Lección 4: Un aspecto de los números complejos

Lección 4

PRECÁLCULO Y TEMAS AVANZADOS

Lección 4: Un aspecto de los números complejos

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

¿Es 𝑅 𝑥 =1𝑥

una transformación lineal? Explica cómo lo sabes.

Ejercicios

1. Resuelve 5𝑥2 − 3𝑥 + 17 = 9.

2. Usa el hecho de que 𝑖2 = −1 para mostrar que 𝑖3 = −𝑖. Interpreta este enunciado geométricamente.

3. Calcula 𝑖6.

4. Calcula 𝑖5.

Conjunto de problemas

1. Resuelve la ecuación siguiente.

5𝑥2 − 7𝑥 + 8 = 2

2. Considera la ecuación 𝑥3 = 8.

a. ¿Cuál es la primera solución que te viene a la mente?

b. Es posible que al principio no sea fácil saberlo, pero esta ecuación realmente tiene tres soluciones.

Para encontrar las tres soluciones, es útil tomar en cuenta 𝑥3 − 8 = 0, que puede volver a escribirse como

𝑥 − 2 𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 (puedes verificarlo por ti mismo). Encuentra todas las soluciones para esta ecuación.

3. Haz un dibujo que muestre las primeras 5 potencias de 𝑖 (es decir, 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖5) y luego verifica tus resultados

algebraicamente.

4. ¿Cuál es el valor de 𝑖99? Explica tu respuesta con palabras o dibujos.

5. ¿Cuál es el efecto geométrico de multiplicar un número por −𝑖? ¿Te es lógica tu respuesta? Da una explicación

usando palabras o dibujos.

Lección 4


Lección 5: Un aspecto de los números complejos

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Escribe dos hechos fundamentales acerca de 𝒊 que hayas aprendido en la lección anterior.

Discusión: Visualización de números complejos

Lección 4


Ejercicios

1. Proporciona un ejemplo de un número real, un número imaginario y un número complejo. Usa ejemplos que no se

hayan discutido en esta lección.

2. En el plano complejo, ¿para qué se usa el eje horizontal? ¿Para qué se usa el eje vertical?

3. ¿Cómo representarías −4 + 3𝑖 en el plano complejo?

Para los ejercicios 4 al 7, asumamos que 𝑎 = 1 + 3𝑖 y 𝑏 = 2 − 𝑖.

4. Encuentra 𝑎 + 𝑏. Luego traza 𝑎, 𝑏 y 𝑎 + 𝑏 en el plano complejo.

5. Encuentra 𝑎 − 𝑏. Luego traza 𝑎, 𝑏 y 𝑎 − 𝑏 en el plano complejo.

6. Encuentra 2𝑎. Luego traza 𝑎 y 2𝑎 en el plano complejo.

7. Encuentra 𝑎 ∙ 𝑏. Luego traza 𝑎, 𝑏 y 𝑎 ∙ 𝑏 en el plano complejo.

Lección 4



1. El número 5 es un número real. ¿Es también un número complejo? Intenta encontrar valores para 𝑎 y 𝑏 de modo

que 5 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

2. El número 3𝑖 es un número imaginario y un múltiplo de 𝑖. ¿Es también un número complejo? Trata de encontrar

valores para 𝑎 y 𝑏 de modo que 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

3. Daria dice que “cada número real es un número complejo”. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué sí o por qué no?

4. Colby dice que “cada número imaginario es un número complejo”. ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué sí o por qué no?

En los Problemas 5 al 9, realiza las operaciones que se indican. Presenta cada respuesta como un número complejo

𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y grafícalo en el plano complejo.

