Las supersuperficies en el aprendizaje

de la geometría

Mercedes A. Anido 1

Roberto López 1

Héctor E. Rubio Scola 1

RESUMEN

En este trabajo se busca fundamentar y describir una propuesta sobre el “ambiente deaprendizaje” que se crea cuando se utiliza una herramienta C.A.S., en este caso elScilab, en la enseñanza de la relación entre la ecuación de una superficie y surepresentación en el espacio. El computador se utiliza como una herramienta delaprendizaje. Se han elegido superficies cuyo estudio ha surgido a partir de larepresentación computacional: las supercuádricas y los supertoros. Se propone unaforma general de obtención de las gráficas, la que a partir de las ecuaciones paramétricasde las cuádricas hace posible la obtención de una gran variedad de familias de superficies.Esto es especialmente interesante como metodología que estimula el libre juego creativodel alumno, la exploración de potenciales propiedades y el afianzamiento del conocimientode las cuádricas.

PALABRAS CLAVE: Supercónicas,supersuperficies,supercuádricas, pensamientovisual, ingeniería didáctica.

ABSTRACT

In this work is sought to support and to describe a proposal on the «learning environment« that is created when a C.A.S tool is utilized, in this case the Scilab, in the teaching ofthe relation between the equation of a surface and its representation in the space. Thecomputer is used as a learning tool. Surfaces have elected whose study has arisen fromthe computational representation: the superquadric and the supertorus. A general formto obtaining the graphics is proposed, the one that from the parametric equations of thequadrics makes possible the obtaining of a great variety of surfaces families. This isespecially interesting as methodology that stimulates the free creative play of the student,the exploration of potential properties and the consolidation of the knowledge of thequadrics.

KEY WORDS: Superconics, supersurfaces, superquadrics, visual thinking,didactic engineering.

335Relime Vol. 9, Núm. 3, noviembre, 2006, pp. 335-360.

1Fecha de recepción: Febrero del 2006 /Fecha de aceptación: Septiembre de 2006

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. Universidad Nacional de Rosario. Argentina.

Relime

RESUMO

Neste trabalho procura-se basear e descrever uma proposta sobre o «meio daaprendizagem» que se cria quando uma ferramenta C.A.S. é utlizada, neste caso oScilab, no ensino da relação entre equação de uma superfície e sua representação noespaço. O computador é usado como uma ferramenta da aprendizagem. Foramescolhidas superfícies cujo estudo surgiu da representação computacional: assuperquádricas e os supertoros. É proposto uma foma geral para obtenção dos gráficos.A partir das equações paramétricas das quádricas é possível a obtenção de umavariedade grande de famílias das superfícies. Isto é especialmente interessante comouma metodologia que estimula o jogo criativo livre do estudante, a exploração depotenciais e o reforço do conhecimento das quádricas.

PALAVRAS CHAVE: Super-cônicas, super-superfícies, super-quádricas,pensamento visual, engenharia didática.

RÉSUMÉ

Dans ce travail, on cherche à établir et à décrire une proposition sur “l’ambianced’apprentissage” qui se crée lorsqu’on utilise un outil CAS, dans ce cas le Scilab, dansl’enseignement de la relation entre l’équation de la surface et sa représentation dansl’espace. L’ordinateur s’utilise comme un outil pour l’apprentissage. Plusieurs surfacesdont l’étude a surgit à partir de la représentation par ordinateur, ont été choisies : lessuperquadriques et les supertores. On propose une façon générale pour obtenir lesgraphiques, celle qui, à partir des équations paramétriques des quadriques, rend possiblel’obtention d’une grande variété de familles de surfaces. Ceci est particulièrementintéressant comme méthodologie qui stimule le libre jeu de l’élève, l’exploration depropriétés potentielles et la consolidation de la connaissance des quadriques.

MOTS CLÉS:Superconiques, supersurfaces, superquadriques, pensée visuelle,ingénierie didactique.

336

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se fundamenta y describeuna experiencia de carácter exploratoriosobre el ambiente de aprendizaje que secrea cuando es usada una herramienta C.A. S. (Computer Algebraic System), eneste caso el Scilab, para la enseñanza delconcepto de superficie en el espacio. Elcomputador se emplea como herramienta

del aprendizaje, en el sentido de Jonassen(1995), quien la concibe como una“herramienta cognitiva en un proceso deaprendizaje que comprometa activamenteal que aprenda y que genere sucomprensión y concepción de lainformación, más que la reproducción delconocimiento del profesor”.

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 337

Una herramienta cognitiva es todo aquelinstrumento del que pueden servirse laspersonas para amplificar su capacidad decomprender y operar en el mundo. Talcualidad no es intrínseca a un instrumento.En el caso de la computadora, no es porsí sola un medio cognitivo; para que lleguea serlo tiene que ser utilizada dentro deun cierto dominio conceptual, de maneraque ayude al usuario a comprenderlomejor y actuar con mayor eficacia en él.Si consideramos a la geometría como undominio conceptual, el empleo de lacomputadora como herramienta cognitivaen la enseñanza y aprendizaje significaque se aplica en formas que faciliten lacomprensión y operación en tal dominio(Mosquera, 1996).

En la enseñanza de la geometría, quedebe producir la formación adecuada deun alumno universitario, las herramientascomputacionales no deben ser simplesfingertip tools (Jonassen, 1995) quemecanicen el trabajo, sin una realcompresión del mismo. Se debería educaren el desarrollo del pensamiento formal y,al mismo tiempo, proporcionar una visiónunificada entre la geometría y susaplicaciones, compenetrados con la ideaque, para la parte operativa, la computadoraes la que nos da la solución, siempre ycuando quien la use sepa lo que quiere yentienda lo que le ofrece como resultado.

La teoría del aprendizaje y de la tecnologíapara el aprendizaje está en el medio de larevolución científica. Los modelosconstructivistas del aprendizaje sepreocupan de crear ambientes donde elalumno participe activamente en lacompresión del mundo externo y reflejesus interpretaciones; aquí, la función delas herramientas cognitivas es guiar alalumno en la organización y representacióndel conocimiento. Cuando el estudiantetrabaja con tecnología computacional, en

lugar de ser controlado por ella, debe serestimulado a aprovechar las posibilidadesdel computador para potenciar supensamiento.

En la enseñanza de la geometríaelemental se ha tomado plena concienciade esta idea. Por ello, se promueve el usode desarrollo de software educacional quedesde su diseño constituya una realherramienta cognitiva que tomedirecciones a distintos niveles, como elCabri y el Sketchpad. Sin embargo, ¿esposible sólo con las herramientas C.A.S.–de las que se dispone con distintasversiones, en forma generalizada, en casitodos los laboratorios de lasuniversidades– dinamizar el aprendizajede la geometría analítica?

El vínculo entre las representacionesanalí t icas y gráf icas en algunassuperficies no convencionales es untema de interés formativo en cualquierfacultad de ingeniería. La existencia desoftware que nuclea modelado por sólidasy superficies complejas, las cuales secomplementan con una diversidad demódulos que cubren casi la totalidad delas materias técnicas de las carreras deingeniería, requiere más que nunca de labase del conocimiento geométrico. Encualquier tema, la inadecuadacompresión de los fundamentosgeométricos y su relación con lasexpresiones analíticas puede ser paraun alumno causa de futurasfrustraciones.

La tarea de los arquitectos diseñadores eingenieros es inseparable de la colecciónde leyes y elementos geométricos queidealizan el espacio de tres dimensiones,una noción de representación abstractaque tenemos sobre nuestro lugar de viday donde cada objeto conocido estáubicado. Por su parte, las restricciones

Relime338

geométricas son los invariantesuniversales de las cuales depende tododiseño real. La construcción que hace elalumno de conceptos tan abstractos comoel de las superficies implicadas en el diseñosuponer que una comprensión de lageometría le ayudará a comprender mejorel mundo y a operar en él de manera másefectiva.

2. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

En el primer año de la Facultad deIngeniería, la comprensión sobre la relaciónbidireccional entre una ecuación dada enel espacio de tres dimensiones y lasuperficie que la representa ha sidosiempre considerado como un tema difícil.La relación entre la movilidad de losparámetros de las ecuaciones y la variaciónde las formas que se obtienen es unelemento de significado importante para laconstrucción del concepto.

Aunque la posibil idad de unarepresentación gráfica por computadoraabre perspectivas en este campo, plantealas siguientes interrogantes: ¿Hasta quépunto la ventaja de una inmediatavisualización en un determinado dominiofacilita la comprensión sobre la generaciónde una superficie, o sobre la relación queguarda con la ecuación que la representaalgebraicamente? Conocida la posibilidadde rotación o traslación o de variación deldominio, ¿cómo la utiliza el alumno? ¿Tratade optimizar la visualización? ¿Juega consecciones con distintos planos? ¿Explora?¿Induce propiedades? ¿Trata dedemostrarlas? ¿O debe proponérselo eldocente? (Por ejemplo, ¿explora lassecciones de un hiperboloide de una hojaal alejarse de un eje de simetría, el planode sección? ¿Trata de justificaranalíticamente lo que visualiza en lapantalla?) ¿El alumno inventa superficies?

¿Las analiza? ¿El ambiente computacionalestimula la exploración del conocimientopor el alumno? ¿Lo interesa? ¿Hacesignificativo el aprendizaje del tema? ¿Osolo actúa como un observador pasivo?¿Qué situaciones didácticas dispara laherramienta computacional? ¿Essuficientemente formativa la inducción yverificación de propiedades cuando suproceso demostrativo está más allá de losconocimientos y tiempos posibles a serasignados en un currículum de matemáticabásica?

3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓNQUE SE PRESENTA

En este trabajo, se busca indagar en uncaso (relativo a un tema vinculado) lavalidez de algunos supuestos cuyaconfirmación puede constituir un aporte alproblema didáctico que plantea laconstrucción del concepto ecuación de unasuperficie. Se considera que:

• La rapidez de respuesta del ordenadorfavorece el proceso de inducción y eldescubrimiento de posibles propiedadeso la inmediata verificación de su noexistencia, por el análisis de múltiplesejemplos.

• La aparición de situacionesproblemáticas en la pantalla, como losresultados no esperados, tambiéninvitaría al alumno a un trabajo deprofundización teórica y autoexigenciade procesos demostrativos. En el casode la representación gráfica de laecuación de una curva o superficie, elmedio computacional permite coninmediatez observar en larepresentación gráfica la influencia decambios efectuados en los valores delos parámetros de la expresiónanalítica. Y si se sigue un criterio

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 339

determinado en ese libre juego,explorar la posibilidad de existencia deuna propiedad.

¿Cuál sería, en tal proceso, el aporte delmedio computacional, adecuadamenteutilizado, al aprendizaje y al pensamientomatemático? Promovería un aprendizajede la matemática en el sentido de Polya:“Las matemáticas son consideradas comouna ciencia demostrativa; este es sólo unode sus aspectos. Hay que combinarobservaciones, seguir analogías y probaruna y otra vez. El resultado de la labordemostrativa del matemático es elrazonamiento demostrativo, la prueba;pero ésta a su vez es construida medianteel razonamiento plausible, mediante laintuición. Si el aprendizaje de lasmatemáticas refleja en algún grado lainvención de esta ciencia, debe haber enél un lugar para la intuición, para lainferencia plausible.” En dicho sentido deaprendizaje valoramos a la herramientacomputacional, por el trabajo matemáticoque puede inducir. Además, el conceptode herramienta cognitiva, al que hemoshecho referencia, implicaría formartambién al alumno en una autoexigenciaposterior de procesos justificativos (lanecesidad de demostración deberíaquedar por lo menos planteada).

4. METODOLOGÍA DE LAINVESTIGACIÓN

La ingeniería didáctica ha sido el soporteteórico y andamiaje de nuestra construccióndidáctica y de investigación. A continuación,sintetizamos las ideas esenciales sobre estemétodo de enseñanza e investigación,propuesto por Michèle Artigue (1990).

La noción de ingeniería didáctica surge enla didáctica de las matemáticas acomienzos de los ochenta. Se denominó

con dicho término a una forma de trabajodidáctico equiparable con la del ingeniero,quien para realizar un proyecto determinadose basa en los conocimientos científicos desu dominio y acepta someterse a un controlde tipo científico. Tal concepción está ligadaa la aproximación cognitiva que se hadesarrollado alrededor de los trabajos deVergnaud en el área de la teoría de loscampos conceptuales, así como a travésde las si tuaciones didáct icas deBrousseau y los obstáculos que clasifica.Brousseau señala que “la didáctica noconsiste en ofrecer un modelo para laenseñanza, sino en producir un campo decuestiones que permita poner a pruebacualquier situación de enseñanza, corregiry mejorar las que se han producido yformular interrogantes sobre lo quesucede” (1988).

Una característica importante de estateoría es que considera a los fenómenosde enseñanza-aprendizaje bajo unenfoque sistémico. Chevallard (1998)describe el sistema didáctico en sentidoestricto, formado esencialmente por tressubsistemas: profesor, alumno y saberenseñado. El saber a enseñar conformael objeto de diseño de nuestra ingenieríadidáctica, ya que el docente propone yorganiza una serie de situaciones, jugandocon diversas restricciones (variablesdidácticas); establece las diferentes fases(investigación, formulación, validación,institucionalización); maneja lacomunicación en la clase; brinda, llegado elmomento, elementos convencionales delsaber; el alumno intenta, busca, hacehipótesis, propone soluciones, lasconfronta con sus compañeros, lasdefiende: el saber es considerado con supropia lógica; el problema es medio deaprendizaje.

Esta concepción no sólo propicia y creaun ámbito para que el alumno explicite sus

Relime340

creencias o preconceptos, sino tambiénpermite detectar los errores, dificultades yobstáculos de los cuales devienen. Talesson los puntos de partida para laconstrucción del conocimiento.

La metodología de la investigacióndidáctica se caracteriza, en comparacióncon otros tipos de investigación basadosen la experimentación en clase, por elregistro donde se ubica y por la forma devalidación a la cual está asociado. Dehecho, las investigaciones que recurren ala experimentación en clase se sitúan porlo general dentro de un enfoquecomparativo con validación externa, queestá basada en la comparación estadísticadel rendimiento de grupos experimentalesy control.

Este no es el caso de la ingenieríadidáctica, pues se ubica en el registro delestudio de casos y tiene una validacióninterna, sustentada en la confrontaciónentre el análisis a priori y el a posteriori(Artigue, 1995), donde se fundamenta enesencia la validación de los supuestosformulados en los objetivos de lainvestigación. La especificidad del estudiode casos reside en que permite concentrarseen una situación particular e identificar losdistintos procesos interactivos que loconforman, los cuales pueden permanecerocultos en estudios de índole más general.

Artigue (1995) lleva a cabo la descripciónde la metodología de la ingeniería didácticapor medio de una distinción temporal desu proceso experimental. Delimita esteproceso en cuatro fases:

1. Análisis preliminar.2. Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería.3. Experimentación.4. Análisis a posteriori y evaluación.

5. ALGUNOS ANÁLISISPRELIMINARES

5.1. Los fundamentos de la geometríay la enseñanza de la geometría en la

universidad

La geometría ha crecido rápidamentedesde su tradicional lugar, en el que ofrecíauna descripción matemática sobre losvariados aspectos del espacio físico, puesahora incluye disciplinas como convexidad(poliedros), teoría de grafos, nudos, tilingy geometría computacional, etc.(ICMI,1995). Este rápido crecimiento hasido acompañado por amplias aplicacionesen robótica, procesamiento de imágeneso computación gráfica, de ahí que losenormes desarrollos pongan desafíos a loseducadores matemáticos para integrarestas áreas emergentes a la geometríatradicional, como el uso de sistemas desoftware tendentes a ayudar en lavisualización y las exploracionesgeométricas.

¿Qué es la geometría y cuál rol desempeñaen la enseñanza de la matemática básicade la universidad? ¿Por qué se enseña?

