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Las c�onicas y sus aplicaciones

Pedro Alegr��aUniversidad del Pa��s Vasco

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OBJETIVOS:

(*) De�nir y construir curvas planas que han tenido una larga historia en laevoluci�on de las matem�aticas pero tambi�en en muchas otras ramas de la cien-cia.

(*) Enunciar algunas propiedades interesantes que las hacen especialmente ade-cuadas para una gran variedad de aplicaciones.

(*) Comentar aplicaciones en las que se pone de mani�esto no s�olo la utilidadsino tambi�en la belleza de este tipo de curvas.

Ademas de las rectas, cırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sabıanlas propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano: la elipse, la parabola y la hiperbola.Kepler descubrio al analizar sus observaciones astronomicas -y Newton lo demostro matematicamente sobre labase de la ley universal de la gravitacion- que los planetas describen elipses. Ası se hizo de la geometrıa de laGrecia antigua piedra angular de la astronomıa moderna. J. L. Synge

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1. Origen de las conicas

• Menaechmus (siglo IV a.C.): mostro que las conicas se obtienen alcortar un cono por planos no paralelos a la base.

• Apollonius de Perga (siglo III a.C.): el primero que las introdu-jo publicamente, escribiendo “Las Conicas”, el mas importante tratadoantiguo sobre las secciones conicas.

Motivo: buscar soluciones solo con regla y compas de los tres famososproblemas griegos.

• Galileo (siglo XVI): demostro que las trayectorias de los proyectiles sonparabolicas.

• Kepler (siglo XVII): rescato las conicas al encontrar en la elipse la res-puesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planetaMarte tiene orbitas elıpticas y el sol esta situado en uno de sus focos.

• Newton (siglo XVII): enuncio la famosa ley de la gravitacion universal,en base a este descubrimiento; ası el descubrimiento de Kepler se deducecomo consecuencia matematica de dicha ley.

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1.1. Triseccion de un angulo.

Sea α un �angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radioOA = OB de modo que AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. ConOC como directriz y B como foco, se construye una rama de hip�erbola de ex-centricidad e = 2. Sea P el punto de intersecci�on de la hip�erbola con el arcode circunferencia AB. An�alogamente se obtiene el punto P ′ utilizando A comofoco.

Por de�nici�on de hip�erbola, BP = 2PD y AP ′ = 2DP ′. Adem�as, debidoa la simetr��a, PD = DP ′. En de�nitiva, resulta que BP = PP ′ = P ′A yqueda as�� trisecado el �angulo α.

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1.2. Duplicacion del cubo.

La leyenda a�rma que el rey Minos de Creta hab��a ordenado erigir a su hijo unatumba en forma de cubo y que, por negligencia del constructor, result�o demasiadopeque~na. Hubo necesidad de demoler el cubo de m�armol de 100 pies de arista ysustituirlo por otro de volumen doble.En todo caso, el problema de Delos hall�o ya en la antig�uedad diversas soluciones

constructivas, aunque desde luego ninguna con el uso exclusivo de la regla y elcomp�as, porque si llamamos a a la arista del cubo original y x a la del cuboduplicado, el problema se reduce a resolver 2a3 = x3.Soluci�on de Hip�ocrates:Sean las par�abolas de ecuaciones x2 = ay, y2 = 2ax. La abscisa del punto de

intersecci�on de ambas es x = a 3√

2, igual a la arista del cubo doble.

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2. Distintas definiciones de conica

2.1. Punto de vista historico.

a) Secciones perpendiculares a una generatriz, para diferentes conos:

α agudo: elipse α recto: parabola α obtuso: hiperbola

(α es el �angulo formado por dos generatrices diametralmente opuestas)

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b) Distintas secciones de un mismo cono.

Se observa que si el plano atraviesa el cono paralelamente a su base, la secci�ones un c��rculo. Inclinando ligeramente el plano con respecto a la base, la secci�onresulta ser una elipse. Cuanto m�as inclinado est�e el plano, m�as alargada resultala elipse (tiene mayor excentricidad). Se podr��a esperar que al aumentar la in-clinaci�on del plano, al ser m�as ancho el cono, la secci�on tendr��a forma de pera;sin embargo, siempre es una elipse perfecta hasta que el plano es paralelo a unageneratriz del cono. Desde este momento, la curva ya no ser�a cerrada, y en estecaso se trata de una par�abola. Al inclinar m�as el plano, se obtiene una de lasramas de una hip�erbola.

