Las paradojas nos rodean: sorpresas para aprender M …mtwmastm/UV_2016.pdf · Mira al avaro, en...

Las paradojas nos rodean: sorpresas para aprenderM t M h St dl UPV/EHUMarta Macho Stadler, UPV/EHU

d j jparadojo, ja.(Del lat. paradoxus, y este del gr. ).1. adj. desus. paradjico.2. f. Idea extraa u opuesta a la comn opinin y al p p y

sentir de las personas.3. f. Asercin inverosmil o absurda, que se presenta con

apariencias de verdadera.4. f. Ret. Figura de pensamiento que consiste en emplear

i f l t di iexpresiones o frases que envuelven contradiccin. Mira al avaro, en sus riquezas, pobre.

GuinGuin

1. Paradojas del infinito2 P d j t i2. Paradojas geomtricas3. Paradojas lgicas4. Paradojas de la prediccin5. Paradojas de la probabilidad5. Paradojas de la probabilidad6.Y para terminar

1 P d j d l i fi it1. Paradojas del infinito

No haga como Kronecker, no deje pasar el infinito, sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor, en el pensamiento o en la vida.

Denis Guedj, Villa des hommes (2007)

Rob Gonsalves

Bienvenidas(os) al Hotel Infinity!Bienvenidas(os) al Hotel Infinity!H t l d

rase una vez Hotel Infinity, un hotel con infinitas habitaciones

Hotel de Hilbert

numeradas (1, 2, 3, 4, 5, etc.). Su eficiente recepcionista

BOB tiene la misin deBOB tiene la misin de asegurar el cumplimiento del

lema del hotellema del hotel

Se garantiza el alojamiento de cualquier

nuevo husped.

BOB

El hotel se encuentra lleno y llega un hombre

??

El hotel se encuentra lleno y llega un hombre

B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob, fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clientes

Cmbiate de tu habitacin n a la habitacin n+1,

por favor!p

As, la habitacin nmero 1 queda libre para el nuevo husped


Y qu pasa con el husped que se encontraba en la

lti h bit i ?ltima habitacin?


Y qu pasa con el husped que se encontraba en la ltima habitacin?encontraba en la ltima habitacin?

no hay ltima no hay ltima habitacin... BRAVO,

BOB!

Llega al Hotel Infinity (que est lleno) una excursin con infinitos Boy Scouts (numerados: 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados: 1, 2, 3, 4)

BOB entra en pnicopnico

Llega al Hotel Infinity (que est lleno) una excursin con infinitos Boy Scouts (numerados: 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados: 1, 2, 3, 4)

Cmbiate de tu habitacin na la habitacin 2n,

f !por favor!

De esa forma todas las y los huspedes se mudan a una habitacin par, y las habitaciones impares quedan libres...habitacin par, y las habitaciones impares quedan libres...

Hay tantos nmeros pares (e impares) como nmeros t l ! N l it d?naturales! No son la mitad?

Naturales Pares

1 2 BRAVO, BOB!

1 2

2 42 4

3 6

4 85 105 10... ...

no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir

Jess Malia, A Zenn de Elea en La cinta de Moebius (2007)

Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga. Como Aquiles es mucho l l t t h it i t t j lms veloz que la tortuga y es un hroe permite una cierta ventaja al

lentsimo animal.

Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga. Como Aquiles es mucho ms veloz que la tortuga y es un hroe permite una cierta ventaja alms veloz que la tortuga y es un hroe permite una cierta ventaja al lentsimo animal.

La prueba asombrosa de Zenn es que Aquiles no q q

puede nunca alcanzar a la tortuga,

independientemente de lo rpido que corra y de

lo larga que sea lalo larga que sea la carrera: cada vez que el perseguidor llega a un g g

lugar donde ha estado el animal, la tortuga se adelanta un poco...

Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga. Como Aquiles es mucho msveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentsimo animal.veloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentsimo animal.

La prueba asombrosa de Zenn es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga, independientemente de lo rpido que corra y de lo larga que sea la carrera: cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal, la tortuga se adelanta un poco...

La paradoja laparece al

pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo o de espacio

es infinitamente

di i ibldivisible.

2 P d j t i2. Paradojas geomtricas

Se duerme la tangenteen el punto efmero donde la circunferencia orillaun encuentro.

