existente.
El concepto más importante de la teoría de Ausubel es el aprendizaje significativo,
el cual se produce cuando la información nueva se une con las ideas de afianzamiento
que ya existen en la estructura cognoscitiva del que aprende y este proceso involucra
una interacción entre la información nueva y una estructura específica del
conocimiento que tiene el sujeto que Ausubel ha denominado concepto integrador.
Ausubel también menciona al hacer su planteamiento de la teoría, tres tipos de
aprendizajes significativos, que son: el representacional, el de concepto y el
proporcional. En estos tipos de aprendizajes juega un papel básico los conceptos
integradores o ideas pertinentes de afianzamiento, que son las entidades de
conocimientos específicos que existen en la estructura cognoscitiva del aprendizaje a
las cuales se unen los nuevos conocimientos para generar el aprendizaje significativo.
Las actitudes pueden verse afectadas por los factores internos y externos al individuo
referentes a la edad, sexo, expectativas profesionales y antecedentes escolares.
Cada una de estas teorías guardan relación con la investigación, debido a que
hacen referencia al papel que juega el docente en el proceso de aprendizaje del
alumno, quien en todo momento es el elemento activo; por esa razón, le corresponde
al profesor hacer uso de estrategias instruccionales que promuevan experiencias de
aprendizaje realmente significativas para el alumno, convirtiéndose en un promotor
25
del desarrollo y de la autonomía del educando, tomando en cuenta su iniciativa y
creatividad, respetando sus errores y ritmo de aprendizaje.
Teorías Adicionales: Royer y Allan (1998), hacen referencia a la teoría
desarrollada por Tolman y Barlett, que refiere:
Que el ser humano almacena, recupera y procesa la información a través del estimulo que le llega, es decir, el mismo es un participante muy activo del proceso de aprendizaje. En consideración a lo anterior, es importante que el docente se familiarice con las tres teorías (la operante, la asociativa y la cognoscitiva) para que pueda usarlas en la práctica educativa como instrumentos valiosos para resolver problemas de aprendizaje. (p. 38).
De esta forma, las mismas pueden ser aplicadas por el docente con mucho acierto
en situaciones en que los escolares presenten dificultad para aprender habilidades
complejas, donde el estudiante puede saber la información pero no la entiende o
cuando éste no esta dispuesto a realizar el esfuerzo para lograr la comprensión de la
misma.
Esta teoría puede ser empleada cuando los educandos no pueden aplicar lo que han
aprendido a problemas o situaciones nuevas. El catedrático debe tener en cuenta para
la aplicación de ella dos principios básicos: (a) debe proporcionarle al aprendiz
práctica frecuente para usar la información como para recordarla para que luego
adquiera el habito de relacionar la nueva información a lo que ya conoce; y (b) debe
presentarle la información de manera tal que pueda conectarse e integrarse en las
estructuras de conocimientos previamente establecidos, es decir, se le pueden
presentar una serie de ejemplos elaborados para demostrar un concepto o principio
matemático que le permitan entender y aplicar los mismos a situaciones en donde
deba hacer uso de los conceptos establecidos para la solución de cualquier tipo de
problema.
Por tal razón, las teorías enunciadas son de gran importancia para el proceso de
enseñanza - aprendizaje de la Matemática. Para Royer y Allan (1998), los docentes
“no caen en cuenta del papel que juegan en su trabajo las diversas teorías”. (p. 65). El
26
desconocimiento que acarrea la falta de aplicabilidad teórica induce a cometer errores
que repercuten directamente en la formación del docente.
El docente debe poner en práctica su creatividad para diversificar la enseñanza,
con un poco de imaginación los trabajos de pupitre rutinarios los puede transformar
en actividades desafiantes para el alumno, para ello debe acudir al uso de estrategias
metodológicas para facilitar el aprendizaje en el alumno.
En cuanto a la enseñanza de la matemática existe entre los docentes tendencias
bien diferenciadas que marcan el proceso de aprendizaje y el análisis propuesto para
cada teoría se hace en función de su aplicabilidad.