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Finalmente, si el plano pasa por el v�ertice del cono, la secci�on degenera en unpunto o bien una o dos rectas.

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2.2. Punto de vista proyectivo.

Desde un punto exterior al plano de una circunferencia, la proyecci�on de lamisma sobre un plano inclinado es una elipse.Si proyectamos desde un punto situado en una recta perpendicular al plano

de la circunferencia y que pase por un v�ertice de la misma sobre un plano per-pendicular al de la circunferencia y diametralmente opuesto al v�ertice dado, seobtiene una par�abola.En las mismas condiciones anteriores, si el pie de la perpendicular desde el

punto hasta el plano de la circunferencia cae en el interior del c��rculo, la �guraproyectada es una hip�erbola.

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Observemos la relaci�on entre ambas de�niciones: La luz emitida desde un punto�jo tiene forma c�onica. Si situamos un punto de luz en el v�ertice de un cono,la sombra re ejada por una esfera inscrita en el cono tendr�a forma de elipsesi colocamos una pantalla en un plano inclinado del cono, cuya excentricidadir�a creciendo a medida que inclinemos m�as dicho plano.

(esferas de Dandelin)

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2.3. Punto de vista analıtico.

a) Mediante la excentricidad.(de�nici�on dada por Pappus o Euclides)

C�ONICA = {P ∈ R2 : d(P, O) = e · d(P, K)}, e ≥ 0.

O es un punto �jo, llamado foco, e es una constante positiva, llamada excen-tricidad, K es una recta �ja, llamada directriz.Se llama elipse si e < 1 (en particular, si e = 0, se llama circunferencia),

par�abola si e = 1 e hip�erbola si e > 1 (los nombres son debidos a Apolonio).Familia de c�onicas con el mismo foco y misma directriz, variando s�olo la ex-

centricidad.

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Ecuaci�on:- En coordenadas polares:

r = OP = e · PK = e(LH − r cos ϑ) = OL− e · r · cos ϑ.

- En coordenadas cartesianas:x2 + y2 = (OL− e · x)2.

ELIPSE HIP�ERBOLA PAR�ABOLA

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b) Mediante los focos. Una elipse es el conjunto de puntos cuya sumade distancias a otros dos puntos �jos, llamados focos es constante.

ELIPSE = {P ∈ R2 : d(P, F ) + d(P, F ′) = 2a}.Una hip�erbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a otros

dos puntos �jos es constante.

HIP�ERBOLA = {P ∈ R2 : |d(P, F )− d(P, F ′)| = 2a}.La elipse y la hip�erbola son sim�etricas por re exi�on en cualquiera de sus ejes y,

por tanto, por el giro de 180 grados alrededor de su centro. Su grupo de simetr��aes D2, el generado por las re exiones respecto a cada uno de sus ejes.

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Tabla resumen:(los ejes de coordenadas son los ejes de simetr��a de la elipse y la hip�erbola)

NOMBREECUACION

IMPLICITA

ECUACIONES

PARAMETRICAS

Elipse x2

a2+

y2

b2= 1

x = a cos ty = b sen t

}, 0 ≤ t < 2π

Hip�erbola x2

a2− y2

b2= 1

x = a ch ty = b sh t

},−∞ < t < ∞

Par�abola y2 = 2pxx = 2pt2

y = 2pt

},−∞ < t < ∞

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3. Construccion de conicas

Envolvente de una familia de rectas (curva regular que es tangente en cadapunto a uno de los elementos de la familia dada, sin ser ella un miembro de lafamilia).ELIPSE. Dibujamos un c��rculo de centro C y un punto S en el interior del

c��rculo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular aQS.

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HIP�ERBOLA. Se dibuja un c��rculo de centro C y un punto S exterior a lacircunferencia. Se traza la perpendicular a QS, para cualquier punto Q de lacircunferencia. Las perpendiculares CN y CM a las rectas tangentes a la cir-cunferencia que pasan por S son las as��ntotas de la hip�erbola.PAR�ABOLA. Dibujamos una recta cualquiera L y un punto S no situado en

ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a QS. Elfoco de la par�abola es el punto S.

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OTROS METODOS.

Se clavan dos chinchetas en una hoja de papel y se las rodea con un buclede hilo, el cual se mantiene tenso con la punta de un l�apiz. Al mover el l�apizalrededor de las chinchetas, est�a claro qu la suma de las distancias de lapunta del l�apiz a las chinchetas es constante. Cuanto m�as pr�oximas est�en laschinchetas, menor ser�a su excentricidad.

