LAS SIMETR´IAS Y EL TEOREMA ENORME - Hasiera …mtpalezp/lassimetrias.pdf · 2007-10-30 · LAS...

LAS SIMETRIAS Y EL TEOREMA ENORME

Pedro Alegrıa ([email protected])

El matematico, como el pintor o el poeta, es un constructor de disenos. El hecho deque sus disenos sean mas permanentes que los de los otros se debe a que estan hechoscon ideas.

G. Hardy (1877-1947)

El sentido en que se enrosca una concha de caracol es un rasgo hereditario quese encuentra en su constitucion genetica, como sucede con ... la manera en que seenrosca el conducto intestinal en la especie humana... Tambien observamos que laconstitucion quımica mas profunda del cuerpo humano senala que hay un tornillodentro, un tornillo que gira del mismo modo en todos nosotros (¿la molecula delADN?).

H. Weyl (1885-1955)

INDICE

1. Introduccion.

2. Nociones teoricas abstractas.

3. Grupos de simetrıa puntuales.

4. Grupos de simetrıa de los frisos.

5. Grupos cristalograficos planos.

6. Grupos cristalograficos espaciales.

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mailto:[email protected]

1. INTRODUCCION.

El desarrollo de un resultado matematico hace que muchas veces la formulacion final no tenganingun parecido con el origen del problema y que se pierdan los detalles relativos a su naci-miento y temprana evolucion. La exposicion precisa y metodica de un libro hace pensar que lasmatematicas constituyen un ente rıgido e inmutable. Sin embargo, la parte mas excitante de lasmatematicas la forman el proceso de invencion y descubrimiento. Ası, muchas veces, mirandoejemplos y buscando caracterısticas comunes a los mismos, se pueden descubrir las razones deesas analogıas y desarrollar las subsiguientes ideas matematicas.

Lo primero que debemos hacer al analizar una estructura que presenta simetrıas en el mundoreal es decidir a que categorıa pertenece:

- Figuras finitas: no tienen simetrıas por traslacion.

- Bandas o cintas: tienen simetrıas por traslacion en una direccion.

- Murales: tienen simetrıas por traslacion en dos direcciones diferentes.

Esta clasificacion no es tan simple como parece porque muchos modelos estan hechos con variasestructuras menores.

La composicion de formas variadas puede estudiarse tanto en un contexto matematico comoartıstico. Por ejemplo, dos bandas pueden unirse para formar una banda mas larga. En algunoscasos, la combinacion de estas bandas tiene mas simetrıas que las de cada una de sus com-ponentes, pero a veces la simetrıa es menor. En cualquier ejemplo, como puede ser una piezade porcelana china, una discusion de la interaccion artıstica de las bandas componentes es tanimportante como una discusion de la interaccion matematica.

En arte la nocion de simetrıa se asocia con los conceptos de equilibrio, belleza y orden. Deeste modo, si las primeras manifestaciones de la simetrıa aparecen en la naturaleza organicae inorganica -flores, animales, minerales, etc.-, en el arte se desarrolla, bien como copia dela naturaleza, bien apoyada en una idea que tiene como soporte el concepto matematico de lasimetrıa. Las “simetrıas”se presentan tambien a veces enmascaradas en estructuras matematicasmuy complejas que, cuando son estudiadas exhaustivamente, permiten salir a flote con sus corres-pondientes formulaciones generales que las originan. Por ejemplo, en el estudio de las relacionesdefinitorias de un p-grupo de clase maximal, hemos obtenido por metodos computacionales unatabla para p = 31 que al colorear permite conjeturar las regiones que representan uniformidadeso “simetrıas”.

Las simetrıas tambien aparecen en expresiones matematicas como pueden ser las siguientesdescomposiciones numericas:

1×8+1 = 9

12×8+2 = 98

123×8+3 = 987

1234×8+4 = 9876

12345×8+5 = 98765

123456×8+6 = 987654

1234567×8+7 = 9876543

12345678×8+8 = 98765432

123456789×8+9 = 987654321

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

111111112 = 123456787654321

1111111112 = 12345678987654321

3

1×9+2 = 11

12×9+3 = 111

123×9+4 = 1111

1234×9+5 = 11111

12345×9+6 = 111111

123456×9+7 = 1111111

1234567×9+8 = 11111111

12345678×9+9 = 111111111

123456789×9+10 = 1111111111

9×9+7 = 88

98×9+6 = 888

987×9+5 = 8888

9876×9+4 = 88888

98765×9+3 = 888888

987654×9+2 = 8888888

9876543×9+1 = 88888888

98765432×9+0 = 888888888

987654321×9−1 = 8888888888

12345679×9×1 = 111111111

12345679×9×2 = 222222222

12345679×9×3 = 333333333

12345679×9×4 = 444444444

12345679×9×5 = 555555555

12345679×9×6 = 666666666

12345679×9×7 = 777777777

12345679×9×8 = 888888888

12345679×9×9 = 999999999

1122334455667789×99×1 = 111111111111111111

1122334455667789×99×2 = 222222222222222222

1122334455667789×99×3 = 333333333333333333

1122334455667789×99×4 = 444444444444444444

1122334455667789×99×5 = 555555555555555555

1122334455667789×99×6 = 666666666666666666

1122334455667789×99×7 = 777777777777777777

1122334455667789×99×8 = 888888888888888888

1122334455667789×99×9 = 999999999999999999

Ya desde las civilizaciones mas antiguas, los sımbolos usados en cualquier representacion artısti-ca, tanto en la construccion civil, militar o religiosa, han estado dotados de simetrıa. Por ejemplo,edificios destinados al culto como son los templos griegos, las iglesias cristianas, etc., tienen si-metrıa axial.

La teorıa de grupos de permutaciones puede usarse para analizar una gran variedad de disenosque aparecen en el arte y la arquitectura. Una pequena lista de lugares donde se pueden encontrardisenos interesantes es la siguiente:

Paredes de ladrillos. Diversos disenos corresponden a distintas clasificaciones que dan lugara distintos tipos de grupos de simetrıas.

Alfombras y paredes pintadas. Muchos museos y lugares publicos contienen variadas es-tructuras que puede interesar estudiar y comparar.

El arte de M.C. Escher. Este artista construyo una gran cantidad de murales fascinantes,entre los que se incluyen originales divisiones regulares del plano. Pueden compararse conlos trabajos del disenador de la epoca victoriana William Morris.

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Arte islamico. Es bien conocido el hecho de la existencia de disenos simetricos en la Al-hambra de Granada. Recordemos el nombre de arabescos para representar disenos conestructuras curvilıneas muy comunes en el arte del Islam.