Por más de 2000 años, la geometríaeuclídea ha jugado un rol central en laenseñanza-aprendizaje de la matemáticapara la ingeniería, al ser un modeloprivilegiado del espacio físico. Si bien lageometría liga realidad y formalización –esto último como teoría deductiva– en losúltimos años parece haber perdido supapel importante en la formaciónmatemática por diversas razones, entre lasque podemos mencionar su excesivaalgebrización, que ha hecho perder elsentido intuitivo de las proposiciones departida; que limita el uso del computador auna simple visualización en pantalla, o que

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 341

ha hecho perder la riqueza de unaprendizaje fruto de situacionesproblematizadoras.

La geometría analítica como lenguajealgebraico de la geometría euclídea hasido un extraordinario motor de desarrollopara casi todas las ciencias de laingeniería, mas exige una compresiónconstante del significado físico ogeométrico de sus ecuaciones.

¿Cómo hacer que se establezcansistemáticamente lazos entre la teoríageneral abstracta y su contrapartidaintuitiva y visual, de tal manera que lasherramientas informáticas sirvan para unconocimiento significativo de la geometría?¿Cómo introducir y aprovechar laherramienta computacional, sin perder elrol fundamentalmente formativo delpensamiento de la geometría? Por otraparte, ¿cómo evitar que, en la geometríaanalítica, el formalismo algebraico inhibala intuición geométrica? Al respecto, sedebería cuidar especialmente la fase inicialde traducción de un problema geométricoen lenguaje algebraico y la fase final deinterpretación del resultado obtenido, enlugar de atender sólo a la fase intermedia,a la cual sólo le concierne una correctamanipulación de formulación algebraica.Como estamos viviendo en una sociedaddonde los aspectos visuales son másdominantes, una formación universitariaadecuada —sobre todo en carreras quehacen de la matemática una asignaturainstrumental— debería incluir la soluciónde problemas articulados entre sí,exploraciones abiertas a la discusión,análisis de modelos concretos en tresdimensiones.

Respecto a nuestra propuestametodológica, es importante la posiciónepistemológica de dos geómetrasitalianos, Fano Terracini y Federico

Enriques, a quienes consideramos comoprecursores de algunas corrientesactuales. Terracini (1941) señala que lageometría, desde épocas remotas, estábajo el influjo de dos poderosas fuerzas:por una parte, las necesidades que creanlas aplicaciones, por otra, la libertad delespíritu humano, que puede crear por símismo, arbitrariamente, el objeto deestudio matemático. Las fuerzasexteriores suministran los primeros puntosde partida y las interiores tienen quesometerlos a una elaboración, quedecanta en una teoría general y abstracta.

Al observar cómo se formaron los primerosconceptos de la teoría de superficies, senota que originariamente las superficiessólo eran concebidas como contenedorasde cuerpos sólidos; todavía Euler hacereferencia a la superficiebus corporum. Ladesvinculación del soporte material reciénla hizo Gauss en su obra Disquisicionesgenerales acerca de las superficiescurvas, en la que concibe a las superficiesno como el límite de un sólido, sino comoun sólido cuyas dimensiones estándesvanecidas. Si Terracini nos remarcacon admiración el paso de casi un sigloentre la obtención de la ecuación de unacurva plana y la de una superficie en elespacio, ¿cómo nos podemos extrañar delas dificultades que tienen los alumnos alconstruir un concepto que a losmatemáticos les llevó siglos?

Para el Dr. Federico Enriques, nuestrarepresentación intuitiva del espacio surgeprimero de los conceptos particulares ysube por abstracciones sucesivas a losconceptos más generales. No decimos poresto que los conceptos más generales,cuando son intuitivos, tienen menor gradode evidencia en comparación con losconceptos particulares; sin embargo, suevidencia está en relación con un estadomás progresivo de la mente, en el que se

Relime342

ejercita una facultad de representaciónmás abstracta. Así, desde el punto de vistaintuitivo, la generalidad de los conceptosque se pueden considerar comofundamentales en la geometría tienen unlímite en nuestra capacidad derepresentación de lo abstracto. Incluso auncuando la lógica pueda ayudar al procesode abstracción constructivo de losconceptos, no sustituye por sí sola a lasasociaciones psicológicas que constituyeneste mismo proceso. Si no se quiere unaabstracción ilusoria, hay que educar lacapacidad representativa de lo abstracto,recurriendo también a mediosexperimentales (Enriques at al, 1948).

En la búsqueda de los aspectos formativostocantes a la enseñanza de la geometríaen el nivel universitario, deberíamos tratarde extender a este nivel las preguntasdominantes que el Dr. Vinicio Villani (1994,1995) hace al respecto de la enseñanzapreuniversitaria: ¿Qué se entiende porgeometría? ¿Qué rol se atribuye a ladefinición? ¿Es necesaria unamemorización recitada o basta unaconceptualización implícita? ¿Qué rol seatribuye a la conjetura, a la argumentacióny a la demostración? ¿Qué rol formativotiene cada una de estas actividades? ¿Quéauxilios didácticos y tecnológicos utilizary con qué finalidad? ¿Los distintos tiposde software que se usan para el trazadode curvas o la representacióntridimensional favorecen el proceso deconceptualización y sistematización delconocimiento geométrico? ¿Hasta quépunto la propiedad de una figurageométrica que resista todas lasposibilidades de deformación visualizablesen pantalla nos exime de la necesidad dedemostrarla? ¿Qué aspectos debopriorizar en mi enseñanza: el sintético, elanalítico o utilizar el álgebra vectorial? ¿Lateoría debe preceder a la práctica o surgirpartir de ésta? ¿Qué cosa es para mí un

bello problema de geometría? ¿Quécontenidos geométricos debo actualizar?

El estudio de la Geometría, según Villani(1994), puede y debe contribuir a capacitaren:

• Reconstruir mentalmente la imagen deun objeto tridimensional a partir de sudiseño.

• A usar, según sea la circunstancia,lenguajes de distintos tipos: verbal,gráfico, algebraico, simbólico y saberpasar de uno a otro.

• Clasificar objetos, de acuerdo con unoo más atributos.

• Razonar (incluso fuera del ámbitogeométrico) en el modo hipotéticodeductivo en vista a operar con ciertosconceptos, o tomar decisionesracionales en la vida cotidiana, socialy profesional sobre la base de datosde los hechos a disposición.

Como respuesta al cuestionamiento sobreel valor del conocimiento matemáticoadquirido por visualización, Miguel deGuzmán (1996) dice que la visualizaciónen matemática es común, abstraíble yqueda sometida a una elaboraciónracional, simbólica, que nos permitemanejar más claramente la estructurasubyacente a tales percepciones.Desarrollar el pensamiento visual yfavorecer las habilidades de visualizaciónson dos objetivos clave en la educacióngeométrica. Por ello, hay que aclarar bienlo que se entiende por pensamientovisual y visualización, pues a menudo seconfunden en una sinonimia limitante ose relacionan con las simples imágenesque a menudo i lustran el discursogeométrico.

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 343

El pensamiento visual incluye la habilidadde visualizar, pero va más allá, ya quepuede incluir aspectos como elreconocimiento rápido de determinantesformas o categorías, la manipulaciónautomática de determinados códigos, etc.Explorar, seleccionar, simplificar, abstraer,analizar, comparar, completar, resolver,combinar son verbos que caracterizan aparcelas del pensamiento visual (Alsina,1997). “El pensamiento visual –afirmaMarjorie Senechal, citada por Alsina et al.(1988)–, si se explota convenientemente,puede revolucionar la forma de hacergeometría y de enseñarla”. Alsina y suscolaboradores también señalan que laexploración espacial mediante el uso deordenadores es un claro ejemplo de cómose ha revolucionado la aproximacióndocente a las estructuras tridimensionalesy cómo se han abierto nuevas fronterasde investigación sobre el efecto en elaprendizaje.

5. 2. El tema matemático. ¿Con quécriterio se ha elegido el saber a

enseñar?