5. Dado 𝑧1 = −9 + 5𝑖, 𝑧2 = −10 − 2𝑖, encuentra w = 𝑧1 + 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

6. Dado 𝑧1 = −4 + 10𝑖, 𝑧2 = −7 − 6𝑖, encuentra w = 𝑧1 − 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

7. Dado 𝑧1 = 3 2 + 2𝑖, 𝑧2 = 2 − 𝑖, encuentra w = 𝑧1 − 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

8. Dado 𝑧1 = 3, 𝑧2 = −4 + 8𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

9. Dado 𝑧1 =14

, 𝑧2 = 12 − 4𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

10. Dado 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 3 + 4𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

11. Dado 𝑧1 = 5 + 3𝑖, 𝑧2 = −4 − 2𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

12. Dado 𝑧1 = 1 + 𝑖, 𝑧2 = 1 + 𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

13. Dado 𝑧1 = 3, 𝑧2 = 𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

14. Dado 𝑧1 = 4 + 3𝑖, 𝑧2 = 𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

15. Dado 𝑧1 = 2 2 + 2 2𝑖, 𝑧2 = − 2 + 2𝑖, encuentra w = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 y grafica 𝑧1, 𝑧2 y w.

16. Representa 𝑤 = −4 + 3𝑖 como un punto en el plano complejo.

17. Representa 2𝑤 como un punto en el plano complejo. 2𝑤 = 2 −4 + 3𝑖 = −8 + 6𝑖

Lección 4


18. Compara las posiciones de 𝑤 y 2𝑤 en los Problemas 10 y 11. Describe lo que observas. (Pista: dibuja un segmento

desde el origen hasta cada punto).

Lección 6: Números complejos como vectores

Trabajo en clase

Ejercicios iniciales

Realiza las operaciones aritméticas que se indican para los números complejos 𝑧 = −4 + 5𝑖 y 𝑤 = −1 − 2𝑖.

a. 𝑧 + 𝑤

b. 𝑧 − 𝑤

c. 𝑧 + 2𝑤

d. 𝑧 − 𝑧

e. Explica cómo se suman y se restan los números complejos.

Ejercicio 1

1. La longitud del vector que representa 𝑧1 = 6 − 8𝑖 es 10 debido a que 62 + −8 2 = 100 = 10.

a. Encuentra por lo menos otros siete números complejos que puedan representarse como vectores que tienen

una longitud de 10.

b. Dibuja los vectores en los ejes de coordenadas que se indican a continuación.

Lección 4


c. ¿Qué observas acerca de todos estos vectores?

2. En los Ejercicios iniciales, calculamos 𝑧 + 2𝑤. Calcula esta suma usando vectores.

3. En los Ejercicios iniciales, también calculamos 𝑧 − 𝑧. Calcula esta suma usando vectores.

4. Para los vectores 𝑢 y 𝑣 que se muestran a continuación, dibuja la suma o resta especificada en los ejes de

coordenadas proporcionados.

a. 𝑢 + 𝑣

b. 𝑣 − 𝑢

c. 2𝑢 − 𝑣

d. −𝑢 − 3𝑣

5. Encuentra la suma geométrica de 4 + 𝑖 y −3 + 2𝑖.

6. Demuestra que 7 + 2𝑖 − 4 − 𝑖 = 3 + 3𝑖 al representar los números complejos como vectores.

Lección 4



7. Asumamos que 𝑧 = 1 + 𝑖 y 𝑤 = 1 − 3𝑖. Encuentra lo siguiente. Expresa tus respuestas en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖.

a. 𝑧 + 𝑤

b. 𝑧 − 𝑤

c. 4𝑤

d. 3𝑧 + 𝑤

e. −𝑤 − 2𝑧

f. ¿Cuál es la longitud del vector que representa 𝑧?

g. ¿Cuál es la longitud del vector que representa 𝑤?

8. Asumamos que 𝑢 = 3 + 2𝑖, 𝑣 = 1 + 𝑖 y

𝑤 = −2 − 𝑖. Encuentra lo siguiente. Expresa tu

respuesta en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 y representa el

resultado en el plano.

a. 𝑢 − 2𝑣

b. 𝑢 − 2𝑤

c. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤

d. 𝑢 − 𝑣 + 𝑤

e. ¿Cuál es la longitud del vector que

representa 𝑢?

f. ¿Cuál es la longitud del vector que

representa 𝑢 − 𝑣 + 𝑤?