Daniel Ruiz, Geometra en oetas (2011)

Guy Billout

Los Embajadores

(1533)(1533)

Holbein el joven

(1497-1543)

National Gallery de LondresLondres

Jean de Dinteville (1504-1555),embajador francs en Inglaterra.

Jean de Dinteville (1504-1555),

embajador francs en Inglaterra.

Georges de Selve (1508-1541)

obispo de Lavaur.g




obispo de Lavaur.

Relojes solares, un globo j , gterrqueo, instrumentos de navegacin y de astronoma, libro de aritmtica,...




obispo de Lavaur.g

Relojes solares, un globo Y esto? j , gterrqueo, instrumentos de navegacin y de astronoma, libro de aritmtica,...

Antes de descubrirlo,... un poco dehistoria. Fecha: 11 de abril de 1533.

Poco tiempo antes, Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragn, ya que de su unin no habanacido ningn heredero varn. El

d t f lpapa no accede a este favor, lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533.A principios de abril, ThomasCranmer, el arzobispo de Canterbury,anula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra.

El hecho no tiene precedentes, y seenva una embajada francesa paraintentar una reconciliacin con elintentar una reconciliacin con elpapa: dos de estos embajadoresestn representados en el cuadro.

Y, al salir de la sala, al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista, aparece

Anamorfosis...

Y, al salir de la sala, al mirar el cuadro desde otro punto de vista, apareceotro punto de vista, aparece

Anamorfosis...

Firma del pintor? HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco

Muerte de la dinasta (Los Tudor)?

Qu es una anamorfosis?Qu es una anamorfosis?

Una anamorfosises una deforma-cin reversible decin reversible de una imagen a travs de proce-dimientos matedimientos mate-mticos u pticos.

En este grabado de Durero, el artista usa un retculo (velo de

Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo.

Y si no se coloca el enrejado deY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular?

La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo

San Juan Evangelista en Patmos, fresco ejecutado en los conventos de los Mnimos en Roma 1642 y en Paris 1644.y

Hay anamorfosis de muchos tipos: cilndricas, cnicas piramidales o combinaciones de variascnicas, piramidales, o combinaciones de varias

de ellas.

Anamorfosis cilndrica Mario Bettini, L'Oeil du cardinal Colonna, 1642,

http://members.aol.com/ManuelLuque3/miroirs.htm

Anamorfosis cnica

Istvn Orosz: La isla misteriosa...

Istvn OroszIstvn OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne

Luis XIII (1638)

Anamorfosis cnica

Siglo XVIII Museo del Cinema de

Girona

ANAMORPH ME!Existen programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosis.Una de ellas es Anamorph Me! que puede descargarse gratuitamented d htt // h i / ft ht ldesde: http://www.anamorphosis.com/software.html.

AnamorfosisAnamorfosis oblicua

desde abajo


Anamorfosis oblicua

desde arriba


Anamorfosis cilndrica


Anamorfosis cnica

Jonty Hurwitz

Istvn Orosz

Esculturas anamrficasanamrficas

Jonty Hurwitz

Esculturas anamrficas

Jonty Hurwitz

Deceptive outward appearance (http://olemartinlundbo.com/) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engaosa).

Le temps dplo es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps dploy es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay. Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio, con una altura de 5 metros, una anchura de 6 y una profundidad de 11

En la mitologaEn la mitologa griega, Medusa

era la ms terrible de las e b e de as

hermanas Gorgonas:

de su cabeza -en lugar de cabellos-

salan serpientes venenosas y

cualquiera que la mirara quedaba

instantneamente convertido en

estatua d i dde piedra.

Truly Design(2011)(2011)

Eduardo Relero

Grandes chorizos

Las anamorfosis se usan a menudo en seales de trfico para queLas anamorfosis se usan a menudo en seales de trfico, para que las seales sean correctamente interpretadas por conductoras/as.

Desapariciones geomtricasp g

FICHERO GIF: http://www.gifbin.com/983889

El segmento azul genera dos tringulos y el rojo dos

trapezoides, se reajustan

Ves la parte blanca? Es un paralelogramo

1con rea 1.

El ngulo agudo del paralelogramo blanco es p g

90 - 68.2 - 20.556 = 1.244.

As, el rea del paralelogramoAs, el rea del paralelogramo blanco es:

8.544 x sen(1.244) x 5.385 = 0 99880.9988

Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion

(1909)

"Teddy" es Theodore Roosvelt

que fue a frica a un qsafari en 1909.