La repetición de tareas, de bajo ordencognitivo, no promueve un aprendizajesignificativo en los estudiantes. Por elcontrario, cuando la computadora esutilizada como herramienta cognitiva en laenseñanza y aprendizaje de lamatemática, se les plantea a losestudiantes situaciones problemáticas dealto orden cognitivo, que van más allá dela simple ejecución de operacionesaritméticas y de la mera repetición deconceptos y algoritmos (Mosquera, 1996).

Para seguir esta idea, se ha buscadoexplorar las posibilidades que ofrece unautilización adecuada de las herramientascomputacionales para facilitar lacomprensión de los conceptos geométricos

y ampliar los contenidos tradicionalesrelativos a cónicas y cuádricas.

En tal sentido, se ha propuesto el estudiode una familia de superficies, cuyarepresentación es posible a partir de laintroducción de las herramientascomputacionales, motivando a que elalumno conjeture las propiedades y lasdemuestre (Anido y Rubio, 1999). En1981, Barr y Franklin (Bar, 1981; Frankliny Barr, 1981) introdujeron una familia desuperficies llamadas supercuádricas,apoyándose en el llamado producto esféricode superelipses y superhipérbolas, yatratadas en 1979 por I. D. Faux y M. J. Pratt(1979), aunque D. L. Flanagan y O. V.Hefner las habían mencionado en 1967.También Alain H. Barr creó el concepto desupertoros.

Las supercuádricas posibles de serrepresentadas y estudiadas con losrecursos de la computación gráfica(Anido y Villalonga, 1989) son utilizadasa nivel de diseño industrial hace másde dos décadas. ¿Cuáles son susaplicaciones?

En el momento actual, hay sistemas dediseño y manufactura con núcleos demodelado de sólidos en tres dimensionesde alta performance, que se emplean paradiseñar piezas y conjuntos. Debido a queutilizan recursos para la definición desólidos, generan a su vez todas lassuperficies que éstos definen, permitiendoel dimensional automático de las piezascon sus restricciones. Así, puededisponerse de la información de la masa,volumen y áreas de los sólidos diseñados.Existen distintos programas que no sólomanejan el núcleo del modelado, sinotambién resuelven el análisis lineal de lassolicitaciones mecánicas de las piezas,simulaciones mecánicas y de movimiento

Relime

Superelipses:

cony

Superhipérbolas:

con y

Definición de producto esférico : Dadasdos curvas en el plano representadas porsus respectivas curvas paramétricas:

con y con

Llamamos producto esférico de dos curvasa la siguiente superficie:

con y

Definición de supercuádricas : Son lassuperficies obtenidas al hacer el productoesférico de dos supercónicas.

Superelipsoides:

con y

Superhiperboloides de una hoja:

con y

Superhiperboloides de dos hojas:

con y

Superparaboloide elíptico:

con y−π ≤ θ ≤ π , t ∈ℜ

−π / 2≤ ϕ ≤ π / 2,−π / 2 ≤ θ ≤ π / 2, δ ∈Q+

−π / 2≤ ϕ ≤ π / 2,−π ≤ θ ≤ π, δ ∈Q+

−π / 2≤ ϕ ≤ π / 2,−π ≤ θ ≤ π, δ ∈Q+

344

entre componentes, con base en laecuación de la superficie.

Ahora bien, ¿cuál es la importancia, en elcampo de la investigación didáctica, deeste tema? Resulta especialmente aptopara mostrar, en la concepción y el análisisapriori de una ingeniería didáctica, elcampo de conocimientos geométricos quese puede generar con el apoyo de unaherramienta computacional usada enforma adecuada. Pero, sobre todo, porquelas supersuperficies:

- Pueden ser fácilmente visualizadascon herramienta computacional.

- Aportan una extraordinaria riquezade formas para modelado.

- Han sido estudiadas matemáticamentea partir de la posibilidad de unarepresentación computacional (dehecho, la difusión del tema apareceen relación con la computacióngráfica (Flanagan y Hefner, 1967).

- Hacen evidente la potencialidad dela herramienta computacional paraampliar los contenidos curriculares.

5.3. Algunas definiciones:supercónicas , supercuádricas y

supertoros

Definición de supercónicas : Curvasobtenidas al modificar las ecuacionesparamétricas de las cónicas por la elevacióna exponentes racionales positivos de todaslas funciones trigonométricas de susexpresiones paramétricas.

De esta manera, podemos conseguir, porejemplo, superelipses y superhipérbolas,cuyas expresiones paramétricas son lassiguientes:

X(θ) = (a cosε (θ),sinε (θ)) −π ≤ θ ≤ πε ∈Q+

X(θ) = (a secε (θ),b tagε (θ))−π / 2≤ θ ≤ π / 2,−π / 2 ≤ θ ≤ 3π / 2

ε ∈ℜ+

H(t) = (h1(t),h2(t)) t0 ≤ t ≤ t1m(s) = (m1(s),m2(s)) s0 ≤ s ≤ s1

X = m⊗ h = (m1(s)h1(t),m1(s)h2(t),m2(s))t0 ≤ t ≤ t1 s0 ≤ s≤ s1

X(ϕ,θ) = (a cosε (ϕ) cosδ (θ),b cosε (ϕ) sinδ (θ),c sinε (ϕ))

ε ∈Q+

X(ϕ,θ) = (a cosε (ϕ) cosδ (θ),b cosε (ϕ) sinδ (θ),c cosε (ϕ))

ε ∈Q+

X(ϕ,θ) = (a secε (ϕ) secδ (θ),b secε (ϕ) tagδ (θ),c tgε (ϕ))

ε ∈Q+

X(ϕ,θ) = (a t cosδ (θ), b t sinδ (θ),t2)δ ∈Q+

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría

−π ≤ ϕ ≤ π , −π ≤ θ ≤ π , δ ∈Q+

Fuera ya de las supercuádricas, otro tipode supersuperficies que nos interesaestudiar son los supertoros, definidos porlas siguientes expresiones paramétricas:

Supertoro:

con y

6 CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI

El estudio de las supercuádricas no ha sidoincorporado aún a los programas degeometría analítica en las facultades deingeniería de la universidad. Su obtencióna partir de una generalización de lasecuaciones de las cuádricas es fácil y lariqueza de formas a que dan lugar, con losrecursos de rotación y cambio de unidadesdel software matemático para larepresentación geométrica, es infinita (verFigura 1).

Se espera en este trabajo que puedaconseguirse la representación a partir de susecuaciones paramétricas. Éstas se podríanconsiderar como una generalización de lasecuaciones paramétricas de las cuádricas,donde son afectadas las funcionestrigonométricas que aparecen conexponentes que producen, para cada valor,deformaciones análogas, las cuales a suvez inducen la categorización de lassuperficies generadas en distintas familias.

En algunos casos emergerá una especiede aristas en el sentido de los meridianos,de los paralelos o de ambos; en otros, unasuperficie reglada. Se espera que seanútiles para comprender la relación entre laforma y su representación algebraica; quecobren un especial interés para el librejuego del alumno en la búsqueda denuevas formas (situaciones de acción) y

345

X(ϕ,θ) = (a(c + cosε (ϕ))cosδ (θ),b(d + cosε (ϕ))sinδ (θ),c sinε (ϕ))

ε ∈Q+

la exploración de potenciales propiedades(situaciones de formulación y justificación),así como al afianzamiento del conocimientode las cuádricas. Además, es fácil y posibleincursionar en la representación (no utilizadacomúnmente en los núcleos de modelado)del superhiperboloide de dos hojas y elsuperparaboloide elíptico (Figura 2).

Mediante la experimentación numéricay gráfica, y por la observación de susmeridianos y paralelos, se puedeninducir propiedades de reglaje queluego son demostradas analíticamente.Se ha esperado que el trabajo en ellaboratorio lleve a la confirmación de lossupuestos iniciales, expresados en lasección 3.