El elips�ografo consiste en un recipiente circular y un disco tambi�en circularde di�ametro la mitad del anterior. Abriendo un hueco en cualquier lugar deldisco y atraves�andolo con un l�apiz, al girar el disco alrededor del recipiente(sin deslizarlo) el l�apiz trazar�a una elipse.

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Compas elıptico.

La pieza m�ovil se desliza a lo largo de las ranuras colocadas perpendicular-mente.

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Mediante dobleces de un papel se obtienen los contornos de las c�onicas. Porejemplo, si en una hoja se dibuja una recta y un punto fuera de ella, se doblael papel de modo que la recta se sit�ue sobre el punto y se marca el doblez. Alhacerlo varias veces se obtiene la envolvente de la par�abola.Si recortamos una hoja de papel en forma circular y se dibuja en ella un puntocualquiera, al doblar la hoja de forma que dicho punto coincida con un puntode la circunferencia, se obtiene un conjunto de rectas que son la envolventede una elipse cuyos focos son el punto dado y el centro de la circunferencia.Doblando el papel de forma similar al caso de la elipse, pero situando el punto�jo en el exterior del c��rculo se puede construir una hip�erbola.

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4. Propiedades reflexivas

Es bien conocida la utilidad de las par�abolas en la construcci�on de radares,antenas parab�olicas y espejos. Veamos las propiedades que permiten a las c�onicastener utilidades de ese tipo.Tracemos la recta tangente a cualquier c�onica en cualquiera de sus puntos. En

el caso de la elipse y de la hip�erbola, tracemos adem�as las rectas que unen dichopunto con los focos. Entonces se demuestra que los �angulos (agudos) que formanesas dos rectas con la recta tangente son iguales. Otra forma de expresar estehecho es que, si se dirige un rayo partiendo de uno de los focos, al re ejarse enla �gura sigue en una direcci�on que pasa por el otro foco.

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Mesa de billar elıptica.

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En tres dimensiones, un efecto interesante consiste en dise~nar una sala contecho elipsoidal (de revoluci�on). Emitiendo un sonido desde uno de los focos, esesonido se oir�a con toda nitidez desde el otro foco (las ondas sonoras rebotan en lasparedes y se re ejan en el otro foco; incluso el tiempo que tardan es el mismo, seacual sea la direcci�on inicial). \C�amaras de eco" famosas se pueden encontrar enel edi�cio del Capitolio en Washington y en la catedral de Saint Paul en Londres.Este efecto permite tambi�en la insonorizaci�on de habitaciones.

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LORAN (long range navigation), sistema de navegaci�on por radio. Permitedeterminar la posici�on a partir de la diferencia de recepci�on de las se~nales deradio procedentes de dos emisores sincronizados distantes entre s��.Una estaci�on maestra emite cada 0.05 segundos una peque~na se~nal, que es

repetida por la estaci�on esclava 0.001 segundos m�as tarde. Ambas se~nales sereciben en el barco o avi�on, se ampli�can y se registran como peque~nas ondas.Los circuitos del receptor est�an dispuestos de forma que la distancia entre lasse~nales corresponda a la diferencia de tiempos de llegada de las se~nales de ambasestaciones. Como las ondas de radio viajan a una velocidad constante, la ubicaci�onde todos los puntos en los que las se~nales de las dos estaciones est�an separadas undeterminado intervalo de tiempo se puede representar mediante una hip�erbola,cuyos focos se encuentran en ambas estaciones emisoras.Tras determinar la diferencia de tiempos, por ejemplo, 3 microsegundos, el

navegante sabe que la posici�on de su nave se halla en alg�un punto de la curvade 3 microsegundos del mapa. Repitiendo este proceso, el navegante es capaz dedetectar otra curva que detecte la posici�on de la nave; la posici�on del aparatoestar�a en la intersecci�on de las dos curvas.

