Lecci on 2. APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS … · ... U → R un campo escalar de dos o tres...

Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Leccion 2. APLICACIONES GEOMETRICAS DE LASDERIVADAS PARCIALES

1. DERIVADAS DIRECCIONALES

En la leccion anterior hemos visto que la derivada parcial con respecto a x de un campo escalar f dedos variables en un punto (a, b) es el ritmo de variacion de f cuando nos acercamos al punto (a, b)manteniendo la segunda coordenada constante, o sea, cuando nos acercamos a dicho punto segunla direccion del vector (1, 0). Analogamente, la derivada parcial con respecto a y nos da la tasade cambio de f al acercarnos segun la direccion (0, 1). Mas generalmente, podemos plantearnos latasa de variacion de f cuando nos acercamos al punto segun otras direcciones.

Derivada direccional. Sean f :U → R un campo escalar de dos o tres variables y A un puntointerior de U . Dado un vector unitario u, la derivada direccional de f en la direccion u es, si existeel lımite, el numero

Duf(A) = lımt→0

f(A+ tu)− f(A)

t.

Interpretacion geometrica de la derivada direccional. En el caso de dos variables, la de-rivada direccional Duf(A) da la tasa de cambio de f al acercarnos al punto A = (a, b) segun ladireccion marcada por el vector u = (u1, u2) y admite una interpretacion geometrica analoga a lade las derivadas parciales.

Si cortamos la grafica de f , o sea, la superficie S de ecuacion z = f(x, y), con el plano vertical quepasa por el punto P =

(a, b, f(a, b)

)y se apoya en la recta del plano XOY que pasa por (a, b) y

tiene vector director u, obtenemos una curva C que esta contenida en la superficie y pasa por P .Entonces la derivada direccional Duf(A) es la pendiente de la recta tangente a dicha curva planaen el punto P , recta que se conoce como recta tangente a la grafica de f segun la direccion u.

Interpretacion geometrica de la derivada direccional.

Utilizar directamente la definicion para calcular las derivadas direccionales suele ser muy pesado.Afortunadamente, hay una formula muy simple para calcular la derivada direccional en terminosde las derivadas parciales.

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24 Matematicas III (GITI, 2016–2017)

Calculo de la derivada direccional. La curva C podemos parametrizarla en el espacio tridimen-sional mediante r(t) =

(a + tu1, b + tu2, f(a + tu1, b + tu2)

), con lo que P = r(0) y el vector

tangente a la curva C en el punto P es Tu = r ′(0) = (u1, u2, Duf(a, b)). Ahora, si f es de

clase C1(U), entonces este vector tangente Tu es ortogonal al vector normal al plano tangenten =

(−fx(a, b),−fx(a, b), 1

), es decir, Duf(a, b) = u1fx(a, b) + u2fy(a, b) = Df(A) · u, que nos

proporciona una forma muy util para calcular las derivadas direccionales.

Para campos escalares de tres variables se obtiene, de manera analoga, que si f es de clase C1(U),A es un punto interior de U y u es un vector unitario, entonces Duf(A) = Df(A) · u.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Calcula las derivadas direccionales en la direccion u que se indica de las siguientesfunciones en el origen de coordenadas y el punto (1,−1).

(1) f(x, y) = x2 + 2xy − y2 y u = (√2/2,

√2/2).

(2) f(x, y) = sen(π(x+ y)

)cos

(π(x− y)

)y u = (1/2,

√3/2).

(3) f(x, y) = 1 + 2x− 3xy + y2 y u = (−1, 0).

(4) f(x, y) = exy − log(1 + x) y u = (√3/2,−1/2).

Ejercicio 2. Sean r = (x, y) el vector de posicion de un punto en el plano y r = ∥r∥ =√x2 + y2

su distancia al origen. Sean c = (a, b) un vector de constantes y A =

[a bb c

]una matriz simetrica.

Sea u un vector unitario. Usa los resultados de la leccion anterior para probar que:

Du

(rn

)= nrn−2(r · u), Du

(c · r

)= c · u, Du

(r ·Ar

)= 2r ·Au.

Ejercicio 3. Formula y resuelve el ejercicio anterior para campos de tres variables.

Ejercicio 4. De un campo escalar diferenciable f se sabe que en el punto P = (1, 2) su derivadadireccional en la direccion desde P hacia A = (2, 1) vale 2 y que su derivada direccional en ladireccion desde P hacia B = (0, 1) vale −2. Halla la diferencial de f en P .

Ejercicio 5. En un cruce de tres carreteras, la primera va en direccion norte y tiene una pendientede subida del 10%, la segunda va en direccion suroeste y tiene una pendiente de bajada del 5% yla tercera es horizontal. ¿En que direccion va la tercera?

2. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Gradiente de un campo escalar de dos variables. En las aplicaciones del calculo diferencial,las variables x e y de un campo escalar de dos variables f(x, y) pueden representar diversas magni-tudes: presion y temperatura, precios, voltios y amperios, cantidades de compuestos quımicos, etc.Sin embargo, en la construccion de muchos modelos de la fısica el contexto es, especıficamente, elplano bidimensional, en cuyo caso las variables cartesianas x e y corresponden a longitudes y seusan para representar posiciones r = (x, y); se dice entonces que son variables espaciales. Para estecaso, el diferencial de un campo escalar Df (r) = [fx(r), fy (r)] recibe el nombre de vector gradientede f en r y se representa de las siguientes maneras (el sımbolo ∇ se lee nabla)

Df (r) = grad f (r) = ∇f (r) = ∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ.