7 hombres y 7 l ileones... y si

giras el crculo centralcentral...

6 hombres y 8 leones... qu hombre se ha

transformado en len?len?

Paradoja de CurryCurry

El primer rectngulo 1 1 3

tiene 6x13=78conejos.

Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar

quedan 77

2

5 quedan 77conejos!

25 6

3

4 466

Paradoja de CurryCurry

El primer rectngulo 1 1 3

tiene 6x13=78conejos.

Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar

quedan 77

2

5 quedan 77conejos!

Dnde ha ?quedado

el conejo que falta?

25 6

falta?34 466

3 P d j l i3. Paradojas lgicas

Tomen un crculoTomen un crculo, acarcienlo, y se har un crculohar un crculo

vicioso...

Eugne Ionesco, La cantante calva

Rafa Olbiski

Scrates. No hay ninguna manera de eliminar estas paradojas? Teeteto. Hay una manera muy simple, Scrates. Scrates. Cul es? Teeteto. Evitarlas, como hace casi todo el mundo, y no preocuparse por ellas. Karl Popper, 1983pp

El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protgoras ylugar entre el maestro Protgoras y

su discpulo Evatlo: el maestro acoge a Evatlo en su academia

l di i d lcon la condicin de que le pague los honorarios del curso al

ganar su primer pleito.

Terminado el curso, Evatlo no tiene ningn cliente para representar... g p ppero Protgoras demanda a su

discpulo, con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan

sus intereses argumentandoProtgoras

Evatlo: Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito, en ningn caso tendr obligacin detendr obligacin de pagar a Protgoras.

Si gano el pleito no Si gano el pleito no tendr que pagar ya que el Juez habr

d ti d ldesestimado la demanda.

Si lo pierdo, no habr ganado mi primer

pleito y por lo tanto no p y pse habr cumplido la

condicin que me obligaba pagar losobligaba pagar los

honorarios.

Evatlo: Tanto si gano como si pierdo este pleito, en ningn caso tendr obligacin de pagar a Protgoras. Si gano el pleito no tendr que pagar ya que el Juez habr desestimado la demanda. Si lo pierdo, no habr ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habr cumplido la condicin que me obligaba pagar los honorarios.g p g

Protgoras: Tanto si gano como si pierdo este pleito, Evatlo tendrpierdo este pleito, Evatlo tendr obligacin de pagarme. Si gano la demanda, tendr que pagarme pues sta es la cuestinpagarme pues sta es la cuestin que se debate en este pleito. Y si la pierdo, tambin tendr que pagarme porque significar que hapagarme, porque significar que ha ganado su primer pleito; es decir se habr cumplido la condicin de nuestro acuerdo.

Quin de los dos tiene razn? O l t d i ? Cno la tendr ninguno? Cmo solucionar este pleito?

En Barbilandia, el barbero, Jon, afeita a los que no se afeitan a s mismosafeitan a s mismos.

Quin afeita al barbero de Barbilandia?

Si Jon no se afeita a s mismo, ser una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a s mismas

Si Jon no se afeita a s mismo, ser una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a s mismas con lo cual Jon debera de afeitarse siendo por lo tanto unaafeitarse, siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a s mismass mismas

Si Jon no se afeita a s mismo, ser una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a s mismas

con lo cual Jon debera de afeitarse, siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a

s mismas

no debiendo por tanto afeitarsetanto afeitarse...

??

Esta sentencia es contradictoria!

JON NO EXISTE!

4. Paradojas de la prediccin

Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres:

el caballo, lla vaca,

y el conjunto caballo y vaca.

Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)

Itsvan Orosz

La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado

En la Edad Media, un rey de reconocida sinceridad, pronuncia su sentencia:

Una maana de este mesUna maana de este mes sers ejecutado, pero no lo sabrs hasta esa misma maana, de modo que cada noche te acostars con la d d i tduda, que presiento terrible, de si esa ser tu ltima sobre la Tierraltima sobre la Tierra...