Arte renacentista. Fue frecuente el uso de los grupos de simetrıa puntuales, llamadosgrupos de Leonardo pues este artista los aplico en el diseno de capillas, de manera que alanadir nuevos elementos a la capilla inicial se conservase la simetrıa de la misma. Leonardodescubrio que los unicos grupos de isometrıas en el plano son los grupos cıclicos Cn ydiedricos Dn, para todo n natural.

Los grupos de simetrıa puntuales fueron usados en arquitectura religiosa, en construccionesmilitares (como fortalezas de planta estrellada), y en ornamentacion e iluminacion de edificios(como los rosetones de las fachadas de las catedrales goticas). En la actualidad se usan en laconstruccion de urbanizaciones, situando en el punto central de la simetrıa los servicios comunes,como pueden ser una plaza, una piscina, una zona recreativa, etc.

En arquitectura, los grupos puntuales predominantes son D1 y D2; en las piramides de Egiptoaparece D4; hay torres con grupo de simetrıa de D6. La simetrıa con grupo D5 es bastanteinusual, no obstante hay edificios emblematicos, como por ejemplo, el edificio del Pentagono enWashington que las utiliza; el templo Bahai (Chicago) tiene grupo de simetrıa D9. Por contra,la simetrıa de tipo 5 aparece con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo, en las flores. El grupoD6 es el que poseen los copos de nieve.

Veamos la aplicacion de las ideas contenidas en los grupos simetricos a la cristalografıa.

A los cristalografos les interesan los grupos finitos de isometrıas que surgen como subgrupos delos grupos de simetrıa de las celosıas tridimensionales. Se ha probado que se trata precisamentede los casos especiales en los que las unicas rotaciones que ocurren tienen perıodos 2, 3, 4 o 6.Consideraciones cristalograficas reducen estos grupos rotacionales a

C1, C2, C3, C4, C6, D2, D3, D4, D6, A4, S4.

Una de las preocupaciones del Arquitecto, a lo largo de los siglos, ha sido embellecer sus construc-ciones mediante la ornamentacion de las mismas. En el arte de la ornamentacion han destacadolos egipcios, los chinos, y sobre todo los arabes.

Uno de los primeros estudios matematicos sobre los mosaicos fue dirigido por J. Kepler en 1619,quien, en su libro “Harmonice Mundi”, ya observo que los unicos polıgonos regulares que cubrenel plano son el triangulo, el cuadrado y el hexagono. Despues tuvieron que pasar mas de 200anos para que se produjeran avances significativos con respecto a la teorıa matematica de losembaldosados.

A modo de resumen, existe un numero infinito de grupos de simetrıas finitos, del plano, carac-terizados en dos familias, a saber, de tipo cıclico, o de tipo diedrico. Por otro lado, se puededemostrar que existe un numero finito de grupos de simetrıas infinitos. De entre estos, si llama-mos grupos de frisos a aquellos que contienen solamente traslaciones en una direccion, existenexactamente 7 de ellos; por otro lado, si llamamos grupos cristalograficos planos a aquellos quecontienen traslaciones en dos direcciones, existen exactamente 17 grupos de ellos y ningunomas (este es el merito del matematico). A pesar de que ya eran conocidos los 17 grupos desdetiempos pasados (todos ellos han sido encontrados en la Alhambra de Granada), su verificacionmatematica fue realizada por primera vez por E. Fedorov en 1890. La version tridimensional deesta teorıa es muy importante en fısica y en cristalografıa, de ahı que estos grupos reciban elnombre de grupos cristalograficos. Es tambien un resultado debido a Fedorov y Schoenflies (en

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un principio trabajando independientemente y despues aunando esfuerzos) que existen exacta-mente 230 tipos de grupos cristalograficos. En el caso de dimension cuatro, existen exactamente4895 de estos grupos, clasificacion terminada en 1974 por H. Brown, R. Bulow, J. Neubuser, H.Wondratscheck y H. Zassenhaus.

Como ya hemos indicado, el interes matematico de esta teorıa se extiende tambien a otras disci-plinas, como la cristalografıa, el arte, mecanica cuantica (disposicion de partıculas subatomicas),criptologıa (estudio de codigos secretos en comunicacion), biologıa, etc.

La simetrıa ornamental es la mas complicada pero mas interesante clase de simetrıa geometri-ca. En tres dimensiones, caracteriza el ordenamiento de atomos en los cristales, por lo quetambien recibe el nombre de simetrıa cristalografica.

En el arte y la naturaleza, el esquema ornamental bidimensional mas frecuente es el hexagonal:azulejos, panales de abejas. Es la disposicion natural (mas economica) que se consigue en elempaquetamiento de cırculos del mismo radio.

Cada cırculo es tangente a otros seis, los puntos de interseccion forman hexagonos regulares;al sustituir los cırculos por los hexagonos circunscritos se obtiene una configuracion que puedecubrir todo el plano.

Esta disposicion es, de entre todas las divisiones del plano en partes iguales, la de menor longitudde contorno. Por tanto, aparece en otras estructuras, como el pigmento de la retina ocular. En lospanales, que se construyen de forma cilındrica girando las abejas sobre sı mismas, la capilaridadactua sobre la cera semifluida y transforma los cırculos en hexagonos inscritos.

2. NOCIONES TEORICAS ABSTRACTAS.

En Matematicas, la estructura basica en donde se producen los movimientos que dan lugar asimetrıas corresponde al espacio euclıdeo. El espacio euclıdeo ordinario se puede considerar comoel conjunto de vectores con origen un punto fijado previamente (el origen de coordenadas). Alcambiar dicho origen de referencia, se obtiene un nuevo espacio vectorial, isomorfo al anteriorpero no identico. Para que no intervenga en la definicion ninguna eleccion arbitraria del origen,se construye el llamado espacio afın. Expondremos a continuacion la definicion axiomatica deestos espacios y las propiedades basicas de los elementos que intervienen en estos espacios. Su-pondremos conocidas las nociones elementales de espacio vectorial y espacio normado, ası comola de aplicacion lineal entre espacios vectoriales.

Definicion 1. Dados un conjunto A no vacıo y un espacio vectorial T sobre un cuerpo deescalares K, decimos que A es un espacio afın sobre K con grupo de traslaciones T si existe

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una operacion externa ψ : A × T −→ A definida por ψ(P, v) = P + v con las siguientespropiedades:

i) ψ(P, 0) = P, ∀P ∈ A.

ii) ∀P,Q ∈ A, existe un unico v ∈ T tal que ψ(P, v) = Q (en cuyo caso escribiremos v =−−→PQ.

iii) ψ(P + v, w) = ψ(P, v+w), ∀P ∈ A, ∀v, w ∈ T (lo que equivale a la propiedad−−→PQ+

−−→QR =

−→PR, ∀P,Q,R ∈ A).