En esta seccion estudiaremos las propiedades mas relevantes del gradiente de un campo escalar declase C1 en su dominio de definicion.

2. Aplicaciones geometricas de las derivadas parciales 25

Observacion importante. Sea f(x, y) = x2 + y2 el campo que mide el cuadrado de la distanciade un punto al origen. En coordenadas cartesianas tenemos f(x, y) = x2 + y2, luego su diferenciales el vector Df(x, y) = [2x, 2y] que, por ser x e y las variables espaciales cartesianas, coincide conel gradiente de f , o sea, ∇f = [2x, 2y].

Para el mismo campo, pero dado en coordenadas polares, tenemos f(r, θ) = r2, y como fr = 2ry fθ = 0, su diferencial es Df(r, θ) = [2r, 0]. Las variables polares r y θ no son las variablesespaciales cartesianas x e y, ası que Df(r, θ) = [2r, 0] no es el gradiente de f .

En resumen, la nocion de diferencial de un campo escalar es abstracta, no depende del contextofısico en el que estemos trabajando. Por contra, la nocion de vector gradiente es de naturalezageometrica. Si tenemos un campo escalar definido en terminos, por ejemplo, de las coordenadaspolares, podemos calcular su gradiente, el vector de las derivadas parciales con respecto a lasvariables espaciales, usando la regla de la cadena.

Gradiente en coordenadas polares. Si f(r, θ) es un campo dado en coordenadas polares, vimosen la leccion anterior que, usando la regla de la cadena, se tiene

∂f

∂x=∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

ry

∂f

∂y=∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r,

ası que la expresion del gradiente en coordenadas polares es

∇f =∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ =

(∂f

∂rcos(θ)− ∂f

∂θ

sen(θ)

r

)ı+

(∂f

∂rsen(θ) +

∂f

∂θ

cos(θ)

r

)ȷ.

Entonces, para el ejemplo f(r, θ) = r2 se tiene que, efectivamente,

∇f =(2r cos(θ)

)ı+

(2r sen(θ)

)ȷ = [2x, 2y].

Gradiente de un campo central. Sea f (r) = ψ(r), con r = (x, y, z) y r = ∥r∥, un campo

central. Entonces

∇[ψ(r(x, y, z)

)]=ψ′(r)

r[x, y, z] =

ψ′(r)

rr

y, en particular, ∇(rn) = nrn−2r para n = 0,±1,±2, . . . (excluyendo el origen si n ≤ 1.)

Teorema del valor medio para el gradiente. Sean A y B puntos interiores de U de forma queel segmento que une A con B esta contenido en U . Entonces existe un punto C en dicho segmentotal que f(B)− f(A) = ∇f(C) · (B −A).

Propiedad de direccion optima del gradiente. Si (a, b) es un punto interior de U , entoncesel valor maximo de la derivada direccional Duf(a, b) se alcanza cuando u es el vector unitario dela misma direccion y mismo sentido que el gradiente ∇f(a, b) y dicho valor maximo es ∥∇f(A)∥.Por otro lado, el valor mınimo de Duf(a, b) se alcanza cuando u es el vector unitario de la mismadireccion y sentido contrario que ∇f(a, b) y dicho valor mınimo es −∥∇f(A)∥.Esto significa que si consideramos un mapa topografico de una montana como la representacion delas lıneas de nivel del campo escalar que indica la altura, el vector gradiente en un punto genericoindicara la direccion de maxima inclinacion de subida desde ese punto.


Propiedad de normalidad del gradiente. Sean (a, b) un punto interior de U y c = f(a, b).Si la curva de nivel f(x, y) = c es regular en el punto (a, b), entonces el vector gradiente ∇f(a, b)es normal a la curva de nivel f(x, y) = c en dicho punto. En otros terminos, si ∇f(a, b) no es elvector cero, entonces el vector

[−fy(a, b), fx(a, b)

]es tangente a la curva de nivel en (a, b).

Direccion optima y normalidad del gradiente a la curva de nivel.

Gradiente de un campo escalar de tres variables. Si tenemos un campo escalar f quedepende de la posicion espacial r = (x, y, z) y es de clase C1 en su dominio de definicion, entoncesel gradiente de f es Df (r) = [fx(r), fy (r), fz (r)] y se representa mediante

Df (r) = grad f (r) = ∇f (r) = ∂f

∂xı+

∂f

∂yȷ+

∂f

∂zk.

Las propiedades anteriores tambien son validas en el caso de tres variables.


Ejercicio 1. Calcula los gradientes de los siguientes campos escalares

f1(x, y) = ex sen(y), f2(x, y) = ex cos(y), f3(x, y) = log(x2+y2), f4(x, y, z) = arctan(y/x)+z.

Ejercicio 2. Sean r = (x, y) el vector de posicion de un punto en el plano y r = ∥r∥ =√x2 + y2

su distancia al origen. Sean c = (a, b) un vector de constantes y A =

[a bb c

]una matriz simetrica.

Usa los resultados de la leccion anterior para probar que:

(1) El gradiente de f (r) = rn es ∇(rn

)= nrn−2r.