De acuerdo a lo señalado por González (1997):
Bruner creo una teoría que describe las actividades mentales que el individuo lleva en cada etapa de su desarrollo intelectual. Por lo tanto, el aprendizaje consiste en la reorganización de ideas previamente conocidas, en donde los alumnos mediante manipulaciones de juegos, seriaciones, ordenaciones y otros materiales instruccionales le permitan lograr un apareamiento de ideas, el mismo, se desarrolla progresivamente a través de tres etapas: enativo, icónico y simbólico. (p. 33).
Lo enativo o concreto, permite al alumno manipular materiales y jugar con ellos,
tratando de unirlos o agruparlos, esta es una etapa de reconocimiento, en este nivel
existe una conexión entre la respuesta y los estímulos que la provocan. Lo icónico,
hace que él trate con imágenes mentales de los objetos, ayudándolo a elaborar
estructuras mentales adecuándolas al medio ambiente. En lo simbólico, éste no
manipula los objetos, ni elabora imágenes mentales, sino que usa símbolos o palabras
para representarlas, esto le permite ir más lejos de la intuición y de la adaptación
empírica haciéndolo más analítico y lógico.
Cuando el alumno ha pasado por estas tres etapas (enativo, icónico y simbólico),
se puede decir, que está en condiciones de manejar varias variables al mismo tiempo
y tiene más capacidad de prestar atención a una diversidad de demandas, de allí, que
la teoría de Bruner, se basa en el aprendizaje por descubrimiento. Esta teoría plantea,
una meta digna para la enseñanza de la Matemática, es decir, el diseño de una
enseñanza que presenta las estructuras básicas de esta asignatura de forma sencilla,
teniendo en cuenta las capacidades cognitivas de los alumnos.
27
CAPÍTULO III
EL ESTUDIO DE LA MATEMÁTICA
Importancia
El estudio de la matemática se integra a un mundo cambiante, complejo e incierto.
Cada día aparece nueva información, nuevas teorías, nuevas formas de entender la
vida y distintas maneras de interacción social. La matemática es una forma de
aproximación a la realidad, brinda elementos de importancia para el proceso vital y
permite a la persona entenderla y, más aún, transformarla, porque en su nivel más
elemental, responde a inquietudes prácticas: la necesidad de ordenar, cuantificar y
crear un lenguaje para las transacciones comerciales.
El Ministerio de Educación en su Normativo de Educación Básica (1987) destaca
que la matemática a través de la historia ha sido un medio para el mejoramiento del
individuo, su realidad y las relaciones con sus semejantes. En tal sentido, es una
herramienta más en el proceso de construcción del ser humano, de prepararlos para la
vida en sociedad y poder generar riquezas (entendida en su sentido amplio:
económico, social, humano).
La educación básica plantea la formación de un individuo proactivo y capacitado
para la vida en sociedad, la aplicación de la matemática en la vida cotidiana a través
de la resolución de problemas, formará en el estudiante la base necesaria para la
valoración de la misma, dentro de la cultura de su comunidad, de su región y de su
país.
Según el Ministerio de Educación (1987) el valor cultural de la matemática de la
educación básica de la segunda etapa, debería ser reconocida fundamentalmente
como un poderoso instrumento de desarrollo cultural, si se entiende por cultura
conjunto de ideas, ideales, creencias, habilidades, instrumentos, obras de arte,
28
métodos de pensamiento, costumbres e instituciones de una sociedad dada en una
época dada. Cultura es tanto el conjunto de juegos tradicionales que divierten a
nuestros niños, como las técnicas que hacen posible el funcionamiento de la planta de
SIDOR o la industria petrolera y de los medios de transporte y comunicación. La
Matemática puede y debe contribuir de manera significativa en la creación de síntesis
culturales.
Se puede decir que la matemática es de gran utilidad e importancia ya que se
considera como una de las ramas más importantes para el desarrollo de la vida del
niño, ya que este aprende conocimientos básicos, como contar, agrupar, clasificar, al
igual se relaciona con el lenguaje propio de su edad.