9. Encuentra la suma geométrica de −2 − 4𝑖 y 5 + 3𝑖.

10. Demuestra que −5 − 6𝑖 − −8 − 4𝑖 = 3 − 2𝑖 al representar los números complejos como vectores.

11. Asumamos que 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖, 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑖 y 𝑧3 = 𝑎3 + 𝑏3𝑖. Comprueba lo siguiente usando álgebra o

comprobándolo con vectores.

a. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1

Lección 4


b. 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3

12. Asumamos que 𝑧 = −3 − 4𝑖 y 𝑤 = −3 + 4𝑖.

a. Dibuja los vectores que representan 𝑧 y 𝑤 en el mismo conjunto de ejes.

b. ¿Cuál es la longitud de los vectores que representan 𝑧 y 𝑤?

c. Encuentra un nuevo vector, 𝑢𝑧 , de modo que 𝑢𝑧 sea igual a 𝑧 dividido entre la longitud del vector que

representa 𝑧.

d. Encuentra, 𝑢𝑤 , de modo que 𝑢𝑤 sea igual a 𝑤 dividido entre la longitud del vector que representa 𝑤.

e. Dibuja los vectores que representan 𝑢𝑧 y 𝑢𝑤 en el mismo conjunto de ejes que la parte (a).

f. ¿Cuál es la longitud de los vectores que representan 𝑢𝑧 y 𝑢𝑤?

g. Compara los vectores que representan 𝑢𝑧 a 𝑧 y 𝑢𝑤 a 𝑤. ¿Qué es lo que observas?

h. ¿Cuál es el valor de 𝑢𝑧 veces 𝑢𝑤?

i. ¿Qué te dice tu respuesta de la parte (h) acerca de las relaciones entre 𝑢𝑧 y 𝑢𝑤?

13. Asumamos que 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

a. Asumamos que 𝑢𝑧 está representado por el vector en la dirección de 𝑧 con longitud 1.

¿Cómo puedes encontrar 𝑢𝑧? ¿Cuál es el valor de 𝑢𝑧?

b. Asumamos que 𝑢𝑤 es un número complejo que cuando se multiplica por 𝑢𝑧 , el producto es 1.

¿Cuál es el valor de 𝑢𝑤?

c. ¿Por qué número se puede multiplicar 𝑧 para obtener el producto de 1?

14. Asumamos que 𝑧 = −3 + 5𝑖.

a. Haz un dibujo que represente 𝑧 + 𝑤 = 8 + 2𝑖.

b. ¿Cuál es el valor de 𝑤?

Lección 4


Lección 7: División de números complejos

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

Realiza las operaciones que se indican. Escribe tu respuesta en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖. Identifica la parte real y la parte

imaginaria de tu respuesta.

c. 2 + 3𝑖 + (−7 − 4𝑖)

d. 𝑖2(−4𝑖)

e. 3𝑖 − (−2 + 5𝑖)

f. (3 − 2𝑖)(−7 + 4𝑖)

g. (−4 − 5𝑖)(−4 + 5𝑖)

Ejercicios

15. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 2𝑖?

16. Encuentra el inverso multiplicativo de 5 + 3𝑖.

Establece cuál es el conjugado de cada número y luego, usando la fórmula general para el inverso multiplicativo de

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, encuentra el inverso multiplicativo.

17. 3 + 4𝑖

18. 7 − 2𝑖

19. 𝑖

20. 2

Lección 4


21. Demuestra que 𝑎 = −1 + 3𝑖 y 𝑏 = 2 cumplen con 1𝑎+𝑏

= 1𝑎 + 1

𝑏.


22. Indica cuál es el conjugado de cada número complejo. Luego encuentra el inverso multiplicativo de cada número y

verifícalo multiplicando por 𝑎 + 𝑏𝑖 y resolviendo un sistema de ecuaciones.

a. −5𝑖

b. 5 − 3𝑖

23. Encuentra el inverso multiplicativo de cada número y verifícalo usando la fórmula general del inverso multiplicativo

de los números en la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

a. 𝑖3

b. 13

c. 3 − 𝑖

4

d. 1 + 2𝑖

e. 4 − 3𝑖

f. 2 + 3𝑖

g. −5 − 4𝑖

h. −3 + 2𝑖

i. 2 + 𝑖

j. 3 − 2 ∙ 𝑖

k. 5 + 3 ∙ 𝑖

24. Dado 𝑧1 = 1 + 𝑖 y 𝑧2 = 2 + 3𝑖:

a. Asumamos que 𝑤 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2. Encuentra 𝑤 y el inverso multiplicativo de 𝑤.

b. Comprueba que el inverso multiplicativo de 𝑤 es igual que el producto de los inversos multiplicativos de 𝑧1 y

𝑧2.