(2) El gradiente de f (r) = c · r es ∇(c · r

)= c.

(3) El gradiente de f (r) = r ·Ar = ax2 + 2bxy + cy2 es ∇(r ·Ar

)= 2rA.

Ejercicio 3. Formula y resuelve el ejercicio anterior para campos de tres variables.

Ejercicio 4. Calcula el gradiente del campo dado en coordenadas polares por f(r, θ) = tan(θ).


Ejercicio 5. Sea f(x, y) un campo escalar diferenciable en el punto A = (−1, 0). Sabemos que elplano tangente a la superficie de ecuacion z = f(x, y) en el punto P = (−1, 0, f(A)) viene dado

por la ecuacion 2x− y + 2z + 4 = 0. Sea u = (√3/2,−1/2).

(1) Calcula f(A).(2) Calcula la derivada direccional Duf(−1, 0).(3) Halla la recta tangente a la grafica de f en P segun la direccion u.(4) Halla la maxima de las derivadas direccionales de f en A.

Ejercicio 6. Se sabe que (1,−1,−2) es un punto de una superficie z = f(x, y) en la que el planotangente es 3x− 2y + z = 3. Sea C la curva de nivel de f que pasa por el punto (1,−1). ¿Cual esla recta tangente a C en el punto (1,−1)?

Ejercicio 7. La figura muestra diversas curvas de nivel de una superficie z = f(x, y); la masoscura es la que pasa por el punto A = (2, 1). Del campo f(x, y) se sabe que P = (2, 1, 6) esta endicha superficie y que el plano tangente en P viene dado por z = a+ 2x+ y.

(1) ¿Cuanto vale el nivel en la curva de nivel que pasa por A?(2) ¿Cuanto vale a?(3) ¿Cual es el gradiente de f en A = (2, 1)? Dibujalo en la figura(4) Los niveles de las curvas que se muestran, ¿crecen o decrecen al alejarnos del origen?(5) ¿Cual es la ecuacion de la recta tangente a la curva de nivel en el punto A?

3. CURVAS PLANAS DEFINIDAS IMPLICITAMENTE

Ecuaciones implıcitas en el plano. A lo largo de las asignaturas de matematicas han ido apare-ciendo ejemplos de curvas planas definidas como los puntos (x, y) que cumplen una cierta ecuacionF (x, y) = 0 que establece una relacion entre las variables x e y. Dichas curvas reciben el nombre decurvas definidas implıcitamente y la ecuacion F (x, y) = 0 se llama ecuacion implıcita de la curva.El primer ejemplo que se suele ver es la circunferencia unidad, dada por la ecuacion implıcitaF (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0. Otros ejemplos son las conicas, las soluciones de algunas ecuacionesdiferenciales de variables separadas, las familias de curvas que dependen de un parametro o lascurvas de nivel de un campo escalar.

Para la circunferencia x2+y2−1 = 0, hemos visto que, segun convenga, podemos trabajar con estaecuacion despejando una de las variables en funcion de la otra o hallando una parametrizacion,pero eso puede ser muy complicado o imposible en otros casos, veamos un par de ejemplos.


Si consideramos la ecuacion F (x, y) = y5 + 16y − 32x3 + 32x = 0 y utilizamos alguno de losprogramas que se dan en la Bibliografıa para dibujar la curva formada por los puntos (x, y) quecumplen dicha ecuacion, obtenemos la siguiente figura.

La curva de ecuacion y5 + 16y − 32x3 + 32x = 0.

Aparentemente, deberıa ser posible representar esta curva en la forma y = y(x). Para ver esto, fijox, tendrıamos que hallar y(x) despejando y de y5 +16y− 32x3 +32x = 0. Ahora bien, la ecuaciong(y) = y5+16y−32x3+32x = 0 tiene una unica solucion en y porque g(y) es un polinomio de grado5, que pasa de negativo cuando y → −∞ a positivo cuando y → +∞, que es estrictamente crecienteporque su derivada g′(y) = 5y4+16 es estrictamente positiva. Es decir, dado x, la ecuacion g(y) = 0tiene una unica solucion y(x) y se dice que la ecuacion F (x, y) = y5 +16y− 32x3 +32x = 0 defineimplıcitamente la variable y como funcion y(x) de la variable x.

Sin embargo que la ecuacion g(y) = 0 tenga una unica solucion y(x) para cada valor de x no quieredecir que seamos capaces de despejar la y de manera efectiva, o sea, hallarla como una formulay = y(x) en la que aparezca x. En algunos puntos aislados, como x = −1, 0, 1 sı podemos obtenerfacilmente y(x), que vale cero en los tres casos. En otros puntos, para hallar y(2) por ejemplo,sustituimos x = 2 en la ecuacion, que nos queda y5+16y− 192 = 0, y la resolvemos con el metodode Newton, obteniendo y ≈ 2.72. Esto nos permite determinar valores aproximados de y(x) enpuntos concretos pero, como decıamos, esta forma de trabajar no nos sirve para usar y(x) comouna funcion definida mediante una formula que podamos derivar o integrar.