Dónde radica la importancia de la enseñanza de la matemática:
1) Por su misión social: formación de habilidades y competencias de personas
capaces de contribuir aportando científica y tecnológicamente.
2) Soporte en la solución de problemas que derivan de la enseñanza de la
matemática en las escuelas técnicas.
3) Proveernos de habilidades que permitirá al educando y profesionales emigrar y
desarrollar actividades profesionales o estudiantiles sin dificultad en el plano
internacional.
4) Contribuye al desarrollo del pensamiento: analítico, reflexivo.
5) Contribuye al éxito de las investigaciones científicas.
6) Soporte en la formación en centros tecnológicos.
Adicional a esto, se puede considerar que la matemática como carrera cuantitativa
es fundamental en el desarrollo de otras áreas del saber que son la física, la química,
la biología, la arqueología, entre otras, las cuales son necesarias para sus estudios
científicos, por ende el motivo de estudiar matemáticas es para poderlas promover o
transmitir a otros de manera que se siga consolidando en nuestra cultura; esto quiere
decir que como ciencia ha permitido en nuestra sociedad el desarrollo de la misma,
como quien dice “el conocimiento es poder”, si la existencia de docentes en
29
matemáticas decrece, entonces la posibilidad de sobrepasar el índice de subdesarrollo
se hace poco.
Lo importante de estudiar la matemática es la actividad intelectual del estudiante,
cuyas características tal como Piaget las ha descrito, son similares a aquellas que
muestran los matemáticos en su actividad creadora: el pensamiento parte de un
problema, plantea hipótesis, opera rectificaciones, hace transferencias,
generalizaciones, rupturas, etc., para construir poco a poco, conceptos y, a través de
esta construcción de conceptos, poder edificar sus propias estructuras intelectuales.
Aplicaciones a la Vida Diaria
La matemática, es una disciplina que tiene aplicaciones en muchos campos del
conocimiento y en casi todos los referidos al proceso técnico: como la Informática, la
Cibernética, teorías de juegos, entre otros.
González (citado por Molina, 1999) indica que:
Es prioritario el interés hacia la búsqueda de alternativas las cuales deben fundamentarse en nuevas concepciones de las actividades a desarrollar en el aula, a él le corresponde mejorar su propia actuación en el campo de la enseñanza de la Matemática en beneficio propio del alumno y del país. Pero es importante aclarar que en lo referente a las actividades de mejoramiento y perfeccionamiento profesional del docente no se aplican políticas efectivas que le permitan su actualización es importante que el docente venza las concepciones tradicionales de enseñanza y derribe las barreras que le impiden la introducción de innovaciones, para ello debe encaminar la enseñanza de la Matemática de modo que el alumno tenga la posibilidad de vivenciarla reproduciendo en el aula el ambiente que tiene el matemático, fomentando el gusto por la asignatura demostrando sus aplicaciones en la ciencia y tecnología, modelizar su enseñanza para que la utilice en circunstancias de la vida real. (p. 30).
Desde esta perspectiva, si el educador se inclina hacia el logro de su actualización
puede evitar que el estudiante aprenda en forma mecánica y memorística, desarrolle
hábitos de estudio que solo tiene para cuando se aproximan las evaluaciones. El
docente debe tomar conciencia de que su actualización es prioritaria, debe
preocuparse por una preparación continua que diversifique su manera de enseñar los
conceptos matemáticos.
30
Al respecto el Ministerio de Educación (1998), en su programa de estudio de
Educación Básica de la Segunda Etapa correspondiente al Quinto Grado, hace
referencia a las metas que se persiguen con la enseñanza de esta asignatura, las cuales
pretenden asegurar en el individuo la toma de conocimientos, habilidades y destrezas
que le permitan consolidar un desarrollo intelectual armónico, que le habilite su
incorporación a la vida cotidiana, individual y social. Igualmente incentivar en el
alumno una disposición favorable hacia la matemática, sirviéndole como estímulo
generador de cultura, lográndose establecer vínculos entre los conocimientos
matemáticos y la experiencia cotidiana, motivándolo a impulsar sus vocaciones
científicas y tecnológicas a fin de asegurar la formación de grupos de profesionales
capacitados.