6.1. Las selecciones del profesor:propuesta de un problema.

A partir de las ecuaciones paramétricas delas cuádricas y de la previa presentaciónde las supercónicas se plantea, comodesafío, la exploración de nuevas formasgeométricas vinculadas a dichassuperficies y la indagación de propiedadesgenerales.

PROBLEMA GENERAL

Representar gráficamente lasecuaciones paramétricas que seobtienen cuando se afecta, condeterminados exponentes, a lasfunciones trigonométricas que aparecenen las ecuaciones paramétricas de lascuádricas. Explorar lo que ocurre al dardistintos valores a los exponentes eintentar una clasificación de lasrepresentaciones que se obtienen.

Este problema, en forma análoga a lo queya han hecho en el estudio de lassuperficies cuádricas, requiere laconsideración de distintos casos.

Relime

−π / 2≤ ϕ ≤ π / 2,−π ≤ θ ≤ π, δ ∈Q+

346

Por ejemplo, la ecuación paramétrica deuna elipsoide en un caso particular es:

con

Un primer problema derivado del problemageneral es:

Representar las ecuaciones que seobtienen para distintos valoresracionales positivos de los exponentes y en la expresión

con y

Se pide que y sean racionales ypositivos. Para cada valor de losparámetros se obtiene una ecuación.

¿Cómo se respondería a un problema deeste tipo sin herramientas computacionalesde cálculo y representación, en tiemposrazonables? Es aquí donde se impone larepresentación computacional (Figura 1)como una nueva metodología para estudiarla geometría analítica.

Logradas las representaciones, eltrabajo matemático que se busca esel de relación de los parámetros conlas formas obtenidas, el análisis de losrangos de las variables que permitenuna graficación, la formulación de lasposibles características comunes adeterminados valores de losparámetros y la justificación de loscasos donde meridianos y paralelosllegan a rectificarse.

6.2 La elección de la herramientacomputacional

Una de las herramientas computacionalesposibles para la representación es el

Scilab, una herramienta C. A. S.desarrollada en el Instituto Nacional deInvestigaciones en Informática yAutomática de Francia (INRIA), como partedel proyecto Métala (Bunks et al., 1999).Este software, diseñado con el fin deofrecer una poderosa herramienta decálculo a los expertos en matemáticaaplicada, es un sistema totalmenteinteractivo que da una gran comodidadpara la visualización de las solucionesobtenidas, sea gráfica o alfanumérica.Asimismo, puede manipular la mayor partede los objetos estándar de la matemáticaaplicada, como vectores, matrices,polinomios, matrices polinomiales reales ocomplejas. Al ser un sistema totalmenteabierto, le permite al usuario definir nuevasfunciones, crear nuevas tipos de variablesy definir sus propias operaciones. Tambiéncabe destacar que, en el contexto socialde las universidades estatales argentinas,Scilab tiene una distribución gratuita y seencuentra disponible para diversossistemas operativos tal como Unix, Linuxo Windows/98/NT.

7. EL DESARROLLO DE LAEXPERIENCIA EN EL LABORATORIO

Con carácter exploratorio se ha trabajadocon un grupo de alumnos de la asignaturaÁlgebra y Geometría Analítica de laFacultad de Ciencias Exactas, Ingenieríay Agrimensura de la Universidad Nacionalde Rosario, Argentina, quienes ya hanaprobado las evaluaciones parcialescorrespondientes a los temas de cónicasy cuádricas. De igual manera, estudiaronen una clase previa, dada en el laboratorio,la generación de las supercónicas. En estetrabajo se describen algunas etapas delestudio exploratorio de las supercuádricas.

Los alumnos obtienen fácilmente larepresentación del elipsoide que se

X(ϕ,θ) = (4 cos(ϕ) cos(θ),6 cos(ϕ) sin(θ),8 sin(ϕ))−π / 2≤ ϕ ≤ π / 2,−π ≤ θ ≤ π

δ ε

X(ϕ,θ) = (4 cosε (ϕ) cosδ (θ),6 cosε (ϕ) sinδ (θ),8 sinε (ϕ))

ε ∈Q+

δε

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 347

observa en la Figura 1 . Eldocente les pide que, en un trabajo derelación entre las ecuaciones y la gráfica,imaginen cómo recorrer el elipsoide por losparalelos.

Ahora bien, los alumnos saben que sise deja constante, la coordenada ztambién es constante. Dicha coordenadamide la distancia al plano xy, o sea, ladistancia al plano del ecuador en unelipsoide como el de la Figura 1. Estoequivale a imaginar el elipsoideseccionado por un plano cuya intersecciónnos da un paralelo de forma elíptica. Seplantean las siguientes preguntas:

¿Cómo podríamos movernos recorriendolos paralelos?

Para cada constante, al variar el ángulo se recorre un paralelo.

Se observa que todo el elipsoide puedepensarse que está generado por elipses,los cuales constituyen los paralelos. Enrespuesta a la consigna del problemaderivado, los mismos alumnos se preguntan:

¿Qué le ocurrirá a un paralelo elíptico siafectó a las funciones trigonométricas delángulo que, como vimos, rige elrecorrido de la elipse en su ecuaciónparamétrica, con un valor del exponentemayor que 2?

Ellos ya han visto en el trabajo previo sobrelas superelipses en el plano que esos valoresproducen cúspides en la forma de la elipsePor ejemplo, para un valor del exponenteigual a 3, en cada paralelo apareceráncuatro cúspides. También han trabajado enanálisis matemático las funcionesparamétricas que se representan porastroides.

¿Qué puede significar en toda la superficie

(δ =1, ε = 1)

ϕ

θϕ

θ

la aparición de infinitas cúspides en susparalelos?

Los alumnos conjeturan que surgen lascuatro aristas que pueden mediante lacomputadora.

En este caso, la computadora permitematerializar lo imaginado, relacionarlocon conocimientos anteriores yobtener un superelipsoide, donde lascúspides de los paralelos definencuatro aristas, las cuales se observanen la figura correspondiente (Figura 1,caso )

¿Cómo nos podríamos mover, en formaanáloga, recorriendo los meridianos?

Si ahora consideramos constante, alvariar se puede imaginar que un puntorecorre una mitad de un meridiano,formando una elipse. Tal razonamientointuitivo está facilitado por el conocimientoque el alumno tiene de las coordenadasesféricas.

¿Que ocurrirá cuando afectamos ahora,con el exponente 3, las funcionestrigonométricas del ángulo que generalas elipses meridianos?

Se anticipa la generación de cuatrocúspides en cada meridiano.

¿Cómo incidirá en la superficie del elipsoide?

Las cúspides de los meridianos se ubicanen el “ecuador” y en los “polos”, como seobserva en las figuras correspondientes(Figura 1, caso ).

Con el auxilio del computador, al avanzaren el cumplimiento de las consignas delproblema, se obtienen en forma inmediatadistintas respuestas de pantalla que son,a su vez, problematizadoras.

ε = 1, δ = 3

θϕ

ϕ

ε = 3, δ = 1

Relime348

Las supersuperficies son graficadasmediante paralelos y meridianos. En laFigura 1 se muestra el elipsoide delejemplo y los respectivos superelipsoidesque resultan cuando tomandeterminados valores. La Figura 2representa un hiperboloide de una hoja ysus respectivos superhiperboloides de unahoja, Se añaden además graficacionesde un paraboloide elíptico y lossuperparaboloides elípticos asociados, Enla Figura 3 aparece un hiperboloide de doshojas y sus deformaciones, y en laFigura 4 un toro con los supertoroscorrespondientes.

En un trabajo de sistemáticaexperimentación numérica y gráfica, laobservación de regularidades tocantes adeterminados valores de y en distintassupercuádricas lleva a la inducción de lassiguientes propiedades:

• Si . Las seccionesmeridianas que en la cuádricacorrespondiente eran elipses setransforman en un cuadriláterocurvilíneo con cuatro puntoscuspidales. Si eran hipérbolas pasana tener dos puntos cuspidales.

• Si . Las seccionesparalelas que en la cuádricacorrespondiente eran elipses setransforman en un cuadriláterocurvilíneo con cuatro puntoscuspidales. Si eran hipérbolas pasana tener dos puntos cuspidales.

