Operaciones. Las fracciones y sus operaciones

O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,

En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.

LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONESIntroducción.

Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta,

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Términos de una fracción.Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción. a

Si tenemos dos números a y b , y b ≠ 0, entonces la expresión ------ es una fracción . b

b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad.

a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos. a NUMERADOR

------ b DENOMINADOR

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Fracciones

Fracciones

1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 210 : 5 = 2

2 . 2 = 4

2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5.10 . 2 = 2020 : 5 = 4

Fracción de un número.

Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos?Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :

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Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.

Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:

1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad. la unidad

∧

2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47

Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad.

2Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:

1 Unidad

∧

2/3Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.

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3.Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4

Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:

1 Unidad 1 Unidad

∧ ∧

Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.

3/3 + 1/3

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Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad

Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción.

4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + -----

3 3 3 3 4 4 4 4

También podemos escribirlas de la siguiente forma.

4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 -------

3 3 3 5 1 1

------ = 1 + ------- = 1 ------- 4 4 4

1 11 ------ y 1 -------

3 4

son números mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “

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Fracciones Equivalentes. a c

Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b dque a . d = b . c

Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.

Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ---- a . d = b . c b dLuego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.

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2 4 ------ ---- 3 6

2 . 6 = 12 3 . 4 = 12

Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y así comprobamos que las fracciones son equivalentes.

2 4Entonces ------ y ---- son equivalentes 3 6

a cPara indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos ------ = ---- b d 2 4 La fracciones ---- y ---- son equivalentes 3 6

En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados.

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Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentesa . d ≠ b . C

3 4Por ejemplo : ------ y ---- 2 5

3 . 5 = 15 2 . 4 = 8

Comprobamos que 15 ≠ 8

3 4

Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes, y ponemos ----- ≠ ---- 2 5

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Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c

Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d

¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que

tienen mayor numerador. 2 3 3 2

Por ejemplo : ------ y ---- ⇒ ------ > ----- 5 5 5 5

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ⇒ ------ < ----- 4 3 4 3

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¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales?

En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores.

2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4

2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12

Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9

------ = ---- = ----- 4 8 12

8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < -----

12 12 3 4

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suma y resta con:

a) Mismo Denominador:

Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ----

b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador.

a c a + c ------ + ---- = --------

b b b

3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7

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O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c

----- - ---- = -------- b b b

3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7

3 2 3 - 2 1

------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o

restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

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b) Distinto Denominador.

Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.

Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador

3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2

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3 6 ------ = ----- 5 10

4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = -------

2 4 6 8 10

4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10

4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------

2 5 10 10 10 10

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Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )

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1 2 3Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4

1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores:m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12

2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción.

1 1 6

------ 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12

2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 ------ = ------

3 3 12 3 3 9

------ 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12

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6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.

1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

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Multiplicación y División a c

Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d

a c a . c

------ . ---- = ---------- b d b . d

Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los

denominadores.

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Por ejemplo:

1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a cPara dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos

b d a c a d a . d ---- ÷ ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c

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Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.

Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------ ÷ ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4

También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra.

a c a . d ---- : --- = ---------

b d b . C Por ejemplo:

3 2 3 . 5 15---- : --- = --------- = ------

2 5 2 . 2 4

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