Esto representa, que la enseñanza de la misma debe servir para que los educandos
logren una comprensión fundamental de las estructuras de la asignatura, esto
permitirá un mejor entendimiento y aplicación a los fenómenos, y al mismo tiempo
transferir el aprendizaje a nuevas situaciones.
Los aspectos precedentes se conjugan para precisar la forma como debe enseñarse
la matemática. Es así, como se han hecho a nivel nacional informes que se han
presentado al Ministerio de Educación con conclusiones y recomendaciones
relacionadas con los elementos programáticos que planifica sin interesarle la calidad
de la enseñanza.
Parra (citado por Martínez, 1999) señala que:
El objetivo de la enseñanza de la matemática es estimular al razonamiento matemático, y es allí que se debe partir para empezar a rechazar la tradicional manera de planificar las clases en función del aprendizaje mecanicista. El docente comienza sus clases señalando una definición determinada del contenido a desarrollar, basándose luego en la explicación del algoritmo que el alumno debe seguir para la resolución de un ejercicio, realizando planas de ejercicios comunes hasta que el alumno pueda llegar a asimilarlos, es por ello, que para alcanzar el reforzamiento del razonamiento y opacar la memorización o mecanización se debe combatir el esquema tradicional con que hasta ahora se rigen nuestras clases de matemática. (p. 25).
31
Por tal motivo se propone que el docente al emprender su labor en el aula
comience con las opiniones de los alumnos, se efectúa un diagnóstico de las ideas
previas que tiene, paralelamente construir una clase atractiva, participativa, donde se
desarrolla la comunicación permitiendo que exprese las múltiples opiniones
referentes al tema que se esta estudiando.
Para obtener una enseñanza efectiva se debe tener en cuenta los siguientes
aspectos:
- Provocar un estímulo que permita al alumno investigar la necesidad y utilidad de
los contenidos matemáticos.
- Ilustrar con fenómenos relacionados con el medio que lo rodea y referidos al área.
- Estimular el uso de la creatividad.
El docente debe tratar siempre de motivar al alumno creando un ambiente de
estímulo para que este se sienta con la mayor disposición para lograr un aprendizaje
significativo para la vida.
Al referirnos al adulto se destaca la matemática a cada paso: el reloj que marca la
hora, las dimensiones de la casa donde se habita, el número de hijos que queremos
provocar la onzas de tetero que debemos suministrar, el tiempo que debe durar el gas,
la distancia entre la casa y el trabajo, la talla de la ropa que queremos lucir, la
cantidad de personas que generan recursos para una empresa, etc.
Como se ha recalcado las matemáticas se pueden aplicar a muchos niveles, entre
los cuales se destacan la docencia; la aplicación de la matemática como una ciencia
pura, es decir como medio de investigación; también se pueden usar los
conocimientos adquiridos al estudiar matemáticas como una ciencia aplicada, lo cual
seria la modelación matemática y uno de los campos que más esta cobrando fuerza
por su importancia, es la utilización de las matemáticas aplicándola a los sistemas.
Se puede entender que las matemáticas ofrecen muchas posibilidades de
desempeño laboral, sea reproduciendo estos conocimientos por medios educativos, la
aplicación en el diario vivir y en diversas materias como la economía, la física, la
32
química, la biología, en la actividad bancaria, en fin estudiar matemática permite
acceder muchos campos de acción.
Hay que recalcar que quien quiera estudiar matemáticas necesita como principal
capacidad el gusto por las matemáticas, pues este campo de estudio exige mucho
trabajo, por lo que es necesario tener aptitudes para el pensamiento abstracto, la
capacidad de desarrollar un análisis lógico, saber plantear y resolver problemas.
