Geometría Analítica

Lcdo Daniel A Quintero R

PROGRAMAGEOMETRÍA ANALÍTICA

OBJETIVO GENERAL:

Resolver problemas sobre lugares geométricos en el plano y/o espacio, a partir del análisis de sus ecuaciones, características y gráficas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA SINOPSIS DE CONTENIDO

UNIDAD 1: SEGMENTOS.

UNIDAD 2: LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO. UNIDAD 3: COORDENADAS POLARES Y

ECUACIONES PARAMÉTRICAS. UNIDAD 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO.

SEGMENTOS

Segmentos en el plano cartesiano: Es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos.

L A BAB

L: RectaA: Origen o punto inicialB: Extremo o punto finalAB: Segmento

SEGMENTOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

Y1 P1 ( X 1 , Y1 )

X 2 X 1

P2 Y2

( X2 , Y2 )

La distancia “ d “ entre dos puntos P1 ( X 1 , Y1 ) y P2 ( X 2 , Y2 ) está dada

Por : d 12 = √ ( X 1 - X 2 ) 2 + ( Y 1 - Y 2 ) 2

SEGMENTOSDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:

Sí P1 = ( X 1 , Y1 ) y P2 = ( X 2 , Y2 ) son los puntos extremos

de un segmento P1 P2 , las coordenadas ( x , y) de un punto P que

divide a este segmento en la razón dada r = P1 P : P P2 ; son :

X = X 1 + r X 2 Y = Y 1 + r Y2 ; r ≠ - 1 1 + r 1 + r

Pendiente de una rectaY

X

L

P2 (X2 , Y2)

P1 (X1 , Y1)

m = Y2 – Y1

X2 – X1

Ángulos entre Rectas

X

Y L1 →m 1

L2 → m 2ø tg ø =

m 2 – m 1

1 + (m 1. m 2)

m1 = m 2 PARALELISMO

m1. m 2 = - 1 PERPENDICULARIDAD

Lugares Geométricos: “LA LÍNEA RECTA”

Y

X

L

α

Y = m X + b

(0,b)

m = tg α

Ecuación de la recta → Y = m X + b

Forma General de la recta → AX + BY + C = 0

FORMA NORMAL DE LA RECTA

L

(X , Y)

pw

X COS W + Y SEN W – p = 0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

X

YL

(X , Y)

d = (AX + BY + C) / √ (AA + BB)

FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS PERFECTOS

2X + 2Y - 10X + 6Y – 15 = 0

X + Y – 5X + 3Y – (15/2) = 0

(X - 5X) + (Y + 3Y) – (15/2) = 0

(X – 5X + (5/2) ) + (Y + 3Y + (3/2) ) – (15/2) = 0

[(X – 5X + (25/4))] + [ (Y + 3Y + (9/4)) ] + [– (15/2) - (25/4) - (9/4) ] = 0

(X - (5/2)) + (Y + (3/2)) + (- 64/4) = 0

(X- (5/2)) + (Y + (3/2)) = 16 = 4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

Lugares Geométricos: “CIRCUNFERENCIA”

(X – h) + (Y - k) = r

Centro ≈ (h, k)

Radio ≈ r

X + Y + DX + EY + F = 0

Para D + E – 4F › 0

Centro ≈ (- D/2,- E/2)

Radio ≈ ½ √D + E – 4F

Forma OrdinariaForma General

2 2 2 2 2

2 2

2 2

Lugares Geométricos: “LA PARÁBOLA”

l

Aa V F

P

C

C B

B

a = Eje l = DirectrizV = Vértice (h,k)F = FocoBB = CuerdaCC = Cuerda focalLL = Lado Recto

L

L

Lugares Geométricos: “LA PARÁBOLA”

• V (h,k) es punto medio entre A y F• AF = 2p• Lado Recto (L.R.) y la Directriz “l” son perpendiculares al eje

• L.R. = l4pl

2(Y – k) = ± 4p (X – h)

2(X – h) = ± 4p (Y – k)

Lugares Geométricos: “LA ELIPSE”

Y C = “CENTRO”DD = DiámetroEE = CuerdaGG = Cuerda FocalLL = Lado Recto

VV = 2a “EJE MAYOR”BB = 2b “Eje Menor”FF = 2c “Eje Focal”

XVF

B

B

FV

L

L

C

D

D

E

E

G

G

Lugares Geométricos: “LA ELIPSE”

a = b + c2 2 2a = Semi Eje Mayor ( VV )b = Semi Eje menor ( BB )c = Semi Eje Focal ( FF )

“C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.

