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MORENO VEGA , JOSE LUIS MATEMATICA , FISICA e INFORMATICA 2

LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO FISICA ATOMICA Y NUCLEAR

LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO

Dado que : r

qqkU 21 depende solamente de la distancia radial r entre el núcleo y el electrón,

algunos de los estados permitidos para este átomo pueden ser representados mediante funciones de onda que solo dependen de r. La mas simple de las funciones de onda para el hidrogeno es la que describe el estado 1s y se

conoce como 1s ( r ) :

0/

3

0

1

1)(

ar

s ea

r

Donde a0 = radio de Bohr

Características:1s ( r ) i) Satisface la ecuación schrodinger ii) Tiende a cero conforme r tiende a y se normaliza iii) Dado que depende solo de r , es simétrico esféricamente, y la simetría existe

APRA todos los estados s

Densidad de Probabilidad :

0/2

3

0

2

1

1 ar

s ea

(*)

Densidad de probabilidad radial : p(r) Ya que en la posición r = 0 suponemos que el núcleo esta fijo en el espacio, podemos asignarle esta densidad de probabilidad a la cuestión de ubicar el electrón.

La probabilidad de encontrarlo en un elemento de volumen dV es de dV2

Definimos la función de densidad de probabilidad radial P ( r ) cono la probabilidad por unidad de longitud radial de encontrar el electrón en una envolvente esférica de radio r y de espesor dr.

Por tanto ,P(r) es la probabilidad de encontrar al electrón en esta envolvente. El volumen dV de esta envolvente, infinitesimalmente delgada, es igual a su área superficial 4 r2 , multiplicada por el espesor de la envolvente dr, por la cual la probabilidad será :

drrdVdrrP 2224)(

Por tanto, la función de densidad de probabilidad radial es : 224)( rrP



Reemplazamos en (*) : 0/2

3

0

2

1

4)(

ar

s ea

rrP

Grafico ; 0/2

3

0

2

1

4)(

ar

s ea

rrP

Grafico de puntos

Grafico xyz GRAFICO 3D Calcule el valor mas probable de r para un electrón en su estado base del átomo de hidrogeno Solución

Ejemplo 1: El estado base del hidrogeno



Encontramos el valor más probable de r haciendo que : 0/1 drdP s

0

40/2

3

0

2

1

ars ea

r

dr

d

dr

dP r = a0

¡EL VALOR MAS PROBABLE DE r ES EL RADIO DE BOHR! ¿Qué pasaría si? ¿Qué pasaría si se le pidiera en vez del valor más probable, el valor promedio de r para el electrón en su estado base? Solución El valor promedio de r es el mismo que el valor esperado de r

0

)( drrrPrrav

Reemplazo :

0

/2

3

0

2

04

drea

rr

ar

Simplificando : drer

ar

ar

av

0

/23

3

0

04

Aplicamos : 10

!

n

axn

a

ndxex

04

0

3

00

/23

3

0 2

3

)/2(

!3440 a

aadrer

ar

ar

av

02

3arav

Calcule la probabilidad de que electrón del hidrogeno en el estado base se encontrara fuera del primer radio de Bohr Solución

drPP

as

0

1

drera a

ar

0

0/22

3

0

4

Resolviendo la integral : 25 eP P = 0,677 P= 67,7 %

Ejemplo 2: probabilidades del electrón en el hidrogeno



FUNCION DE ONDA PARA EL HIDROGENO EN EL ESTADO 2S

02/

0

2/3

0

2 .21

24

1)(

ar

s ea

r

ar

Grafico función probabilidad radial Grafico de puntos

GRAFICO 3D

Estado 2s ( n =2 , l = 0 , ml = 0 )

Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 1 ) =

2px




GRAFICO 3D


GRAFICO 3D

Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = 0 ) =

2pz




GRAFICO3D

Estado 3s ( n =3 , l = 0 , ml = 0 ) =

Estado 2p ( n =2 , l = 1 , ml = -1 ) =

2py




GRAFICO 3D


GRAFICO 3D

Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 1 ) =

3px




GRAFICO 3D

Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = 0 ) =

3pz

Estado 3p ( n =3 , l = 1 , ml = -1 ) =

3py




GRAFICO 3D


Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 2 ) =

3dx2- y

2



GRAFICO 3D


GRAFICO 3D

Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 0 ) =

3dz2

Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = 1 ) =

3dyz




GRAFICO xyz 3D GRAFICO 3D


Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -1 ) =

3dyz



GRAFICO 3D


GRAFICO 3D

Estado 4f ( n =4 , l = 3 , ml = 0 ) =

Estado 3d ( n =3 , l = 2 , ml = -2 ) =

3dx2- y

2




GRAFICO 3D

18. Dibuje la función de onda

0/

3

0

1

1)(

ar

s ea

r

y la función de densidad de

probabilidad radial 0/2

3

0

2

1

4)(

ar

s ea

rrP

para el hidrogeno. Establezca

los valores de r en el rango desde 0 hasta 1,5 a0 donde a0 es el radio de Bohr

Solución

0/

3

0

1

1)(

ar

s ea

r

0/2

3

0

2

1

4)(

ar

s ea

rrP

SOLUCIONARIO R.SERWAY – J. JEWETT FISICA. Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.688 Sección 20,5.



19. La función de onda de estado base para el electrón en un átomo de hidrogeno es igual

a :

0/

3

0

1)(

are

ar

Donde r es la coordenada radial del electrón y a0 es el radio de Bohr. (a) Demuestre que la función de onda, como se ha dado, esta normalizada. (b) Determine la

probabilidad de localizar al electrón entre 2/01 ar y 2/3 02 ar

Solución

Parte (a) : Aplicando la condición de normalidad, que la suma debe ser uno: 12

dr

Según la probabilidad: drrP 224

dre

ar

ar

0

2

/

3

0

2 01

4

drea

r ar

0

/2

3

0

2

04

3

0

3

0 2

!24

a

a= 1

10

!.

n

axn

a

ndxex



Parte (b): Debemos hallar la Probabilidad : drea

ra

a

ar

2/3

2/

/2

3

0

20

0

04

drea

r ar

0/2

3

0

24

Hacemos : ma

r

0

2 dm

a

dr

0

2 reemplazo : dmem m

.2

1 2

integramos por partes : vduuvudv

Sea u = m2 y du = 2mdm

dmedv m v = em

Luego : mdmeem mm 2..2

1 2

dmeemem mmm 2..2.2

1 2

Otra vez integramos por partes : vduuvudv

Sea u = 2m y du = 2dm

dmedv m v = em

mmm eemem 2.2.2

1 2

Pero : ma

r

0

2

2

3

2

22

0

2

2

0

2

0

0

000 2.2

24

2

1

a

a

a

r

a

r

a

r

eea

re

a

r

Reemplazo los valores y obtengo :

111333 226.92

1 eeeeee

Simplificando : 3

2

2

175

e

e 0,497

20. La función de onda para un electrón en el estado 2p del hidrogeno es igual a :



02/

0

2/3

0

223

1 ar

p ea

r

a

¿Cuál es la distancia más probable del núcleo para poder encontrar un electrón en el estado 2p?

Solución

Valor de la probabilidad : drrrP 224)(

0/

2

0

2

3

0

2 .)2(3

1.4)(

are

a

r

arrP

Para hallar la distancia mas probable aplico : 0dr

dP

0.1

..4 00

0

43

a

r

a

r

ea

rer

040

43

a

rr 04

0

3

a

rr r = 0 04ar

21. Para un estado esféricamente simétrico de un átomo de hidrogeno, la ecuación de

Schrodinger en coordenadas esféricas es igual a :

Er

ek

dr

d

rdr

d

m

e

2

2

22 2

2

Demuestre que la función de onda 1s para un electrón en el hidrogeno :

0/

3

0

1)(

are

ar

Satisface la ecuación de Schrodinger Solución Simplificaremos el lado izquierdo, para llegar a E.

0/

3

0

1)(

are

ar

0/

03

0

.1

.1 ar

eaadr

d



0/

003

0

2

2

.1

.1

.1 ar

eaaadr

d

Reemplazo

000 /

3

0

2/

03

0

/

003

0

2 1..

1.

1.

2.

1.

1.

1

2

arearare

ar

eke

aare

aaam

Factorizo : 0/

3

0

1)(

are

ar

r

ke

aram

2

0

2

0

2 1.

21

2

r

ke

mrama

2

0

2

2

0

2

2

Factorizo :

r

ke

rama

2

00

2 21

2

Pero : 02

2

amke

r

2

0

2

kema

Reemplazo :

r

ke

rr

ke 22 21

2

r

ke

r

ke

r

ke 222

2

r

ke

2

2



E lq2d

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