Lección 4


Lección 8: División de números complejos

Trabajo en clase


Usa la fórmula general para encontrar el inverso multiplicativo de cada número complejo.

c. 2 + 3𝑖

d. −7 − 4𝑖

e. −4 + 5𝑖

Ejercicios 1 al 4

Encuentra el conjugado y traza el número complejo y su conjugado en el plano complejo. Etiqueta el conjugado con un

símbolo primo.

25. 𝐴: 3 + 4𝑖

26. 𝐵: −2 − 𝑖

27. 𝐶: 7

28. 𝐷: 4𝑖

Lección 4


Ejercicios 5 al 8

Encuentra el módulo.

29. 3 + 4𝑖

30. −2 − 𝑖

31. 7

32. 4𝑖

Ejercicios del 9 al 11

Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

33. Demuestra que para todos los números complejos 𝑧, 𝑖𝑧 = 𝑧 .

34. Demuestra que para todos los números complejos 𝑧, 𝑧 ∙ 𝑧 = 𝑧 2.

35. Explica lo siguiente: Cada número complejo distinto de cero 𝑧 tiene un inverso multiplicativo. Este está dado por 1

𝑧=

𝑧

𝑧 .

Ejemplo 1

2 − 6𝑖

2 + 5𝑖

Ejercicios 12 y 13

Divide.

36. 3 + 2𝑖

−2 − 7𝑖

37. 3

3 − 𝑖

Lección 4



38. Asumamos que 𝑧 = 4 − 3𝑖 y 𝑤 = 2 − 𝑖. Demuestra que

a. 𝑧 = 𝑧

b. 1𝑧 =

1 𝑧

c. Si 𝑧 = 0, ¿será que 𝑧 = 0?

d. Proporciona un ejemplo para comprobar que 𝑧 + 𝑤 usualmente no es igual a 𝑧 + 𝑤 .

39. Divide.

a. 1 − 2𝑖2𝑖

b. 5 − 2𝑖5 + 2𝑖

c. 3 − 2𝑖

−2 − 3𝑖

40. Comprueba que 𝑧𝑤 = 𝑧 ∙ 𝑤 para los número complejos 𝑧 y 𝑤.

41. Dado 𝑧 = 3 + 𝑖, 𝑤 = 1 + 3.

a. Encuentra 𝑧 + 𝑤 y grafica 𝑧, 𝑤 y 𝑧 + 𝑤 en el mismo plano complejo. Explica lo que descubres si dibujas

segmentos de línea desde el origen hasta esos puntos 𝑧, 𝑤 y 𝑧 + 𝑤. Luego, dibuja los segmentos de línea para

conectar 𝑤 con 𝑧 + 𝑤 y 𝑧 + 𝑤 con 𝑧.

b. Encuentra −𝑤 y grafica 𝑧, 𝑤 y 𝑧 − 𝑤 en el mismo plano complejo. Explica lo que descubres si dibujas

segmentos de línea desde el origen hasta esos puntos 𝑧, 𝑤 y 𝑧 − 𝑤. Luego, dibuja los segmentos de línea para

conectar 𝑤 con 𝑧 − 𝑤 y 𝑧 − 𝑤 con 𝑧.

42. Explica geométricamente por qué 𝑧 + 𝑤 ≤ 𝑧 + 𝑤 y 𝑧 − 𝑤 ≤ 𝑧 + 𝑤 . (Pista: Teorema de desigualdad del

triángulo)

Lección 4


Lección 9: El efecto geométrico de la aritmética compleja

Trabajo en clase

Ejercicios

Obtener el conjugado de un número complejo corresponde a reflejar un número complejo con respecto a los ejes

reales. ¿Qué operación en un número complejo induce a una reflexión a lo largo del eje imaginario?