• Si . Las seccionesmeridianas y las paralelas setransforman como en los casosanteriores.

• Si . Las seccionesmeridianas son rectilíneas.

• Si . Las seccionesparalelas son rectilíneas.

• Si . Ambas seccionesson rectilíneas.

• Se incluyen también gráficas conparámetros mayores que tres, con elobjeto de inducir otras propiedades.

Las supersuperficies regladas

De la observación en pantalla han surgidopropiedades relativas al carácter regladode las superficies que se obtienen conecuaciones paramétricas afectadas conexponente igual a 2. La demostración pudoplantearse como un problema devalidación relativamente fácil.

La simplicidad de recursos que senecesitan hace la demostración posiblepara el alumno.

8. ANÁLISIS A POSTERIORI YEVALUACIÓN DIDÁCTICA

Se ha buscado detectar situacionesadidácticas de acción, formulación yvalidación, en el sentido de Brousseau, quesurjan a partir de la relación de los alumnoscon los contenidos y el medio. Estassituaciones serían, de acuerdo con nuestrocriterio de observación dirigida, losindicadores de un aprendizaje significativocaracterizado por Ausubel comoaprendizaje por descubrimiento, e ilustradopor el mismo en un ejemplo sobre lageneralización de una propiedad de lostriángulos (Ausubel y Robinson, 1969).

Brousseau llama situación adidáctica “auna situación matemática específica de un

(ε, δ)

ε δ

ε = 3, δ = 1

ε = 1, δ = 3

ε = 3, δ = 3

ε = 2, δ = 1

ε = 1, δ = 2

ε = 2, δ = 2

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 349

conocimiento concreto que, por sí misma,sin apelar a razones didácticas y enausencia de toda indicación intencional,permite o provoca un cambio de estrategiapor el alumno”.

La situación adidáctica es una parte de lasituación más amplia, a la que Brousseaudenomina situación didáctica, quecomprende las relaciones establecidasexplícita o implícitamente entre losalumnos, un cierto medio (incluyendoinstrumentos y objetos) y el profesor, conel objetivo de que los alumnos aprendanel conocimiento matemático. Se trata deuna serie de intervenciones del profesorsobre el par alumno-medio, destinadas ahacer funcionar las situaciones adidácticasy los aprendizajes que provocan. Laevolución de una situación didáctica requiere,por tanto, la intervención constante, la acciónmantenida y la vigilancia del profesor.”(Chevallard et al., 1997).

¿Cómo se las caracteriza?

Situaciones adidácticas de acción

Una buena situación de acción debe permitiral alumno juzgar el resultado de su acción yajustarla sin la intervención del profesor,gracias a la retroacción por parte del mediode la situación. Las informaciones que ledevuelve la situación son percibidas por elalumno como sanciones o refuerzos de suacción.

En una situación de acción se produce undiálogo entre el alumno y la situación. Taldialéctica de la acción le permite construirmejor su modelo implícito, pues tienereacciones que no puede todavía formular,probar, ni mucho menos organizar en unateoría. En todo caso, la situación adidácticaprovoca un aprendizaje por adaptación,según la teoría de Piaget (Chevallard etal., 1997).

Situaciones adidácticas de formulación

Con el fin de que el alumno puedaexplicitar su modelo implícito y que estaformulación tenga sentido para él, esnecesario que pueda utilizarla a fin de queobtenga o haga obtener a alguien unresultado. En unas situaciones adidácticasde formulación, el alumno intercambiainformación con una o varias personas, obien comunica lo que ha encontrado a uninterlocutor o a un grupo de alumnos, quele devuelve la información (Chevallard etal., 1997).

Situaciones adidácticas de validación

En la dialéctica de la validación, el alumnodebe demostrar porqué el modelo que hacreado es válido. Sin embargo, para queconstruya una demostración y tengasentido para él tiene que construirla en unasituación, llamada de validación, dondenecesita convencer a otra persona. Unasituación adidáctica de validación da laocasión de someter el mensajematemático –modelo explícito de lasituación– como una aseveración a uninterlocutor (oponente). El oponente puedesolicitar explicaciones suplementarias,rechazar las que no comprende o aquellascon las que no está de acuerdo, dando susargumentos (Chevallard et al., 1997).

¿Qué situaciones adidácticas se observanen el laboratorio?

Con respecto al modo de apropiación delos contenidos por parte de los alumnos,es posible distinguir tres momentosestrechamente vinculados entre sí:

Primer momento : La curiosidad suscitadapor el impacto visual de las primerasimágenes actúa en principio como fuentede motivación En este momentopredominan las situaciones adidácticas de

Relime350

acción, donde los alumnos interactúan conla computadora.

Segundo momento: Tiene lugar a partirdel diálogo, la discusión y el intercambiode información entre pares de alumnosfrente al computador, con intervencionesocasionales de las docentes ycompañeros de otros grupos.Predominan las situaciones adidácticasde formulación, en las que ocurren losprimeros intentos para interpretar,identificar y definir lo que se observa enla pantalla, es decir, las respuestas quedevuelve la computadora.

Tercer momento: Pueden distinguirsesituaciones adidácticas de validación amedida que transcurren las clases delaboratorio, ya que los alumnos utilizannociones analíticas previas relativas a lassecciones cónicas, superficies cuádricasy conceptos incluso del análisis matemático,que atañen al comportamiento dedeterminadas funciones para explicar alcompañero o al docente ciertasdeformaciones.

La aparición de un nuevo conocimiento, ode alguna respuesta inesperada por partede la PC, genera un conflicto cognitivo enlos alumnos que no puede ser resueltomediante estrategias del tipo ensayo-error.Eso se debe a la función conceptualizadoradel diálogo, que obliga a los alumnos aanalizar y reflexionar sobre sus accionespara poder argumentar con racionalidad lapertinencia de sus decisiones en lasolución dada al problema (Anido et al.,2000).

Otro rasgo a destacar en el proceso deaprendizaje es que la modalidad de trabajoadoptada, donde el énfasis está puesto enla exploración, la experimentación o lainvestigación antes que en la respuestacorrecta, permite que los alumnos utilicen

el error no como sinónimo de fracaso, sinocomo otro punto de partida para nuevasproblematizaciones y reflexiones, en el quelas posibilidades y consecuencias muchasveces son desconocidas incluso para lasdocentes.

Si centramos nuestra mirada en el roldocente, aparece como fundamental en elproceso de apropiación de losconocimientos por parte de los alumnos.De los datos obtenidos podemos deducirque la intervención de las docentes tiendeprincipalmente a provocar el conflictocognitivo en los alumnos, mediante laproblematización de los contenidos. Paraello, se basan en el uso del interrogatoriodidáctico, la pregunta y repregunta, elcuestionamiento de las estrategias, lacontradicción y la duda, con el fin de lograrel análisis y la reflexión por parte de losalumnos. Resulta interesante observar laalternancia de situaciones didácticas en lasque las docentes conceptualizan lotrabajado por los alumnos (instancia deinstitucionalización) con el desarrollo desituaciones adidácticas, donde seevidencia la tensión que genera lademanda de los alumnos para obtenerrespuestas puntuales y la no-intervencióndeliberada de los profesores.

En esta línea de acción puedenpuntualizarse ciertas escogenciasdidácticas, como el encuadre de la tarea ola aclaración de las consignas dadas. Eltema resulta propicio para transformar lasrespuestas del computador al accionar delos alumnos y sus interpretaciones en unsaber que, con la ayuda del docente,constituya un conocimiento de carácteruniversal. Dichas intervenciones deldocente obran a manera de andamiaje enla orientación y comprensión del trabajocon la PC, así como en la relación yreorganización de los nuevosconocimientos asimilados por los alumnos.

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 351

La disposición de dos alumnos frente alcomputador ha facilitado no sólo el diálogoentre los integrantes de un mismo equipo,sino además ha propiciado un clima áulicodistendido que favorece la realización dela tarea. Resulta evidente una construcciónsocial del conocimiento, donde elaprendizaje es mejor entendido en unproceso de diálogo y socialización (Bredo,1994). Sin embargo, la restricción de estamodalidad didáctica estriba en la dificultadque enfrentaron las docentes durante laatención simultánea de múltiples gruposcon necesidades y ritmos de aprendizajediferentes.