El Eje Mayor es perpendiculares al Eje menor.

La excentricidad “e” es la razón entre “a / c” < 0

La longitud del L.R. es la razón entre “2 b / a”

+ 2(x – h )

a2(y - k)

b 2

2= 1

2(x – h )

2

+ b2

(y - k)

a 2= 1

2

Lugares Geométricos: “LA HIPÉRBOLA”

Y

X

Y2Y1

CV VF FD

D

L

L

G

G E

E

B

B

C = “CENTRO”DD = DiámetroEE = CuerdaGG = Cuerda FocalLL = Lado Recto

VV = 2a “EJE TRANSVERSO”BB = 2b “Eje Conjugado”FF = 2c “Eje Focal”

“C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.

El Eje Transverso y el Eje focal son perpendiculares al Eje Conjugado.

La excentricidad “e” es la razón entre “a / c” > 0

La longitud del L.R. es la razón entre “2 b / a”

(y – k) = ± (b/a)(x – h) “ASINTOTAS”

-2(x – h )

a2(y - k)

b 2

2= 1

2(y – k ) 2-

a2(x - h)

b 2 = 1

2

c = a + b2 2 2a = Semi Eje Transverso ( VV )b = Semi Eje Conjugado ( BB )c = Semi Eje Focal ( FF )

Lugares Geométricos: “LA HIPÉRBOLA”

COORDENADAS POLARESSISTEMA DE COORDENADAS POLARES

90°

0 A

P (r,Ɵ)

r

- r

P (-r,Ɵ)

Ɵ(Polo)(Eje Polar)

(Radio Vector)

(Ángulo Polar)

COORDENADAS POLARESFÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN

X = r cos Ɵ

Y = r sen Ɵ

X + Y = r

Ɵ = arc tg

22 2

YX

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

X + Y = 1 F (x,y) = 0

X = cos Ɵ , Y = sen Ɵ x = f(t), y = g(t)

X + Y = cos Ɵ + sen Ɵ = 1 Ecuación Ecuaciones Paramétricas

Rectangular

2 2

2 2

t = Ɵ

2 2

EL ESPACIO: “El Punto”

Sistema de Coordenadas RectangularesZ

Y

X

3

•P1(3 , 4 , - 2)

•P2(-3 , - 5 , 3)

-3

EL ESPACIO: “Segmentos”“Cosenos Directores” ≈ “Números Directores”

[ a , b , c ]

Cos α = = a = X2 – X1

Cos β = = b = Y2 – Y1

Cos γ = = c = Z2 – Z1

[X2 – X1 , Y2 – Y1 , Z2 – Z1 ]

X2 – X1

d

Y2 – Y1

d

Z2 – Z1

d

a

b

c

d

d

d

Ángulo formado por dos rectas en el Espacio

Cos ø = ±

El doble signo indica que hay dos valores de ø,Suplementarios entre sí.

a1a2 + b1b2 + c1c2

√ a1a1 + b1b1 + c1c1 √ a1a1 + b1b1 + c1c1

EL ESPACIO: “La Recta”

LA RECTA EN EL ESPACIOForma General

A1x + B1y + C1z + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

Forma Simétricax – x1 = ka , y – y1 = kb , z – z1 = kcP1 = (x1 , y1 , z1) k ≠ 0 [ a , b , c ]

[ a , b , c ] Sí a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 entonces

= =x – x1 y – y1 z – z1

a b c

EL ESPACIO:“EL PLANO”Ecuación General: Ax + By + Cz + D = 0

A, B, C y D son constantes

A, B y C ≈ [a , b , c ] Números Directores de su Normal

Bibliografía• Lehmann, Charles: “Geometría Analítica”.

Editorial Limusa.