En el ejemplo anterior hemos visto que en todos los puntos de la curva se puede despejar y enfuncion de x. Esto no siempre es ası: la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 1 es el caso tıpico decurva definida implıcitamente en la que no es posible despejar una de las variables para representartoda la circunferencia mediante una ecuacion del tipo y = y(x) o una del tipo x = x(y); comomucho, podemos aspirar a representar ası un trozo de la circunferencia. Por ejemplo, cerca delpunto A = (0.6, 0.8) podemos despejar la y para obtener y =

√1− x2 y se dice que la ecuacion

x2 + y2 = 1 define implıcitamente la variable y como funcion de x cerca del punto A. Asimismo,

cerca de A podemos despejar x =√1− y2 como funcion de y. Sin embargo, hay puntos en los que


solo podemos despejar una de las variables como funcion de la otra. Por ejemplo, por ambos ladosdel punto B = (1, 0) solo podemos despejar la x en funcion de la y pero no la y en funcion de la x.

Cerca del punto A podemos despejar y =√1− x2; cerca del punto B no podemos.

Un problema adicional que puede aparecer es el siguiente, si tenemos una ecuacion F (x, y) = 0,¿como podemos estar seguros de que el conjunto de puntos (x, y) del plano que la cumplen es unacurva regular? Por ejemplo, la ecuacion x2+y2 = 0 representa un punto, mientras que x2−y2 = 0representa dos rectas.

En esta seccion estudiaremos bajo que condiciones es posible asegurar que una ecuacion F (x, y) = 0representa una curva y cuando podemos despejar una de las variables en funcion de la otra y escribirla curva de forma explıcita como y = y(x) o x = x(y). Veremos, ademas, como podemos calcularlas derivadas de dichas funciones explıcitas para poder generar sus polinomios de Taylor o hallarsus maximos y mınimos locales, por ejemplo.

En la siguente seccion extenderemos nuestro estudio del caso plano al caso tridimensional en elque tenemos las variables x, y, z ligadas por una ecuacion (el caso de una superficie como la esferax2 + y2 + z2 = 1) o bien dos ecuaciones (el caso de una curva como la curva de Viviani, dada porlas ecuaciones x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 = y).

Observacion clave. La propiedad de normalidad del gradiente que vimos en la seccion anteriornos da la pista para ver que es razonable exigir como condicion para que F (x, y) = 0 representeuna curva y podamos hallar sus elementos principales.

Dada una funcion escalar de dos variables F (x, y) de clase C1, consideremos la ecuacion F (x, y) = 0,que podemos ver como la curva de nivel 0 del campo F . Si cerca de un punto (x, y) que cumplela ecuacion pudieramos despejar y = y(x) como funcion derivable de x, entonces la curva de nivelserıa una curva regular y

(1, y′(x)

)serıa un vector tangente a la curva. Ademas, por la propiedad

de normalidad del gradiente, se tendrıa que Fx+ y′(x)Fy = 0, con lo cual y′(x) = −Fx

/Fy, ası que

exigir Fy = 0 es una condicion natural. Esta condicion equivale a que la tangente no sea vertical,lo que en la circunferencia corresponde exactamente a que podamos despejar y en funcion de xcerca del punto. El teorema de la funcion implıcita asegura que eso es cierto en general.

Teorema de la funcion implıcita para una curva en el plano. Sea F (x, y) una funcionde clase Cn en una region U del plano. Sea (x0, y0) un punto interior del dominio U tal queF (x0, y0) = 0 y Fy(x0, y0) = 0. Entonces existen un intervalo I centrado en el punto x0 y unaunica funcion y : I → R de clase Cn(I) tal que y(x0) = y0 e y = y(x) es una solucion de la ecuacionF (x, y) = 0 para cada x ∈ I, o sea, F (x, y(x)) = 0 para cada x ∈ I. Ademas, usando la regla dela cadena, la derivada y′ cumple Fx + y′(x)Fy = 0, es decir

y′(x) = −∂F (x, y(x))∂x

/∂F (x, y(x))

∂ypara cada x ∈ I.

Se dice, en este caso, que la ecuacion F (x, y) = 0 define implıcitamente la variable y como funcionde x en un entorno del punto (x0, y0).


Geometricamente, este teorema nos dice que las soluciones de F (x, y) = 0 (en color violeta en lafigura) forman cerca de (x0, y0) una curva que coincide con la grafica de la funcion y(x) (en azulen la figura).

Interpretacion geometrica del teorema de la funcion implıcita.

El papel de la incognita que se despeja es intercambiable, o sea, se puede enunciar, lo que se dejacomo ejercicio, un teorema similar que nos da condiciones, la esencial es que Fx(x0, y0) = 0, bajolas que podemos despejar x en funcion de y.

Puntos crıticos. Los puntos donde ambas derivadas parciales se anulan se llaman puntos crıticosy en ellos no podemos asegurar que la ecuacion implıcita represente una curva. Veremos en lasiguiente leccion que los puntos en los que un campo alcanza sus maximos y sus mınimos relativosson, precisamente, puntos crıticos.

Ecuacion de la recta tangente a una curva dada por una ecuacion implıcita. La rectatangente a la grafica de la curva y = y(x) en el punto (x0, y0) viene dada por y−y0 = y′(x0)(x−x0),ecuacion que, usando y′(x0) = −Fx(x0, y(x0))

/Fy(x0, y(x0)) e y(x0) = y0, podemos escribir como

∂F (x0, y0)

∂x(x− x0) +

∂F (x0, y0)

∂y(y − y0) = 0.