Ahora bien, las posibilidades gráficas yvisuales tienen una apreciable influenciaen las formas de aprender de loseducandos, al cumplir diferentesfunciones:

• Función motivadora: Mediante elimpacto y la riqueza de las imágenes(color, volumen, etc.)

• Función problematizadora: Al permitirla creación de nuevas figuras yrelaciones espaciales, abriendo pasoa numerosas experimentaciones einterrogantes.

• Función facilitadora de unaprendizaje significativo: Como víade familiarización con los diversosobjetos matemáticos, a través dela identificación, comparación,interpretación, aproximación ycomprensión por analogía de susrepresentaciones.

Pudo notarse en el desarrollo del trabajohecho por los alumnos el rol deherramienta cognitiva asignado a lacomputadora, ya sea a nivel de losalumnos o de las docentes, en el sentido

de que se tendió en forma explícita haciaun uso racional y crítico de la misma, yaque se reflexionó continuamente acercade sus alcances y limitaciones, ventajas ydesventajas. Esto puede ser señalado enel progresivo aprovechamiento de estaherramienta en el transcurso de las etapasde trabajo.

¿Qué evaluación podemos hacer enrelación a las predicciones del análisis apriori?

El análisis a posteriori confirmó lasconjeturas formuladas en el análisis apriori sobre el trabajo matemático de losalumnos.

• Las imágenes que aparecen en lapantalla despiertan en los alumnos lacuriosidad e inducen la investigaciónde nuevas formas, debido al juegomatemático creativo que se facilita porla inmediata representacióncomputarizada de las ecuacionessurgidas de la variación de losparámetros. Se intuyen nuevasimágenes que luego son materializadasen la pantalla del computador. En lassituaciones adidácticas de acción seinduce naturalmente una clasificación delas formas, según los valores de losparámetros; hay una partición de lasfamilias en subfamilias y unaclasificación que da lugar a laformulación de las condiciones quedefinen subfamilias. Algunos alumnosrelacionaron las formas de meridianosy paralelos con las curvas asteroidespresentadas como ejemplos de puntoscuspidales en análisis matemático.

• Se promueve naturalmente un estudiográfico de familias de superficies,inducción de definiciones a partir deejemplos, relación de ecuaciones con

Relime352

gráficas, reconocimiento de ejemplosde gráficas de un cierto tipo einterpretación del papel de losparámetros presentes en ecuaciones,específicamente los efectos de cambiosde parámetros sobre la forma gráfica.

• Se generaliza, en el sentido degeneralización de Polya, el concepto decuádricas a supercuadricas,constituyéndose las primeras en uncaso particular de una familia desuperficies mucho más amplia, coninfinitas nuevas formas. Polya (1954)sugiere dos tipos de generalizaciones,cuando dice: “Nosotros generalizamoscuando pasamos de la concepción detriángulos a la de polígonos conarbitrario número de lados. Nosotrosgeneralizamos también cuandopasamos del estudio de funcionestrigonométricas con ángulo agudo afunciones trigonométricas con ánguloirrestricto”. La complejidad de unageneralización depende del conceptoque será generalizado y de surepresentación. En nuestro caso, elpasaje de las ecuaciones paramétricasde una cuádrica, donde el exponentede las funciones trigonométricas valeuno, a una expresión más general,donde puede tomar como valornúmeros racionales, se puedeconsiderar como una generalización delas cuádricas a una familia desuperficies: las supercuádricas. Seconsigue así una organizaciónjerárquica y piramidal que constituye loque Ausubel llama estructura cognitiva(Ausubel et al., 1987).

• Se obtienen las ecuaciones yrepresentaciones computarizadas delsuperparaboloide y del hiperboloide dedos hojas, no difundidos, queconsideramos pueden ser un aporte alos estudios en el tema.

• La ingeniería didáctica quedesarrollamos muestra la diversidad ymovilidad de los cuadros definidos porDouady (1995) que entran en juego. Laaparición de los distintos cuadros(geométrico, algebraico, computacional,de cálculo) hace cumplir una condiciónnecesaria de un buen problema que,según Douady, debe requerir al menosde dos cuadros. Los alumnos trabajancon verdaderas ventanas conceptuales,concebidas como “conjunto de partes decuadros que un estudiante haceinteractuar o combina para estudiar elproblema al cual se somete”.

Esas ventanas abarcan conocimientosrelativos a álgebra, geometría, trigonometría,cálculo, computación (sistemas deecuaciones paramétricas, funcionestrigonométricas, análisis de dominio de lasfunciones implícitas vinculadas campo realy al campo de los números complejos,límite, curvas astroides que se estudianaisladas en el análisis matemático, y quese constituyen en meridianos o paralelosen las supersuperficies representadas).Douady agrega: “Para un estudiantedeterminado, la ventana evoluciona en eltranscurso del trabajo con relación a laspreguntas y los métodos que suconocimiento le sugieren. Las ventanasconstituyen el sustento de los juegos decuadros” (1993).

9. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha descrito sólo unaprimera puesta en escena, con carácterexploratorio, de una ingeniería didáctica enun tema que podría ser incorporado a loscontenidos curriculares de la matemáticabásica en las carreras de ingeniería,arquitectura o diseño. No obstante, desdela confrontación entre las conjeturasexpresadas en el análisis previo y el

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 353

análisis a posteriori surge un posibleaporte a la validación de los supuestosformulados en los objetivos de lainvestigación que debe ser continuada yprofundizada.

Se ha buscado, en esencia, aproximarrespuestas al campo de cuestiones queintegran el problema de investigación, alindagar en la potencial idad de larepresentación computarizada paracomprender la relación entre unasuperficie y su gráfica, algo muy difícil parael alumno en la primera etapa de suformación matemática. La potencia deuna herramienta C. A. S. en cuanto a larapidez de respuesta del ordenador hapermit ido la obtención y estudiocomputarizado de múltiples familias decurvas y superficies de interés en unafacultad de ingeniería para el diseñoconstructivo e industrial.

También se han manifestado:

• Razonamientos basados en la intuicióngeométrica que lleven al desarrollo deun pensamiento anticipativo.

• Abstracciones por analogía ygeneralizaciones (razonamientosplausibles e intuición).

• Ampliación de la estructura cognitivadel alumno por la construcción degeneralizaciones que conducen desdelas cuádricas a las supercuádricas.

• El estímulo del pensamiento visual, enel sentido de Alsina (1997), en cuantoa las abstracciones que exige entendercómo se provocan, desde lasexpresiones analíticas, deformacionesen objetos ya abstractos, como lassuperficies cuádricas y tóricas.

• Una partición en familias y subfamiliasoriginada por la clasificación desupersuperficies de acuerdo con losrangos de variación de los parámetros.Esto encuadraría en las tareasrecomendadas como trabajomatemático de aprendizaje significativopor Tall (1985), quien considera afamilias de este tipo como sistemagenérico organizacional que provocaprocesos cognitivos complejos en elaprendizaje.

Se suma a esto otra conclusión no menosimportante: el tratamiento computacionalpor el alumno de las supersuperficies ledevela o refuerza el conocimiento de labelleza de la matemática y de su poderpara generar belleza.

10. AGRADECIMIENTOS

Este trabajo forma parte de estudios realizados en el marco del Programa 2-ECO-3, Laformación matemática en carreras no matemáticas, perteneciente a la UniversidadNacional de Rosario, Argentina. Dicho programa incluye a los siguientes proyectosvinculados con la temática del trabajo y que actualmente son financiados por la Secretaríade Ciencia y Técnica de la Universidad Nacional de Rosario:

• ECO-17, La ingeniería didáctica en el diseño y seguimiento de unidades curriculares.

• ING-74, La elaboración y evaluación de los materiales curriculares para la matemáticabásica de carreras de ingeniería.