Los elementos de A reciben el nombre de puntos, los de T traslaciones (o direcciones) y los deK escalares. La unica traslacion

−−→PQ que envıa el punto P en el punto Q es el vector de origen

P y extremo Q.

Si A es un espacio afın con grupo de traslaciones T , una variedad afın de A viene determinadapor un punto P0 ∈ A y un subespacio vectorial S de T , y esta definida por

A′ = {Q : Q = P0 + u, u ∈ S} = {Q ∈ A :−−→P0Q ∈ S}.

Al subespacio vectorial S se le denomina direccion de A′ y se escribe A′ = P0 + S.

Una referencia en un espacio afın, es el conjunto R = {O;B}, formado por un punto O de A,llamado origen de referencia, y una base B del espacio T .

Si el cuerpo de escalares es K = R, decimos que A es un espacio afın euclıdeo. Si T es enparticular un espacio normado, podemos definir sobre A una distancia

d : A×A → R,

pord(P,Q) = ‖

−−→PQ‖.

Definicion 2. Dados dos espacios afines A1 y A2 sobre K con grupos de traslaciones T1 y T2,respectivamente, una aplicacion g : A1 → A2 es una aplicacion afın si existe f : T1 → T2 lineal(llamada aplicacion lineal asociada) tal que

f(−−→PQ) =

−−−−−−→g(P )g(Q), ∀P,Q ∈ A1.

En el caso particular de que A1 y A2 sean espacios afines euclıdeos, una aplicacion g : A1 → A2

se dice isometrıa sid2(g(P ), g(Q)) = d1(P,Q), ∀P,Q ∈ A1

(la distancia entre dos puntos coincide con la distancia entre sus imagenes).

La condicion anterior equivale a decir que g es una aplicacion afın cuya aplicacion lineal asociadaf es una transformacion ortogonal (conserva la longitud de los vectores). Ası, una isometrıa quedaunıvocamente determinada conocidas la imagen de un punto y su aplicacion lineal asociada. Lasisometrıas son claramente aplicaciones inyectivas.

Dos espacios afines son isometricos si existe una isometrıa biyectiva entre ellos.

Llamamos movimiento a toda isometrıa de un espacio afın en sı mismo.

El conjunto de movimientos de un espacio afın es un grupo con respecto a la composicion deaplicaciones.

Como la aplicacion lineal asociada a un movimiento es una transformacion ortogonal, la matrizasociada a dicha aplicacion con respecto a cualquier base tiene determinante igual a ±1. Portanto, podemos clasificar los movimientos en un espacio afın en dos tipos:

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1. Movimientos directos: det f = 1 (no cambian la orientacion de la figura). Tienen lassiguientes propiedades generales:

P.1.- Todo movimiento directo queda unıvocamente determinado por dos puntos y susimagenes (esto se basa en que ningun movimiento directo puede tener dos puntosfijos).

P.2.- El conjunto de movimientos directos es un subgrupo del grupo de movimientosgenerado por las traslaciones y las rotaciones.

1.1. Traslacion. Dado un vector arbitrario −→v , se define la traslacion de vector −→v comoel movimiento τv : A → A dado por τv(P ) = P ′ si

−−→PP ′ = −→v .

Por definicion, todos los mosaicos son invariantes por traslaciones (esto asegura que unmismo diseno ornamental se repite al trasladarlo en alguna direccion).

Propiedades.

i) Toda traslacion es una isometrıa directa.

ii) La aplicacion lineal asociada a una traslacion es la identidad.

iii) La composicion de dos traslaciones de vectores −→v y −→w es la traslacion de vector−→v +−→w .

iv) La composicion de traslaciones es conmutativa.

v) El inverso de una traslacion de vector −→v es la traslacion de vector −−→v .

vi) El conjunto de traslaciones es un subgrupo normal del grupo de movimientos.

vii) Si −→v 6= 0, la traslacion τv no tiene puntos fijos.

viii) En el plano euclıdeo, si −→v = (a, b), entonces

τv(x, y) = (x+ a, y + b) = (a, b) + (x, y)(

1 00 1

).

1.2. Rotacion. Fijados un punto O ∈ A y un numero α, se define la rotacion de centroO y angulo α al movimiento ρO,α : A → A dado por ρO,α(P ) = P ′ si d(O,P ) = d(O,P ′)y POP ′ = α.

Propiedades.

i) Toda rotacion es isometrıa directa.

ii) La composicion de dos rotaciones de angulos α y β es una rotacion de angulo α+ β.

iii) La composicion de rotaciones no es conmutativa.

iv) Si α 6= 0, el unico punto fijo de la rotacion ρO,α es O.

v) En el plano, una rotacion transforma rectas paralelas en rectas paralelas.

vi) En el plano euclıdeo, si O = (x0, y0),

ρO,α(x, y) = (x0, y0) + (x− x0, y − y0)(

cosα senα− senα cosα

).

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2. Movimientos inversos: det f = −1 (invierten la orientacion de la figura).

2.1. Reflexion. Si A′ = (P0;S) es una variedad afın del espacio afın euclıdeo, llamamosreflexion (o simetrıa ortogonal) respecto de esta variedad a toda aplicacion σA′ : A −→A, dada por

σA′(P ) = P ′,

con P ′ = P+2−−→PQ, donde Q es la proyeccion ortogonal de P sobre A′ (en el plano euclıdeo,

S es la mediatriz del segmento PP ′).

Propiedades.

i) Si A′ es un hiperplano, σA′ es un movimiento inverso. (Las simetrıas respecto a hi-perplanos tienen una especial importancia, ya que toda traslacion se puede expresarcomo composicion de dos simetrıas respecto a hiperplanos paralelos.)

ii) Toda reflexion es una involucion (su cuadrado es la identidad).

iii) En el plano euclıdeo, si r es la recta que pasa por el punto (x0, y0) y forma un anguloα con el eje X,

σr(x, y) = (x0, y0) + (x− x0, y − y0)(

cos 2α sen 2αsen 2α − cos 2α

).

2.2. Reflexion deslizada. Llamamos reflexion deslizada (o simetrıa con deslizamien-to) a la composicion de una simetrıa respecto de un hiperplano con una traslacion devector no nulo en la direccion del hiperplano, SA′,v = τv ◦ σA′ .

Propiedades.

i) Toda reflexion deslizada es un movimiento inverso.

ii) Una reflexion deslizada no tiene puntos fijos.

iii) El cuadrado de una reflexion deslizada es una traslacion.

iv) En el plano euclıdeo, si r es la recta que pasa por el punto (x0, y0) y forma un anguloα con el eje X, y −→v = (a, b),

Sr,v(x, y) = (x0 + a, y0 + b) + (x− x0, y − y0)(

cos 2α sen 2αsen 2α − cos 2α

).

