LAS FUNCIONES Y ACCIONES DE LOS LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas magnitudes, como la velocidad de un cuerpo en movimiento. El nombre de función proviene de Leibnitz. A partir de los siglos XVIII y XIX el concepto de función se hace el eje central de las matemáticas, su estudio a través del cálculo y sobre todo de las ecuaciones diferenciales se hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico, primero al servicio de la Física y luego de otros campos.

I) FUNCIONES Y GRÁFICAS1. Concepto “intuitivo” de función. Las funciones como descripción de fenómenos¿Qué son las funciones?- la posición de un móvil es función del tiempo- la presión atmosférica es función de la altura- el peso medio de los chicos depende de la edad.

Expresiones semejantes ilustran bien lo que es una función en matemáticas. Las de arriba significan que:- a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad determinada)- a cada altura le corresponde una presión atmosférica- a cada edad le corresponde un peso medio.A esta asignación se le llama función.

El conjunto de elementos a los que se le asigna algo se llama el conjunto de definición o dominio de la función o campo de existencia. El conjunto de esos algo que se les va asignando se llama recorrido o conjunto imagen.

Ejemplo 1. Consideremos la función que a todo número se le asigna su inverso, el dominio de esta función es todos los reales menos el 0.Ejemplo 2. La función que a un nº real se le asigna su raíz cuadrada está definida sólo para los positivos. Es decir su dominio son los reales positivos (incluido el 0).

Expresiones algebraicas de una función. Formas de determinar una funciónExpresión simbólica de una función.

Las que estudiaremos nosotros son las que a cada número de un cierto conjunto le asigna otro número: funciones numéricas que llamaremos simplemente funciones.Definición 1. Se llama función real de variable real a toda aplicación:f : D --------- Rx ------------  f(x)      o    y =f(x)  siendo D  R  el dominio.

La letra f simboliza la asignación u operación que hay que hacer a la x, que llamaremos variable independiente, al valor f(x) se le llama variable dependiente o imagen de x.Ejemplo 3. La función f(x) =x2Ejercicio 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones;

a) ; b) g(x) = ln (x2+1); c) ; c) y = ; d) 

Representación gráficaEl conjunto de todos los pares 8x, y) donde x recorre el dominio de f se llama la gráfica de f. La gráfica es una herramienta muy útil para visualizar propiedades y comportamientos de una función (Ver apartado 4)Para representar una función se debe considerar:- El dominio o campo de existencia- Los cortes con los ejes- El signo de la función. Regiones de existencia- La simetría de la gráfica.- Los intervalos de crecimiento.–La relación con otras funciones conocidas.

Traslaciones y suma de gráficas. Representación conjunta de gráficasEn la figura 1 están representadas las gráficas de f(x)= x2 y la de g(x)=x2 -2

En la figura 2 están representadas las gráficas de f(x)= x2 y g(x) = (x +1)2

En la figura 3 están representadas las gráficas de las funciones f(x)=x2, g(x)= x3 y h(x) = x2 +x3

Límite de una funciónEl límite de una función real de variable real es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite que se aplica a otros conceptos de suma importancia como derivada o integral, más aún a las funciones de variable compleja.

Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir f en el punto c.

Funciones de variable reaSi la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice: El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo \varepsilon > 0 \; existe un \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función:

Esto, escrito en notación formal:

Esta formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación (o punto límite) del dominio de la función, se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ. Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que

El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:

Donde no existe un número c para el cual exista

Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales. En un caso análogo sí existe. Se considera el conjunto de todos los números irracionales del intervalo abierto (-1,1), designándolo con Ir, en el cual se define la función f(x)= 1, esto es cuando x está en En este caso existe el límite de cuando x tiende a, donde a es un punto arbitrario de (-1,1), sea racional o irracional.

Funciones en espacios métricosExiste otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos: Supóngase f: (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

Si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN (f(x), L) < ε. En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para todo x:

si   , entonces 

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:1. X pertenece a la vecindad (c - δ, c ) U ( c, c + δ ).2. X no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite (Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.)

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.

Supóngase que   y también que   

siendo L y L' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que   verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un

entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite   para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límites laterales