Dados los números complejos 𝑤 = −4 + 3𝑖 y

𝑧 = 2 − 5𝑖, haz una gráfica de lo siguiente:

a. 𝑤

b. 𝑧

c. 𝑤 + 2

d. 𝑧 + 2

e. 𝑤 − 1

f. 𝑧 − 1

Describe con tus propias palabras el efecto geométrico que tiene sumar o restar un número real en un número

complejo.

Lección 4


Dados los números complejos 𝑤 = −4 + 3𝑖 y

𝑧 = 2 − 5𝑖, haz una gráfica de lo siguiente:

a. 𝑤

b. 𝑧

c. 𝑤 + 𝑖

d. 𝑧 + 𝑖

e. 𝑤 − 2𝑖

f. 𝑧 − 2𝑖

Describe con tus propias palabras el efecto geométrico que tiene sumar o restar un número imaginario en un

número complejo.

Ejemplo 1

Dado el número complejo 𝒛, encuentra un número complejo 𝒘 de modo que 𝒛 + 𝒘 se traslade 𝟐 unidades en

dirección suroeste.

Resumen de la lección

El conjugado, 𝑧 , de un número complejo, 𝑧, representa el punto en el eje real.

El conjugado negativo, −𝑧 , de un número complejo, 𝑧, representa el punto en el eje imaginario.

Sumar o restar un número real a un número complejo traslada el punto hacia la izquierda o hacia la

derecha del eje real (horizontal).

Sumar o restar un número imaginario a un número complejo traslada el punto hacia arriba o abajo del eje

imaginario (vertical).

Lección 4



48. Dados los números complejos 𝑤 = 2 − 3𝑖 y

𝑧 = −3 + 2𝑖, haz una gráfica de lo siguiente:

a. 𝑤 − 2

b. 𝑧 + 2

c. 𝑤 + 2𝑖

d. 𝑧 − 3𝑖

e. 𝑤 + 𝑧

f. 𝑧 − 𝑤

Asumamos que 𝑧 = 5 − 2𝑖, encuentra 𝑤 para cada caso.

a. 𝑧 es una rotación de 90° a la izquierda con respecto al origen de 𝑤.

b. 𝑧 es una representación con respecto al eje imaginario desde 𝑤.

c. 𝑧 es una representación con respecto al eje real desde 𝑤.

Asumamos que 𝑧 = −1 + 2𝑖, 𝑤 = 4 − 𝑖, simplifica las siguientes expresiones.

a. 𝑧 + 𝑤

b. 𝑤 − 𝑧

c. 2𝑧 − 3𝑤

d. 𝑧𝑤

Dado el número complejo 𝒛, encuentra un número complejo 𝒘 donde 𝒛 + 𝒘 se traslada

a. 𝟐 𝟐 unidades en dirección noreste.

b. 𝟓 𝟐 unidades en dirección sureste.

Lección 4


Lección 10: El efecto geométrico de la aritmética compleja

Trabajo en clase


52. Dado 𝑧 = 3 − 2𝑖, traza y etiqueta lo siguiente y describe el efecto geométrico de la operación.

a. 𝑧

b. 𝑧 − 2

c. 𝑧 + 4𝑖

d. 𝑧 + (−2 + 4𝑖)

53. Describe el efecto geométrico de lo siguiente:

a. Multiplicar por 𝑖.

b. Obtener el conjugado del complejo.

c. ¿Qué operación refleja un número complejo en el eje imaginario?

Ejemplo 1

Traza los puntos dados, luego traza la imagen 𝐿 𝑧 = 2𝑧.

a. 𝑧1 = 3

b. 𝑧2 = 2𝑖

c. 𝑧3 = 1 + 𝑖

d. 𝑧4 = −4 + 3𝑖

e. 𝑧5 = 2 − 5𝑖

Lección 4


Ejercicios 1 al 7

Traza los puntos dados, luego traza la imagen 𝐿 𝑧 = 𝑖𝑧.