Un resultado general sobre los movimientos en espacios afines euclıdeos es elsiguiente.

Teorema (de Cartan-Dieudonne). Sea A espacio afın euclıdeo de dimension n. Todo movi-miento g de A es composicion de r reflexiones respecto de hiperplanos, para algun r ≤ n + 1,es decir, g se puede expresar como composicion de a lo sumo n + 1 reflexiones. Ademas, loshiperplanos de r − 1 de estas reflexiones pueden elegirse pasando por un punto fijo O.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO EUCLIDEO

Designaremos por O2 al grupo de los movimientos de un espacio afın euclıdeo A de dimension2. Haciendo uso del teorema anterior, se tienen las siguientes caracterizaciones de los diferenteselementos de O2.

Proposicion. Sea g ∈ O2 un movimiento de A distinto de la identidad.

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(a) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a.1) g es una traslacion.

(a.2) g es composicion de dos reflexiones de ejes paralelos.

(a.3) g es un movimiento directo sin puntos fijos.

(b) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(b.1) g es una rotacion.

(b.2) g es composicion de dos rotaciones del mismo centro.

(b.3) g es composicion de dos reflexiones de ejes no paralelos.

(b.4) g es un movimiento directo con un unico punto fijo.

(c) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(c.1) g es un simetrıa.

(c.2) Existen dos puntos distintos, fijos por g.

(d) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(d.1) g es un simetrıa con deslizamiento.

(d.2) g es un movimiento inverso sin puntos invariantes.

Como consecuencia de los resultados anteriores, podemos clasificar los movimientos del plano,teniendo en cuenta sus puntos invariantes, en cinco tipos:

g = IA ⇐⇒ todo el plano es de puntos fijos.g = σR ⇐⇒ tiene una recta de puntos fijos.g = ρC,θ ⇐⇒ tiene un unico punto fijo, el centro C del giro g.

g = τu es una traslacion ⇐⇒ es un movimiento directo sin puntos fijos.g es una reflexion deslizada ⇐⇒ es un movimiento inverso sin puntos fijos.

Veamos representaciones graficas de estos movimientos, y el efecto optico sobre figuras concretasdel plano:

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Un subgrupo H de O2 se dice discontinuo o discreto si para cada punto P del plano A, existealgun entorno con centro en P que no contiene ninguna imagen α(P ), α ∈ H, distinta de P (loque significa que no hay operaciones proximas a la identidad salvo la propia identidad). Estacondicion es equivalente a decir que la orbita H(P ) = {α(P ) : α ∈ H} de cualquier punto Ptiene interseccion finita con cualquier conjunto acotado D de A.

En un grupo discontinuo, el conjunto generado por la rotacion ρO,α es finito, es decir ∃n ∈ N talque ρO,α

n = I. Por tanto, α = 2π/n, con n entero.

Si H es un subgrupo discontinuo del grupo de traslaciones T , entonces, o bien H se reduce a laaplicacion identidad, o bien H esta generado por una traslacion de vector no nulo v, o bien Hesta engendrado por dos traslaciones de vectores linealmente independientes. En el lenguaje dela teorıa de grupos, esto equivale a decir que H es trivial, o cıclico infinito, o abeliano libre derango 2:

H ∈ {1, C∞, C∞ × C∞}.

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A continuacion, estudiamos grupos de simetrıa H del plano cuya interseccion con el subgrupode traslaciones sea un subgrupo discontinuo, es decir sea uno de los tres casos anteriores, asaber:

H ∩ T = {I} (1)H ∩ T = {τnv : n ∈ Z} (2)H ∩ T = {τnv ◦ τmw : n,m ∈ Z}, (3)

donde v y w generan el espacio vectorial T .

El caso (1) no contiene traslaciones. Esto implica que todas las rotaciones tienen el mismo centro.Son grupos discretos planos con solo rotaciones y reflexiones, llamados grupos de Leonardoo grupos puntuales.

El caso (2) contiene una traslacion basica que genera todo el grupo. Este corresponde a gruposdiscretos planos que contienen rotaciones, reflexiones, reflexiones deslizadas y traslaciones enuna sola direccion y son los llamados grupos de frisos.

En el caso (3) las traslaciones forman un retıculo bidimensional. Este caso corresponde a losgrupos cristalograficos planos, o grupos planos de Fedorov.

Estudiaremos a continuacion con mas detalle estos tres tipos de grupos.

3. GRUPOS DE SIMETRIA PUNTUALES

Vamos a dar el soporte matematico en el que se basa la clasificacion de los grupos de simetrıa delplano que tienen un punto fijo, tambien llamados de Leonardo debido al uso sistematico de losmismos realizado por Leonardo da Vinci en sus disenos arquitectonicos de capillas. En segundolugar estudiaremos los frisos, grupo de gran uso en la Arquitectura sobre todo ornamental.

Teorema 1. Si H es un subgrupo de O2 que no contiene ninguna traslacion no trivial, es decirH∩T = {I}, entonces H fija puntos. Es decir, existe O ∈ A tal que g(O) = O para cualquier gde H.

Teorema 2. Si H es un subgrupo de O2 con un numero finito de elementos, entonces H fija unpunto y ademas, o bien es un grupo engendrado por un giro (por tanto un grupo cıclico), o bienes un grupo engendrado por un giro y una simetrıa (con estructura de grupo diedrico).

Definicion. Todo grupo finito de movimientos del plano recibe el nombre de grupo puntualo de Leonardo.

Por ser el grupo finito, no contiene ninguna traslacion propia y el grupo tiene un punto fijo.Del teorema 2 se deduce que existen infinitos grupos de Leonardo y son cıclicos o diedricos: Cn

o Dn, con n ∈ N. Veamos las tablas de estos grupos.

Grupo cıclico de orden n generado por un elemento g:

Cn = 〈g〉 = {1, g, g2, . . . , gn−1},

donde la multiplicacion se define por

gi · gj = gi+j = g(i+j)0 ,

siendo (i+ j)0 el resto modulo n del exponente i+ j.

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Veamos como ejemplo la tabla de multiplicacion de C4:C4 1 g g2 g3

1 1 g g2 g3

g g g2 g3 g4 = 1g2 g2 g3 g4 = 1 g5 = g

g3 g3 g4 = 1 g5 = g g6 = g2

Grupo diedrico de orden 2n generado por dos elementos a y b:

Dn = 〈a, b : an = 1, b2 = 1, ab = a−1〉 = {ai, aib : 0 ≤ i ≤ n− 1}.