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Ejemplo. Supondremos que la estaci�on maestra se encuentra en el origen decoordenadas y las esclavas est�an 600 Km. al norte y 600 Km. al este, respectiva-mente. Si el retraso entre la llegada de la se~nal original y la emitida en la estaci�onN (al norte) es δt milisegundos, el barco est�a en alg�un punto de la hip�erbola deecuaci�on √

x2 + y2 −√

x2 + (y − 600)2 = 295(δt + 1)

(las se~nales de radio viajan a una velocidad de 295 Km. por milisegundo).Si δt es el tiempo de llegada de la se~nal maestra menos el tiempo de llegada de

la se~nal auxiliar, ser�a positivo si el barco est�a m�as pr�oximo a la estaci�on auxiliarque a la principal, etc.A su vez, el barco se encuentra sobre la hip�erbola√

x2 + y2 −√

(x− 600)2 + y2 = 295(δs + 1),

donde δs es el tiempo en que la se~nal llega de la estaci�on principal menos eltiempo en que llega de la estaci�on situada al este. El barco se encuentra pues enla intersecci�on de ambas hip�erbolas.

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En el caso de la par�abola, la propiedad an�aloga es la siguiente: si se traza larecta tangente en cualquier punto y la recta que une dicho punto con el foco, el�angulo que forma la recta tangente con dicha recta coincide con el que forma larecta tangente con la recta paralela al eje de la par�abola.

El paraboloide es una super�cie que se obtiene al girar una par�abola alrededorde su eje. Los espejos parab�olicos tienen forma de paraboloide, y se usan princi-palmente en la construcci�on de telescopios y antenas: los rayos de luz recibidosdesde una fuente lejana (como las estrellas) viajan paralelos al eje de la par�abo-la y se re ejan para converger en el foco de la misma. Inversamente, cuando lafuente de luz est�a en el foco, los rayos de luz se re ejan y viajan paralelos al eje dela par�abola. Este es el principio usado en los faros de los autom�oviles, proyectoresy radares.

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5. Los ovalos

Giovanni Cassini (director del Observatorio Astron�omico de Par��s en 1680)pensaba que la �orbita aparente del sol alrededor de la tierra era un �ovalo, �guradescrita por la condici�on PA× PB = constante. Ya eran conocidas las curvasdescritas por las condiciones an�alogas

PA + PB = constante: elipse,PA− PB = constante: hip�erbola,

PA/PB = constante: circunferencia.La gr�a�ca que tienen var��a seg�un la relaci�on entre la constante y la distancia

entre los puntos dados.

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As�� por ejemplo, si d(A, B) = 2a y PA× PB = k2, entonces:-Si k es mucho mayor que a, el �ovalo es casi una circunferencia.-Si k > a, el �ovalo se alarga pero se estrecha por el centro.-Si k = a, el �ovalo pasa por el punto medio de A y B y forma la llamada

lemniscata de Bernoulli.-Si k < a, la curva se divide en dos curvas cerradas.-Si k es mucho menor que a, esas dos curvas se hacen muy peque~nas y bordean

a los puntos A y B.

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6. Clasificacion de una conica

Ecuaci�on general: ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0.Dado que las secciones c�onicas incluyen a las circunferencias de los antiguos as-

tr�onomos, las elipses de Kepler y la par�abola utilizada por Galileo para describirla trayectoria de un proyectil, este descubrimiento de Descartes facilitaba a losf��sicos una poderosa herramienta, sin la cual el propio Newton se habr��a vistoseveramente limitado.Con respecto a traslaciones

{x′ = x + h,y′ = y + k

y giros{

x′ = x cos α− y sen α,y′ = x sen α + y cos α

:

- Invariante c�ubico: ∆ =

∣∣∣∣∣∣a b db c ed e f

∣∣∣∣∣∣- Invariante cuadr�atico: δ =

∣∣∣∣a bb c

∣∣∣∣ = ac− b2

- Invariante lineal: S = a + c.

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De acuerdo a los signos de los mismos y comparando con las ecuaciones can�onicasobtenidas antes, se deducen las siguientes condiciones para cada tipo de c�onica:

Si δ > 0 y

∆ < 0 : elipse real

∆ > 0 : elipse imaginaria

∆ = 0 : dos rectas imaginarias con un punto real comun

Si δ < 0 y

{∆ 6= 0 : hip�erbola real∆ = 0 : dos rectas reales concurrentes

Si δ = 0 y

∆ 6= 0 : parabola real

∆ = 0 : dos rectas

af − d2 < 0 paralelas reales

af − d2 = 0 reales e iguales

af − d2 > 0 imaginarias

Se puede deducir de lo anterior la propiedad que a�rma que por cinco puntospasa una y s�olo una c�onica, que ser�a degenerada si por lo menos tres de los puntosest�an alineados.