Observemos en particular que, como ya sabıamos, DF (x0, y0) es un vector normal a la curvadefinida por F (x, y) = 0 en el punto (x0, y0).

Derivadas de orden superior de la funcion implıcita. Otra observacion importante es quesi F admite derivadas parciales de orden superior, entonces, usando la regla de la cadena, podemoscalcular derivadas de orden superior de y(x) para, por ejemplo, determinar los polinomios de Taylorde y centrados en x0. Ası, derivando implıcitamente en la expresion Fx + Fyy

′ = 0 obtenemos

Fxx + Fxyy′ +

(Fxy + Fyyy

′)y′ + Fyy′′ = 0 ≡ Fxx + 2Fxyy

′ + Fyy(y′)2 + Fyy

′′ = 0

de donde podemos obtener y′′(x0), y ası sucesivamente. No obstante, no hace falta recordaresta igualdad de memoria; la manera practica de utilizar el teorema de la funcion implıcita es irderivando con respecto a x en la expresion dada F (x, y(x)) = 0 usando que y = y(x) es funcion dex como en el siguiente ejemplo.


Ejemplo. En el caso del punto (0.6, 0.8) de la circunferencia x2 + y2 = 1, derivando con respectoa x, teniendo en cuenta que y = y(x) es funcion de x, nos queda 2x + 2yy′ = 0. Entonces,sustituyendo x = 0.6 e y(0.6) = 0.8, tenemos y′(0.6) = −0.6/0.8 = −0.75. Con estos datos yapodemos escribir la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia: y = 0.8− 0.75(x− 0.6).

Ahora, derivando implıcitamente en 2x + 2yy′ = 0, obtenemos 2 + 2(y′)2 + 2yy′′ = 0, ası quey′′(0.6) =

(−1− (y′(0.6))2

)/y(0.6) = 1.95. Con estos datos, el polinomio de Taylor de orden 2 de

y(x) centrado en x0 = 0.6 viene dado por p2(x) = 0.8− 0.75(x− 0.6) + 0.98(x− 0.6)2.


Utiliza alguna de las paginas web recomendadas en la Bibliografıa (al final del guion) para dibujarlas graficas de las curvas que aparecen en los ejercicios.

Ejercicio 1. Dada la curva de ecuacion implıcita x3y2 − 3xy+ 2 = 0, halla la recta tangente a lacurva en el punto P = (1, 2).

Ejercicio 2. Halla la recta tangente en P = (3, 3) a la curva de ecuacion implıcita x3 + y3 = 6xy.

Ejercicio 3. Halla la recta tangente en el punto P = (π, 0) a la curva de ecuacion implıcitax2 − 3xy + 2y3 + cos(x) = π2 − 1.

Ejercicio 4. La ecuacion ay2 + 2bxy + cx2 + αx + βy = 0 define en el plano una conica (quizasdegenerada) que pasa por el origen. Halla la ecuacion de la recta tangente a la conica en ese punto.

Ejercicio 5. La ecuacion y3 + a2y − 2a3 + axy − x3 = 0 define y como funcion implıcita de xcerca del punto P = (0, a); determina el polinomio de Taylor de orden 3 de dicha funcion (este esel primer ejemplo usado por Newton en 1669). Haz lo mismo para el punto Q = (a, a).

Ejercicio 6. Prueba que sen(y) = x define implıcitamente la variable y como una funcion de lavariable x alrededor de (0, 0) y calcula su polinomio de Maclaurin de grado 3. (Ası obtuvo Newtonel polinomio de Taylor de la funcion arc sen(x) en 1669).

Ejercicio 7. Prueba que la ecuacion y3+4y−x4+x = 0 define implıcitamente la variable y comouna funcion de la variable x en toda la recta real y halla su polinomio de Maclaurin de grado 2.

Ejercicio 8. Prueba que la ecuacion f(x, y) = y5 + y − 2x3 + x = 0 define implıcitamente lavariable y como funcion y(x) de la variable x cerca del origen y halla el polinomio de Maclaurinde grado 3 de y(x).

Ejercicio 9. Si usas alguno de los programas sugeridos al final del guion para dibujar la curvadada por x3 − y3 + 2xy − x + y = 0, veras que tiene dos ramas; una cerrada y otra abierta. Lacurva corta al eje OX en tres puntos (0,−1), (0, 0) y (0, 1), uno en la rama abierta y los otros dosen la rama cerrada. Prueba que cerca de cada uno de los puntos (0,−1), (0, 0) y (0, 1) se puedeobtener, en el tramo correspondiente de la curva, la variable y como una funcion de x y calcula elpolinomio de Maclaurin de grado 3 de cada una de dichas funciones.

Ejercicio 10. Determina en que puntos puedes aplicar el teorema de la funcion implıcita a laecuacion x3 − axy + y3 = 0 para asegurar que define implıcitamente una de las variables comofuncion de otra? ¿Que pasa en el origen? La curva que se obtiene se llama folium de Descartes.

Ejercicio 11. ¿En que puntos puedes aplicar el teorema de la funcion implıcita a la ecuaciony2+y = x3−x para asegurar que define implıcitamente una de las variables como funcion de otra?