Las matemáticas son una parte fundamental de nuestra sociedad y de nuestra vida
diaria. Han estado presentes en la historia de la humanidad, de su cultura y de sus
ideas. Las matemáticas se aplican en las otras ciencias, de la naturaleza y sociales, en
las ingenierías, en las nuevas tecnologías, así como en las distintas ramas del saber,
en la cultura y en las distintas actividades del hombre.
El desarrollo económico, científico y tecnológico de un país sería imposible sin las
matemáticas. Además, casi todas las actividades de nuestra vida diaria “necesitan”,
aunque estén ocultas, de las matemáticas: llamar por un teléfono móvil, utilizar una
cámara digital, sacar dinero del cajero automático de un banco, utilizar un mapa, ver
la televisión vía satélite, utilizar el ordenador o entrar en Internet, hacerse un seguro,
invertir o pedir un préstamo, construir los edificios en los que vivimos… y un largo
etcétera. Pero es más, las matemáticas son indispensables en la formación de las
personas, y por lo tanto en la educación de nuestros jóvenes.
Educación Matemática
Como agente transformador, la educación tiene una gran responsabilidad ante la
tarea de la dinamización y desarrollo de la sociedad. La concreción de este
compromiso puede ser asumida mediante la utilización de las potencialidades de las
disciplinas del conocimiento como herramientas útiles, valiosas e indispensables para
comprender la existencia humana, identificar los problemas dentro de una compleja
realidad y encontrar soluciones para el cambio.
Dentro de este contexto, la Matemática se consolida como una de las disciplinas y
áreas de estudio que favorecen la asunción de tal compromiso; por ello constituye uno
de los objetivos fundamentales que se plantea todo currículo, pues es considerada un
33
medio para el mejor entendimiento del hombre, de sus realidades y de su
interrelación.
La formación universitaria en todas sus especialidades y niveles busca responder a
estas exigencias incorporando prácticamente a la generalidad de los planes de estudio
el área académica “Matemática”. Es así, como se propone toda una estructura de
lineamientos teórico-metodológicos, que respetando su naturaleza, lógica interna y
sistematicidad proporciona las vías que permiten concretar sus aportes en la
formación de todo profesional universitario (Castro, 2003).
En respuesta a las permanentes y crecientes demandas de un mundo cada vez más
dependiente de la tecnología y, por ello mismo, de la propia Matemática, la
formación general básica en esta área debe contribuir en la capacitación del hombre
para asumir y enfrentar los retos que el día a día le impone. Así, como forma de
aproximación a esa realidad, la Matemática brinda elementos de importancia para el
desarrollo de la capacidad de argumentación racional, la abstracción reflexiva y el
aumento de las habilidades necesarias para resolver problemas no sólo del ámbito
escolar, sino de amplia aplicación y transferencia a otros campos del saber (Mora,
2003). Desde dimensiones más amplias, la política y la social, la Matemática brinda
un excelente puente entre el aprendizaje y el trabajo, la formación académica y la
formación para la vida...; es decir, favorece el desarrollo y la conformación de
capacidades para la reflexión crítica tanto en el marco del conocimiento científico
como en la cotidianidad de nuestras acciones. Estos aspectos constituyen argumentos
valederos de una Educación Matemática y, consecuentemente de la promoción y
estímulo de iniciativas de investigación en este campo, que proporcionen a todos, la
posibilidad de desarrollar competencias intelectuales, espirituales y morales y que
favorezcan no sólo la comprensión del ser humano, en y por él mismo, sino por su
inherente relación con los otros y con el medio social y natural que le rodea en
función de la búsqueda y desarrollo de las capacidades individuales y el bienestar
colectivo.
34
Educación Matemática: Campo de Conocimiento, Área de Investigación,
Disciplina Científica
La actividad investigativa en el campo de la Educación Matemática ha sido
favorecida por el auge de la “investigación en educación”; se ha consolidado como un
campo de estudio, que progresivamente ha venido evolucionado, con el objeto de
posicionarse de una perspectiva más científica que filosófica.