[El sımbolo ab representa, como es usual, la operacion de conjugacion b−1ab.]

Multiplicacion:aibj · arbs = ai+(−1)jrbj+s,

con el exponente de a reducido modulo n y el exponente de b reducido modulo 2.

Tabla de multiplicacion de D4:D4 1 a a2 a3 b ab a2b a3b

1 1 a a2 a3 b ab a2b a3b

a a a2 a3 a4 = 1 ab a2b a3b b

a2 a2 a3 a4 = 1 a5 = a a2b a3b b ab

a3 a3 a4 = 1 a5 = a a2 a3b b ab a2b

b b a3b a2b ab 1 a3 a2 a

ab ab b a3b a2b a 1 a3 a2

a2b a2b ab b a3b a2 a 1 a3

a3b a3b a2b ab b a3 a2 a 1

Veamos que para n ≥ 3, los grupos diedricos Dn se corresponden de forma unica con los gruposde simetrıa de los polıgonos regulares de n lados.

Definicion. Un polıgono de n lados, o n-polıgono, esta determinado por n puntos distin-tos

P1, · · · , Pn,

llamados vertices del polıgono, y n segmentos [P1, P2], [P2, P3], · · · , [Pn, P1], llamados lados delpolıgono, que solo tienen en comun los vertices y de modo que cada tres vertices consecutivosno estan alineados.

El n-polıgono se dice convexo si el segmento que une puntos de dos lados esta contenido enel interior del polıgono o es un lado del mismo. En caso contrario se dice que el polıgono esconcavo. Se dice que un n-polıgono convexo es regular si tiene todos sus lados iguales.

Teorema 3. (a) El grupo de simetrıa de un n-polıgono regular es el grupo diedrico Dn.

(b) El grupo de simetrıa de un n-polıgono orientado coincide con el grupo cıclico Cn.

Los siguientes diagramas describen las representaciones graficas de C4 y D4 en el cuadradoABCD.

14

En las siguientes figuras tenemos una representacion de los seis primeros grupos puntuales o deLeonardo cıclicos y diedricos (tambien llamados “rosetas”), sobre un mismo motivo ornamen-tal.

15

4. GRUPOS DE SIMETRIAS DE LOS FRISOS.

En la decoracion y ornamentacion artıstica es comun crear disenos que consisten en la repeticionde un mismo motivo ornamental a lo largo de una lınea recta -pensemos por ejemplo en las grecasde ceramica, cenefas y bordes de alfombras-, con el objeto de dar al resultado final un aspectomas armonico y simetrico. Cada elemento decorativo genera de esta manera lo que llamaremosun grupo de frisos. Un estudio geometrico, basado en las propiedades del grupo de movimientosen el plano euclıdeo, permite deducir que unicamente son posibles siete formas distintas degenerar los grupos de frisos, como ilustramos a continuacion.

Sea F un subgrupo de O2 cuyo subconjunto de traslaciones

T1 = F ∩ T = {τnv : n ∈ Z},

para algun v ∈ T , v 6= 0, es decir, es un grupo cıclico infinito. Tales grupos son grupos de simetrıade ciertas figuras planas que se llaman frisos, las cuales admiten traslaciones unicamente a lolargo de una direccion dada por un vector v.

Teorema 4. Si representamos por τ a una traslacion de vector −→v , σ a una reflexion de eje r, ρa una rotacion de 180◦ y S a una reflexion deslizada, existen siete grupos geometricos de frisos,con las siguientes caracterısticas:

1) F1 = 〈τ〉 ' C∞.

2) F2 = 〈τ, σ〉 ' C∞ × C2, donde σ2 = 1 y τσ = τ .

3) F3 = 〈τ, σ〉 ' D∞, donde σ2 = 1 y τσ = τ−1.

4) F4 = 〈τ, S〉 ' C∞, donde S2 = τ y τS = τ .

5) F5 = 〈τ, ρ〉 ' D∞, donde ρ2 = 1 y τρ = τ−1.

6) F6 = 〈τ, σ, ρ〉 ' D∞ × C2, donde σ2 = ρ2 = 1 y τρ = τ , τσ = τ−1, σρ = σ.

7) F7 = 〈τ, ρ, S〉 ' D∞, donde ρ2 = 1, S2 = τ, τρ = τ, τS = τ−1, ρS = ρ−1.

Observe que F1 y F4 son isomorfos pero no son geometricamente equivalentes porque F1 conservala orientacion y F4 no la conserva.

Los cuatro primeros ejemplos no poseen rotaciones propias y los tres ultimos tienen rotacionespropias.

18

Las siguientes figuras representan los siete grupos de frisos a partir de un mismo motivo ornamen-tal, donde utilizamos la notacion adoptada por la Union Internacional de Cristalografıa.

p1: traslaciones de vector −→v .

pm: traslaciones de vector −→v mas reflexion por eje horizontal.

p/m: traslaciones de vector −→v mas reflexion por eje vertical.

pg: traslaciones de vector −→v mas reflexion deslizada cuyo cuadrado es igual a la traslacion.

p2: traslaciones de vector −→v mas rotacion de 180◦.

p2m: traslaciones de vector −→v mas rotacion de 180◦ mas reflexion (o bien doble reflexion:horizontal y vertical).

p2g: traslaciones de vector −→v mas rotacion de 180◦ mas reflexion deslizada.

19

GRUPOS DE SIMETRIAS DE FRISOSCARACTERISTICAS NOTACION DESCRIPCION

sinrotacionespropias

p1pm

p/m

pg

traslaciontraslacion

mas reflexion de eje paralelotraslacionmas reflexion de eje perpendicular

traslacion mas reflexion deslizada

conrotacionesde 180◦

p2p2m ∼= pmmp2g ∼= pmg

traslacion mas rotaciontraslacion mas rotacion mas reflexiontraslacion mas rotacion

mas reflexion deslizada

Interpretacion de los sımbolos.

p: periodico.

m: reflexion (mirror).

g: reflexion deslizada (glide).

1 o 2: orden de la rotacion.

/: perpendicular.

5. GRUPOS CRISTALOGRAFICOS PLANOS.

Como ya hemos indicado, un grupo de simetrıa G es un grupo cristalografico o de Fedorovplano si G es un subgrupo discontinuo de O2 cuya interseccion con el subgrupo de traslacioneses un subgrupo abeliano libre de rango 2. La composicion de las simetrıas forma ası un disenobidimensional que llena el plano.