Ejercicio 12. La figura representa la isla en la que el pirata Morgan escondio el tesoro. Fijado unsistema de coordenadas cartesianas en el que las abscisas representan la longitud y las ordenadasla latitud, el contorno de la isla es la curva dada por x4 − 4x+ 4y2 + y4 = 2.

La isla.

Para encontrar el tesoro debes dar los siguientes pasos:

(1) Halla el punto N mas septentrional de la isla.(2) Comprueba que en dicho punto la curva define la latitud y como funcion de la longitud x

y halla el polinomio de Taylor de orden 2 de dicha funcion definida implıcitamente.(3) El tesoro esta en el punto T de la isla en el que la grafica de dicho polinomio corta a OX.(4) Dibuja la localizacion aproximada de los ejes coordenados, los puntos N y T y la grafica

del polinomio de Taylor mencionado.

Ejercicio 13. El teorema de la funcion implıcita no puede aplicarse en el origen de coordenadasa las siguientes ecuaciones porque en cada caso se tiene que Fx = Fy = 0. ¿En que casos es posibledespejar una de las variables como una funcion de la otra cerca de dicho punto?

F1(x, y) = x2 − y2 = 0, F2(x, y) = x2 − y3 = 0, F3(x, y) = x3 − y3 = 0.

4. CURVAS Y SUPERFICIES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE EN EL ESPACIO

Ecuaciones implıcitas en el espacio. Si tenemos un campo escalar de tres variables F (x, y, z),los puntos (x, y, z) que cumplen F (x, y, z) = 0 forman, en general, una superficie S. Entonces sedice que F (x, y, z) = 0 es la ecuacion implıcita de S o que define implıcitamente la superficie S.

La superficie 5(x4 + y4 + z4)− 5(x2 + y2 + z2) + 2 = 0.

Conoces ya varios ejemplos de superficies definidas implıcitamente, como los planos (dados de formageneral por la ecuacion ax+ by + cz + d = 0), la esfera unidad (definida por x2 + y2 + z2 − 1 = 0)y, mas generalmente, las cuadricas.


Estudiamos ahora el problema de ver que condiciones garantizan que una ecuacion F (x, y, z) = 0representa una superficie y si, ademas, podemos despejar una de las variables en funcion de lasotras dos; por ejemplo, si podemos escribir z en funcion de x e y para representar la superficie demanera explıcita mediante una ecuacion z = f(x, y).

Plano tangente a una superficie dada de forma implıcita. Supongamos que la ecuacionF (x, y, z) = 0 define implıcitamente una superficie S. Con la regla de la cadena podemos resolverde una manera sencilla el calculo del plano tangente a S en un punto P = (x0, y0, z0).

Normalidad del diferencial y plano tangente.

Sea C una curva regular parametrizada por r(t), contenida en S y que pasa por P , digamosP = r(t0). Entonces, puesto que F

(r(t)

)= 0 sobre todos los puntos de la curva, tenemos que

0 =(F(r(t)

))′= ∇F (r(t)) · r ′(t), lo que para t = t0 queda ∇F (P ) · r ′(t0) = 0. Es decir, el

vector ∇F (P ) es ortogonal al vector tangente a la curva en P . Como C es cualquier curva regularcontenida en C y que pasa por P , obtenemos que ∇F (P ) es un vector normal al plano tangente a

S en P . Dicho plano tangente vendra dado, si ∇F (P ) = 0, por la ecuacion

Fx(P )(x− x0) + Fy(P )(y − yo) + Fz(P )(z − z0) = 0.

Si pudieramos despejar z = f(x, y) entonces [−fx, −fy, 1] serıa un vector normal a la superficie.Como ∇F = [Fx, Fy, Fz] tambien es normal a la superficie F (x, y, z) = 0, ambos deben serparalelos y, por tanto, comparando sus componentes, tendrıa que cumplirse Fz = 0 y, ademas,fx = −Fx/Fz y −fy = Fy/Fz. Entonces, la condicion natural ahora es exigir Fz = 0, es decir, queel plano tangente no sea vertical.

Teorema de la funcion implıcita para una superficie en el espacio. Sea F (x, y, z) unafuncion de clase Cn(U) y sea P = (x0, y0, z0) un punto interior de U tal que F (P ) = 0 y Fz(P ) = 0.Entonces existen un cırculo D ⊂ R2 centrado en (x0, y0) y una unica funcion z : D → R de claseCn(D) tales que z0 = z(x0, y0) y que z = z(x, y) es una solucion de la ecuacion F (x, y, z) = 0 paracada (x, y) ∈ D; o sea, F (x, y, z(x, y)) = 0 para cada (x, y) ∈ D. Ademas, las derivadas parcialesde la funcion z vienen dadas por zx = −Fx/Fz y zy = −Fy/Fz para cada (x, y) ∈ D.

Se dice, entonces, que la ecuacion F (x, y, z) = 0 define implıcitamente la variable z como funcionde las variables x, y en un entorno del punto P . Es decir, cerca de P , las soluciones de la ecuacionF (x, y, z) = 0 forman una superficie que coincide con la grafica de la funcion z.

Los papeles de las variables son intercambiables: si Fx = 0 entonces podemos despejar x en funcionde y, z, mientras que si Fy = 0 entonces podemos despejar y en funcion de las otras.