Relime354

• La enseñanza de la matemática con herramientas computacionales, que lleva acabo el Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Rosario (CIUNR).

Se trabajó en el laboratorio provisto por el proyecto FOMEC. No. 615- UNR, La enseñanzade la matemática con herramientas Computacionales, auspiciado por el Fondo para elMejoramiento de la Calidad de Enseñanza de la Secretaría de Políticas Universitarias,dependencia del Ministerio de Cultura y Educación de Argentina.

BIBLIOGRAFÍA

Alsina, C.; Burges, C. y Fortuny, J. M. (1988). Invitación a la didáctica de la geometría.Madrid, España: Síntesis.

Alsina Catalá, C.; Fortuni Aymemí, J. y Pérez Gómez, R. (1997). Geometría analítica.Madrid, España: Síntesis.

Alsina Catalá, C.; Fortuni Aymemí, J.; Pérez Gómez, R. (1997). ¿Por qué geometría?.Madrid, España: Síntesis.

Anido, M.; (2002) Una propuesta de incorporación de herramienta computacional a laenseñanza de la matemática en la universidad. Evaluación de experiencias. Tesis dedoctorado, UNED, España.

Anido, M.; Có, P.; Del Sastre, M.; Medina, L. y Panella, E. (2000). Una ingeniería didácticadiseñada alrededor del concepto de cónicas y superficies. Anales del IX EncuentroNacional Sobre Enseñanza de la Matemática en Carreras de Ingeniería (EMCI), 32-66.Entre Ríos, Argentina: Universidad Tecnológica Nacional de Entre Ríos, Argentina-Facultad Regional Concepción del Uruguay.

Anido, M. y Villalonga, M. (1989). Supersuperficies. La supersuperficie de Boy. Publicacióndel Congreso Internacional Computadoras en Educación (pp. 88-101). Mendoza,Argentina: Universidad de Mendoza.

Anido, M. y Rubio, H.; (1999) Un ejemplo de aprendizaje en el sentido de Polya. RevistaLatinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 2 (3), 5-17.

Artigue, M. (1990) Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques9 (3), 281-307.

Artigue, M. (1995). El lugar de la didáctica en la formación de profesores. En M. Artigue,M. Douday, R. I. Moreno y P. Gómez, (Eds.), Ingeniería didáctica en educaciónmatemática. (pp. 7-33) Bogotá, Colombia: Grupo Editorial Iberoamericano.

Ausubel, D. P.; Novack, J. D. y Hanesiam, H. (1987). Psicología educativa. Un punto devista cognoscitivo. México: Trillas.

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 355

Ausubel, D. P. y Robinson, F. G. (1969). School learning. An introduction in educationalpsychology. London, Great Britain: Holt, Rinehart & Winston.

Barr, A. H. (1981). Superquadrics and angle-preserving transformations. I.E.E.E.Computer Graphics and Applications 1 (1), 11-23.

Bredo, E., (1994). Reconstructing educational psychology: situated cognition and Deweyan pragmation. Educational Psychologist 29 (1), 23-35.

Brousseau, G. (1988) Los diferentes roles del maestro. Buenos Aires, Argentina: UQAM.

Bunks, C.; Chancelier, J. P.; Delebecque, F.; Gómez, C. (Ed.); Goursat, M.; Nikoukhah,R. & Steer, S. (1999). Engineering and scientific computing with Scilab. Boston, USA:Birkhäuser.

Chevallard, Y.; Bosch, M. y Gascón, J. (1997) Estudiar matemática. Barcelona, España:ICE-Horsori.

Chevallard, Y. (1988). La transposition didactique, du savoir savant an savoir enseigné.Grenoble, France: La Pensée Sauvage.

De Guzmán, M. (1996). El rincón de la pizarra. Ensayos de visualización en análisismatemático. Madrid, España: Pirámide.

Douady, R. (1993). L’Ingenierie Didactique. Un moyen pour l’enseignant d’organiser lesrapports entre l’enseignement et l’apprentissage. Cahier de DIDIREM IREM 19. Paris:Université Paris VII.

Douady, R. (1995) La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con elconocimiento. En M. Artigue, R. Douady, I Moreno, y P. Gómez (Eds.), Ingeniería didácticaen educación matemática. (pp. 34-56; 61-97). Bogotá, Colombia: Grupo EditorialIberoamericano.

Enriques, F.; Amaldi, V.; Guarducci, A.; Vitali, G. y Vailati, G. (1948). Fundamentos de laGeometría. (pp.15-55). Buenos Aires, Argentina: Iberoamericana.

Faux, A. H. y Pratt, M. J. (1979). Computational geometry for design and manufacture,New York, USA: Wiley Press.

Flanagan, D. L. y Hefner, O. V. (1967). Surface moulding new tool for the engineer.Aeronautics and Astronautics, 58-62.

Franklin, W. R. y Barr, A. H. (1981). Faster calculation of superquadrics shapes. Computergraphics and applications. IEEE CG&A, 41-47.

Jonassen, D. H. (1995). Computers as cogniteve tools: learning with technology. Andnot from technology. Journal of Computing in Higher Education 6 (2), 40-73.

Relime356

Mosquera, J. C. (1996). La informática y el proceso de investigación matemático en laescuela. Educación Matemática 8 (1), 14-21.

Polya, G. (1954). Induction and Analogy in Mathematics. Princeton University

Tall, D. (1985). Using computer graphics programs as generic organisers for the conceptsimage of differentiation. Proceedings of PME 9 (1), 105-110.

Terracini, A. (1941). Orígenes de algunos conceptos geométricos. Publicaciones delInstituto de Matemática, Universidad Nacional del Litoral, Argentina 3 (6), 158-199.

Villani, V. (1995). “Le transformazione Geometriche Nella Scuola Secondaria Superiore”.L´insegnamiento della Matemática e delle Scienze Integrate, 18A-18B, (6), 669-688.

Villani, V. (1994). L’insegnamiento preuniversitario della geometría: molte domante,qualache risposta. L’insegnamiento della matematica e delle scienze integrate 17A-17B(5), 439-458.

Villani, V. (1994). L’insegnamiento della geometría nei nuovi programmi della scuolaitaliana. L´insegnamiento della matematica e delle scienze integrate 17A-17B (6), 663-674.

Mercedes A. AnidoFacultad de Ciencias Exactas Ingeniería y AgrimensuraUniversidad Nacional de RosarioArgentina

E-mail: anidom@fceia.unr.edu.ar

Roberto LópezFacultad de Ciencias Exactas Ingeniería y AgrimensuraUniversidad Nacional de RosarioArgentina

E-mail: rolopez@fceia.unr.edu.ar

Héctor E. Rubio ScolaFacultad de Ciencias Exactas Ingeniería y AgrimensuraUniversidad Nacional de RosarioArgentina

E-mail: erubio@fceia.unr.edu.ar

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría

ε = 1; δ = 2

357

ANEXO

Figura 1. Superelipses

ε = 3; δ = 3

ε = 1; δ = 1 ε = 3; δ = 1

ε = 1; δ = 3

ε = 2; δ = 1

ε = 2; δ = 2 ε = 5; δ = 5

Relime358

ε = 3; δ = 3

δ = 1

ε = 1; δ = 1 ε = 1; δ = 3

ε = 3; δ = 1

δ = 2

δ = 3 δ = 4

Figura 2. Superhiperboloides de una hoja y superparaboloides elípticos

Las supersuperficies en el aprendizaje de la geometría 359

Figura 3. Superhiperboloides de dos hojas

ε = 1; δ = 3

ε = 2; δ = 1 ε = 1; δ = 2

ε = 2; δ = 2 ε = 5; δ = 5

ε = 1; δ = 1 ε = 3; δ = 1

ε = 3; δ = 3

Relime360

Figura 4. Supertoros

ε = 1; δ = 1 ε = 3; δ = 1

ε = 1; δ = 3 ε = 3; δ = 3

ε = 2; δ = 1 ε = 1; δ = 2

ε = 2; δ = 2 ε = 5; δ = 5