Podemos elegir dos generadores del grupo de traslaciones, τv y τw, de tal forma que τv es denorma mınima entre todos los elementos de T2 distintos de la identidad y τw es de norma mınimaentre todos los elementos de T2 que no son multiplos de τv. El espacio

〈v, w〉 = {m−→v + n−→w : m,n ∈ Z}

recibe el nombre de retıculo generado por τv y τw y {τv, τw} es un conjunto reducido degeneradores de T2.

Cuando se elige un punto base O, el grupo T2 determina una celosıa o retıculo fundamentalL, siendo la orbita de O respecto de T2,

L = {τ(O) : τ ∈ T2}

(conjunto de puntos que se obtienen aplicando las traslaciones en las dos direcciones al punto0).

20

En principio, el paralelogramo es arbitrario pero en algunos casos la construccion del grupo exigeformas particulares. En la siguiente tabla, exponemos una clasificacion de los diferentes tipos deretıculo fundamental.

RETICULO LONGITUD ANGULOTriangulo

(celosıa hexagonal)‖v‖ = ‖w‖ v, w = π/3

Cuadrado ‖v‖ = ‖w‖ v, w = π/2Rombo

(celosıa centrada)‖v‖ = ‖w‖ v, w 6= π/2, π/3

Rectangulo ‖v‖ 6= ‖w‖ v, w = π/2Paralelogramo ‖v‖ 6= ‖w‖ v, w 6= π/2

Un grupo puede identificarse por su celda unidad o celosıa primitiva, que es cualquier regionconexa, maximal que no contiene puntos homologos (puntos tales que uno de ellos es imagen delotro por algun elemento del grupo) en su interior. De este modo, todo el grupo puede generarsemediante traslaciones sobre dicha region.

Una region fundamental es la menor region mediante la cual todo el grupo puede obtenersecomo resultado de alguna transformacion sobre dicha region. Es pues una region que no contienepuntos homologos en su interior pero no puede extenderse sin perder esta propiedad. Observemosque, tanto las celdas unidad como las regiones fundamentales, pueden no ser unicas.

GRUPOS CRISTALOGRAFICOS QUE CONSERVAN LA ORIENTACION

La determinacion de todas las posibles configuraciones regulares de objetos es un problemafundamental en cristalografıa, quımica y otras disciplinas. Resumiremos a continuacion los hechosfundamentales que han permitido realizar dicha clasificacion en el plano.

Debido a su caracter discontinuo, el grupo de rotaciones de un grupo cristalografico plano debeser uno de los grupos de Leonardo, Cn o Dn (n ∈ N), pero que lleven el retıculo sobre sı mismo.Una sencilla argumentacion geometrica hace que los unicos valores admisibles sean n = 1, 2, 3, 4o 6 (la exclusion del 5 se llama restriccion cristalografica).

21

Las propiedades basicas en las que se basa la clasificacion que exponemos a continuacion son lassiguientes:

Propiedades.

1. Si τ ∈ G, entonces τn ∈ G, ∀n ∈ Z.

2. Si ρO,α ∈ G, τv ∈ G y O′ = O +−→v , entonces ρO′,α ∈ G.

3. Si ρO,α ∈ G, ρO′,β ∈ G y O′′ = ρO′,β(O), entonces ρO′′,α ∈ G.[La presencia de un retıculo de traslaciones {τm

v + τnw : m,n ∈ Z} y una rotacion ρO,α

asegura la presencia de un retıculo de rotaciones ρO+mv+nw,α.]

4. Si τv ∈ G, ρO,α ∈ G, P = τv(O) y Q = ρO,α(P ), entonces τOQ ∈ G.

5. Si τv ∈ G y ρO,π ∈ G, entonces ρO+v/2,π ∈ G.[Si tenemos un retıculo de traslaciones y una rotacion de orden 2, tenemos tambien unretıculo de rotaciones de orden 2 de los puntos medios del retıculo.]

TEOREMA. Sea G+ un grupo cristalografico que conserva la orientacion. Entonces G+ esta ge-nerado por T2 = G+ ∩ T y una unica rotacion de orden n, con n = 1, 2, 3, 4, o 6. Ası pues, G+

adopta una de las formas siguientes:

1) G1 = 〈τv, τw.

2) G2 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ2 = 1, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w.

3) G3 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ3 = 1, τρv = τ−v ◦ τw = τ−v+w, τ

ρw = τ−w.

4) G4 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ4 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v.

5) G5 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ6 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v ◦ τw = τ−v+w.

En el teorema siguiente se listan los grupos cristalograficos planos G correspondientes a cadauno de los posibles subgrupos directos G+ = Gi, para i = 1, 2, 3, 4, 6.

TEOREMA.

a) Para el subgrupo G1 = 〈τv, τw〉 tenemos exactamente cuatro tipos distintos de grupos crista-lograficos:

a.1) p1 = 〈τv, τw〉.

a.2) pm = 〈τv, τw, σ〉, donde σ2 = 1, τσv = τv, τ

σw = τ−w.

a.3) cm = 〈τv, τw, σ〉, donde σ2 = 1, τσv = τw, τ

σw = τv.

a.4) pg = 〈τv, τw, S〉, donde S2 = τv, τSv = τv, τ

Sw = τ−w.

b) Para el subgrupo G2 tenemos exactamente cinco tipos distintos de grupos cristalograficos:

b.1) p2 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ2 = 1, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w.

b.2) pmm = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ2 = σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w, τ

σv =

τv, τσw = τ−w.

b.3) pmg = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ2 = σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = τv, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w, τ

σv =

τ−v, τσw = τw.

b.4) cmm = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ2 = σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w, τ

σv =

τw, τσw = τv.

22

b.5) pgg = 〈τv, τw, ρ, S〉, donde ρ2 = 1, S2 = τv, (S ◦ ρ)2 = τw, τρv = τ−v, τ

ρw = τ−w, τ

Sv =

τv, τSw = τ−w.

c) Para el subgrupo G3 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalograficos:

c.1) p3 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ3 = 1, τρv = τw−v, τ

ρw = τ−v.

c.2) p3ml = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ3 = 1, σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τρv = τw−v, τ

ρw = τ−v, τ

σv =

τw, τσw = τv.

c.3) p3lm = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ3 = 1, σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = τw, τρv = τw−v, τ

ρw = τ−v, τ

σv =

τ−w, τσw = τ−v.

d) Para el subgrupo G4 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalograficos:

d.1) p4 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ4 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v.

d.2) p4m = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ4 = 1, σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v, τ

σv =

τv, τσw = τ−w.

d.3) p4g = 〈τv, τw, ρ, S〉, donde ρ4 = 1, S2 = τv, (S ◦ ρ)2 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v, τ

Sv =

τv, τSw = τ−w.

e) Para el subgrupo G5 tenemos exactamente dos tipos distintos de grupos cristalograficos:

e.1) p6 = 〈τv, τw, ρ〉, donde ρ6 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τ−v ◦ τw = τ−v+w.

e.2) p6m = 〈τv, τw, ρ, σ〉, donde ρ6 = 1, σ2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τρv = τw, τ

ρw = τw−v, τ

σv =

τv, τσw = τv−w.