Otra observacion importante es que si F es de clase C2(U), entonces, usando la regla de la cadenapara derivar implıcitamente F

(x, y, z(x, y)

)= 0, podemos calcular las derivadas parciales segundas

de z = z(x, y) para determinar su polinomio de Taylor de grado 2 centrado en (x0, y0). Esto nosproporciona buenas aproximaciones, que pueden ser de utilidad cuando sea imposible obtener zcomo una formula en terminos de x e y.


Curvas definidas como la interseccion de dos superficies implıcitas. La curva de Viviani,que vimos en Matematicas II, es la curva en forma de 8 dada por la interseccion de la esferax2 + y2 + z2 = 1 con el cilindro circular x2 + y2 = x. En otras palabras, es el conjunto de puntosque cumplen las ecuaciones F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y2 − x = 0.

La curva de Viviani.

El caso mas simple de curva dada por dos ecuaciones es la expresion de una recta como interseccionde dos planos, que ya conoces bien. Otros ejemplos que surgen en algunas aplicaciones son las curvasdadas por la interseccion de dos cuadricas, como la curva de Viviani.

Si tenemos dos campos escalares de tres variables F (x, y, z) y G(x, y, z), los puntos (x, y, z) quecumplen F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 forman, en general, una curva C. Entonces se dice queestas ecuaciones definen implıcitamente la curva C y se llaman ecuaciones implıcitas de C.

Curva dada por ecuaciones implıcitas.

Para ver que C es una curva, lo ideal serıa despejar dos de las variables en funcion de la tercera,que usarıamos como parametro. De lo que acabamos de ver se deduce que el vector tangente a Cen un punto P debe ser ortogonal tanto a ∇F (P ) como a ∇G(P ). Entonces el producto vectorial∇F (P )×∇G(P ) es, si no es el vector nulo, tangente a la curva en P , luego la condicion debe ser

que ∇F (P ) y ∇G(P ) sean linealmente independientes para que ∇F (P )×∇G(P ) = 0.

Teorema de la funcion implıcita para una curva en el espacio. Sean F y G funciones declase Cn(U) y P = (x0, y0, z0) un punto interior del dominio U tal que F (P ) = 0 y G(P ) = 0. Silos vectores ∇F (P ) y ∇G(P ) son linealmente independientes, entonces cerca del punto P podemosparametrizar la curva usando una de las variables como parametro.

Concretamente, si ∇F (P ) y ∇G(P ) son independientes, entonces ∇F (P )×∇G(P ) = 0 y podemosusar como parametro de la curva cualquiera de las variables cuya coordenada correspondiente en∇F (P ) × ∇G(P ) no sea cero. Por ejemplo, si la primera coordenada de ∇F (P ) × ∇G(P ) no escero, entonces podemos usar x como parametro y despejar y, z en funcion de x cerca de P : existenun intervalo I ⊂ R centrado en el punto x0 y dos unicas funciones escalares y(x) y z(x) de claseCn(I) tales que y(x0) = y0, z(x0) = z0 y

(x, y = y(x), z = z(x)

)es una solucion del sistema de

ecuaciones F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 para cada x ∈ I. Sus derivadas f ′(x) y g′(x) vienen dadas


para cada x ∈ I por la solucion unica del sistema de ecuaciones lineales

Fyy′(x) + Fzz

′(x) = −Fx

Gyy′(x) +Gzz

′(x) = −Gx

Se dice, en este caso, que las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 definen implıcitamente lasvariables y, z como funciones de la variable x en un entorno del punto P .

En estas condiciones, el trozo de curva C cerca de P podemos parametrizarlo, usando x comoparametro, mediante r : x ∈ I → r(x) =

(x, y(x), z(x)

). Entonces un vector tangente a la curva

en un punto (x, y = y(x), z = z(x)) es r ′(x) = (1, y′(x), z′(x)) que, como se deduce del sistemade ecuaciones anterior, es ortogonal tanto a ∇F como a ∇G y, por tanto, paralelo al productovectorial ∇F ×∇G, como habıamos adelantado.


Utiliza alguna de las paginas web recomendadas en la Bibliografıa (al final del guion) para dibujarlas graficas de las curvas y superficies que aparecen en los ejercicios.

Ejercicio 1. Considera la superficie S de ecuacion x2 + y2 + 3xz + 3yz + x + y = 0. Calcula laecuacion del plano tangente a la superficie S en el punto (−1, 0, 0).

Ejercicio 2. Dada la superficie de ecuacion implıcita x3z − z3yx = 0 y el punto P = (1, 1, 1),halla el plano tangente a la superficie en P .

Ejercicio 3. Dada la superficie de ecuacion x3 − y3 + 6xy + z2x = 6, calcula el plano tangente ala superficie en el punto P = (1, 2, 1).

Ejercicio 4. Prueba que el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el planotangente a la superficie dada por xyz = 8 siempre vale 36 cualquiera que sea el punto de tangencia.

Ejercicio 5. Sea S la superficie dada por la ecuacion z3+ zx3+ zy4+ y2+2xy− 2x− 4y+3 = 0.Prueba que en un entorno del punto P = (1, 1, 0) puede obtenerse la coordenada z de los puntosde S como una funcion explıcita z = f(x, y) de las otras dos coordenadas y calcula el polinomiode Taylor de grado 2 de f en el punto (1, 1).