La Educación Matemática ha alcanzado un grado de madurez tal que le permite
afirmarse con identidad propia en el concierto de las ciencias sociales; además, ha
podido delimitar el espacio de los problemas que le son inherentemente propios; y,
adicionalmente, ha logrado decantar los abordajes metodológicos pertinentes y
adecuados para la indagación de dichos problemas, en una perspectiva que es
pluriparadigmática. (González, 2004)
La creciente preocupación de matemáticos y educadores sobre qué Matemática se
enseña en la escuela, cómo se aprende esta asignatura y, qué y cómo debería
enseñarse, ha representado el estímulo principal para la configuración y delimitación
de la problemática de este campo de estudio y de los métodos adecuados para su
conocimiento e intervención. Es así, como a través de la indagación metódica busca
dar respuestas a preguntas propias de su campo, abriendo los límites del conocimiento
hacia la crítica, la confrontación e incluso a la refutación (Kilpatrick, 1995). Inherente
a esta preocupación, el consenso sobre la importancia de la Matemática como ciencia
y como objeto de enseñanza aprendizaje, se expande y cobra relevancia.
Históricamente esta ciencia ha sido asociada a la actividad humana como medio
para la solución de problemas, especialmente del contexto externo a ella, de modo
que se nos presenta como “una componente integrante de la vida social” (Wussing,
1995 en Mora, 2003). Bajo esta perspectiva, resulta indiscutible que la Educación
Matemática es parte de la estructura de formación general básica de cualquier
persona; por tanto, lleva al establecimiento de la relación dialéctica entre los procesos
de enseñanza-aprendizaje de esta ciencia, de modo que se constituye en un verdadero
asidero de conocimientos que pretenden explicar y fundamentar los procesos de
comunicación y adquisición de las ideas, conceptos y contenidos matemáticos.
35
Sobrepasaría los límites de estas líneas, describir los referentes históricos que dan
cuenta del gran debate y discusión que ha transcurrido en la comunidad académica en
torno a la consideración de la Educación Matemática como un campo de
conocimiento, a la investigación en ella como una actividad de carácter científico y
en resumen, a su consolidación como disciplina científica; no obstante conviene
destacar, sucintamente, algunos aspectos que lo explican:
Existe una amplia comunidad internacional de educadores, investigadores,
departamentos, instituciones,... preocupados por el estudio y la investigación en
este campo, que han contribuido poderosamente en la constitución de “la nueva
disciplina científica que se ocupa de los problemas relacionados con la Educación
Matemática” (Guzmán, 1996 en Godino, 2004, p. 39). Los esfuerzos por
fortalecer la cooperación académica y la vinculación entre distintos grupos de
trabajo, han encontrado cimientos en las acciones de grupos e instituciones como:
International Commission on Mathematical Instruction, National Science
Foundation (NSF), Unesco, International Congress of Mathematics Education
(ICME), el Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM), el
Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM), el Simposio de
Educación Matemática (SEM), Reunión Latinoamericana de Matemática
Educativa (RELME), y la Reunión de Didáctica de las Matemáticas del Cono Sur.