Ejemplos de todos estos grupos de simetrıa se encuentran en ornamentos antiguos y, como seobserva, su construccion no es en absoluto trivial en su aspecto matematico. Debemos observarque la base conceptual para la formulacion abstracta del problema es la nocion de grupo detransformaciones, introducida en el siglo XIX, y la demostracion de que solo puede haber 17simetrıas se debe a Polya en 1924.

Existen distintas formas de identificar los 17 grupos de simetrıas de murales, desde la notaciondecimal, pasando por la aceptada por la IUC (International Union of Crystallography) desde1952, hasta la notacion “orbifold” que proviene de las palabras orbit + manifold, basada en ideasde W. Thurston y adoptada por J. Conway. La siguiente tabla describe cada uno de los gruposcitados.

23

DESCRIPCION DE LOS GRUPOS DE MURALESDecimal Orbifold IUC Retıculo Descripcion

1 o p1 paralelogramo 2 traslaciones

2 2222 p2 paralelogramo2 traslaciones

+ rotacion de 180◦

3 ** pm rectangulo2 traslaciones+ reflexion

4 xx pg rectangulo2 traslaciones

+ reflexion deslizada

5 *2222 pmm rectangulo2 traslaciones


+ reflexion

6 22* pmg rectangulo2 traslaciones


+ reflexion

7 22x pgg rectangulo2 traslaciones



8 x* cm rombo2 traslaciones+ reflexion

9 2*22 cmm rombo2 traslaciones


+ reflexion

10 442 p4 cuadrado2 traslaciones

+ rotacion de 90◦

11 *442 p4m cuadrado2 traslaciones

+ rotacion de 90◦

+ reflexion

12 4*2 p4g cuadrado2 traslaciones

+ rotacion de 90◦


13 333 p3 triangulo2 traslaciones


14 *333 p3ml triangulo2 traslaciones


+ reflexion

15 3*3 p3lm triangulo2 traslaciones


+ reflexion

16 632 p6 hexagono2 traslaciones

+ rotacion de 60◦

17 *632 p6m hexagono2 traslaciones

+ rotacion de 60◦

+ reflexion

24

OTRA CLASIFICACIONSin rotaciones propias p1 pm pg cmCon rotacion de 180◦

(sin rotaciones de 90◦, 60◦)p2 pmm pgg cmm pmg

Con rotacion de 90◦ p4 p4m p4gCon rotacion de 120◦

(sin rotaciones de 60◦)p3 p31m p3m1

Con rotacion de 60◦ p6 p6m

La notacion cristalografica consiste en cuatro sımbolos que identifican las caracterısticas dela celda unidad. La celosıa primitiva se elige con los centros de rotacion de mayor orden en losvertices, salvo en dos casos, donde se elige una celosıa centrada, de modo que los ejes de reflexionsean normales a uno o los dos lados de la celosıa. Cuando no hay lugar a confusion, se reduce elnumero de sımbolos utilizados.

Interpretacion de los sımbolos:

(1){

p: celosıa primitivac: celosıa centrada

(2) 1, 2, 3, 4, 5, 6: mayor orden de rotacion.

(3)

m: eje de reflexion (mirror)g: reflexion deslizada (glide)

(eje de simetrıa normal a un eje)l: sin eje de simetrıa

(4)

m: eje de reflexion (mirror)g: reflexion deslizada (glide)(∗)l: sin eje de simetrıa

(∗) El eje de simetrıa forma un angulo α con el eje (α = 180◦ si n = 1 o 2, α = 60◦ si n = 3 o 6,α = 45◦ si n = 4).

En la notacion “orbifold”, los sımbolos representan los generadores del grupo: los enteros indicanla presencia de rotaciones (el entero maximo es el mayor orden de rotacion). El sımbolo “∗”indicareflexiones y el sımbolo “x”indica la presencia de reflexiones deslizadas.

25

v

w

1 = p1:{

traslaciones de vectores −→v y −→w .(sin rotaciones, reflexiones ni reflexiones deslizadas).

v

w

2 = p2:{

traslaciones de vectores −→v y −→w mas giro de 180◦

(sin reflexiones ni reflexiones deslizadas).

26

v

w

3 = pm:

traslaciones de vectores −→v y −→wmas reflexion segun la lınea de puntos;(cualquier eje de una reflexion deslizadaes tambien eje de una reflexion).

v

w

4 = pg:{

traslaciones de vectores −→v y −→w mas reflexion deslizada.(sin rotaciones ni reflexiones).

27

v

w

5 = pmm:


mas reflexion segun la lınea de puntos (o bien, dos reflexiones);cualquier eje de una reflexion deslizada es tambien eje de reflexion.

v

w

6 = pmg:


mas reflexion segun la lınea de puntos;existe alguna reflexion deslizadacuyo eje no es paralelo a ningun eje de reflexion.

28

v

w

7 = pgg:

traslaciones de vectores −→v y −→wmas giro de 180◦ mas reflexion deslizada(no contiene reflexiones).

29

v

w

8 = cm:{

traslaciones de vectores −→v y −→w mas reflexion respecto a la diagonal;hay un eje de una reflexion deslizada que no es eje de reflexion.

30

v

w

9 = cmm:


mas reflexion respecto a la diagonal; tiene una reflexion deslizadacuyo eje es paralelo (pero distinto) a un eje de reflexion.

31

v

w

10 = p4:{


(sin reflexiones ni reflexiones deslizadas).

32

v

w

11 = p4m:


mas reflexion segun la lınea de puntos;el centro de rotacion de 90◦ pertenece al eje de alguna reflexion.

33

v

w

12 = p4g:


mas reflexion deslizada; hay un centro de rotacionde 90◦ no contenido en ningun eje de reflexion.

34

v

w

13 = p3:{


(sin reflexiones).

35

v

w

14 = p3ml:

traslaciones de vectores −→v y −→w mas giro de 120◦ mas reflexion(cualquier centro de rotacion de 120◦

esta contenido en un eje de reflexion).

v

w

15 = p3lm:

traslaciones de vectores −→v y −→w mas giro de 120◦ mas reflexion(hay un centro de rotacion de 120◦

no contenido en ningun eje de reflexion).

36

v

w

16 = p6:{


(sin reflexiones).

v

w

17 = p6m:{


mas reflexion segun la lınea de puntos.