En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda, el reo argumenta:

Si el mes tiene 30 das, es evidente que no podr ser ajusticiado el da 30, yaajusticiado el da 30, ya que el 29 por la noche sabra que a la maana i i h b dsiguiente habra de

morir... As que el ltimo da posible para cumplir la p p psentencia es el 29. Pero entonces, el 28 por la

h t d l t dnoche tendr la certeza de que por la maana ser ejecutado... j

En la soledad de su celda, el reoargumenta:argumenta: Si el mes tiene 30 das, es evidente que no podr ser ajusticiado el da 30, ya que el 29 por la noche sabra que a la maana siguiente habra de morir. As que el ltimo da posible paraAs que el ltimo da posible para cumplir la sentencia es el 29. Pero entonces, el 28 por la noche tendr la certeza de que por la maana ser ejecutado...

Continuando de este modo, el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucin imposible, y comienza a dormir aliviado, aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertad

Pero, SORPRESA, un da cualquiera por ejemplo el da 13, el verdugo, con el hacha afilada en la mano, despierta al reo... que instantes ms tarde es decapitado.

La sentencia se cumple literalmente...

Dnde haDnde ha fallado el

razonamientorazonamiento del

condenado?condenado?

Una solucin puede pasar por la nocin fundamental de p p pque no es lo mismo el da 30, ms el da 29, ms el da 28, etc., que el mes.

Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicin de sus partesde la mera adicin de sus partes.

El anlisis individual, da por da, por parte del prisionero es irreprochable... pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que posean sus partes (cada da), no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t ti t t l dincorporado algunas caractersticas: entre otras la de contener

d das sorpresa.

El hombre calvo: describiras a un hombre con un pelo en la cabeza como calvo?en la cabeza como calvo?

Me cont ayer los cabellos de la cabeza y tena 3.000.000..., y no soy calva. Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo ser si me arranco una cana, es decir, con 2 999 999 pelos seguira sin ser calva pero entonces si me2.999.999 pelos seguira sin ser calva... pero entonces, si mequito otro pelo, tampoco lo sera, es decir, no sera calva con 2.999.998 pelos.2.999.998 pelos. Continuando de este modo, es claro que con 3 pelos no sera

Acercamiento a

l j id l llenguaje ideal; los esencial es la

precisin, la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar:

Frege y Russell.g y

??

Acercamiento a lenguaje ideal; esencial la ideal; esencial la precisin, la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar:un defecto a eliminar: Frege y Russell.

Utilizacin de lgicasmultivaluadas(no clsicas), como la lgica difusade Goguen y Zadeh.

?Zadeh.

?

Acercamiento a lenguaje ideal; esencial la ideal; esencial la precisin, la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar:un defecto a eliminar: Frege y Russell.

Utilizacin de lgicasmultivaluadas(no clsicas), como la lgica difusade Goguen y Zadeh.

?Dicho de una persona: Que ha Zadeh.

?perdido el pelo de la cabeza

5. Paradojas de la probabilidad

Pero de todos es sabido que a las niasPero de todos es sabido que a las nias nos gustan las miniaturas,y nunca podremos resistirnos a una mueca rusa hecha de dadosmueca rusa hecha de dadoscada vez ms pequeos,uno dentro de otro hasta el abismo.

Sofa Rhei, Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia

l il (2010)voltil (2010)

O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote

Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene ms larga...

El rostro humano de las Matemticas, RSME

Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene ms larga...

Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemtica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales. Isaac propone a Carlos el siguiente juego: aquel que tenga la corbata ms larga se la regala al otro. Carlos que sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio razona de la siguiente manera:

Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemtica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales. Isaac propone a Carlos el siguiente juego: aquel que tenga la corbata ms larga se la regala al otro. Carlos que sabe que Isaac no juega

Mi corbata mide C centmetros. Hay 1 posibilidad sobre 2 de

g q q j gsiempre limpio razona de la siguiente manera:

que mi corbata sea ms larga que la de Isaac, es decir, hay un 50% de posibilidades de perder mi corbata de longitud C. En caso contrario ganar la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario, ganar la corbata de Isaac que mide I y es ms larga que la ma.

Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemtica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales. Isaac propone a Carlos el siguiente juego: aquel que tenga la corbata ms larga se la regala al otro. Carlos que sabe que Isaac no juega

Mi corbata mide C centmetros. Hay 1 posibilidad sobre 2 de

g q q j gsiempre limpio razona de la siguiente manera:

que mi corbata sea ms larga que la de Isaac, es decir, hay un 50% de posibilidades de perder mi corbata de longitud C. En caso contrario ganar la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario, ganar la corbata de Isaac que mide I y es ms larga que la ma.