Ejercicio 6. Consideremos la ecuacion x3 − z3 − y2 − yx+ 2z2 = 0. Prueba que mediante dichaecuacion queda definida z como funcion implıcita de x e y en un entorno del punto P = (1, 1, 1) yhalla el polinomio de Taylor de segundo grado de dicha funcion implıcita z(x, y) en el punto (1, 1).

Ejercicio 7. Prueba que la ecuacion z cos(z) + xy = 0 define implıcitamente z como funcion dex e y en un entorno del punto (0, 0, 0) y determina el polinomio de Taylor de grado 2 de dichafuncion z(x, y) en el origen.

Ejercicio 8. Prueba que la ecuacion xz3 + z2y − zy2 − 2y + x2 + 2 = 0 define implıcitamente zcomo una funcion z = z(x, y) cerca de P = (0, 1, 1). Halla el polinomio de Taylor de grado 2 dez(x, y) en A = (0, 1) y la recta tangente a la grafica de z(x, y) en P segun la direccion (2, 3).

Ejercicio 9. Considera la ecuacion y − x sen(y) = z. Prueba que cerca del punto (0, 0, 0) laecuacion define la variable y como una funcion de x y z y halla su polinomio de Taylor de grado2. Haz lo mismo para el punto (0, a, a) donde a > 0 es un valor dado.


Ejercicio 10. Sea S la superficie de ecuacion x3y + y2z3 + zx2 = 3.

(1) Prueba que dicha ecuacion define z = z(x, y) como funcion de x e y cerca de P = (1,−2, 1)y halla la ecuacion del plano tangente a la grafica de z = z(x, y) en el punto P .

(2) Determina la ecuacion de la recta tangente a la superficie z = z(x, y) en el punto P en ladireccion de la bisectriz del primer cuadrante.

(3) Calcula el valor maximo de la derivada direccional de z(x, y) en el punto (1,−2).

Ejercicio 11. Determina la ecuacion del plano tangente a la superficie S de ecuacion implıcitax2 + y2 + z2 + 4xy + z − 1 = 0 en el punto P = (0,−1, 0). Al cortar la superficie S con el cilindrode ecuacion x2 + y2 = 1 se obtiene una curva C que pasa por P ; halla la recta tangente a C en P .

Ejercicio 12. Sea C la curva de corte entre el elipsoide x2+4y2+3z2 = 16 y el plano x+y+2z = 5.Halla la ecuacion de la recta tangente a C en el punto (0, 1, 2) y la curvatura en dicho punto.

Ejercicio 13. Calcula la recta tangente en P = (0, 0, 2) a la curva C definida implıcitamente porlas ecuaciones x2 + y2 + z2 = 4 y x2 + z2 = y + 4.

Ejercicio 14. Sea C la curva de corte entre el elipsoide x2+4y2+3z2 = 16 y el plano x+y+2z = 5.Prueba que en un entorno del punto P = (0, 1, 2) se pueden despejar las variables y y z de dichaelipse en funcion de la variable x y calcula los correspondientes polinomios de Maclaurin de grado3, ası como la curvatura de C en el punto P = (0, 1, 2).

Ejercicio 15. Sea C la curva dada por la interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 3 con el cilindrox2 + y2 = 2x. Prueba que en un entorno de P = (1, 1, 1) se pueden despejar las variables x e y dela curva como funciones de z y calcula los polinomios de Taylor de orden 3 de las correspondientesfunciones alrededor del punto z0 = 1, ası como la curvatura en P = (1, 1, 1).

Ejercicio 16. Sea C la curva dada por las ecuaciones implıcitas x+y+z2 = 0 y x3+y3+z3 = 3xyz.Prueba que en un entorno del punto P = (1,−1, 0) se pueden despejar las variables y, z de la curvacomo funciones de x y calcula los polinomios de Taylor de orden 3 de las correspondientes funcionesalrededor del punto x0 = 1, ası como la curvatura en el punto P = (1,−1, 0).

ALGUNAS NOTAS HISTORICAS.

Rene Descartes fue el primero, en 1637, que trabajo con conicas definidas de forma implıcita para calcular las rectastangentes. Isaac Newton y Gottfired W. Leibniz, a finales del siglo xvii, y los matematicos del siguiente siglotrabajaron con curvas mas generales definidas de forma implıcita F (x, y) = 0, asumiendo con toda naturalidad quese puede despejar y en funcion de x como una funcion y = y(x) para hallar el desarrollo de Taylor de y(x). A

caballo entre los siglos xviii y xix, Joseph Louis Lagrange y Augustin L. Cauchy dieron los primeros resultados deexistencia de la funcion y = y(x) para funciones que se pueden escribir como series de potencias. El resultado generalconocido como teorema de la funcion implıcita, que hemos visto para casos especiales, fue finalmente probado porel matematico italiano Ulisse Dini en 1878.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 12.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Capıtulo 14.

Para dibujar curvas planas definidas implıcitamente se pueden usar la aplicaciones GRAPES y Desmos rec-omendadas en Matematicas II. Para el dibujo de curvas y superficies definidas implıcitamente en el espaciotridimensional se recomienda

http://web.monroecc.edu/manila/webfiles/pseeburger/CalcPlot3D/

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