Se ha venido consolidando un esquema teórico que permite identificar y explicar
la problemática propia de este campo y las vías para su estudio, comprensión y
tratamiento, desde la perspectiva dialéctica entre la enseñanza, el aprendizaje, el
contexto, los contenidos,... aspectos que consolidan un verdadero campo de
investigación. Es así como, desde esta perspectiva sistémica que permite
interpretar el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, ha sido
definido el Programa ALIEM XXI (Agenda Latinoamericana de Investigación en
Educación Matemática para el Siglo XXI) el cual constituye
…un esquema organizador de las inquietudes indagatorias en investigación en
Educación Matemática… instrumento conceptual que se propone a personas,
instituciones y organizaciones interesadas en mejorar la calidad y el nivel de
36
competencia matemática de los ciudadanos latinoamericanos, con la finalidad de
invitarlos a unificar los esfuerzos y recursos humanos, financieros y técnicos
disponibles, de modo que se puedan generar conocimientos, saberes, bienes y
servicios susceptibles de ser utilizados como herramientas cognitivas que nos
ayuden a comprender mejor la realidad de la educación matemática en cada uno
de nuestros países y de la región en general…” (González, 2000)
Se ha fomentado el desarrollo y utilización de una gran variedad de perspectivas
de análisis, de empleo de estrategias, de enfoques de problemas, de posiciones
paradigmáticas de investigación; aspectos que favorecen la comprensión de la
complejidad del fenómeno, como parte de un objeto de estudio propio de las
ciencias sociales y humanas. Esta tendencia se corresponde con las
aproximaciones fenomenológicas que han caracterizado la investigación
educativa en las últimas décadas. (Kilpatrick, 1995)
La especificidad de los conocimientos matemáticos y sus correspondientes
procesos de enseñanza y aprendizaje, además de la consideración de factores de
carácter psicopedagógico, social y cultural que interaccionan en ellos,
fundamentan la consolidación de la Educación Matemática como un área de
conocimiento. “La insuficiencia de las teorías didácticas generales lleva
necesariamente a la superación de las mismas mediante la formulación de otras
nuevas, más ajustadas a los fenómenos que se tratan de explicar y predecir”
(Godino, 2004, p. 6).
Estos hechos y circunstancias, entre otros, han permitido la configuración de la
Educación Matemática como un cuerpo organizado de conocimientos, con
fundamentación epistemológica y con métodos y alternativas de estudio e indagación
propios. Así lo reflejan las distintas definiciones que sobre ella encontramos; por ello
no resulta sencillo presentar una definición de Educación Matemática en particular,
entre otras cosas porque en algunos contextos se le identifica con la Didáctica
específica del área; en todo caso, es importante destacar que existe consenso en que
constituye un área de conocimiento tanto desde el punto de vista tecnológico (por el
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conocimiento de una teoría y su aplicación a la práctica), como desde el punto de
vista científico (por ser un área de investigación con aplicaciones prácticas).
(KilpatricK, 1995). Desde otra perspectiva, Rico, Sierra y Castro (2000, p. 2) definen
la Educación Matemática como “...todo el sistema de conocimientos, instituciones,
planes de formación y finalidades formativas, que conforman una actividad social
compleja y diversificada relativa a la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas” (p.
352). Steiner por su parte destaca, que la Educación Matemática admite además
“...una interpretación global dialéctica como disciplina científica y como sistema
social interactivo que comprende teoría, desarrollo y práctica” (1985, p. 12).
En síntesis, la Educación Matemática se perfila, por una parte, como un campo de
conocimiento e importante área de investigación y, por la otra, como una “…
disciplina desde el punto de vista socio-epistemológico” (González, 2004); estas
condiciones han favorecido la permanente transformación que ha experimentado, y
que continuará experimentando en función del desarrollo de las ideas y conceptos
tanto de la propia Matemática como de las ciencias en el campo de la didáctica, la
pedagogía, la psicología, la sociología, la informática...
La Perspectiva Paradigmática en el Marco de la Investigación en Educación
Matemática
Al hacer referencia a la investigación en Educación Matemática, resulta pertinente
describir, al menos a grandes rasgos, algunas orientaciones relativas a la perspectiva
paradigmática y metodológica que se ha venido consolidando en este campo y que ha
sido reflejo de lo ocurrido a la investigación en el campo educativo.
La actividad investigativa de carácter científico, está orientada por referentes que
se circunscriben bajo un enfoque en particular, acorde con su naturaleza y
características. Este enfoque representa lo que se conoce con el nombre de paradigma
de la investigación. “Un paradigma representa una matriz disciplinaria que abarca
generalizaciones, supuestos, valores, ciencias y ejemplos corrientemente compartidos,
de lo que constituye el interés de la disciplina” (Molina, 1993, p. 18). Tres
paradigmas, derivados de la filosofía, han orientado las perspectivas de la
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investigación educativa (Soltis, 1984 en Molina, 1993): el empirismo lógico
(positivismo/neopositivismo), la teoría interpretativa (fenomenología, hermenéutica,
historicismo, interacción simbólica) y la teoría crítica (conexión de la investigación
con la práctica).