54. 𝑧1 = 3

55. 𝑧2 = 2𝑖

56. 𝑧3 = 1 + 𝑖

57. 𝑧4 = −4 + 3𝑖

58. 𝑧5 = 2 − 5𝑖

59. ¿Cuál es el efecto geométrico de la transformación? Verifica tu conjetura usando la pendiente del segmento que

une el origen con el punto y luego con su imagen.

60. ¿Es 𝐿(𝑧) una transformación lineal? Explica cómo lo sabes.

Ejemplo 2

Describe el efecto geométrico de 𝐿 𝑧 = (1 + 𝑖)𝑧 dado lo siguiente. Traza la imagen en papel para graficar y describe el

efecto geométrico con palabras.

a. 𝑧1 = 1

b. 𝑧2 = 𝑖

c. 𝑧4 = 1 + 𝑖

d. 𝑧5 = 4 + 6𝑖

Lección 4



Asumamos que 𝑧 = −4 + 2𝑖, simplifica lo siguiente y describe el efecto geométrico de la operación. Traza el resultado

en el plano complejo.

𝑧 + 2 − 3𝑖

𝑧 − 2 − 3𝑖

𝑧 − (2 − 3𝑖)

2𝑧

𝑧2

Asumamos que 𝑧 = 1 + 2𝑖, simplifica lo siguiente y describe el efecto geométrico de la operación.

𝑖𝑧

𝑖2𝑧

𝑧

−𝑧

𝑖𝑧

2𝑖𝑧

𝑖𝑧 + 5 − 3𝑖

Simplifica las siguientes expresiones.

4 − 2𝑖 5 − 3𝑖

−2 + 3𝑖 (−2 − 3𝑖)

1 + 𝑖 2

1 + 𝑖 10 (Pista: 𝑏𝑛𝑚 = 𝑏𝑛 𝑚 )

−1 + 2𝑖1 − 2𝑖

𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑖

, siempre que 𝑥 ≠ 2𝑖.

Lección 4


Dado 𝑧 = 2 + 𝑖, describe el efecto geométrico de lo siguiente. Traza el resultado.

𝑧(1 + 𝑖)

𝑧 32

+12

𝑖

Aprendimos que la multiplicación por 𝑖 produce una rotación de 90° a la izquierda con respecto al origen. ¿Por qué

necesitamos multiplicarlo para producir una rotación de 90°a la derecha, en torno al origen?

61. Dado que 𝑧 es un número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖, determina si 𝐿(𝑧) es una transformación lineal. Explica por qué sí o por

qué no.

a. 𝐿 𝑧 = 𝑖3𝑧

b. 𝐿 𝑧 = 𝑧 + 4𝑖

Lección 4


Lección 11: Distancia y números complejos

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

c. Traza el número complejo 𝑧 = 2 + 3𝑖 en el plano complejo. Traza el par ordenado (2, 3) en el plano de

coordenadas.

d. ¿De qué forma los números complejos son “puntos”?

e. ¿Qué punto en el plano de coordenadas corresponde al número complejo −1 + 8𝑖?

f. ¿Qué número complejo corresponde al punto localizado en la coordenada (0, −9)?

Ejercicios

Los puntos finales de 𝑨𝑩 son 𝑨(𝟏, 𝟖) y 𝑩(−𝟓, 𝟑). ¿Cuál es el punto medio de 𝑨𝑩 ?

Lección 4


62.

a. ¿Cuál es el punto medio de 𝑨 = 𝟏 + 𝟖𝒊 y 𝑩 = −𝟓 + 𝟑𝒊?

b. Usando 𝐴 = 𝑥1 + 𝑦1𝑖 y 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2𝑖,demuestran que, en general, el punto medio de los puntos 𝐴 y 𝐵 es 𝐴+𝐵

2,

el promedio aritmético de los dos números.

63. Los puntos finales de 𝑨𝑩 son 𝑨(𝟏, 𝟖) y 𝑩(−𝟓, 𝟑). ¿Cuál es la longitud de 𝑨𝑩 ?

64.

a. ¿Cuál es la distancia entre 𝑨 = 𝟏 + 𝟖𝒊 y 𝑩 = −𝟓 + 𝟑𝒊?

b. Comprueba que, en general, la distancia entre 𝐴 = 𝑥1 + 𝑦1𝑖 y 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2𝑖 es el módulo de 𝐴 − 𝐵.