As, en el 50% de los casos pierdo C y en el 50% de los casos gano ms que C. La

ganancia media es positiva asganancia media es positiva, as que jugar con Isaac.

El juego es simtrico, as que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable.

Pero esto es paradjico Debe de haber algn error.En efecto, el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir:1. supone que todas las longitudes posibles e imaginables

de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir,2. y conjetura que dada una longitud cualquiera L, la mitad

de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menor

El juego es simtrico, as que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable.

Pero esto es paradjico Debe de haber algn error.En efecto, el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir:1. supone que todas las longitudes posibles e imaginables

de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir,2. y conjetura que dada una longitud cualquiera L, la mitad

de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menor

Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro... Isaac lo tendra fcil para

ganar...

Si la corbata de Carlos midiera 1 metro... Isaac lo tendra fcil para ganar...

Es decir, el error viene de aplicar el principio de indiferencia en ausencia de datos precisos, las p ,

probabilidades entre los distintos casos son iguales.

Para jugar a este juego, habra que dar una probabilidad aPara jugar a este juego, habra que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible: por ejemplo, si C es igual a un metro la probabilidad de encontrar corbatas ms largas que un metro seguro que es menor que la de

topar con una ms corta

La paradoja d K i hikde Kraichik

5 Y para5. Y para terminar un

poco de t l topologa

Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro, es decir, una superficie que tiene como

bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados.

Si se hace lo mismo, pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Mbiusuno de ellos 180 , se obtiene es una banda de Mbius.

La banda de Mbius slo tiene una cara (y

i b d )un nico borde)

La banda de Mbius es no orientable: dibuja por ejemplo una flecha sobre la banda, y muvela a lo largo de su nica cara observa que cuando regresas al punto de partida, la flecha ha cambiado de sentido!

Qu se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600? Se trata (topolgicamente) de un cilindro: este objeto y el obtenidocilindro: este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ningn giro

son homeomorfos; se est id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del

mismo modo en ambos casos. Slo hay dos posibilidades al

pegar una banda por dos de sus extremos opuestos: o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos, se gira uno de ellos un mltiplo par de 1800) o bien una banda de Mbius (sio bien una banda de Mbius (si antes de pegar los extremos, se

gira uno de ellos un mltiplo impar de 1800)impar de 1800)

Strip II de Escher

En la primera cara de una banda de papel rectangular (al menos 10 veces ms larga que ancha) se escribe la mitad de la poesa:Trabajar, trabajar sin cesar,para mi es obligacinpara mi es obligacinno puedo flaquearpues amo mi profesinp p

Poema sobre banda de Mbius, Luc tienne (1908-

1984))

En la primera cara de una banda de papel rectangular (al menos 10 ) veces ms larga que ancha) se escribe la mitad de la poesa:

Trabajar, trabajar sin cesar,para mi es obligacinpara mi es obligacinno puedo flaquearpues amo mi profesin

Se gira esta tira de papel sobre su lado ms largo (es esencial) y seSe gira esta tira de papel sobre su lado ms largo (es esencial), y seescribe la segunda mitad del poema:Es realmente un tostnperder el tiempo,y grande es mi sufrimiento,

d t d icuando estoy de vacacin.

Poema sobre banda de Mbius, Luc tienne (1908-1984)

Se pega la tira para obtener una banda de Mbius y sobre ella se leep g p y(slo tiene una cara) algo con sentido opuesto a la suma de los dospoemas anteriores:

Trabajar trabajar sin cesar es realmente un tostnTrabajar, trabajar sin cesar, es realmente un tostnpara mi es obligacin perder el tiempo

no puedo flaquear y grande es mi sufrimiento,p q y g ,pues amo mi profesin cuando estoy de vacacin.

Mag Lari Berto

Buenafuente

Cilindro Berto

Buenafuente

Cilindro Banda de Mbius

Buenafuente

Cilindro Banda de Mbius

Cilindro (con giro de 360 grados)

Las paradojas nos rodean: sorpresas para aprender M …mtwmastm/UV_2016.pdf · Mira al avaro, en...

Documents

Transcript of Las paradojas nos rodean: sorpresas para aprender M …mtwmastm/UV_2016.pdf · Mira al avaro, en...