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7. Propiedades varias

• La elipse es la curva que aparece con m�as frecuencia en la vida cotidiana.La trayectoria de un objeto m�ovil que describe una �orbita cerrada bajo lain uencia de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia. Kepler fue quien anunci�o por vez primera este descubrimiento, tansorprendente para la �epoca donde no se aceptaba que las trayectorias de loscuerpos celestes fueran menos perfectas que los c��rculos.

• Las hip�erbolas aparecen en algunas aplicaciones aeron�auticas. Supongamosque un avi�on vuela a una altura h sobre la super�cie terrestre a la velocidadsupers�onica v. Se plantea el problema de determinar la regi�on de la super�cieterrestre en cuyos puntos y en un momento determinado se oye o se ha o��doel sonido del motor del avi�on.

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• La propiedad re exiva de la par�abola, tiene el inconveniente de que s�olo esposible absorber rayos de luz paralelos que lleguen en una sola direcci�on. Estono permite fabricar telescopios de grandes proporciones. Sin embargo, unacombinaci�on de las propiedades de las par�abolas y de las circunferencias tieneventajas pr�acticas como la posibilidad de fabricar el telescopio de radio m�asgrande del planeta (situado en el Centro Astron�omico y de Ionosfera Nacionalen Arecibo, Puerto Rico), con forma circular. Su tama~no no permite dirigirloen diferentes direcciones, pero al hacerlo esf�erico ya no es necesario. En sulugar, una antena situada en el foco de la par�abola de la que la circunferenciaes el c��rculo de curvatura puede dirigirse a diferentes lugares del estanquepara elegir una direcci�on de observaci�on. Desde luego, no enfocar�a de formatan precisa como un paraboloide, pero localmente se tendr�a una aproximaci�onbastante aceptable.

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Par�abola: todos los rayos Circunferencia: los rayos A nivel local, el c��rculoque provienen de la misma no convergen pero act�uan de curvatura de la pa-direcci�on convergen. de la misma forma en r�abola coincide con ella

cualquier direcci�on. cerca del v�ertice.

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El estanque de Arecibo ha sido utilizado por los cient���cos para tratar de detec-tar se~nales de radio de civilizaciones extraterrestres. Incluso un episodio de la serietelevisiva \Expediente X" tuvo lugar supuestamente all��. Adem�as la b�usqueda defuentes de se~nales regulares de radio ha permitido a los astrof��sicos descubrir lospulsares, remanentes de gigantescas explosiones de estrellas.

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8. Conicas en la vida real

1) Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una par�abola.Se cre��a hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas�unicamente por sus extremos tambi�en formaban par�abolas (hoy sabemos quese trata de un coseno hiperb�olico).

2) Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parab�olica. Los chorros deagua que salen de un surtidor tienen tambi�en forma parab�olica. Si salen va-rios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentesinclinaciones, la envolvente de esta familia de par�abolas es otra par�abola (lla-mada en bal��stica par�abola de seguridad, pues por encima de ella no es posibleque pase ning�un punto de las par�abolas de la familia). El mayor alcance que sepuede obtener es aqu�el en que el �angulo de inclinaci�on inicial es de 45 grados.

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3) La forma de los telescopios, detectores de radar y re ectores luminosos sonparab�olicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco dela par�abola, de modo que los rayos, al re ejarse en la l�ampara, salen formandorayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora tambi�en unre ector parab�olico. Recordar tambi�en el conocido efecto de quemar un hojade papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parab�olico.

4) Un telescopio de espejo l��quido es un telescopio re ectante hecho de mercuriol��quido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado enel espacio exterior. El problema es c�omo puede un l��quido formar un espejoparab�olico y por qu�e se quiere as��. La respuesta es que si se tiene un contenedorgiratorio de l��quido, la super�cie del mismo formar�a un paraboloide perfecto,incluso si la super�cie interior del contenedor tiene imperfecciones. As��, no esnecesario el pulido de los lentes y los espejos pueden hacerse m�as grandes. Alutilizar mercurio l��quido se consigue que los espejos sean m�as baratos (s�olohace falta una capa muy �na de mercurio).

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5) Las �orbitas de los planetas alrededor del sol son el��pticas (el sol se encuentraen uno de los focos). La excentricidad de la �orbita de la Tierra alrededor delSol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la �orbita dePlut�on, 0,2481, que incluso es peque~na. Los cometas y los sat�elites tambi�endescriben �orbitas el��pticas. En el extremo contrario est�a el cometa HALLEYcuya excentricidad es de 0,9675, muy pr�oxima a 1.