65. Supongamos que 𝑧 = 2 + 7𝑖 y 𝑤 = −3 + 𝑖.

a. Encuentra el punto medio 𝑚 de 𝑧 y 𝑤.

b. Verifica que 𝑧 − 𝑚 = 𝑤 − 𝑚 .


66. Encuentra el punto medio entre dos puntos dados en el plano de coordenadas rectangulares.

a. 2 + 4𝑖 y 4 + 8𝑖

b. −3 + 7𝑖 y 5 − 𝑖

c. −4 + 3𝑖 y 9 − 4𝑖

d. 4 + 𝑖 y −12 − 7𝑖

e. −8 − 3𝑖 y 3 − 4𝑖

Resumen de la lección

Se puede pensar en los números complejos como puntos en un plano y se puede pensar en los puntos

en un plano como números complejos.

Para dos números complejos 𝐴 = 𝑥1 + 𝑦1𝑖 y 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2𝑖, el punto medio de los puntos 𝐴 y 𝐵 es 𝐴+𝐵

2.

La distancia entre dos números complejos 𝐴 = 𝑥1 + 𝑦1𝑖 y 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2𝑖 es igual a 𝐴 − 𝐵 .

Lección 4


f.

23

−52

𝑖 y −0.2 + 0.4𝑖

Asumamos que 𝐴 = 2 + 4𝑖, 𝐵 = 14 + 8𝑖, y asumamos que 𝐶 es el punto medio de 𝐴 y 𝐵 y que 𝐷 es el punto medio de

𝐴 y 𝐶.

a. Encuentra los puntos 𝐶 y 𝐷.

b. Encuentra la distancia entre 𝐴 y 𝐵.

c. Encuentra la distancia entre 𝐴 y 𝐶.

d. Encuentra la distancia entre 𝐶 y 𝐷.

e. Encuentra la distancia entre 𝐷 y 𝐵.

f. Encuentra un punto que esté a una cuarta parte del camino del segmento de línea que conecta el segmento 𝐴

y 𝐵, más cerca de 𝐴 que de 𝐵.

g. Terrence cree que la distancia desde 𝐵 hasta 𝐶 es igual a la distancia desde 𝐴 hasta 𝐵. ¿Está en lo correcto?

Explica por qué sí o por qué no.

h. Usando tu respuesta de la parte (g), si 𝐸 es el punto medio de 𝐶 y 𝐵, ¿puedes encontrar la distancia de 𝐸 a 𝐶?

Explica.

i. Sin hacer ningún trabajo adicional, ¿puedes encontrar el punto 𝐸? Explica.

Lección 12: Distancia y números complejos

Trabajo en clase

Ejercicio inicial

g. Asumamos que 𝐴 = 2 + 3𝑖 y 𝐵 = −4 − 8𝑖. Encuentra un número complejo 𝐶 de modo que 𝐵 sea el punto

medio de 𝐴 y 𝐶.

h. Dado dos números complejos 𝐴 y 𝐵, encuentra una fórmula para un número complejo 𝐶 en términos de 𝐴 y 𝐵

de modo que 𝐵 sea el punto medio de 𝐴 y 𝐶.

i. Comprueba que tu fórmula sea la correcta usando el resultado de la parte (a).

Ejercicio

Asumamos que 𝑧 = −100 + 100𝑖 y 𝑤 = 1000 − 1000𝑖.

j. Encuentra un punto que esté a una cuarta parte del camino del segmento de línea que conecta 𝑧 y 𝑤, más

cerca de 𝑧 que de 𝑤.

Lección 4


k. Escribe este punto en la forma 𝛼𝑧 + 𝛽𝑤, para algunos números reales 𝛼 y 𝛽. Comprueba que realmente esto

representa el punto que se encontró en la parte (a).

l. Describe la ubicación del punto 25

𝑧 +35

𝑤 en este segmento de línea.