El empirismo lógico está fundamentado en el método de las Ciencias Naturales
cuyo objetivo principal es encontrar regularidades en el hecho educativo, el
establecimiento de generalizaciones y la predicción de hechos, fenómenos, etc. La
teoría interpretativa por su parte, se fundamenta en la elaboración de interpretaciones
de la realidad que reflejen las características que definen el significado de las
acciones de quienes las realizan. “...el investigador busca interpretar el significado
que la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas tienen para los participantes, al
vivir dentro del salón de clases, participando o no del proceso de instrucción”
(Kilpatrick, 1995, p. 5). La teoría crítica, busca mejorar la racionalidad de la práctica
educacional a través del análisis autocrítico de los actores del proceso, con el fin de
reestructurarla tomando como referentes los valores que justifican y racionalizan sus
acciones.
Existe consenso en estimar que el fenómeno educativo, fundamentalmente de
carácter social, había sido estudiado bajo el lente de la “estrechez positivista” cuyos
postulados suponen una investigación de la realidad “aséptica” de las percepciones e
interpretaciones del investigador. Sin embargo, en las últimas décadas las
aproximaciones fenomenológicas e interpretativas han cobrado relevancia en el
campo educativo y, más recientemente han comenzado a tener una profunda
influencia en la investigación en Educación Matemática.
Diversos enfrentamientos entre las distintas aproximaciones metodológicas de la
investigación en el campo educativo, han dado lugar a lo que se conoce como el
“debate cuali-cuantitativo”; no nos corresponde dilucidar sobre este debate, ya
superado para muchos autores (Díaz en Pérez, 1998, p. 7), sin embargo, consideramos
interesante el hecho de que
…la realidad social nos informa una y otra vez de la insuficiencia abstracta de ambos enfoques tomados por separado. Pues los procesos de interacción social y del comportamiento personal implican tanto aspectos
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simbólicos como elementos medibles… (Ortí en Delgado y Gutiérrez eds., 1995, p. 88).
Atendiendo a estos aspectos, se estima que las actividades investigativas en el
campo de la Educación Matemática asumen la tendencia dominante hoy en día; es
decir, una postura integradora de las distintas corrientes, pues “La educación
matemática requiere de las múltiples perspectivas que estas aproximaciones
diferentes...pueden aportar a los fenómenos de enseñanza e instrucción” (Kilpatrick,
1995, p. 5). Asimismo, conviene puntualizar tres aspectos que se subsumen en una
postura de este carácter:
La asunción del enfoque sistémico, compaginado con la consideración del
proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática como un hecho didáctico que
no puede ser explicado mediante el estudio individual de cada uno de sus
componentes. Así, a través de este enfoque se logra conceptuar la realidad y se
proporciona un marco que permite articular la investigación en esta área.
La aceptación de la teoría constructivista, de reconocida relevancia en la
psicología y de gran implicación pedagógica, que propone una visión más
integradora de los componentes del transcurrir didáctico haciendo importantes
esfuerzos para explicar el proceso de aprendizaje matemático y permitir así la
fundamentación de la enseñanza de esta ciencia.
La adopción de la perspectiva crítica, que permite conectar la investigación con la
práctica a fin de introducir cambios comprometidos con la mejora del proceso de
enseñanza de la Matemática.
En síntesis, y en concordancia con la postura descrita, resulta adecuado que la
investigación en Educación Matemática deba asumir un planteamiento metodológico
“integral y de complementariedad”; la investigación referida a conductas e
interacciones, tal como ocurre en la educación matemática, supone “pluralidad de
contextos” de distinta naturaleza epistemológica que implica a su vez “pluralidad de
métodos y técnicas” de observación, registro e interpretación (Castro, 2003).
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