37

6. GRUPOS CRISTALOGRAFICOS ESPACIALES.

Un sistema de puntos del espacio se llama sistema espacial regular de puntos si satisfacelas propiedades siguientes:

1) Todo punto del sistema se puede transportar a cualquier otro punto del sistema mediantemovimientos que transforman el sistema en sı mismo.

2) Ninguna esfera de radio finito contiene infinitos puntos del sistema.

3) Existe un numero positivo r tal que toda esfera de radio r contiene al menos uno de lospuntos del sistema.

El problema de estudiar la estructura de los cristales esta ıntimamente ligado con el problemade la clasificacion de los sistemas espaciales regulares, ya que un cristal tiene la peculiaridadde que sus atomos forman, en cierto sentido, un sistema regular en el espacio; estas cristaliza-ciones aparecen en general en la estructura de las moleculas y, a su vez, esta relacionada conla clasificacion de los grupos discretos de movimientos en el espacio, entendiendo que un grupode movimientos H del espacio se dice discreto (o no continuo) si para cada punto P existe unaesfera de radio r y centro P tal que todo movimiento de H, o deja fijo el punto P , o lo llevafuera de la esfera.

En 1891, el eminente cristalografo y geometra ruso E.S. Fedorov resolvio por metodos de lateorıa de grupos uno de los problemas fundamentales de la cristalografıa: clasificar los sistemasregulares de puntos en el espacio. Este fue el primer ejemplo de aplicacion de la teorıa de gruposa la solucion de un problema de las ciencias naturales, causando un impacto importante en eldesarrollo posterior de la teorıa de grupos.

Se puede demostrar que el conjunto de los movimientos del espacio que llevan un sistema espacialregular de puntos a coincidir consigo mismo es necesariamente un grupo discreto y que todoslos puntos del sistema se pueden obtener a partir de un punto dado del sistema transformandoeste por todos los movimientos del grupo. Recıprocamente, dado un cierto grupo discreto H, sitomamos un punto arbitrario P y lo sometemos a todas las transformaciones del grupo obtenemosun sistema de puntos que cumplen las propiedades 1) y 2).

Anadiendo condiciones muy sencillas, se pueden aislar, de entre los grupos discretos, aquellosque para puntos P convenientemente elegidos dan, de hecho, sistemas regulares de puntos, esdecir, sistemas de puntos con las tres propiedades 1), 2) y 3). Tales grupos discretos se llamancristalograficos o de Fedorov (en el espacio). De todo lo dicho se desprende que el objetivo masimportante en el estudio de los sistemas espaciales de puntos es la clasificacion de los grupos deFedorov. Se ha comprobado que para los objetivos que persiguen las ciencias de la naturalezaes interesante considerar grupos que constan no solo de movimientos propios, sino tambien demovimientos propios e impropios, es decir, que incluyen simetrıas respecto a ejes. El numero degrupos de Fedorov formados solamente de movimientos de primera especie es 65, y el numerode grupos de Fedorov que contienen tambien movimientos de segunda especie es 165; en totaltenemos pues 230 grupos de Fedorov en el espacio, numero muy grande en comparacion con los17 grupos de Fedorov que hay en el plano. En contraposicion al plano, solo la teorıa de grupos hapermitido analizar el numero excepcionalmente grande de posibilidades que se dan en el espacio.Una deduccion y enumeracion detallada de todos los grupos de Fedorov en el espacio requierevarias docenas de paginas de texto. Nos hemos limitado a dar los resultados cuantitativos yremitimos al lector a las obras especializadas. Podemos citar la coleccion [HL] que proporcionanla descripcion completa de todos los grupos cristalograficos planos y espaciales.

38

BIBLIOGRAFIA.

[Bl] Ma F. Blanco. Movimientos y Simetrıas. Univ. de Valladolid, 1994.

[Co] H.S.M. Coxeter. Fundamentos de Geometrıa. Limusa, 1984.

[Fe] E.S. Fedorov. Simetrıa de los sistemas regulares de figuras. Obras completas, Akad. NaukURSS, Moscu, 1949.

[GS] B. Grunbaum y G.C. Shephard. Tilings and Patterns. Freeman, 1987.

[HL] N. Henry y K. Lonsdale (eds.). International Tables for X-Ray Crystallography, vol.1. Kynoch Press, Birmingham, 1952.

[HC] D. Hilbert y S. Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Pub., 1952(english translation).

[Sc] D. Schattschneider. Visions of Symmetry, Note Books, Periodic Drawings and RelatedWorks of M.C. Escher. Freeman, 1990.

[We] H. Weyl. Simetrıa. McGraw Hill, 1990.

REFERENCIAS EN LA WEB

1. David Joyce,http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/wallpaper

2. Grupo Virtual Chemistry (Dpto. de Quımica de la Universidad de Oxford),http://neon.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/sym/splash.htm

3. Xah Lee,http://www.best.com/∼xah/Wallpaper dir/c0 WallPaper.html

4. Allan Bergmann Jensen,http://home6.inet.tele.dk/bergmann/16engelsk/idx16.htm

5. Alok Bhushan, Kendrick Kay y Eleanor Williams,http://library.advanced.org/16661/

6. Steven Dutch,http://gbms01.uwgb.edu/∼dutchs/symmetry/symmetry.htm

7. John Grant Mcloughlin,http://www.ucs.mun.ca/∼mathed/Geometry/Transformations/Transformations.html

8. Carol Bier y Melissa June Dershewitz,http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/index.html

9. Hans Kuiper,http://web.inter.nl.net/hcc/Hans.Kuiper/

PROGRAMAS RELACIONADOS

1. KALI. Realizado por Jeff Weeks para The Geometric Center. Dibuja disenos simetricosbasados en alguno de los 17 grupos de murales. Tambien se pueden generar los grupos de frisosy los grupos de Leonardo.

Se consigue en http://www.geom.umn.edu/software/download/kali.html

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2. REPTILES. Escrito por Olaf Delgado y Daniel Huson. El programa es capaz de generartodos los grupos cristalograficos planos. Permite tambien disenar esquemas geometricos mascomplejos e interesantes. Util tambien para cristalografos y quımicos.

Se consigue en ftp://ftp.uni-bielefeld.de/pub/math/tiling/reptiles

3. PLANETILING. Realizado por Xah Lee. Este paquete, escrito para el programa Mathema-tica, permite representar los 17 tipos de disenos de murales con un motivo ornamental arbitrario.Contiene documentacion que permite representar la celosıa fundamental y la celda unidad decada uno de los grupos.

http://www.best.com/∼xah/SpecialPlaneCurves dir/MmaPackages dir/mmaPackages.html#PlaneTiling

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