Desafío preparatorio 1

m. Dibuja los tres puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en el plano.

n. Empieza en cualquier posición 𝑃0 y salta sobre 𝐴 a una nueva posición 𝑃1, de modo que 𝐴 esté en el punto

medio de 𝑃0𝑃1 .

o. Desde 𝑃1, pasa sobre 𝐵 hasta una nueva posición 𝑃2 de modo que 𝐵 sea el punto medio 𝑃1𝑃2 .

p. Desde 𝑃2, pasa sobre 𝐶 hasta una nueva posición 𝑃3 de modo que 𝐶 sea el punto medio 𝑃2𝑃3 .

q. Continúa alternativamente sobre 𝐴, luego 𝐵, luego 𝐶.

r. ¿Qué sucede finalmente?

s. Usando la fórmula de la parte (b) del Ejercicio inicial, demuestra por qué sucede esto.

Desafío preparatorio 2

t. Traza un punto único 𝐴 en el plano.

u. ¿Qué sucede cuando pasas repetidamente sobre 𝐴?

v. Usando la fórmula de la parte (b) del Ejercicio inicial, demuestra por qué sucede esto.

w. Haz una conjetura acerca de lo que sucederá si saltas sobre dos puntos, 𝐴 y 𝐵, en el plano de coordenadas.

x. Comprueba tu conjetura usando la fórmula de la parte (b) del Ejercicio inicial.

y. ¿Estaba correcta tu conjetura? De lo contrario, ¿cuál es tu nueva conjetura acerca de lo que sucederá si pasas

dos puntos, 𝐴 y 𝐵, en el plano de coordenadas?

z. Comprueba tu conjetura realizando experimentos reales.

Lección 4



67. Encuentra la distancia entre los siguientes puntos.

a. Punto 𝐴(2, 3) y punto 𝐵(6, 6) .

b. 𝐴 = 2 + 3𝑖 y 𝐵 = 6 + 6𝑖

c. 𝐴 = −1 + 5𝑖 y 𝐵 = 5 + 11𝑖

d. 𝐴 = 1 − 2𝑖 y 𝐵 = −2 + 3𝑖

e. 𝐴 = 1 2

− 1 2

𝑖 y 𝐵 = − 2 3

+1

3 𝑖

68. Proporciona tres puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, en donde 𝐶 es el punto medio de 𝐴 y 𝐵.

a. Si 𝐴 = −5 + 2𝑖 y 𝐶 = 3 + 4𝑖, encuentra 𝐵.

b. Si 𝐵 = 1 + 11𝑖 y 𝐶 = −5 + 3𝑖, encuentra 𝐴.

69. El punto 𝐶 es el punto medio entre 𝐴 = 4 + 3𝑖 y 𝐵 = −6 − 5𝑖. Encuentra la distancia entre los puntos 𝐶 y 𝐷 para

cada punto 𝐷 que se proporciona a continuación.

a. 2𝐷 = −6 + 8𝑖

b. 𝐷 = −𝐵

70. La distancia entre los puntos 𝐴 = 1 + 1𝑖 y 𝐵 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es 5. Encuentra el punto 𝐵 para cada valor proporcionado a

continuación.

a. 𝑎 = 4

b. 𝑏 = 6

71. Dibuja cinco puntos en el plano 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸. Empieza en cualquier posición 𝑃0 y pasa sobre 𝐴 a una nueva posición

𝑃1 (de modo que 𝐴 esté en el punto medio de 𝑃0𝑃1 ). Luego pasa sobre 𝐵, luego 𝐶, luego 𝐷, luego 𝐸, luego 𝐴, luego

𝐵, luego 𝐶, luego 𝐷, luego 𝐸, luego 𝐴 de nuevo, y así sucesivamente. ¿Cuántos saltos tomará regresar a la posición

inicial, 𝑃0?

72. Para los problemas de crucigramas de saltos en el Desafío preparatorio 1 y en el Problema 5, nos proporcionan un

número impar de puntos para saltar. ¿Qué sucede si saltamos un número par de puntos? Asumamos que 𝐴 = 2,

𝐵 = 2 + 𝑖 y 𝑃0 = 𝑖. ¿Regresará 𝑃𝑛 a la posición inicial, 𝑃0? Explica cómo lo sabes.

Lección 4: Un aspecto de los números complejos

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