6) En �Optica y propagaci�on de ondas se utilizan lentes el��pticas.

7) En dise~no art��stico es com�un encuadrar retratos y fotograf��as en un marcocon forma el��ptica. La mayor��a de los dispositivos usados para recortar �gu-ras el��pticas est�an basadas en las ecuaciones de la elipse como comentamosanteriormente.

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8) Litotripsia: revolucionaria t�ecnica m�edica introducida a mediados de la d�ecadapasada para el tratamiento de los c�alculos renales que utiliza propiedadesre exivas de las c�onicas.Usa ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pul-verizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser f�acilmente eliminadapor el organismo.La clave est�a en enfocar las ondas para que s�olo al c�alculo. Para ello se usa unac�amara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa queevapora agua. La parte que golpea el re ector converge en el otro foco, dondese encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucci�on.

Este tratamiento se aplica en la actualidad en m�as del 80 % de piedras enel ri~n�on y la uretra. Adem�as el tiempo de recuperaci�on es de 3 d��as en com-paraci�on con las dos semanas con la cirug��a convencional, as�� como la tasa demortalidad es del 0,01 % frente al 2 % del m�etodo tradicional.

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La mejor cura para un calculo es un poco de calculo.

LITOTRIPTOR

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9) APOLO XIII.

El 11 de Abril de 1970 el cohete Saturno V impuls�o desde Cabo Kennedy a lanave espacial Apolo XIII. Alrededor de 56 horas despu�es el tanque de ox��genon�umero 2 del m�odulo de servicio explot�o, causando una sucesi�on de da~nosmec�anicos y el�ectricos, forzando el �nal adelantado de la misi�on. Cuando laexplosi�on tuvo lugar, los astronautas James Lovell, John Swigert y Fred Haiseestaban a 200.000 millas de la Tierra. Se necesitaba entonces organizar unplan para devolverlos sanos y salvos a casa. En el espacio no es apuntar lanave hacia la Tierra y encender los cohetes. Las ideas principales del plan derescate se basan en consideraciones del c�alculo.a) La fuerza ejercida por la Tierra sobre una part��cula de masa unidad convector de posici�on −→r es

−→F = (−GM/r2)−→u , (1)

M es la masa de la Tierra, r es el m�odulo del vector −→r y −→u es el vectorunitario en la direcci�on de −→r . Debido a la proximidad de la nave, esta ley seaplica con bastante exactitud al caso en que la Tierra no se considera comoun punto.

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b) Mediante esta ecuaci�on se puede probar que la �orbita alrededor de la Tierrarecorrida por una part��cula consiste en una curva plana de ecuaci�on

r =p

(1 + e cos ϑ)2, (2)

donde p y e son constantes.Ya sabemos que esta curva es una c�onica de excentricidad e. As�� pues, elproblema consiste en elegir una �orbita adecuada para regresar a la Tierra. Laforma m�as f�acil es la siguiente:Observamos que las constantes p y e est�an dadas por

p = (r0v0)2, e = (r0v

20/GM)− 1,

donde r0 es la distancia inicial del punto considerado al centro de la Tierra yv0 la velocidad en dicho punto. Estas f�ormulas indican que la excentricidadde la trayectoria viene controlada por el valor de v0. As��, por ejemplo, si esta-mos en alguna �orbita, digamos circular, podemos aumentar nuestra velocidad(encendiendo los motores) y situarnos en una gran �orbita el��ptica. Con estetipo de maniobras podemos situarnos en diferentes �orbitas y llegar a cualquierpunto determinado.

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Referencias en la Web

[1] Eduard Belinsky: Introducing the ellipse.www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/3550/ellipse.htm

[2] Jill Britton: Ocurrence of the Conics.britton.disted.camosun.bc.ca/jbconics.htm

[3] Marc Frantz: Liquid Mirror Telescopes.www.math.iupui.edu/m261vis/LMirror/LMirror.html

[4] Xah Lee: Conics Sections.www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves dir/ConicSections dir/conicSections.html

[5] Silvio Levy: Conics.www.geom.umn.edu/docs/reference/CRC-formulas/node26.html

[6] James A. Sellers: An Introduction to Conic Sections.www.krellinst.org/uces/archive/resources/conics/newconics.html

[7] Eric W. Weisstein's: Conic Sections.mathworld.wolfram.com/ConicSection.html

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